5.1.2 第2课时 导数的几何意义-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦导数的几何意义核心知识点，衔接前期瞬时变化率内容，系统阐述导函数概念，区分曲线“在某点”与“过某点”处切线的求法，建立导数正负与函数增减、导数值大小与变化快慢的关联，搭建从概念到应用的学习支架。 资料以问题驱动预习，通过三层探究活动（导数几何意义、函数变化分析、导函数定义）分层突破，典例对比“在某点”和“过某点”切线求解强化逻辑推理，母题探究切线与曲线交点培养数学思维，微提醒标注易错点。课中助力教师分层教学，课后分层作业与回顾问题帮助学生查漏补缺，提升数学运算与建模能力。

第2课时　导数的几何意义 [学习目标]　1．了解导函数的概念，理解导数的几何意义．(数学建模) 2．会求导函数．(数学运算) 3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(数学运算) 4．正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．(逻辑推理、数学运算)． [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．导数的几何意义是什么？ 问题2．如何求曲线上某点处的切线方程？ 问题3．导函数的定义是什么？它与函数在某点处的导数有何关系？ 探究1　导数的几何意义 问题1　在前面的课时中我们已经了解到曲线的切线斜率与函数的瞬时变化率的关系，也知道对于一般的曲线，平均变化率可以代表曲线的割线斜率，那么导数(即瞬时变化率)能代表曲线的切线斜率吗？ [提示]　k＝f′(x0)＝适用于求一般曲线的切线斜率． [新知生成] 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 【教用·微提醒】　(1)由导数定义知切线具有一般性，初中学过的圆的切线不具有一般性，切线与曲线的交点不一定只有1个． (2)切线的斜率k只与横坐标x0有关，与Δx无关． (3)f′(x0)的正负决定增减，|f′(x0)|的大小决定快慢． [典例讲评]　1．已知曲线C：y＝x3． (1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程； (2)求曲线C过点(1，1)的切线方程． [思路导引]　(1) [解]　(1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1，1)． y′|x＝1＝ ＝＝3． ∴k＝y′|x＝1＝3，∴曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0． (2)设切点为Q(x0，y0)，由(1)可知y'＝3，由题意可知kPQ＝y'， 即，又y0＝，所以， 即＋1＝0，解得x0＝1或x0＝－． ①当x0＝1时，切点坐标为(1，1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0． ②当x0＝－时，切点坐标为，相应的切线方程为y＋，即3x－4y＋1＝0． [母题探究]　 本例(1)中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？ [解]　由解得或 从而求得公共点为(1，1)或(－2，－8)，即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一个公共点(－2，－8)． 【教用·备选题】已知抛物线y＝f(x)＝2x2＋1． (1)求抛物线在点P(1，3)处的切线方程； (2)若抛物线在某点处的切线的倾斜角为45°，求该切点的坐标． [解]　(1)因为Δy＝2(1＋Δx)2＋1－2×12－1＝4Δx＋2(Δx)2，所以＝4＋2Δx， 所以切线的斜率为＝4，所以切线的方程为y－3＝4(x－1)，即4x－y－1＝0． (2)设切点坐标为(x0，y0)， 则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－－1， 所以＝4x0＋2Δx， 所以切线的斜率为＝4x0． 又因为切线的斜率k＝tan 45°＝1， 所以4x0＝1，即x0＝， 所以y0＝2×， 所以切点坐标为． 　利用导数的几何意义求切线方程的方法 (1)若已知点(x0，y0)在曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程． [学以致用]　1．已知曲线f(x)＝x3＋ax在x＝1处的切线与直线x＋4y＝0垂直，则实数a＝(　　) A．2　 B．1 C．－1　 D．－2 B　　[f′(1)＝ ＝ ＝＝3＋a． ∵曲线f(x)在x＝1处的切线与直线x＋4y＝0垂直，∴f′(1)·＝(3＋a)·＝－1，解得a＝1．] 探究2　利用导数的几何意义判断函数的变化 问题2　函数的单调性和导数有什么关系？导数值的大小与函数变化的快慢有什么关系？ [提示]　当t＝t0时，函数的图象在t＝t0处的切线平行于t轴，即h′(t0)＝0，这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降． 当t＝t1时，函数的图象在t＝t1处的切线l1的斜率h′(t1)＜0，这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数在t＝t1附近单调递减． 当t＝t2时，函数的图象在t＝t2处的切线l2的斜率h′(t2)＜0，这时，在t＝t2附近曲线下降，即函数在t＝t2附近单调递减． 通过研究t＝t1和t＝t2发现直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线在t＝t1附近比在t＝t2附近下降的缓慢． 同理，t＝t3，t＝t4时都有h′(t)＞0，h(t)在各自附近单调递增，且曲线在t＝t3附近比在t＝t4附近上升的快． [新知生成] 若f′(x0)＝0，则函数的图象在x＝x0处切线的斜率k＝0； 若f′(x0)＞0，则函数的图象在x＝x0处切线的斜率k＞0，则函数在x＝x0附近单调递增，且f′(x0)越大，说明函数图象变化得越快； 若f′(x0)＜0，则函数的图象在x＝x0处切线的斜率k＜0，且函数在x＝x0附近单调递减，且|f′(x0)|越大，说明函数图象变化得越快． 【教用·微提醒】　f′(x0)的正负决定增减，|f′(x0)|的大小决定快慢． [典例讲评]　【链接教材P68例4】 2．(1)已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与 f′(xB) 的大小关系是(　　) A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定 (2)若函数f(x)的导函数在区间[a，b]上单调递增，则函数f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(　　) A　　　　　B　　　　　C　　　　　D (1)B　(2)A　[(1)由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是曲线在点A，B处切线的斜率， 由题图可知f′(xA)<f′(xB)．故选B． (2)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)在[a，b]上单调递增， 若对任意x1和x2满足a<x1<x2<b， 则有f′(a)<f′(x1)<f′(x2)<f′(b)， 根据导数的几何意义，可知函数y＝f(x)的切线的斜率在[a，b]内单调递增， 观察题干图象，只有A符合．] 【教材原题·P68例4】 例4　图5.1－6是跳水运动中某运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11的图象．根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t＝t0，t1，t2附近的变化情况． [解]　我们用曲线h(t)在t＝t0，t1，t2处的切线斜率，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况． (1)当t＝t0时，曲线h(t)在t＝t0处的切线l0平行于t轴，h′(t0)＝0．这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降． (2)当t＝t1时，曲线h(t)在t＝t1处的切线l1的斜率h′(t1)＜0．这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t1附近单调递减． (3)当t＝t2时，曲线h(t)在t＝t2处的切线l2的斜率h′(t2)＜0．这时，在t＝t2附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t2附近也单调递减． 从图5.1－6可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t＝t1附近比在t＝t2附近下降得缓慢． 　导数的几何意义就是函数图象切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决． (1)曲线f(x)在x＝x0附近的变化情况可通过x＝x0处的切线刻画．f′(x0)＞0说明曲线在x＝x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x＝x0附近曲线是上升的；f′(x0)＜0说明在x＝x0附近曲线是下降的． (2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢． [学以致用]　2．已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是(　　) A．f′(1)＜f′(2)＜a B．f′(1)＜a＜f′(2) C．f′(2)＜f′(1)＜a D．a＜f′(1)＜f′(2) B　[由题图可知，函数在区间[0，＋∞)上的增长越来越快，∴f′(1)＜f′(2)，∵＝a，∴通过作切线与割线可得f′(1)＜a＜f′(2)，故选B．] 探究3　导函数(导数) 问题3　由前面所学知识可知，求函数在某一点处的导数，可以发现函数在该点附近的变化，能否通过求导研究函数的整体变化？ [提示]　这涉及函数在任意一点的导数问题，通过f′(x0)＝可知f′(x)＝这就是函数在任意一点的导数，即导函数，它不再是一个唯一确定的数，而是一个函数． [新知生成] 对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝． 【教用·微提醒】　函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)与导函数f′(x)之间的区别与联系： (1)区别：①f′(x0)是在x＝x0处函数值的变化量与自变量的变化量之比的极限，是一个常数，不是变量． ②f′(x)是函数f(x)的导函数，是对某一区间内任意x而言的． (2)联系：函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值． [典例讲评]　3．已知函数y＝f(x)＝x2－x，求： (1)f′(x)； (2)f(x)在x＝1处的导数． [解]　(1)因为Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(Δx)2＋2x·Δx－Δx，所以＝2x＋Δx－， 所以f′(x)＝． (2)由(1)知f′(x)＝2x－，所以f′(1)＝2×1－． 　求导函数的主要步骤 (1)求函数的增量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)； (2)求平均变化率； (3)求极限，即f'(x)＝． [学以致用]　3．(源自北师大版教材)求y＝f(x)＝3x2－x的导数f′(x)，并利用f′(x)求f′(1)，f′(－2)，f′(0)． [解]　Δy＝f(x＋Δx)－f(x) ＝3(x＋Δx)2－(x＋Δx)－(3x2－x) ＝3(Δx)2＋6xΔx－Δx． ＝3Δx＋6x－1． 当Δx趋于0时，得到导数 f′(x)＝＝6x－1． 可得f′(1)＝6×1－1＝5， f′(－2)＝6×(－2)－1＝－13， f′(0)＝6×0－1＝－1． 1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)等于(　　) A．4 B．－4 C．－2 D．2 D　[由导数的几何意义知f′(1)＝2．] 2．(教材P70练习T2改编)函数f(x)的图象如图所示，则(　　) A．f′(1)>f′(2)>f′(3) B．f′(2)>f′(1)>f′(3) C．f′(3)>f′(2)>f′(1) D．f′(3)>f′(1)>f′(2) C　[由题图可知，曲线在点(1，f(1))，(2，f(2))，(3，f(3))处切线的斜率大小关系为k3>k2>k1，故f′(3)>f′(2)>f′(1)．] 3．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么(　　) A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＜0 C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在 B　[由切线方程为x＋2y－3＝0知斜率k＝－，∴f′(x0)＝－＜0．故选B．] 4．已知函数y＝ax2＋b的图象在其上点(1，3)处的切线斜率为2，则a＝________，b＝________． 1　2　[] 1．知识链： 2．方法链：方程思想、数形结合． 3．警示牌：切线过某点，这点不一定是切点． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．f′(x0)是如何反映函数y＝f(x)的图象特征的？ [提示]　曲线的升降、切线的斜率与f′(x0)的关系如下： f′(x0)的 符号 曲线f(x)在x＝x0附近的升降情况 切线的 斜率k 切线的倾斜角 f′(x0)＞0 上升 k＞0 锐角 f′(x0)＜0 下降 k＜0 钝角 f′(x0)＝0 平坦 k＝0 零角(切线与x轴平行) 2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)与导函数f′(x)之间的区别和联系是什么？ [提示]　区别：①f′(x0)是函数f(x)在x＝x0处函数值的变化量与自变量的变化量之比的极限，是一个常数，不是变量； ②f′(x)是函数f(x)的导函数，是对某一区间内任意x而言的，即如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，此时对于每一个x∈(a，b)，都对应着一个确定的导数f′(x)，从而构成了一个新的函数——导函数f′(x)． 联系：函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．这也是求函数在x＝x0处的导数的方法之一． 3．曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线f(x)过点(x0，y0)的切线有什么不同？ [提示]　曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点． 课时分层作业(十四)　导数的几何意义 一、选择题 1．若＝x2，则f(x)的导函数 f′(x)＝(　　) A．2x B．x3 C．x2 D．3x2 C　[由导数的定义可知，f′(x)＝＝x2．] 2．已知函数f(x)满足f′(x1)＞0，f′(x2)＜0，则在x1和x2附近符合条件的f(x)的图象大致是(　　) A　　　　　B　　 　C　　　　　D D　[由f′(x1)＞0，f′(x2)＜0可知，f(x)的图象在x1处切线的斜率为正，在x2处切线的斜率为负．故选D．] 3．如图，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，则f′(4)等于(　　) A． B．3 C．4 D．5 A　[根据导数的几何意义知f′(4)是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线的斜率k，k＝，所以 f′(4)＝．] 4．曲线y＝x3－2在点处的切线的倾斜角为(　　) A． B． C． D． B　[∵y′＝ ＝＝x2， ∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝1， ∴切线的倾斜角为．故选B．] 5．(多选)下列说法正确的是(　　) A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处也可能有切线 B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则 f′(x0) 必存在 C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0)) 处的切线斜率不存在 D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在 AC　[k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只能说明曲线在该点处的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程是x＝x0，故AC正确．] 二、填空题 6．已知曲线y＝f(x)在点(2，1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2＝________． 3　[因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y′|x＝2＝3．] 7．曲线y＝－在点处的切线方程为________． 4x－y－4＝0　[Δy＝－，即y'＝，所以曲线y＝－处的切线斜率k＝y'＝4，所以切线方程是y＋2＝4，即4x－y－4＝0．] 8．已知f(x)＝x2＋ax，f'(1)＝4，曲线f(x)在x＝1处的切线在y轴上的截距为－1，则实数a的值为　　　　．  2　[由导数的几何意义，得切线的斜率k＝f′(1)＝4．又切线在y轴上的截距为－1，所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y＝4x－1，从而可得切点坐标为(1，3)，所以f(1)＝1＋a＝3，即a＝2．] 三、解答题 9．设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，求点P0的坐标． [解]　设P0(x0，y0)． ∵f′(x)＝ ＝ ＝3x2＋1， ∴f′(x0)＝＋1． ∵曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，∴＋1＝4，解得x0＝±1． 当x0＝1时，y0＝0； 当x0＝－1时，y0＝－4． ∴点P0的坐标为(1，0)或(－1，－4)． 10．已知函数f(x)在R上可导，f(x)的图象如图所示，则下列不等式正确的是(　　) A．f′(a)＜f′(b)＜f′(c) B．f′(b)＜f′(c)＜f′(a) C．f′(a)＜f′(c)＜f′(b) D．f′(c)＜f′(a)＜f′(b) A　[如图，分别作曲线在x＝a，x＝b，x＝c三处的切线l1，l2，l3，设切线的斜率分别为k1，k2，k3，易知k1＜k2＜k3，又f′(a)＝k1，f′(b)＝k2，f′(c)＝k3， 所以f′(a)＜f′(b)＜f′(c)．故选A．] 11．已知y＝f(x)＝mx2＋n，且f(1)＝－1，f(x)的导函数f′(x)＝4x，则m＝________，n＝________． 2　－3　[ ＝ ＝mΔx＋2mx， 故f′(x)＝＝2mx＝4x，所以m＝2． 又f(1)＝－1，即2＋n＝－1， 所以n＝－3， 故m＝2，n＝－3．] 12．在曲线y＝x2上某点P处的切线满足下列条件，分别求出点P． (1)平行于直线y＝4x－5； (2)垂直于直线2x－6y＋5＝0； (3)倾斜角为135°． [解]　f′(x)＝ ＝＝2x， 设P(x0，y0)是满足条件的点． (1)∵切线与直线y＝4x－5平行， ∴2x0＝4，得x0＝2，y0＝4，此时切线方程是y－4＝4(x－2)，即y＝4x－4，与直线y＝4x－5平行，∴P(2，4)是满足条件的点． (2)∵切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，∴2x0·＝－1，得x0＝－，即P是满足条件的点． (3)∵切线的倾斜角为135°， ∴其斜率为－1． 即2x0＝－1，得x0＝－， 即P是满足条件的点． 13．点P在曲线f(x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标． [解]　设P(x0，y0)，则y0＝＋1， f′(x0)＝＝2x0， 所以在点P处的切线方程为 y－y0＝2x0(x－x0)， 即y＝2x0x＋1－， 而此直线与曲线y＝－2x2－1相切， 所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点， 由 得2x2＋2x0x＋2－＝0， 则Δ＝－8＝0， 解得x0＝±，则y0＝， 所以点P的坐标为或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $