4.1 第1课时 数列的概念与简单表示法-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦数列的概念与简单表示法核心知识点，从概念引入（按确定顺序排列的一列数及项、首项等定义），到分类（按项数分有穷与无穷数列，按变化趋势分递增、递减等类型），再到通项公式（项与序号的关系），最后联系函数（定义域为正整数集及三种表示方法），构建从具体到抽象的学习支架。 资料以问题驱动和实例探究为特色，通过古埃及阶梯数字等实例引导学生抽象数列概念，培养数学抽象素养。典例讲评结合教材原题改编，如推导-1,1/2,-1/3,1/4...的通项公式，发展逻辑推理与数学运算能力。课中助力教师引导学生逐步深入，课后学生可回顾知识点并完成分层作业，有效查漏补缺。

4.1　数列的概念 第1课时　数列的概念与简单表示法 [学习目标]　1．借助实例了解数列的相关概念．(数学抽象) 2．理解数列的通项公式，能根据数列的通项公式写出数列的任意项．(逻辑推理) 3．理解数列与函数的关系，能根据数列的前几项写出数列的通项公式．(数学运算、逻辑推理) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．数列的概念是什么？ 问题2．什么是数列的通项公式？ 问题3．数列与函数之间有什么关系？ 探究1　数列的概念与分类 问题1　观察以下几列数： (1)古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7，49，343，2 401，16 807． (2)从学号1开始，记下本班的每一位同学参加高考的时间：2025，2025，…，2025． (3)小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：“7，0，2，5，7，0，2，5，…．” (4)－2的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂……依次排成一列数：－2，4，－8，16，…． 你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？ [提示]　共同点：都是按照确定的顺序进行排列的．不同点：从项数上来看：(1)(2)项数有限，(3)(4)项数无限；从项的变化上来看：(1)每一项在依次变大，(2)项没有发生变化，(3)项呈现周期性的变化，(4)项的大小交替变化． [新知生成] 1．数列的概念 (1)一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． (2)数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}． 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的 个数　 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的 变化趋 势　　 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 周期数列 项呈现周期性变化的数列 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 【教用·微提醒】　(1)数列不同于集合，其中的项既有顺序，又可重复． (2){an}表示一个数列，an表示数列中的第n项，小写字母a也可以换成其他小写字母． (3)递增(减)数列要确保从第2项起每一项均大于(小于)前一项，不能有例外． [典例讲评]　1．(1)(多选)下列说法中正确的有(　　) A．数列4，7，3，4的首项是4，末项是4 B．数列2，5，7，8和数列5，2，7，8是同一数列 C．数列{an}中，若a3＝3，则从第2项起，各项都不等于3 D．数列中的项不能是代数式 (2)给出以下数列： ①2017～2025年某省普通高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，118，132，147，163，180，198； ②无穷多个构成数列，…； ③－1，0，－1，0，…，－1，0，…． 其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，常数列是________，摆动数列是________．(填序号) (1)AD　(2)①　②③　①　②　③　[(1)由数列的定义可知，数列4，7，3，4的首项是4，末项也是4，故A正确； 数列是按照确定的顺序排列的一列数，所以这两个数列不是同一个数列，故B错误； 同一个数在一个数列中可以重复出现，即数列的项可以相等，故C错误； 数列是按照确定的顺序排列的一列数，因此数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D正确． (2)①为有穷数列；②③是无穷数列；同时①也是递增数列；②为常数列；③为摆动数列．] 　数列的判定方法及其分类 (1)判断所给的对象是不是数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数． (2)判断所给的数列是递增、递减、摆动还是常数列，要从项的变化趋势来分析；而判断它是有穷还是无穷数列，则看项的个数是有限的还是无限的． [学以致用]　1．给出下列数列： (1)1，2，22，23，24，…，263； (2)－，…； (3)1，2，3，…，10 000； (4)－1，1，－1，1，－1，1，…； (5)1，2，3，5，8，13，21，…； (6)，…． 其中，________为有穷数列，________为无穷数列，________为递增数列，________为递减数列，________为常数列．(填序号) (1)(3)　(2)(4)(5)(6)　(1)(3)(5)　(2)　(6)　[根据数列的分类，容易得到，(1)(3)为有穷数列，(2)(4)(5)(6)为无穷数列，(1)(3)(5)为递增数列，(2)为递减数列，(6)为常数列．] 探究2　数列的通项公式 问题2　我们发现探究问题1中的(1)(2)(4)，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？ [提示]　对于(1)，a1＝7，a2＝7×7＝72，a3＝7×7×7＝73，…，于是an＝7n，n∈{1，2，3，4，5}； 对于(2)，an＝2 025，n∈{x|x是本班学生的学号}； 对于(4)，an＝，n∈N*． [新知生成] 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．表达形式为an＝f(n)． 【教用·微提醒】　数列的通项公式可能有多个，也可能不存在． [典例讲评]　2．(1)【链接教材P4例1】若数列{an}的通项公式为an＝4n－5，则关于此数列的图象叙述正确的是(　　) A．此数列不能用图象表示 B．此数列的图象仅在第一象限 C．此数列的图象为直线y＝4x－5 D．此数列的图象为直线y＝4x－5上满足x∈N*的一系列孤立的点 (2)【链接教材P5例2】写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： ①－1，，－，； ②，2，，8； ③0，1，0，1； ④9，99，999，9 999． (1)D　[数列{an}的通项公式为an＝4n－5，它的图象就是直线y＝4x－5上满足x∈N*的一系列孤立的点．] (2)[解]　①这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*． ②数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，…， 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*． ③这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，所以通项公式可以写成 an＝ 也可以写成an＝(n∈N*) 或an＝(n∈N*)． ④各项加1后，变成10，100，1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N*． 【教材原题·P4例1、P5例2】 例1　根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象． (1)an＝；(2)an＝cos ． [解]　(1)当通项公式中的n＝1，2，3，4，5时，数列{an}的前5项依次为 1，3，6，10，15． 图象如图4.1－2(1)所示． 　 (2)当通项公式中的n＝1，2，3，4，5时，数列{an}的前5项依次为 1，0，－1，0，1． 图象如图4.1－2(2)所示． 例2　根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式： (1)1，－，…； (2)2，0，2，0，…． [解]　(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为 an＝． (2)这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为 an＝(－1)n+1＋1． 　根据数列的前几项求其通项公式的方法 (1)先统一各项的结构，如都化成分数、根式等． (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式． (3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n+1调整． (4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． [学以致用]　【链接教材P5练习T4】 2．(源自人教B版教材)写出以下各数列{an}的一个通项公式． (1)2，4，6，8，10，…； (2)1，3，5，7，9，…； (3)0，2，0，2，0，…； (4)－，…． [解]　(1)观察数列的前5项可知，每一项都是序号的2倍，因此数列的一个通项公式为an＝2n． (2)因为这个数列每一项都比(1)中数列的对应项小1，因此数列的一个通项公式为an＝2n－1． (3)因为数列的第1，3，5，…项都是0，而第2，4，…项都是2，因此它的一个通项公式为 an＝ (4)忽略正负号时，数列每一项的分子构成的数列是2，4，6，8，10，…，其中每一个数都是序号的2倍；数列每一项的分母都是分子的平方减去1．又因为负号、正号是交替出现的，因此它的一个通项公式为an＝(－1)n． 【教材原题·P5练习T4】 根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式： (1)1，，…； (2)1，，…． [答案]　(1)an＝；(2)an＝． 探究3　数列与函数的关系 问题3　回顾函数的表示方法：列表法、图象法、解析法，并思考：数列可以用上述方法表示吗？ [提示]　可以．但是对于解析法来说，数列不同于连续函数的表示，需要重新作定义． [新知生成] 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如表： 定义域 正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n}) 解析式 数列的通项公式 值域 自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值 表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法 [典例讲评]　3．已知数列{an}的通项公式是an＝ n∈N*．试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由． [解]　根据题意，令 即 解得2≤n≤3． 又n∈N*，则n＝2或n＝3． 故数列{an}有最大项，为第2项和第3项， 且a2＝a3＝2×． 【教用·备选题】已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n． (1)求数列{an}的通项公式； (2)讨论数列{an}的单调性，并证明你的结论． [解]　(1)∵f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n(an＞0)，∴＝－2n， ∴an－＝－2n， ∴＋2nan－1＝0，解得an＝－n±． ∵an＞0，∴an＝－n． (2)数列{an}是递减数列，理由如下： ∵ ＝＜1，an＞0， ∴an＋1＜an，∴数列{an}是递减数列． 　求数列最值的方法 (1)函数的单调性法：令an＝f(n)，通过研究f(n)的单调性来研究最大(小)项． (2)不等式组法：先假设有最大(小)项．不妨设an最大，则满足(n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组(n≥2)求得n的取值范围，从而确定n的值． [学以致用]　3．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是(　　) A．递增数列　　　 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 A　[∵an＝，∴n越大，越小，则an越大，故数列{an}是递增数列．] 探究4　数列通项公式的应用 [典例讲评]　【链接教材P5例3】 4．已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n． (1)写出数列的第4项和第6项； (2)－49是不是该数列的一项？如果是，是哪一项？68是不是该数列的一项呢？ (3)数列{an}中有多少个负数项？ [思路引导]　(1)已知数列的通项公式，将n＝4，n＝6分别代入通项公式可求得a4和a6的值． (2)假设－49与68是数列中的项，建立n的方程，求出结果观察n是不是正整数即可． (3)令an＜0，解出n的范围，进而求n． [解]　(1)a4＝3×16－28×4＝－64，a6＝3×36－28×6＝－60． (2)令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝(舍去)， 所以n＝7，即－49是该数列的第7项． 令3n2－28n＝68，解得n＝或n＝－2． 因为N*，－2N*，所以68不是该数列的项． (3)an＝n(3n－28)，令an<0，结合n∈N*，解得n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，即数列{an}中有9个负数项． 【教材原题·P5例3】 例3　如果数列{an}的通项公式为an＝n2＋2n，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 分析：要判断120是不是数列{an}中的项，就是要回答是否存在正整数n，使得n2＋2n＝120．也就是判断上述关于n的方程是否有正整数解． [解]　令n2＋2n＝120， 解这个关于n的方程，得 n＝－12(舍去)，或n＝10． 所以，120是数列{an}的项，是第10项． 　求项或判断某数是不是数列的项的方法 (1)如果已知数列的通项公式，那么只要将相应序号代入通项公式，就可以求出数列中的指定项． (2)判断某数是不是数列的项，只需将此数代入数列的通项公式中，求出n的值．若求出的n为正整数，则该数是数列的项，否则该数不是数列的项． [学以致用]　4．数列的第5项为(　　) A．0 B．－1 C． D．－ C　[由题意，可知数列的第5项为 (－1)5cos ．故选C．] 1．(多选)下列叙述正确的是(　　) A．数列2，4，6，8与8，6，4，2是相同的数列 B．数列0，1，2，3，…可以表示为{n} C．数列0，1，0，1，…是无穷数列 D．数列{2n＋1}是递增数列 CD　[数列2，4，6，8与8，6，4，2不是相同的数列，故A错误；数列0，1，2，3，…可以表示为{n－1}，故B错误；数列0，1，0，1，…是无穷数列，故C正确；数列{2n＋1}是递增数列，故D正确．] 2．(教材P5练习T4改编)数列，…的一个通项公式可以是(　　) A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝ D　[根据题意，数列，…， 即，…， 故该数列的一个通项公式可以为an＝．故选D．] 3．已知数列an＝－n2＋4n＋2，则该数列中最大项的序号是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 A　[因为an＝－(n－2)2＋6，n∈N*， 所以当n＝2时，an取得最大值．] 4．(教材P5练习T1(3)改编)已知数列{an}的通项公式为an＝则a2·a3＝________． 20　[根据题意，数列{an}的通项公式为 an＝ 则a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，则a2·a3＝20．] 1．知识链： 2．方法链：观察法、归纳法、联想转化法． 3．警示牌：(1)归纳法求数列的通项公式时归纳不全面． (2)不注意用(－1)n或(－1)n+1进行调节，不注意分子、分母间的联系． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．数列是怎样定义的？数列中的项具有什么特点？ [提示]　数列是按确定的顺序排列的一列数．数列中的项有三个特征：有序性、确定性和可重复性． 2．你是如何对数列进行分类的？相等数列应具备什么条件？ [提示]　按项数可分为：有穷数列和无穷数列． 按项的变化趋势可以分为：递增数列、周期数列、递减数列、常数列和摆动数列． 相等数列是指项数相等，对应项也相等的数列． 3．所有数列都能写出它的通项公式吗？当数列确定后，它的通项公式唯一吗？你能否各举出一个例子？ [提示]　并不是所有数列都能写出通项公式，如π的近似值数列：3，3.1，3.14，3.141，3.141 5，3.141 59，…． 当数列确定后，它的通项公式也不一定唯一．如数列1，－1，1，－1，1，－1，…，可以用an＝ 也可以用an＝(－1)n+1，an＝sin，an＝cos[(n－1)π]表示． 课时分层作业(一)　数列的概念与简单表示法 一、选择题 1．是数列，，，，…的(　　) A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 A　[由题意可知，该数列为，…， 故是数列，…的第6项．故选A．] 2．若数列{an}满足an＝3n，则数列{an}是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 A　[an＋1－an＝3n+1－3n＝2×3n>0， ∴an＋1>an，即{an}是递增数列．] 3．下列说法中正确的是(　　) A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 B．数列1，0，－1，－2与－2，－1，0，1是相同的数列 C．数列的第k项为1＋ D．数列0，2，4，6，…可记为{2n} C　[对于A，常数列既不是递增数列也不是递减数列，故A错误； 对于 B，数列是按顺序排列的，故B错误； 对于C，数列的第k项是1＋，故C正确； 对于D，数列中的第1项无法用an＝2n(n∈N*)表示，故D错误． 故选C．] 4．数列－1，3，－7，15，…的一个通项公式可以是(　　) A．an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N* B．an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N* C．an＝(－1)n+1·(2n－1)，n∈N* D．an＝(－1)n+1·(2n－1)，n∈N* A　[数列各项正、负交替，故可用(－1)n来调节，又1＝21－1，3＝22－1，7＝23－1，15＝24－1，…，所以通项公式为an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*．] 5．设an＝－2n2＋29n＋3，则数列{an}的最大项是(　　) A．107 B．108 C． D．109 B　[设f(x)＝－2x2＋29x＋3，其图象的对称轴为x＝，故an＝－2n2＋29n＋3在n＝7时取得最大值，(an)max＝a7＝108．] 二、填空题 6．已知数列{an}的通项公式为an＝，则a10＝________，若an＝，则n＝________． 　12　[， 由，得n(n＋2)＝168，解得n＝12(负值舍去)．] 7．观察数列的特点，用一个适当的数填空：1，，________，，…． 3　[由于数列的前几项中根号下的数都是由小到大的奇数，所以需要填空的数为＝3．] 8．如图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图有化学键________个． 5n＋1　[每个结构简图去掉最左边的一个化学键后，每个环上有5个化学键，故第n个结构简图有5n＋1个化学键．] 三、解答题 9．根据下面的通项公式，写出数列的前5项． (1)an＝； (2)an＝(－1)n-1·． [解]　(1)当n＝1时，a1＝＝2；当n＝2时，a2＝；当n＝3时，a3＝＝2；当n＝4时，a4＝；当n＝5时，a5＝． (2)当n＝1时，a1＝(－1)1-1×；当n＝2时，a2＝(－1)2-1×；当n＝3时，a3＝(－1)3-1×；当n＝4时，a4＝；当n＝5时，a5＝． 10．设an＝＋…＋(n∈N*)，则a2等于 (　　) A． B． C． D． C　[∵an＝(n∈N*)，∴a2＝．] 11．在数列{an}中，an＝，则an的最大值是(　　) A． B． C． D． D　[由题意可得an＝．根据对勾函数与复合函数的单调性，y＝在上单调递增，在上单调递减，所以在{an}中，a1＜a2＜a3，a4＞a5＞a6＞…．当n＝3时，n＋； 当n＝4时，n＋， 因为＜， 所以an的最大值是a4＝．故选D．] 12．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4． (1)30是不是数列{an}中的项？70呢？ (2)数列中有多少项是负数？ (3)当n为何值时，an有最小值？求出这个最小值． [解]　(1)根据题意，an＝n2－5n＋4，若an＝n2－5n＋4＝30，即n2－5n－26＝0，无正整数解，则30不是数列的项．若an＝n2－5n＋4＝70，即n2－5n－66＝0，解得n＝11或n＝－6(舍)，则70是数列的第11项． (2)根据题意，an＝n2－5n＋4，若an＝n2－5n＋4＜0，解得1＜n＜4，又由n∈N*，则n＝2或n＝3，所以数列中有2项是负数． (3)根据题意，an＝n2－5n＋4＝， 故当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为－2． 13．如图所示，第n个图形是由正(n＋2)边形“扩展”而来的(n＝1，2，3，…)，则第(n－2)(n≥3)个图形中共有________个顶点． n2＋n(n≥3，n∈N*)　[设第n个图形中共有an个顶点，观察顶点个数的趋势可以发现： a1＝32＋3，a2＝42＋4，a3＝52＋5， 第n个图形是由正(n＋2)边形的每条边都向外“扩展”一个新的正(n＋2)边形而得到的， 故第n个图形的顶点个数为 (n＋2)＋(n＋2)2＝(n＋2)(n＋3)， 从而第(n－2)个图形的顶点个数为 an-2＝n(n＋1)＝n2＋n(n≥3，n∈N*)．] 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $