5.2.3 简单复合函数的导数-【名师导航】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦简单复合函数的导数这一核心知识点，以“概念—法则—应用”为学习支架，先通过具体函数实例（如y=log₂(3x+2)）引入复合函数概念，再推导求导法则（分解—求导—还原步骤），最后结合切线问题、物理瞬时速度等实际情境实现综合应用。 资料特色在于问题驱动式设计与分层教学结合，通过“问题初探”引导学生用数学眼光观察函数结构，典例讲评与“学以致用”环节培养数学思维的逻辑推理能力，如弹簧振子瞬时速度问题体现导数的实际意义，助力课中教师分层引导，课后学生查漏补缺。

5.2.3　简单复合函数的导数 [学习目标]　1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．(数学运算) 2．综合运用函数的求导法则解决简单的问题．(逻辑推理、数学运算) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．复合函数的定义是什么？ 问题2．复合函数的求导法则是什么？ 探究1　复合函数的概念 问题1　函数y＝log2(3x＋2)是如何构成的？ [提示]　y＝log2(3x＋2)，其中3x＋2“占据”了对数函数y＝log2x中x的位置，f(x)＝log2x，而f(3x＋2)＝log2(3x＋2)，这里有代入、代换的思想，则函数y＝log2(3x＋2)是由内层函数一次函数和外层函数对数函数复合而成，是复合函数． [新知生成] 复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． [典例讲评]　1．(多选)下列函数是复合函数的是(　　) A．y＝x ln x　　 B．y＝(3x＋6)2 C．y＝esin x D．y＝sin BCD　[A不是复合函数；BCD都是复合函数．] 　若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f(g(x))或函数y＝g(f(x))均为复合函数． [学以致用]　1．函数y＝sin (2x－1)如果看成复合函数y＝f(φ(x))，下列式子正确的是(　　) A．φ(x)＝2x B．φ(x)＝sin x C．φ(x)＝2x－1 D．φ(x)＝sin (2x－1) C　[y＝sin (2x－1)是由函数y＝sin u和u＝2x－1复合而成，可见φ(x)＝2x－1．故选C．] 探究2　复合函数的导数 问题2　你能用导数的运算法则求出函数y＝sin 2x的导数吗？它与函数y＝sin u，u＝2x的导数有什么关系？你能用文字语言描述复合函数的导数运算法则吗？ [提示]　y＝2sin x cos x，由两个函数相乘的求导法则可知：y′＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x；从整体上来看，外层函数是基本初等函数y＝sin u，它的导数y′＝cos u，内层函数是u＝2x，它的导数是u′＝2，发现y′x＝y′u·u′x．复合函数y对自变量x的导数等于因变量y对中间变量u的导数与中间变量u对自变量x的导数的乘积． [新知生成] 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x．即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 【教用·微提醒】　(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则． (2)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导． (3)该公式可以推广至多层复合函数． [典例讲评]　【链接教材P79例6】 2．求下列函数的导数： (1)y＝； (2)y＝log2(2x＋1)； (3)y＝e3x+2； (4)y＝sin ． [解]　(1)y＝，设y＝，u＝1－2x， 则y′x＝y′u·u′x＝)′(1－2x)′ ＝·(－2)＝． 即y′＝． (2)设y＝log2u，u＝2x＋1， 则y′x＝y′u·u′x＝(log2u)′(2x＋1)′ ＝×2＝， 即y′＝． (3)设y＝eu，u＝3x＋2， 则y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x+2，即y′＝3e3x+2． (4)设y＝sin u，u＝2x＋， 则y′x＝y′u·u′x＝(sin u)′′＝2cos u ＝2cos ，即y′＝2cos ． 【教材原题·P79例6】 例6　求下列函数的导数： (1)y＝(3x＋5)3； (2)y＝e-0.05x+1； (3)y＝ln (2x－1)． [解]　(1)函数y＝(3x＋5)3可以看作函数y＝u3和u＝3x＋5的复合函数．根据复合函数的求导法则，有 y′x＝y′u·u′x ＝(u3)′·(3x＋5)′ ＝3u2×3 ＝9(3x＋5)2． (2)函数y＝e-0.05x+1可以看作函数y＝eu和u＝－0.05x＋1的复合函数．根据复合函数的求导法则，有 y′x＝y′u·u′x ＝(eu)′·(－0.05x＋1)′ ＝－0.05eu ＝－0.05e-0.05x+1． (3)函数y＝ln (2x－1)可以看作函数y＝ln u和u＝2x－1的复合函数．根据复合函数的求导法则，有 y′x＝y′u·u′x ＝(ln u)′·(2x－1)′ ＝×2 ＝． 【教用·备选题】求下列函数的导数： (1)y＝e2x+1sin x； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝． [解]　(1)y′＝2e2x+1sin x＋e2x+1cos x＝(2sin x＋cos x)e2x+1． (2)f(x)＝，f′(x)＝． (3)f(x)＝，f′(x)＝． 　1．求复合函数的导数的步骤 2．求复合函数的导数的注意点 (1)分解的函数通常为基本初等函数． (2)求导时分清是对哪个变量求导． [学以致用]　2．(1)已知f(x)＝，则f′＝(　　) A．－2－ln 2 B．－2＋ln 2 C．2－ln 2 D．2＋ln 2 (2)已知某函数的导数为y′＝，则这个函数可能是(　　) A．y＝ln B．y＝ln C．y＝ln (1－x) D．y＝ln (1)D　(2)A　[(1)法一：f′(x)＝＝， 故f′＝＝2＋ln 2．故选D． 法二：因为f(x)＝＝， 所以f′(x)＝， 所以f′＝＝2＋ln 2． 故选D． (2)函数y＝ln 可以看作y＝ln u，u＝和v＝1－x的复合函数，所以y′x＝y′u·u′v·v′x＝(ln u)′·()′·(1－x)′＝·(－1)＝·(－1)＝＝，A选项符合； y＝ln ＝－ln ，所以y′＝，B选项不符合； y＝ln (1－x)可以看作y＝ln u和u＝1－x的复合函数，所以y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(1－x)′＝·(－1)＝，C选项不符合； y＝ln ＝－ln (x－1)，所以y′＝－，D选项不符合．故选A． 探究3　复合函数的导数的应用 [典例讲评]　3．(1)曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　) A．　 B．2 C．3　 D．0 (2)设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________． [思路导引]　 (1)A　(2)2　[(1)设曲线y＝ln (2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行． 因为y'＝，所以y'＝2， 解得x0＝1，所以y0＝ln (2－1)＝0， 即切点坐标为(1，0)， 所以切点(1，0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝， 即曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是．故选A． (2)令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0，1)处的切线的斜率为f′(0)．又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2．因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2．] [母题探究]　 1．本例(1)的条件变为“曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋m＝0的最小距离为2”，求m的值． [解]　设切点P(x0，y0)，由题意可知， y'＝＝2， ∴x0＝1，即切点P(1，0)， ∴＝2， 解得m＝8或－12(舍，直线与曲线有交点，最小距离为0，不合题意)．即实数m的值为8． 2．求本例(2)中曲线的切线与坐标轴围成的面积． [解]　由题意可知，切线方程为y－1＝2x， 即2x－y＋1＝0． 令x＝0，得y＝1； 令y＝0，得x＝－， ∴切线与坐标轴围成的面积S＝×1＝． 　正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是不是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数．解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键． [学以致用]　3．已知函数f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x, f′(x)是f(x)的导函数，且a＝f′，求曲线y＝x3在x＝a处的切线方程． [解]　由f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x， 得f′(x)＝3－2sin 2x＋2cos 2x， 则a＝f′＝3－2sin ＋2cos ＝1． 由y＝x3得y′＝3x2， ∴k＝y′|x＝1＝3．又x＝1时，y＝1，∴所求切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0． 探究4　复合函数的导数的综合应用 [典例讲评]　【链接教材P80例7】 4．(多选)某港口在一天24 h内潮水的高度S(单位：m)随时间t(单位：h，0≤t≤24)的变化近似满足关系式S(t)＝3sin ，则下列说法正确的有(　　) A．S(t)在[0，2]上的平均变化率为 m/h B．相邻两次潮水高度最高的时间间距为24 h C．当t＝6时，潮水的高度会达到一天中最低 D．18时潮水起落的速度为 m/h BD　[由题意，对于选项A，S(0)＝3sin ＝，S(2)＝3sin ＝0，所以S(t)在[0，2]上的平均变化率为＝＝－(m/h)，故A选项错误；对于选项B，相邻两次潮水高度最高的时间间距为一个周期，而T＝＝24 h，故B选项正确；对于选项C，当t＝6时，S(6)＝3sin ＝－≠－3，所以潮水的高度会达到一天中最低为错误说法，即C选项错误；对于选项D，S′(t)＝3cos ＝cos ，所以 S′(18)＝cos ＝(m/h)，故选项D正确．故选BD．] 【教材原题·P80例7】 例7　某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的关系为y＝18sin ．求函数y在t＝3 s时的导数，并解释它的实际意义． [解]　函数y＝18sin 可以看作函数y＝18sin u和u＝t－的复合函数，根据复合函数的求导法则，有 y′t＝y′u·u′t ＝(18sin u)′·′ ＝18cos u× ＝12πcos ． 当t＝3时，y′t＝12πcos ＝0． 它表示当t＝3 s时，弹簧振子振动的瞬时速度为0 mm/s． 　将复合函数的求导与导数的实际意义结合，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况． [学以致用]　4．某铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为160 km/h．假设“绿巨人”开出站一段时间内，速度v(m/s)与行驶时间t(s)的关系为v＝0.4t＋0.6t2，则出站后“绿巨人”速度首次达到 24 m/s 时的加速度为________(m/s2)． 7.6　[当v＝24时，0.4t＋0.6t2＝24，解得t＝6(负根舍去)，v′＝0.4＋1.2t，当t＝6时，v′＝0.4＋1.2×6＝7.6(m/s2)．] 1．(多选)下列函数是复合函数的是(　　) A．y＝－x3－＋1　 B．y＝cos C．y＝ D．y＝(2x＋3)4 BCD　[A中的函数是一个多项式函数；B中的函数可看作函数u＝x＋，y＝cos u的复合函数；C中的函数可看作函数u＝ln x，y＝的复合函数；D中的函数可看作函数u＝2x＋3，y＝u4的复合函数，故选BCD．] 2．函数y＝(2 026－8x)3的导数y′等于(　　) A．3(2 026－8x)2 B．－24x C．－24(2 026－8x)2 D．24(2 026－8x)2 C　[y′＝3(2 026－8x)2×(2 026－8x)′ ＝3(2 026－8x)2×(－8)＝－24(2 026－8x)2．故选C．] 3．(教材P81练习T3改编)设曲线y＝ax－ln (x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 D　[令f(x)＝ax－ln (x＋1)，∴f′(x)＝a－． 由题意，得f′(0)＝2，解得a＝3．] 4．已知某质点的位移s与时间t满足s＝tet-1，则质点在t＝1时的瞬时速度为________． 2　[s′＝(t＋1)et-1，当t＝1时，s′(1)＝2．] 1．知识链： 2．方法链：转化法． 3．警示牌：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．你认为如何对多个整式乘积形式的函数求导？ [提示]　(1)若待求导的函数为多个整式乘积的形式，可以利用多项式的乘法法则，化为和差的形式，再求导，其运算过程将会简化，运算量将会减小． (2)若乘积因式不多时，也可以利用积的导数运算法则求导． 2．求复合函数的导数，应该注意哪些问题？ [提示]　求复合函数的导数的注意点： (1)分解的函数通常为基本初等函数； (2)求导时分清是对哪个变量求导； (3)计算结果尽量简洁． 3．利用复合函数求导法则求复合函数的导数的一般步骤是什么？ [提示]　“分解—求导—还原”． 即：①弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数的形式； ②利用求导法则分层求导； ③最终结果要将中间变量还原成自变量． 注意不要漏掉第③步． 课时分层作业(十七)　简单复合函数的导数 一、选择题 1．已知函数f(x)＝(2x－1)3，则f′(1)＝(　　) A．8 B．6 C．3 D．1 B　[根据题意，函数f(x)＝(2x－1)3，则f′(x)＝6(2x－1)2， 则f′(1)＝6(2－1)2＝6．故选B．] 2．函数y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，则a等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 A　[y′＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，则y′|x＝2＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，解得a＝1(舍负)．] 3．(多选)下列计算正确的有(　　) A．(x2)′＝2x B．(sin x)′＝cos x C．(e－x)′＝e－x D．[ln (x＋1)]′＝ ABD　[对于A，(x2)′＝2x，故A正确； 对于B，(sin x)′＝cos x，故B正确； 对于C，令u＝－x，则y＝eu，所以(e－x)′＝(－x)′·(eu)′＝－eu＝－e－x，故C错误；对于D，令u＝x＋1，则y＝ln u，所以[ln (x＋1)]′＝(x＋1)′·(ln u)′＝1×＝，故D正确． 故选ABD．] 4．曲线y＝2xex-2在点(2，4)处切线的斜率等于(　　) A．2e B．e C．6 D．2 C　[∵y＝2xex-2， ∴y′＝2ex-2＋2xex-2， ∴k＝y′|x＝2＝2e0＋4e0＝6．故选C．] 5．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其它元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝，则铯137的含量M在t＝30时的瞬时变化率为(　　) A．－10ln 2太贝克/年　 B．300ln 2太贝克/年 C．－300ln 2太贝克/年　 D．10ln 2太贝克/年 A　[依题意，M(t)＝， 所以M′(t)＝ln 2＝ln 2， 所以铯137的含量M在t＝30时的瞬间变化率为M′(30)＝－20×2-1ln 2＝－10 ln 2(太贝克/年)．故选A．] 二、填空题 6．质点M按规律s(t)＝(2t＋1)2 做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，则质点M在t＝2时的瞬时速度为________m/s． 20　[∵s(t)＝(2t＋1)2，∴s′(t)＝2(2t＋1)×2＝8t＋4， 则质点在t＝2时的瞬时速度为s′(2)＝8×2＋4＝20(m/s)．] 7．已知函数f(x)＝ax＋ln (x＋1)，f′(0)＝4，则a＝________． e3　[由题意，得f′(x)＝ax ln a＋，则f′(0)＝ln a＋1＝4，解得a＝e3．] 8．曲线y＝在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． e2　[∵y′＝，∴y′|x＝4＝e2． ∴曲线在点(4，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－4)， 整理得y＝e2x－e2， 切线与坐标轴的交点分别是(0，－e2)，(2，0)， 则切线与坐标轴围成的三角形面积 S＝×|－e2|×|2|＝e2．] 三、解答题 9．求下列函数的导数： (1)y＝(2x＋3)10； (2)y＝e2x+1； (3)y＝ln (3x－2)． [解]　(1)函数y＝(2x＋3)10可以看作y＝u10与u＝2x＋3复合而成，根据复合函数求导法则有 y′x＝y′u·u′x＝(u10)′·(2x＋3)′＝10u9·2＝20(2x＋3)9． (2)函数y＝e2x+1可以看作y＝eu与u＝2x＋1复合而成，根据复合函数求导法则有 y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(2x＋1)′＝eu·2＝2e2x+1． (3)函数y＝ln (3x－2)可以看作y＝ln u与u＝3x－2复合而成，根据复合函数求导法则有 y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(3x－2)′＝·3＝． 10．(多选)下列结论中不正确的是(　　) A．若y＝cos ，则y′＝－sin B．若y＝sin x2，则y′＝2x cos x2 C．若y＝cos 5x，则y′＝－sin 5x D．若y＝x sin 2x，则y′＝x sin 2x ACD　[对于A，y＝cos ，则y′＝sin ，故错误； 对于B，y＝sin x2，则y′＝2x cos x2，故正确； 对于C，y＝cos 5x，则y′＝－5sin 5x，故错误； 对于D，y＝x sin 2x，则y′＝sin 2x＋x cos 2x，故错误．故选ACD．] 11．(多选)曲线y＝e2xcos 3x在点(0，1)处的切线与其平行直线l的距离为，则直线l的方程可能为(　　) A．y＝2x＋6 B．y＝2x－4 C．y＝3x＋1 D．y＝3x－4 AB　[y′＝e2x(2cos 3x－3sin 3x)， ∴y′|x＝0＝2， 则所求的切线方程为y＝2x＋1． 设直线l的方程为y＝2x＋b， 则＝，解得b＝6或－4． ∴直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4．故选AB．] 12．已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x-1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是________． 2x－y＝0　[设x＞0，则－x＜0．因为x≤0时，f(x)＝e－x-1－x，所以f(－x)＝ex-1＋x．又因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝ex-1＋x，f′(x)＝ex-1＋1，f′(1)＝e1-1＋1＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0．] 13．设函数f(x)＝aex ln x＋． (1)求导函数f′(x)； (2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2，求a，b的值． [解]　(1)由f(x)＝aex ln x＋， 得f′(x)＝(aex ln x)′＋′＝aex ln x＋． (2)由于切点既在曲线y＝f(x)上，又在切线y＝e(x－1)＋2上， 将x＝1代入切线方程得y＝2，将x＝1代入函数f(x)的解析式得f(1)＝b，∴b＝2． 将x＝1代入导函数f′(x)的解析式中， 得f′(1)＝ae＝e，∴a＝1，∴a＝1，b＝2． 14．对于y＝ax(a＞0且a≠1)这类函数的求导，可以使用下面的方式进行： 第一步：ln y＝ln ax＝x ln a； 第二步：(ln y)′＝(x ln a)′； 第三步：·y′＝ln a； 第四步：y′＝y·ln a＝ax·ln a． 根据框内的信息，函数y＝xx(x＞0)的导数y′＝________． xx(ln x＋1)　[因为y＝xx，故可得ln y＝x ln x，所以(ln y)′＝(x ln x)′，即·y′＝ln x＋1，所以y′＝y(ln x＋1)＝xx(ln x＋1)．] 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $