4.1 第2课时 数列的递推公式及前n项和-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦数列的递推公式及前n项和核心知识点，从递推公式的含义切入，通过钢管堆放实例建立概念，衔接累加法、累乘法求通项公式的方法，再延伸至an与Sn关系的应用，构建“概念引入-方法探究-综合应用”的学习支架。 资料以问题驱动和实例分析为特色，用钢管堆放情境引导学生用数学眼光观察递推规律，累加法累乘法推理过程培养数学思维，典例链接教材且设置分层作业。课中助力教师引导探究，课后帮助学生巩固提升，有效查漏补缺。

第2课时　数列的递推公式及前n项和 [学习目标]　1．理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项．(数学运算) 2．会用累加法、累乘法由递推公式求通项公式．(逻辑推理、数学运算) 3．会用an与Sn的关系求通项公式．(逻辑推理、数学运算) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．递推公式的含义是什么？ 问题2．一般的数列{an}，该如何表示其前n项和？ 探究1　数列的递推公式 问题1　观察钢管堆放示意图，寻求规律，建立数学模型． 自上而下，第1层钢管数为4，第2层钢管数为5，第3层钢管数为6，第4层钢管数为7，第5层钢管数为8，第6层钢管数为9，第7层钢管数为10．若用an表示钢管数，n表示层数，则可得出各层的钢管数为一个数列，且an＝n＋3(1≤n≤7，n∈N*)，那么相邻两层的钢管数之间有没有关系？即an+1与an有没有关系？ [提示]　有，an+1＝an＋1(1≤n≤6，n∈N*)． [新知生成] 递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 【教用·微提醒】　(1)与数列的通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式． (2)数列的通项公式和递推公式是给出数列的两种不同表示方法，但它们的用途一致，都能确定一个数列． [典例讲评]　1．(1)(多选)下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是(　　) A．an＋1＝an＋n，n∈N* B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2 C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N* D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2 (2)【链接教材P6例5】若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N*，求a6． (1)BC　[结合图形易知a1＝1，a2＝3＝a1＋2，a3＝6＝a2＋3，a4＝10＝a3＋4， ∴an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2或者an＋1＝an＋n＋1，n∈N*．] (2)[解]　a2＝＝－3， a3＝， a4＝， a5＝＝2， a6＝＝－3． 【教材原题·P6例5】 例5　已知数列{an}的首项为a1＝1，递推公式为an＝1＋(n≥2)，写出这个数列的前5项． [解]　由题意可知 a1＝1， a2＝1＋＝2， a3＝1＋， a4＝1＋， a5＝1＋． 【教用·备选题】设数列{an}满足a1＝(n＝1，2，3，…)，写出这个数列的前5项． [解]　由题意，a1＝． 　根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若已知首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若已知末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式；若项数很大，则应考虑数列的周期性． [学以致用]　1．(1)在数列{an}中，a1＝－2，an＋1＝1－，则a2 025的值为________． (2)(源自人教B版教材)分别写出下列数列{an}的一个递推关系，并求出各个数列的第7项． ①1，2，4，7，11，…； ②－1，2，5，8，11，…； ③1，－2，4，－8，16，…． (1)　[由已知得a2＝1－， a4＝1－，…，an＋3＝an， 所以数列{an}是以3为周期的周期数列， 故a2 025＝a3×675＝a3＝．] (2)[解]　①因为a2－a1＝2－1＝1， a3－a2＝4－2＝2， a4－a3＝7－4＝3， a5－a4＝11－7＝4， 所以an＋1－an＝n， 即an＋1＝an＋n． 从而a6＝a5＋5＝11＋5＝16，a7＝a6＋6＝16＋6＝22． ②因为a2－a1＝a3－a2＝a4－a3＝a5－a4＝3， 所以an＋1－an＝3， 即an＋1＝an＋3． 从而a7＝a6＋3＝a5＋3＋3＝11＋6＝17． ③因为＝－2， 所以＝－2． 即an＋1＝－2an． 从而a7＝(－2)a6＝(－2)2a5＝(－2)2×16＝64． 探究2　an与Sn的关系 问题2　如果我们把数列{an}的前n项加在一起的和记作Sn，那么你能用它表示a4吗？a5＋a6＋a7怎么表示？an呢？ [提示]　a4＝S4－S3，a5＋a6＋a7＝S7－S4， an＝ [新知生成] 1．数列{an}的前n项和：把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an． 2．数列的前n项和公式：如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式． 3．数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为an＝ 【教用·微提醒】　由Sn求an，应分n＝1与n≥2两种情况，分别进行计算后，再验证两种情形可否用统一的式子表示．若不能，则用分段函数的形式表示． [典例讲评]　2．已知Sn为数列{an}的前n项和，根据条件求{an}的通项公式． (1)Sn＝3n－7； (2)Sn＝2n2－30n． [解]　(1)当n＝1时，a1＝S1＝－4， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－7－(3n-1－7)＝2×3n-1，显然a1＝－4不适合上式， 所以an＝ (2)因为Sn＝2n2－30n， 所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32． 显然a1＝－28适合上式，所以an＝4n－32，n∈N*． [母题探究]　将本例(1)中的条件改为“已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n2(n∈N*)”，其他条件不变，求数列{an}的通项公式． [解]　由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n2，① 当n≥2时，可得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)·an－1＝(n－1)2，② 所以由①－②得nan＝n2－(n－1)2＝2n－1， 即an＝2－(n≥2)， 当n＝1时，a1＝1也满足上式， 所以an＝2－(n∈N*)． 　由Sn求通项公式an的步骤 (1)当n＝1时，a1＝S1． (2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1． (3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；否则数列{an}的通项公式要分段表示为an＝ [学以致用]　2．已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)，且a1＝2，则数列{an}的通项公式为________． an＝2n　[因为2Sn＝(n＋1)an，n∈N*， 所以2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，n∈N*， 两式相减得2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an， 整理得nan＋1＝(n＋1)an， 得，n∈N*，所以为常数列， 所以＝2，所以an＝2n．] 探究3　利用递推公式求通项公式 [典例讲评]　3．(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋，则an＝(　　) A． B． C． D． (2)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an(n∈N*)，则an＝(　　) A．n＋1 B．n C． D． (1)B　(2)D　[(1)法一(归纳法)：数列的前5项分别为 a1＝1，a2＝1＋1－， a3＝， a4＝， a5＝， 又a1＝1， 由此可得数列的一个通项公式为an＝． 法二(迭代法)：a2＝a1＋1－， a3＝a2＋，…， an＝an－1＋(n≥2)， 则an＝a1＋1－(n≥2)． 又a1＝1也适合上式， 所以an＝(n∈N*)． 法三(累加法)：an+1－an＝， a1＝1， a2－a1＝1－， a3－a2＝， a4－a3＝， … an－an-1＝(n≥2)， 以上各项相加得 an＝1＋1－＋…＋， 所以an＝(n≥2)． 因为a1＝1也适合上式， 所以an＝(n∈N*)． (2)由题意，因为数列{an}满足an+1＝an(n∈N*)，所以， 所以当n≥2时，an＝·…··a1＝××…×××1＝． 当n＝1时，a1＝1满足上式，所以an＝(n∈N*)．] 　由递推公式求通项公式的常用方法 (1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式．(只适用于选择题、填空题) (2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类： ①an+1－an＝常数，或an+1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法． ②an+1＝pan(p为非零常数且p≠1)，或an+1＝f(n)an(f(n) 是可以求积的)，使用累乘法或迭代法． ③an+1＝pan＋q(p，q为非零常数且p≠1)，适当变形后转化为第②类解决． [学以致用]　3．(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＝an-1＋(n≥2)，求an． (2)已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an-1＝1(n≥2)，求an． [解]　(1)因为an＝an-1＋(n≥2)， 所以an－an-1＝(n≥2)． 所以当n≥2时，an＝(an－an-1)＋(an-1－an-2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝()＋()＋…＋()＋1＝＋1． 又当n＝1时，a1＝1也符合上式， 所以an＝＋1，n∈N*． (2)因为ln an－ln an-1＝1， 所以ln ＝1，即＝e(n≥2)． 所以an＝·…··a1 ＝·1＝en-1(n≥2)， 又a1＝1也符合上式，所以an＝en-1，n∈N*． 1．(教材P8练习T4改编)若数列{an}的前n项和Sn＝n2－1，则a4＝(　　) A．7 B．8 C．9 D．17 A　[∵数列{an}的前n项和Sn＝n2－1，∴a4＝S4－S3＝(16－1)－(9－1)＝7．故选A．] 2．(教材P8练习T2改编)已知在数列{an}中，a1＝2，an+1＝an＋n(n∈N*)，则a4的值为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 D　[因为a1＝2，an＋1＝an＋n， 所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3， a3＝a2＋2＝3＋2＝5， a4＝a3＋3＝5＋3＝8．] 3．数列{an}中，a1＝2，an＝2an－1(n∈N*，2≤n≤10)，则数列{an}的最大项为________． 1 024　[法一：∵a1＝2，an＝2an－1， ∴an≠0，∴＝2>1， ∴an>an－1，即数列{an}为递增数列， ∴{an}的最大项为a10＝2a9＝4a8＝…＝29·a1＝29×2＝210＝1 024． 法二(累乘法)： 由an＝2an－1，得＝2， 于是an＝·a1＝2×2×2×…×2×2＝2n， 显然{an}是递增数列，故{an}的最大项为a10＝210＝1 024．] 4．已知数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝(n＝1，2，3，…)，则a4＝________，猜想其通项公式an＝________． 　[∵数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝(n＝1，2，3，…)，∴a2＝．同理可得a3＝．猜想其通项公式an＝．] 1．知识链： 2．方法链：归纳法、累加法、累乘法、迭代法． 3．警示牌：(1)运用累加法、累乘法时，不注意验证首项是否符合通项公式． (2)由Sn求an时忽略验证n＝1时的情况． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．数列的递推公式有什么特点？它与通项公式的区别是什么？ [提示]　数列的递推公式是反映数列的相邻两项或多项之间的关系式，而通项公式是数列中的项与序号之间满足的函数关系式． 2．若数列{an}的前n项和为Sn，则关系式an＝Sn－Sn-1的使用条件是什么？ [提示]　n≥2，n∈N*，而不能只是n∈N*，这是因为当n＝1时Sn-1＝S0，数列中S0无意义． 课时分层作业(二)　数列的递推公式及前n项和 一、选择题 1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则a6＝(　　) A．11 B．12 C．13 D．14 C　[由题可知a6＝S6－S5＝62＋2×6－(52＋2×5)＝13，故选C．] 2．(多选)符合递推公式an＝an－1的数列是(　　) A．1，2，3，4，… B．1，，… C．，4，… D．0，，… BC　[B与C中从第2项起，后一项是前一项的倍，符合递推公式an＝an－1．] 3．已知数列{an}的项满足an＋1＝an，而a1＝1，通过计算a2，a3，猜想an＝(　　) A． B． C． D． B　[，∵an＋1＝an，∴a2＝．同理a3＝．猜想an＝．] 4．已知数列{an}满足a1＝2，an+1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项公式an等于(　　) A．n2＋1 B．n＋1 C．1－n D．3－n D　[∵an＋1－an＝－1， ∴当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋ ＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n． 当n＝1时，a1＝2也符合上式． 故数列的通项公式an＝3－n(n∈N*)．] 5．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap+q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10＝(　　) A．－165 B．－33 C．－30 D．－21 C　[由题可得，a2＝a1＋a1，所以a1＝－3，a10＝a1＋a9＝…＝a1＋a1＋…＋a1＝－30．] 二、填空题 6．数列{an}中，a1＝2，an＝an＋1－3，则14是{an}的第________项． 5　[a1＝2，a2＝a1＋3＝5，a3＝a2＋3＝8，a4＝a3＋3＝11，a5＝a4＋3＝14．] 7．在数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝________． 19　[由题意知a3＝a2＋a1＝5＋2＝7， a4＝a3＋a2＝7＋5＝12，a5＝a4＋a3＝12＋7＝19．] 8．已知数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N*)，则a9＝　　　　．  　[a1a2…a8＝82，① a1a2…a9＝92，② ②÷①得，a9＝．] 三、解答题 9．设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2－n＋1． (1)写出a1，a2，a3的值； (2)求数列{an}的通项公式． [解]　(1)因为Sn＝n2－n＋1，取n＝1可得S1＝1，故a1＝1；取n＝2可得S2＝4－2＋1＝3，即a1＋a2＝3，故a2＝2；取n＝3可得S3＝9－3＋1＝7，即a1＋a2＋a3＝7，故a3＝4．所以a1＝1，a2＝2，a3＝4． (2)当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝n2－n＋1－(n－1)2＋(n－1)－1＝2n－2，又a1＝1，不满足上式． 所以数列{an}的通项公式为an＝ 10．已知各项均为正数的数列{an}满足：a1＝2，＝an(an+1＋2an)．则数列{an}的通项公式是an＝(　　) A．2n+1 B．2n-1 C．2n D．3n C　[由题意得，化简得 (an＋1－2an)(an＋1＋an)＝0， 又an＞0，则an＋1－2an＝0，即＝2， ∴an＝·a1＝2n-1×2＝2n， 当n＝1时，a1＝2满足上式，则an＝2n．] 11．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，第k项满足5<ak<8，则k＝________． 7　[当n＝1时，a1＝S1＝－5； 当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2－6(n－1)＝n2－8n＋7， an＝Sn－S n－1＝2n－7， 当n＝1时，a1＝－5符合上式， 所以{an}的通项公式为an＝2n－7， 所以ak＝2k－7． 由5<2k－7<8，解得6<k<7.5， 因为k为正整数，所以k＝7．] 12．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求通项公式an． [解]　将an+1＝两边同时取倒数， 得， 即， ∴(n≥2)， 把以上(n－1)个式子累加，得． ∵a1＝1，∴an＝(n≥2)． 又∵a1＝1满足an＝， ∴an＝(n∈N*)． 13．(多选)已知函数f(x)＝若数列{an}满足a1＝，an+1＝f(an)，n∈N*，则下列说法正确的是(　　) A．该数列是周期数列且周期为3 B．该数列不是周期数列 C．a2 023＋a2 024＝1 D．a2 023＋a2 024＝ BD　[； a3＝f； a4＝f； a5＝f； a6＝f； a7＝f； … ∴从a3开始数列{an}是以3为周期的周期数列，但数列{an}并不是周期数列，故A错误，B正确．而a2 023＋a2 024＝a4＋a5＝，∴C错误，D正确．故选BD．] 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $