5.1.1 变化率问题-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦“变化率问题”核心知识点，系统梳理从平均速度到瞬时速度、再到曲线切线斜率的知识脉络，通过问题初探、探究活动、典例讲评、学以致用等学习支架，帮助学生逐步构建变化率概念体系。 以汽车测速等实例驱动学习，通过极限思想实现从平均到瞬时的过渡，培养数学抽象与数学运算核心素养。典例步骤化解析、分层作业设计及知识回顾环节，既辅助教师课堂教学，又助力学生课后查漏补缺，提升用数学语言表达现实问题的能力。

5.1　导数的概念及其意义 5.1.1　变化率问题 [学习目标]　1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程．(数学抽象) 2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(数学运算) 3．理解函数的平均变化率、瞬时变化率及瞬时速度的概念．(数学抽象) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．平均速度的定义是什么？ 问题2．瞬时速度的定义是什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 探究1　平均速度 问题1　某公路上存在一段长为2 km的测速路段，假定测速超过100 km/h即为超速，某汽车用时1.5分钟，它超速了吗？你觉得这种测速的本质是什么？ [提示]　记测速为v，则v＝＝80 km/h，因此它没有超速．这种测速的本质是汽车的平均速度． [新知生成] 1．平均速度：我们把位移s看成关于时间t的函数s＝s(t)，则物体在时间段[t1，t2]上的平均速度＝． 2．物体在某一时段内的平均速度的大小反映了物体运动的快慢． [典例讲评]　1．已知某质点按规律s＝2t2＋2t做直线运动(路程s的单位为m)，求： (1)该质点在前3 s内运动的平均速度； (2)该质点在2 s到3 s这段时间内运动的平均速度． [解]　(1)依题意知Δt＝3，Δs＝s(3)－s(0)＝24， 所以平均速度＝＝＝8(m/s)． (2)由题意知Δt＝3－2＝1，Δs＝s(3)－s(2)＝12， 所以平均速度＝＝＝12(m/s)． 　求物体运动的平均速度的步骤 (1)先计算位移的改变量s(t2)－s(t1)． (2)再计算时间的改变量t2－t1． (3)得平均速度＝． [学以致用]　1．一质点按运动方程s(t)＝2t作直线运动，则其从t1＝1到t2＝2的平均速度为(　　) A．－1 B．－ C．－2 D．2 D　[＝＝＝2．] 探究2　瞬时速度 问题2　区间[t0，t0＋Δt]表示时刻t0和其后某一时刻t0＋Δt，随着Δt的改变，区间变大或变小，如果Δt变成无限接近0的正数，那么我们该如何认识＝呢？ [提示]　用极限思想可以理解为t0时刻的瞬时速度． [新知生成] 1．瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． 2．瞬时速度与平均速度的关系：从物理的角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度． 3．设物体运动的时间与位移的函数关系为s＝s(t)，则物体在t0时刻的瞬时速度为v＝． 【教用·微提醒】　(1)“Δt→0”读作“Δt无限趋近于0”，是指时间间隔越来越短，能越过任意小的时间间隔，即|Δt|要多小就有多小，其含义是可以小于任何预先给定的正数，但Δt始终不能为零． (2)当Δt→0，比值趋近于一个确定的常数时，此常数才称为物体在t＝t0时的瞬时速度． (3)“lim”意为极限，＝l表示当Δt→0时，以常数l为极限． [典例讲评]　2．某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度． [思路导引]　计算物体在[1，1＋Δt](Δt>0)或[1＋Δt，1](Δt<0)内的平均速度计算得t＝1 s时的瞬时速度． [解]　∵＝ ＝＝3＋Δt， ∴＝＝3． ∴物体在t＝1 s处的瞬时变化率为3，即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s． [母题探究]　 1．在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度． [解]　求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度． ∵＝ ＝＝1＋Δt， ∴＝1． 即物体的初速度为1 m/s． 2．在本例条件不变的前提下，试问：物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s? [解]　设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s． ＝＝2t0＋1＋Δt． ＝＝2t0＋1， 则2t0＋1＝9，∴t0＝4， 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s． 　求物体运动的瞬时速度的主要步骤 (1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； (2)求平均速度＝； (3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v，即为瞬时速度，即v＝． [学以致用]　2．一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值． [解]　∵质点M在t＝2附近的平均变化率为 ＝＝＝4a＋aΔt， 又质点M在t＝2时的瞬时速度为8 m/s， ∴＝4a＝8， 即a＝2． 探究3　求曲线在某点处切线的斜率或方程 问题3　在点P0(1，1)的附近任取一点P(x，x2)，考察抛物线f(x)＝x2的割线P0P有什么变化趋势？ [提示]　当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置． [新知生成] 1．切线的斜率：当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在点P0(x0，f(x0))处的切线，则切线P0T的斜率k0＝． 2．切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T．这时，割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0． 【教用·微提醒】　(1)不管点P在点P0左侧附近，还是右侧附近，割线P0P的斜率k的表达式是一样的． (2)极限的几何意义：曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率． [典例讲评]　3．求抛物线f(x)＝x2－2x＋3在点(1，2)处的切线方程． [解]　由 ＝＝Δx， 可得切线的斜率k＝＝0． 所以切线的方程为y－2＝0×(x－1)，即y＝2． 　求函数y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率的三个步骤 [学以致用]　3．求抛物线f(x)＝x2－x在点(2，2)处的切线方程． [解]　f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)2－(2＋Δx)－2 ＝3Δx＋(Δx)2， 所以切线的斜率k＝ ＝＝＝3． 则切线方程为y－2＝3(x－2)，即3x－y－4＝0． 【教用·备选题】曲线y＝在x＝x0处的切线方程为x－y＋c＝0，求x0与c． [解]　Δy＝ ＝． 由于切线x－y＋c＝0的斜率为1， 所以1＝＝＝， 解得x0＝－2． 当x0＝－2时，y0＝＝1， 所以－2－1＋c＝0，解得c＝3． 故所求x0＝－2，c＝3． 1．如图是某物体运动的位移s关于时间t的函数图象，则该物体在A，B两点间的平均速度等于(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 B　[由题意得，平均速度为＝－1．] 2．(教材P61练习T1改编)若质点A按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为 (　　) A．6 B．18 C．54 D．81 B　[由题可得＝ ＝＝18．故选B．] 3．物体自由落体的运动方程为s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2． 若v＝＝9.8 m/s，那么下列说法中正确的是(　　) A．9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速度 B．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速度 C．9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的瞬时速度 D．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速度 C　[当Δt趋近于0时，平均速度趋于该时刻的瞬时速度．] 4．(教材P64练习T1改编)若抛物线f(x)＝4x2在点(x0，f(x0))处切线的斜率为8，则x0＝________． 1　[k＝＝＝8x0＝8，解得x0＝1．] 1．知识链： 2．方法链：定义法、极限思想． 3．警示牌：对割线的斜率与切线的斜率之间的关系理解不到位． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．你理解的平均速度和瞬时速度有什么区别和联系？ [提示]　区别：瞬时速度是刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关． 联系：瞬时速度是平均速度在变化时间趋近于0时的极限值． 2．曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率反映了函数什么样的实质？ [提示]　曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率反映了函数图象在该点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况． 3．求曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线方程的步骤是什么？ [提示]　①求斜率： k＝； ②写方程：用点斜式y－f(x0)＝k(x－x0)写出切线方程； ③变形式：将点斜式变为一般式． 课时分层作业(十二)　变化率问题 一、选择题 1．已知某质点位移的方程是s(t)＝2＋，当t由1变到2时，其位移的增量Δs等于(　　) A． B．－ C．1 D．－1 B　[Δs＝－(2＋1)＝－．] 2．某物体运动的位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5－2t2，则该物体在时间[1，2]上的平均速度为(　　) A．－6 m/s B．2 m/s C．－2 m/s D．6 m/s A　[平均速度＝＝－6．故选A．] 3．一质点运动规律是s(t)＝t2＋3(s的单位为m，t的单位为s)，则在t＝1 s时的瞬时速度是(　　) A．1 m/s B．2 m/s C．3 m/s D．4 m/s B　[∵Δs＝s(1＋Δt)－s(1)＝(1＋Δt)2＋3－(12＋3)＝2Δt＋(Δt)2， ∴＝＝2＋Δt， ＝＝2． 故质点在t＝1 s时的瞬时速度是2 m/s．] 4．设函数f(x)＝x(x－6)，则此函数的图象在x＝0处的切线斜率为(　　) A．0 B．－1 C．3 D．－6 D　[＝＝Δx－6，则切线斜率k＝＝＝－6．] 5．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 A　[由题意可知 k＝＝1， 解得a＝1，又(0，b)在切线上，∴b＝1．] 二、填空题 6．如图，已知曲线y＝x2，P(0.4，0.16)是曲线上的一点，Q是曲线上点P附近的一个点，设点Q的横坐标为x，则割线PQ的斜率是________(用含x的式子表示)． x＋0.4　[由题知Q(x，x2)， P(0.4，0.16)，所以割线PQ的斜率kPQ＝＝x＋0.4．] 7．一物体做直线运动，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________． 3　[＝＝3．] 8．一质点的运动规律是s＝2t2－t，则它在t∈[1，2]的平均速度比在t∈[2，3]的平均速度________(填快或慢)． 慢　[＝＝＝5， ＝＝＝9，故＜， 所以在t∈[1，2]时的平均速度比在t∈[2，3]时的平均速度慢．] 三、解答题 9．某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝sin t，t∈． (1)分别求物体在区间和上的平均速度； (2)比较(1)中两个平均速度的大小，说明其几何意义． [解]　(1)物体在区间上的平均速度＝＝＝． 物体在区间上的平均速度 ＝＝＝． (2)由(1)可知－＝＞0，所以＜． 作出函数s(t)＝sin t在上的图象，如图所示，可以发现，在上，随着t的增大，函数值s(t)变化得越来越慢． 10．某做直线运动的物体从时刻t到t＋Δt的位移为Δs，那么为(　　) A．从时刻t到t＋Δt物体的平均速度 B．从时刻t到t＋Δt位移的平均变化率 C．当时刻为Δt时该物体的速度 D．该物体在t时刻的瞬时速度 D　[根据题意，做直线运动的物体，从时刻t到t＋Δt的这段时间里，时间的改变量为Δt，而物体的位移为Δs，那么为该物体在t时刻的瞬时速度．故选D．] 11．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于(　　) A．1 B． C．－ D．－1 A　[因为 ＝＝＝2a， 所以2a＝2，所以a＝1．故选A．] 12．一质点按照运动规律s＝2t2－t运动，其中s表示位移(单位：m)，t表示时间(单位：s)，则质点在[2，2＋Δt]这段时间内的平均速度是________m/s，在t＝2时的瞬时速度是________m/s． 7＋2Δt　7　[由题意得，平均速度＝ ＝ ＝＝7＋2Δt， 瞬时速度v＝＝7．] 13．若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，抛物线在点P处的切线恰好过坐标原点，求c的值． [解]　设抛物线在点P处的切线斜率为k，则 k＝＝－5， 所以切线方程为y＝－5x，所以点P的纵坐标为y＝－5×(－2)＝10，将点P(－2，10)代入y＝x2－x＋c，得c＝4． 14．若一物体运动的位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的函数关系为s(t)＝ 求：(1)物体在[3，5]内的平均速度； (2)物体的初速度v0； (3)物体在t＝1时的瞬时速度． [解]　(1)因为物体在[3，5]内的时间变化量Δt＝5－3＝2，物体在[3，5]内的位移变化量Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物体在[3，5]内的平均速度为＝＝24(m/s)． (2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度． 因为＝ ＝＝3Δt－18，所以物体在t＝0时的瞬时速度为＝＝－18，即物体的初速度为－18 m/s． (3)因为＝ ＝＝3Δt－12，所以物体在t＝1时的瞬时速度为＝－12，即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $