4.2 探究课 斐波那契数列的常见性质-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

本高中数学讲义聚焦斐波那契数列核心知识点，从兔子繁殖问题抽象出递推公式，系统梳理求和（前n项和、奇/偶项和）及平方和性质，通过推导证明构建知识链，形成从模型到应用的学习支架。 资料以现实问题引入培养数学眼光，通过裂项相消等推理过程发展数学思维，结合典例练习强化数学语言表达。课中辅助教师清晰呈现性质推导，课后助力学生自主复习证明过程，有效查漏补缺。

　斐波那契数列的常见性质 1．数列的数学模型 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，其中从第3项起，每一个数都等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{Fn}称为“斐波那契数列”，递推公式：F1＝1，F2＝1，Fn＝Fn-1＋Fn-2(n>2)． 2．斐波那契数列的性质 (1)求和问题：①Sn＝an+2－1． ②a1＋a3＋a5＋…＋a2n-1＝a2n． ③a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝a2n+1－1． 证明：①Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an-1＋an＝(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋…＋(an+1－an)＋(an+2－an+1)＝an+2－a2＝an+2－1，即Sn＝an+2－1． ②由a1＝a2，a3＝a4－a2，a5＝a6－a4，…，a2n-1＝a2n－a2n-2，可得a1＋a3＋a5＋…＋a2n-1＝a2n． ③由a2＝a3－a1，a4＝a5－a3，…，a2n＝a2n+1－a2n-1，可得a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝a2n+1－a1＝a2n+1－1． (2)平方和问题：＝anan＋1，即＝anan＋1． 证明：斐波那契数列总有an+2＝an+1＋an，则＝a2a1， ＝a2(a3－a1)＝a2a3－a2a1， ＝a3(a4－a2)＝a3a4－a2a3， …， ＝an(an+1－an-1)＝anan+1－anan-1， 所以＋…＋＝anan+1， 即＝anan＋1． [典例]　(1)(多选)已知数列{an}为斐波那契数列，Sn为其前n项和，则下列结论正确的是 (　　) A．a6＝8 B．S9＝54 C．a1＋a3＋a5＋…＋a2 025＝a2 026 D．＝a2 026 (2)同学们都有这样的解题经验：在某些数列的求和中，可把其中一项分裂成两项之差，使得某些项可以相互抵消，从而实现化简求和．“斐波那契数列”是数学史上一个著名的数列，这个数列中的每一项称为“斐波那契数”．在斐波那契数列{an}中，a1＝1，a2＝1，an-2＋an-1＝an(n≥3)．若a2 026＝a，那么数列{an}的前2 024项的和为　　　　．  (1)ACD　(2)a－1　[(1)对于A，写出数列的前6项为1，1，2，3，5，8，故A正确；对于B，S9＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＋21＋34＝88，故B错误；对于C，由性质a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝a2n，故C正确；对于D，由性质＝anan＋1，故D正确． (2)由a1＝a1，a2＝a3－a1，a3＝a4－a2，a4＝a5－a3，…，a2 024＝a2 025－a2 023，可得a1＋a2＋a3＋…＋a2 024＝a2 024＋a2 025－a2＝a2 026－1＝a－1．故数列{an}的前2 024项的和为a－1．] 斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，这就是著名的斐波那契数列．那么a1＋a3＋a5＋…＋a2 025是斐波那契数列中的第________项． 2 026　[由a1＝a2，a3＝a4－a2，a5＝a6－a4，…，a2 025＝a2 026－a2 024，可得a1＋a3＋a5＋…＋a2 025＝a2 026，故a1＋a3＋a5＋…＋a2 025是斐波那契数列中的第2 026项．] 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $