第10讲 变化率问题 讲义-2026年高二寒假数学人教A版选择性必修第二册

第10讲变化率问题（预习） 知识点1：平均变化率 变化率问题 知识点2：瞬时变化率 01思维导图 02知识梳理 知识点1：平均变化率 一yf) f() 1.函数平均变化率的概念 f()-f(x) f(x) 上年年无年象年年年年年年 函数y=f(x)从x到x,的平均变化率 X3X ◇定义式： △y=f,)-fx) Ax X2-X1 ◇实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比. f B-y=f(x) 女意义：刻画函数值在区间x,x,】上变化的快慢， fuf() f(x 女平均变化率的几何意义： 设A(x,f(x),B(x2,f(x)》是曲线y=f(x)上任意不同的两点，如图， △y=,)-f_BC=tan∠BAC,平均变化率的几何意义就是曲线上两点对应割线AB的斜率， △x x2-x1 AC 【注意】△x是变量x,在x处的改变量，且x2是x附近的任意一点，即△x=2一x,0,但△x可以为正， 第1页共11页 也可以为负. 2.求平均变化率的步骤： ①求函数值的改变量△y=f(x2)-f(x,); ②求自变量的改变量△x=x2一x; ③求平均变化率 △y-f(x)-f(x) △x X2-X1 知识点2：瞬时变化率 1.瞬时变化率的概念 函数y=∫(x)在x=x。处的瞬时变化率 定义式 lim f(x。+△x)-f(x) r △x 实质 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值 作用 刻画函数在某一点处变化的快慢 2.求瞬时变化率的一般步骤： ①求函数的增量：△y=f(x,+△x)-f(x); ②求平均变化率： △y_f(x+△x)-f(x) △x △x ③求极限，得瞬时变化率： △y f(x,+△)-f(x) lim =lim Ax0△x △x 03 考点突破 考点一平均变化率 【例1】函数y=f(x)的图象如图，则函数y=f(x)在下列区间上平均变化率最大的是() 第2页共11页 2 34 A[1,2] B.[2,3] c.[3,4] D.[4,7] 答案：C 解析：由题图可知，在区间3,4上，函数的图象最陆，即y最大，所以函数y=f()在区间3,4上的 △x 平均变化率最大.故选C 【变式1】（多选题）如图显示物体甲、乙在时间O到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是() S S 30 A.在O到t。范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B.在O到t。范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度 C.在t。到t,范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D.在t。到t,范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 【答案】BC 【详解】在0到。范围内，甲、乙的平均速度都为下=。，故A错误B正确：在，到5范围内，甲的平均 to 速度为，乙的平均速度为，因为5，-5，>-。>0,6-，>0，所以>二，故C正 t-to t-to ”t-to4-to 确，D错误，故选：BC. 第3页共11页 【例2】已知函数f(x=2x2-x+1,则f(x)从1到1+△x的平均变化率为() A.2 B.2△x+3 C.2(△x)2+3△x D.2(△x)2-△x+1 答案：B 解析：函数f(x=2x2-x+1从1到1+△x的平均变化率为 f1+△x-f0_[20+AP-1+A+]-(2-1+1-2Ar+3藏适：B △x △x 【变式2-1】设函数y=f(x),当自变量x由x改变到太+△x时，函数的增量△y为() A.f(x+△x)B.f(x)+△xC.f(xo)△xD.f(x+△x)-f(xo) 【答案】D【解析】由公式△y=f(x,+△x)-f(x)可得，故选D。 【变式2-2】函数y=2x2-4在区间[1,1+△x上的平均变化率为 答案：4+2△x 解析：y-20+△-4-2×+4_4Ar+2(△=4+2Ax. △x △x △x 【变式2-3】已知函数f(x)=x2+2,则该函数在区间1,3上的平均变化率为() A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A 【解析】因为函数∫(x=x2+2, 所以该函数在区间[1,3到上的平均变化率为③)-_3+2-+2)=4，故选：A 3-1 2 【变式2-4】若函数f(x=x2-m2在区间[2，上的平均变化率为5，则t等于() A.5 B.2 C.3 D.1 第4页共11页 【答案】C 【解析】因为函数f(x)=x2-m2在区间2，上的平均变化率为5， 所以4y-m）2-m）-5,解得：1=3或1=2 △x t-2 因为区间[2，，所以t>2,所以1=3.故选：C 【例3】过曲线y=2上两点(0,1)，(L,2)的割线的斜率为 答案：1 解析：由过曲线y=2上两点(0，)，(1,2)的割线的斜率k即为两点连线的直线的斜率，则k= 2-1=1 1-0 故答案为1. 【变式3】过曲线y=x2上两点A(2,4)和B2+△x,4+△y)作割线，当△x=0.1时，割线AB的斜率为 【答案】4.1 【详解】k_△r+2-2_A+4A-A+4,所以当Ar=01时，AB的斜率为4 △x △x △x 考点二瞬时变化率 【例4】设f(x)=x3-8x,则1im f(2+△x)-f(2)=( △r-→0 △x A.-4 B.-8 C.4 D.8 【答案】C 【解析】f2=imf2+A)）-f②=im2+△x-82+A)-8-16= △x Ar→0 △x 第5页共11页 lim 8+4Ar+8Ar+4Ar2+2Ar+△r2-8-8Ar=1im4Ar+6Ar+A=im(4+6Ax+Ar)=4, Ar0 △x △x 故选：C 【变式41】某直线运动的物体从时刻t到1+A1的位移为A,那么1imA为) △1→0△t A.从时刻t到t+△t物体的平均速度 B.从时刻t到t+△t位移的平均变化率 C.当时刻为△时该物体的速度 D.该物体在t时刻的瞬时速度 答案：D 解析：根据题意，直线运动的物体，从时刻t到t+△t时，时间的变化量为△1，而物体的位移为△s，那 么li △s为该物体在t时刻的瞬时速度.故选：D △1-→0△t 【变式4-2】在高台跳水运动中s时运动员相对于水面的高度（单位：m)是h(t)=-4.92+6.51+10,则 高台跳水运动中运动员在1=2s时的瞬时速度是() A.-3.3 B.-13.1 C.13.1 D.3.3 【答案】B 【详解】由h(t)=-4.912+6.51+10,得h()=-9.8t+6.5,当t=2时，h(2)=-9.8×2+6.5=-13.1, 所以高台跳水运动中运动员在t=2s时的瞬时速度-13.1，故选：B 【变式4-3】若一物体的运动方程如下：（位移s的单位：m,时间t的单位：s 312+2,t23, S= 求： 29+3(t-3)2,0≤t<3. (1)物体在[3,5内的平均速度： (2)物体的初速度%： (3)物体在t=1时的瞬时速度 第6页共11页 (1)答案：24m/s 解析：因为物体在3,5内的时间变化量为△t=5-3=2s, 物体在[3,5]内的位移变化量为△r=3×52+2-(3×32+2=3×52-32)=48m, △s_48=24m/s 所以物体在[3,5内的平均速度为°= △t2 (2)答案：-18m/s 解析：求物体的初速度6，即求物体在t=0时的瞬时速度 因为A-$0+A)-s0_29+30+△)-3-29-3×0-3=3A1-18, △t △t △t △S 所以物体在t=0处的瞬时速度为lim°=lim(3△t-18)=-18m/s. △1→0△t△1→0 即物体的初速度为-18m/s. (3)答案：-12m/s 解折：因为A=$0+A）-s0.29+30+△)-3-29-3x1-3》=341-12. △t △t △t 所以函数在1=1处的瞬时速度为1imA=im(3△1-12)=-12m/s. 41-→0△t△1→0 即物体在t=1时的瞬时速度为-12m/s. 04课堂练习 1.函数y=f(x,自变量x由x改变到x。+k△x(k为常数)时，函数的改变量△y为(). 第7页共11页 A.f(x+k△x)B.f(xo)+k△xC.f(x)·kAxD.fx,+k△x-fxo 【答案】D 【详解】由变化率的关系，△y=f(x,+kAx)-f(x,)故选：D. 2.函数f(x)=x2-sinx在[0，π]上的平均变化率为() A.1 B.2 C.π D.π2 【答案】C 【详解】平均变化率为-0-元=元故选：C π-0 3.（多选题)设函数y=f(x),当自变量x由x变化到x。+△x时，下列说法正确的是() A.△x可以是正数也可以是负数，但不能为0 B.函数值的改变量△y为f(x,+△x)-f(x) C.函数f(x)在[x,x,+△x]上的平均变化率为f(x,)△x D.函数f()在[，，+△r上的平均变化率f。+△)-) 【答案】ABD 【详解】由平均变化率的定义可知自变量的改变量不能为零，可以为正数或负数，函数值的改变量△y为 f(x。+△x)-f(x),平均变化率为函数值的改变量比自变量的改变量，即A、B、D正确；故选：ABD 0 4.函数y=x2-2x+3在2到2之间的平均变化率为 【答案】号 9 9 【详解】业= C-229故答空了 4 △x 第8页共11页 32+2,0,t<3 5.已知某物体的运动方程是= 29+31-3)2,123,则该物体在1=1时的瞬时速度为 ;在t=4 时的瞬时速度为 【答案】66 【分析】由平均变化率的物理意义计算。 【详解】当t=1时，△s=31+△t)2+2-3×12-2 =3(△t)2+6△1， :△s=3△1+6，六1imA=6,即当t=1时的瞬时速度为6 At △1→0△t 当t=4时，△s=29+3(4+△t-3)2-29-3(4-3)2=3(△t)2+6△t, 38+6,一m公=6，即当1=4时的树时速度为6故答案为：6：6 △S △t 05 课后巩固 1.函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于() A B.1 C.2 D.2 3 【答案】C 【解析】因为△y=f2)-f(0)=4,△x=2-0=2, 所以Ay-f2)-0-2,即函数=x在区间0,2上的平均变化率为2：故选：C △x 2-0 2.己知函数f(x)=x2+3,则在以3和3+△x为端点闭区间上的平均变化率为() 9 A.6+△x B.6+△x+- C.3+△x D.9+△x △x 【答案】A 【解析】f(3)=32+3=12,f(3+△x)=(3+△x)2+3=(△x)2+6△r+12, :该函数在区间3,3+41上的平均变化率为：fB+△)-f3③).A+6Ar=Ar+6,故选：A. 3+△x-3 △x 第9页共11页 3.在下列函数中，从X到x,x<x,)的平均变化率为定值的是() A.f(x)=2x+1 B.f(x=2x2+1 C.f(x)=x2 D.f(x)=2sin x 【答案】A 【解析】对于A,平均变化率-_25+1-2x-12,A正确， X2-x X2-x1 对于B,平均变化幸-f八_2+1-2-1=26+x),不是定值，B错误： x2-X1 X2-x1 对于C,平均变化率f-f八-- =为+x,不是定值，C错误； X2一X X2-X1 对于D,平均变化率f)-f_2sin-2sim,不是定值，D错误故选：A X2-X1 x2-X1 4.函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于当x=m时的瞬时变化率，则m=（) A B.1 C.2 D. 2 2 答案：B 解析：函数f)=亡在区间0,2]上的平均变化率为f(2)-0=4-0=2.当d→0 2-0 2-0 时，m+d）-fm）=d+2m→2m,即f)=在x=m时的瞬时变化率为2m所 d 以2=2m,解得m=1.故选B. 5.(多选题)在高台跳水运动中，s时运动员相对于水面的高度（单位：）是 h(t)=-4.9t2+6.5t+10,判断下列说法正确的是() A.运动员在1=1s时的瞬时速度是3.3m/s B.运动员在t=1s时的瞬时速度是-3.3m/s C,运动员在t=1s附近以3.3m/s的速度上升 D.运动员在t=1s附近以3.3m/s的速度下降 答案：BD 解析：由己知，h(1)=-4.9+6.5+10=11.6, t=1s 的 瞬 时 速 度 为 △h -4.91+△t)2+6.5(1+△t)+10-11.6 lim- lim =lim(-4.9△t-3.3)=-3.3, △-→0△tA-0 △t △10 因此该运动员在t=1s附近以3.3m/s的速度下降，故选：BD 6.己知函数y=f(x),其中f(x)=x2-1,此函数在区间1，m上的平均变化率为3，则实数m的值为 第10页共11页第10讲变化率问题（预习） 知识点1：平均变化率 变化率问题 知识点2：瞬时变化率 01 思维导图 02知识梳理 知识点1：平均变化率 -y= f 1.函数平均变化率的概念 f()-f(x) f(x) 函数y=f(x)从x到x,的平均变化率 ◆定义式： △y=fx)-f(x) △xx2-x1 0 X: ◇实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比. y个 ◇意义：刻画函数值在区间x,x2]上变化的快慢. f(:) B-y=f() fu-f(x) f ◇平均变化率的几何意义： A xX 设A(x,f(x),B(x2,f(x2)是曲线y=f(x)上任意不同的两点，如图， △y=f(x)-f(x)_BC △x x2-X AC =tan∠BAC,平均变化率的几何意义就是曲线上 两点对应割线AB的斜率。 【注意】△x是变量x在x处的改变量，且七，是x,附近的任意一点，即△x=X2一x0,但△x可以为正， 也可以为负 第1页共8页 2求平均变化率的步骤： ①求函数值的改变量△y=f(x2)-f(x); ②求自变量的改变量△x=x2一x: ③求平均变化率 △y=fx)-fx) △r X2-X1 知识点2：瞬时变化率 1.瞬时变化率的概念 函数y=∫(x)在x=x,处的瞬时变化率 定义式 △y lim lim f(x,+△x)-f(xo) △x→0△x△xr→0 △x 实质 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值 作用 刻画函数在某一点处变化的快慢 2.求瞬时变化率的一般步骤： ①求函数的增量：△y=f(x,+△x)-f(x): ②求平均变化率： △y=fx,+△)-f(x) Ar △x ③求极限，得瞬时变化率：lim Ay-lim f(x,+△r)-f(xo) Ar-0△rAr0 △x 03 考点突破 考点一平均变化率 【例1】函数y=f(x)的图象如图，则函数y=f(x)在下列区间上平均变化率最大的是() 第2页共8页 A[1,2] B.[2,3] c.[3,4 D.[4,7] 【变式1】（多选题）如图显示物体甲、乙在时间O到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是() A.在O到t。范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 S S2 B.在O到t。范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度 S1------ So C.在t。到t,范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D.在t。到t,范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 【例2】已知函数f(x)=2x2-x+1,则f(x)从1到1+△x的平均变化率为() A.2 B.2△x+3 C.2(△x)2+3△x D.2(△x)2-△x+1 【变式2-1】设函数y=f(x),当自变量x由七改变到+△x时，函数的增量△y为() A.f(x,+△x) B.f(x)+△x C.f(x)△xD.f(x+△x)-f(x) 【变式2-2】函数y=2x2-4在区间[1,1+△x上的平均变化率为 第3页共8页 【变式2-3】已知函数f(x)=x2+2,则该函数在区间[1,3]上的平均变化率为() A.4 B.3 C.2 D.1 【变式2-4】若函数f(x)=x2-m2在区间[2，上的平均变化率为5，则t等于() A.5 B.2 C.3D.1 【例3】过曲线y=2上两点(0,1)，(L,2)的割线的斜率为 【变式3】过曲线y=x2上两点A2,4和B(2+△x,4+△y)作割线，当△x=0.1时，割线AB的斜率为 考点二瞬时变化率 【例4】设f(x)=x3-8x,则lim f(2+△x)-f(2)=() △r→0 △x A.-4 B.-8 C.4 D.8 【变式4-1】某直线运动的物体从时刻t到t+△t的位移为△s,那么lim △s为() △1→0△t A.从时刻t到t+△t物体的平均速度 B.从时刻t到t+△t位移的平均变化率 第4页共8页 C.当时刻为△1时该物体的速度 D.该物体在t时刻的瞬时速度 【变式4-2】在高台跳水运动中s时运动员相对于水面的高度（单位：m)是h(t)=-4.92+6.51+10,则 高台跳水运动中运动员在1=2s时的瞬时速度是() A.-3.3 B.-13.1 C.13.1 D.3.3 【变式4-3】若一物体的运动方程如下：（位移s的单位：m,时间t的单位：s 3t2+2,t≥3， S 求： 29+3t-3)2,0≤t<3. (1)物体在[3,5内的平均速度： (2)物体的初速度： (3)物体在t=1时的瞬时速度， 第5页共8页 04 课堂练习 1.函数y=f(x,自变量x由x改变到x。+k△x(k为常数)时，函数的改变量△y为(). A.f(x+k△x)B.f(x)+k△xC.f(x)k△xD.fx+k△x-fxo) 2.函数f(x)=x2-sinx在[0，π上的平均变化率为() A.1 B.2 C.π D.π2 3.(多选题)设函数y=f(x),当自变量x由x变化到x。+△x时，下列说法正确的是() A.△x可以是正数也可以是负数，但不能为0 B.函数值的改变量△y为f(x,+△x)-f(x,) C.函数f(x)在[x,x,+△x]上的平均变化率为f(x)△x D.函数f(x)在[x,,+△x]上的平均变化率+△)-f) △x 第6页共8页 4函数y=x2-2x+3在2到？之间的平均变化率为. 3t2+2,0.t<3 5.已知某物体的运动方程是S= 29+30-3》,13’则该物体在1=1时的瞬时速度为 一；在 t=4时的瞬时速度为 05课后巩固 1.函数f(x)=x2在区间[0,2上的平均变化率等于() A. B.1 C.2 D.3 2.已知函数f(x)=x2+3,则在以3和3+△x为端点闭区间上的平均变化率为() 9 A.6+△x B.6+△x+ C.3+△x D.9+△x △x 3.在下列函数中，从x到x,x1<x,)的平均变化率为定值的是() A.f (x)=2x+1 B.f(x=2x2+1 C.f(x)=x2 D.f(x)=2sin x 4.函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于当x=m时的瞬时变化率，则m=() 第7页共8页 B.1 C.2 D 5.（多选题)在高台跳水运动中，s时运动员相对于水面的高度（单位：）是 h(t)=-4.92+6.51+10,判断下列说法正确的是() A运动员在t=1s时的瞬时速度是3.3m/s B.运动员在t=1s时的瞬时速度是-3.3m/s C.运动员在t=1s附近以3.3m/s的速度上升 D.运动员在t=1s附近以3.3m/s的速度下降 6.已知函数y=f(x),其中f(x)=x2-1,此函数在区间1，m上的平均变化率为3，则实数m的值为 7.已知函数f八刘=1，则m f1+△)-f但 △x 第8页共8页