第03讲 一次函数的应用（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版新教材）

第03讲 一次函数的应用 知识点1：一次函数与行程问题 知识点2：一次函数与销售利润问题 知识点3：一次函数与坐标轴的交点 1、行程问题中，一次函数中|k|通常对应行程问题中的速度 2、准确理解函数图象中出现的起点、拐点、终点的意义 1、常用等量关系：总利润=单件利润×数量 2、利用函数的增减性得到最大利润 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 kx+b=0（k≠0）的解．求 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点时, 1. 可令 y=0，得到方程 kx+b=0（k≠0），解方程得 ______________ ， 2. 直线 y=kx+b 交 x 轴于点_（0，）_______ , 就是直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标． 【题型1 一次函数与行程问题】 【典例1】一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，慢车先出发，设先发车辆行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象解决以下问题： (1)慢车的速度为______，快车的速度为______； (2)解释图中点D的实际意义并求出点D的坐标； (3)求当x为多少时，两车之间的距离为． 【答案】(1)80，120 (2)见解析， (3)或 【分析】本题考查从函数图象获取信息，待定系数法求解析式，一次函数的应用，读懂图象，获取信息是解题的关键． （1）根据图象可知先出发的车行驶小时，行驶，可得先出发的车的速度，根据两车相遇的时间可得后出发的车的速度，即可得答案； （2）点D表示快车到达乙地，求出快车走完全程所需时间即可得到点D的横坐标，再求出此时慢车所走过的路程即可得到点D的纵坐标，即可解答； （3）分相遇前和相遇后两种情况，采用待定系数法分别求出线段，线段的函数解析式，令，求出x的值，即可解答． 【详解】（1）解：由图象可知：先出发的车行驶小时，行驶距离为， ∴先出发的车的行驶速度为， ∵后出发的车行驶小时时两车相遇， ∴后出发的车的速度为， ∴先出发的车为慢车，速度为，后出发的车为快车，速度为． 故答案为：80，120； （2）解：点D表示快车到达乙地， ∵快车走完全程所需时间为， ∴点D的横坐标为， 此时慢车走过的路程为， ∴点D纵坐标为360， ∴点D的坐标为， ∴点D的实际意义是快车出发了4小时，快车慢车相距时快车到达乙地； （3）解：由题意，可知两车行驶的过程中有2次两车之间的距离为， 两车相遇前，设线段的函数解析式为， ∵该直线过点，， ∴，解得， ∴， 当时，， 解得， ∴当时，两车之间的距离为； 两车相遇后，设线段的函数解析式为， ∵该直线过点，， ∴，解得， ∴， 当时，， 解得， ∴当时，两车之间的距离为； 综上所述，当或时，两车之间的距离为． 【变式1】某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1）．小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为t（分），两人各自距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数图象如图2所示． (1)求m的值，并说出m的实际意义； (2)求桐桐骑车时距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数解析式（不必写出t的取值范围）； (3)请求出两人在途中相遇时的时间t（分）的值． 【答案】(1)，表示桐桐从地步行到地所用的时间 (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）利用路程除以时间求出的值，根据点的位置，确定m的实际意义即可； （2）设出解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）分桐桐往景点走，以及骑车往景点两部分，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：； 由题意和图象可知：m表示桐桐从B地步行到A地所用的时间； （2）设， 由题意，图象经过点，即， 则：，解得：， ∴； （3）由图象可知：小兴的步行速度为：，由（2）可知：桐桐骑车速度为：， 当时，； 当时，，解得：； 综上：或． 【变式2】已知两地之间有一条长的高速公路．甲、乙两车分别从两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以的速度匀速行驶与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程与甲车的行驶时间之间的函数关系如图所示． (1)________，________； (2)求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式； (3)当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程． 【答案】(1)2，5 (2) (3)甲车距A地的路程为 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，读懂图象是解答本题的关键． （1）先根据甲乙两车相遇时甲车行驶的路程除以速度可求出m的值，再用m的值加3即可得n的值； （2）由（1）得和，再运用待定系数法求解即可； （3）先求出乙车的行驶速度，从而可求出行驶时间，代入函数关系式可得结论． 【详解】（1）解：根据题意得，（时） （时） 故答案为：2，5； （2）由（1）得和， 设相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式为 则有：， 解得， 甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式 （3）甲乙两车相遇时，乙车行驶的路程为千米， ∴乙车的速度为：（千米/时） ∴乙车行完全程用时为： （时） ∵ ∴当时，千米， 即：当乙车到达A地时，甲车距A地的路程为千米． 【变式3】2025端午节济南大明湖举行龙舟赛活动，参赛队伍有15支．设若甲、乙两个龙舟队分别同时从起点出发，划行的路程y（米）与划行的时间x（分）（其中）之间满足的关系如图所示，根据图象所提供的信息，解答下列问题： (1)甲队划行的速度为 ；当时，乙队划行的速度为 ；当时，乙队划行的速度为 ； (2)当 分钟时，甲、乙两队划行的路程相等； (3)求出当甲、乙两队划行的路程相差100米时x的值． 【答案】(1)200米/分，300米/分，100米/分 (2)4 (3)1，3或5 【分析】本题考查函数的图象，一元一次方程，利用数形结合的思想解答和分类讨论的思想解答是解答本题的关键． （1）结合图象，利用速度等于路程除以时间，即可求出甲队的速度以及乙队在时和时的速度； （2）结合图象，可知在时间2分钟后，两者划行的路程相等，根据路程相等列方程求解即可； （3）结合图象，可知在和两个时间段内，都存在甲、乙两队划行的路程相差100米的情况，分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：由图象可知，甲队划行的速度为：（米/分）； 当时，乙队划行的速度为：（米/分）； 当时，乙队划行的速度为：（米/分）； 故答案为：200米/分，300米/分，100米/分． （2）设时间为x时，甲、乙两队划行的路程相等， 由图象可知，在2分钟后，即划行600米后，甲、乙两队的图象相交，此时对应路程相等， ， 解得， 即分钟时，甲、乙两队划行的路程相等； （3）根据甲、乙的函数图象可知， ①当，乙比甲快，在时，两者划行的路程相差最大为(米)， 在存在一个时刻，两者划行的路程相差100米，设时间为x分，则， 解得，符合题意； ②当，由于在时，两者划行的路程相差为200米，甲、乙相遇后，甲超过乙，并在时，两者划行的路程相差为， 在存在两个时刻，两者划行的路程相差100米， 设时间为x分，则 或 解得或，符合题意； 综上所述，即当，3或5分钟时，甲、乙两队划行的路程相差100米． 【题型2 一次函数与销售问题】 【典例2】某商店准备购进一批电冰箱和空调，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，购买3台空调和2台电冰箱共需8800元． (1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？ (2)已知电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元．若商店准备购进这两种家电共100台，其中购进电冰箱台，则该商店要获得最大利润应如何进货？ 【答案】(1)每台冰箱进价为2000元；每台空调进价为1600元 (2)购进电冰箱33台，空调67台 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，列出一次函数解析式． （1）设每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元，根据购买3台空调和2台电冰箱共需8800元，列出方程，解方程即可； （2）设购进电冰箱台，则购进空调台，利润为元．得出一次函数解析式，然后根据一次函数增减性进行解答即可． 【详解】（1）解：设每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元， ， 解得：， （元）， 每台空调进价1600元，每台电冰箱进价为2000元． （2）解：设购进电冰箱台，则购进空调台，利润为元． ， ， 随的增大而减小， ， 当时，有最大值， 即购进电冰箱33台，空调67台时，利润最大． 【变式1】“中国乳都”呼和浩特，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌．其中酸奶是深受大众喜爱的乳制饮品之一．某超市销售甲、乙两种品牌酸奶，结合以下材料解决问题． 内容 材料一 某超市销售甲、乙两种品牌的酸奶，甲种酸奶的进价为8元/罐；乙种酸奶的进货总金额（单位：元）与进货量（单位：罐）之间的关系如图所示，经过试销，甲、乙两种品牌酸奶的销售价分别为12元/罐和15元/罐． 材料二 某日，该超市销售甲、乙两种品牌的酸奶共800罐，其中乙种品牌的销售量不低于150罐，且不高于400罐． 任务一 （1）根据图象求出与的函数关系式． 任务二 （2）若购进的两种酸奶全部售完，设销售完甲、乙两种品牌的酸奶所获得的总利润为元，求出（单位：元）与乙种品牌酸奶的进货量（单位：罐）之间的函数关系式，并为该超市设计出获得最大利润的销售方案． 【答案】（1）（2），甲品牌酸奶的进货量为400罐，乙品牌酸奶的进货量为400罐时，获得的利润最大 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设与的函数表达式为，代入即可求解； （2）设乙品牌酸奶的进货量罐，则甲品牌酸奶的进货量罐，用含的式子表示利润，根据一次函数的性质分析其最大值即可． 【详解】解：（1）依题意，设与的函数表达式为， 把代入解析式， 得， ∴与的函数表达式为； （2）依题意，乙品牌酸奶的进货量罐，则甲品牌酸奶的进货量罐， ∵乙品牌的收购量不低于150罐，且不高于400罐， ∴， 由（1）得， 则， ∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴当时，最大，最大值为元， （罐）， 即甲品牌酸奶的进货量为罐，乙品牌酸奶的进货量为罐时，获得的利润最大． 【变式2】近年来，文旅业爆火出圈，尤其以“汉服文化”最为游客喜爱．古城附近某汉服店同时购进甲、乙两种系列的汉服共300套，进价和售价如下表所示．设购进甲系列汉服x套，该汉服店全部售完甲、乙两个系列汉服获得的总利润为y元． 汉服款式 甲系列 乙系列 进价（元/套） 60 80 售价（元/套） 100 150 (1)求y与x的函数关系式． (2)该汉服店计划投入2万元购进这300套汉服系列，则至少购进多少套甲系列汉服？若售完全部汉服，则汉服店可获得的最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)至少要购进甲系列汉服套，若售完全部的甲、乙两个系列汉服，则汉服店可获得的最大利润是元 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式的综合运用，根据题意找出正确的等量关系是解题关键． （1）若购进甲系列汉服套，则购进乙系列汉服套，然后根据题意可得出甲乙两款售出后每件的利润，据此进一步列出关系式化简即可； （2）根据题意首先表示出购进甲系列汉服的费用为元，购进乙系列汉服的费用为元，据此进一步列出不等式，求出的范围即可得出至少购进甲系列汉服的数量，然后利用一次函数的性质进一步求出最大利润即可． 【详解】（1）解：∵购进甲系列汉服套， ∴购进乙系列汉服套， 根据题意得，， 化简得：， 即与的函数关系式为：； （2）解：由题意得：购进甲系列汉服的费用为元，购进乙系列汉服的费用为元， ∴， 解得：， ∴至少要购进甲系列汉服套． 又，其中， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最大值，此时最大值为：， ∴若售完全部的甲、乙系列汉服，则汉服店可获得的最大利润是元， 答：至少要购进甲系列汉服套，若售完全部的甲、乙两个系列汉服，则汉服店可获得的最大利润是元． 【变式3】草莓属于多年生草本植物，风味独特、营养丰富，具有生产周期短、见效快、经济效益高、适合设施栽培等特点．某经销商准备从一草莓种植基地购进甲、乙两种草莓进行销售，设经销商购进甲种草莓x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示，购进乙种草莓的价格是每千克30元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若经销商计划一次性购进甲、乙两种草莓共100千克，其中甲种草莓不少于40千克且不超过70千克，设经销商付款总金额为W元，求W的最小值． 【答案】(1) (2)3300 【分析】本题考查一次函数的实际应用： （1）分和，两段，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出关于的一次函数，利用一次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：当时， 设函数解析式为， 将点代入得， 解得， ∴； 当时，设函数解析式为， 将点，代入得 ， 解得， ∴． ∴y与x之间的函数关系式为． （2）解：由题意可知， 当时，， ∵， ∴W随x的增大而增大，当时，W最小，最小值为3400， 当时，， ∵， ∴W随x的增大而减小，当时，W最小，最小值为3300， ∵， ∴W的最小值为3300. 【题型3 一次函数的新情景应用】 【典例3】杆秤是我国传统的计重工具．如下图，秤钩上所挂的不同质量的物体使得秤砣到秤纽的水平距离不同．当称重时，秤钩所挂物重为x（单位：），秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为y（单位：）．下表所示的为若干次称重时所记录的一些数据（秤杆上秤砣在秤纽左侧时，水平距离y为正，在右侧时为负），且y是x的一次函数． 0 0.75 1.00 2.25 3.25 1 2 4 7 (1)根据题意，完成上表． (2)请求出y与x之间的关系式． (3)当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为时，秤钩所挂物重是_______． 【答案】(1)1.50，11 (2)． (3)4.25 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式． （1）根据表格中的数据，可以发现每增加厘米，重物增加千克，从而可以计算出当对应的的值和当时对应的的值； （2）根据题意和表格中的数据，可以求出与的关系式； （3）将代入（2）中的关系式，即可得到当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为厘米时，秤钩所挂物重是多少千克． 【详解】（1）解：由表格中的数据可得，每增加厘米，重物增加千克， 故当时，， 当时，， 故答案为：，； （2）设与的关系式为 ∵点，在该函数图象上， ∴， 解得：， 即与的关系式为； （3）当时，， 解得， 即当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为厘米时，秤钩所挂物重是千克． 故答案为：. 【变式1】如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中的信息，解答问题： 碗的数量x/个 1 2 4 5 高度 7 8.2 10.6 11.8 (1)求整齐叠放在桌面上碗的高度y（单位：）与碗的数量x（单位：个）之间的函数关系式． (2)当碗的数量为8个时，这摞碗的高度是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用； （1）由表可知，叠放在桌面上碗的高度与碗的数量（个之间满足一次函数关系，设与的函数关系为，再利用待定系数法求解即可； （2）把代入函数关系式进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由表可知，叠放在桌面上碗的高度与碗数（个之间满足一次函数关系， 设与的函数关系为， 将点和代入，得：， 解得：， 整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量（个之间的关系式：； （2）解：当时，， 当碗的数量为8个时，这摞碗的高度是． 【变式2】根据下面的项目式学习报告，完成相应的任务． 项目主题 探索烘焙温度与烘焙时间之间的关系 项目背景 学校劳动课上开展了烘焙实践课，同学们发现烘焙某种面点时，当烘焙温度大于且小于时，烘焙温度和烘焙时间之间存在关系，并对这种关系展开探索 驱动问题 在一定范围内，烘焙温度与烘焙时间之间是否存在某种特定关系 项目数据 设置不同的烘焙温度，对应的烘焙时间如下表所示： 烘焙温度 … 160 170 180 190 200 … 烘焙时间 … 30 27.5 25 22.5 20 … 项目结论 …… (1)根据表中数据可知，当烘焙温度大于且小于时，烘焙时间y是烘焙温度x的__________函数（填“一次”或“正比例”），则y关于x的函数解析式为__________． (2)已知某次烘焙时间是，请你根据（1）中的函数解析式计算这次的烘焙温度． 【答案】(1)一次， (2)． 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）观察表格可知，温度每升高，时间减少，得到烘焙时间y是烘焙温度x的一次函数，待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入（1）中的解析式进行求解即可； 【详解】（1）解：观察表格可知，温度每升高，时间减少， ∴烘焙时间y是烘焙温度x的一次函数， 设函数解析式为，把代入，得： ，解得， ∴； 故答案为：一次，； （2）解：把代入中，解得． 答：这次的烘焙温度为． 【变式3】在社会高速发展的当今时代，人们对于出行安全的关注度与日俱增，然而车辆的无序行驶却给景区、居民区、学校等场所的交通安全埋下了诸多隐患，为了保障交通安全，这些地方的道路上通常会横向安装减速带．如图是某种规格减速带的示意图，减速带由若干块形状和大小相同且完整的减速块以及两端的封堵块拼接而成，通过研究发现，减速带的总长度是所安装减速块块数（块）的一次函数，已知当安装18块减速块时，减速带的总长度为9.6；当安装27块减速块时，减速带的总长度为14.1． (1)求与之间的函数表达式； (2)当安装32块减速块时，减速带的总长度是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设与之间的函数表达式为，由题知时，；时，．利用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中求得的关系式中求出y的值即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 由题知时，；时，； ， 解得， ∴设与之间的函数表达式为． （2）解：由得， 当，， ∴减速带的总长度是． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意求出函数解析式是解题的关键． 【题型4已知直线与坐标轴交点求方程的解】 【典例4】如图所示，已知点是一次函数图象上的一点，则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握数形结合的数学思想是解题的关键．根据一次函数的性质判断即可． 【详解】解：根据题意，当时，， ∴方程的解是． 故选：B． 【变式1】一次函数的图象如图所示，则关于x的一元一次方程的解为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，根据题意可得一元一次方程的解是一次函数的图象与y轴交点的横坐标，据此可得答案． 【详解】解：一次函数的图象与y轴的交点坐标是， 一元一次方程的解是 故答案为：． 【变式2】直线过点和点，则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的解，掌握一元一次方程的解为其对应函数图象与x轴交点的横坐标是解题的关键． 根据一次函数与一元一次方程的关系求解即可． 【详解】解：方程的解，即为函数图象与x轴交点的横坐标， ∵直线过， ∴方程的解是． 故答案为：． 【变式3】若关于的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键．方程的解对应直线与x轴的交点横坐标，当时方程成立，即，故直线经过点． 【详解】解：∵ 方程的解为， ∴当时，，即， ∴直线为， 当时，， ∴直线一定经过点． 故选：C． 【题型5 求直线围成的图象面积】 【典例5】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、． (1)求点A、B的坐标； (2)若点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】本题主要考查一次函数的性质及三角形面积，理解题意，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）根据在x轴上点的纵坐标为0，在y轴上点的横坐标为0求解即可； （2）设点的坐标为，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：在轴上的点，其纵坐标． 把代入，可得， 解得， 所以． 在轴上的点，其横坐标． 把代入，可得， 所以． 所以； （2）设点的坐标为， ∵， ∴，，． ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或 ． 【变式1】如图，直线y＝x＋5与x轴交于点A，直线y＝﹣x＋b与x轴交于点B（1，0），且这两条直线交于点C． （1）求直线BC的解析式和点C的坐标； （2）求△ABC的面积． 【答案】（1）y=-x+1，C（-2，3）；（2）9 【分析】（1）将点B的坐标代入y=-x+b即可求得直线BC的解析式，然后联立两个函数求得交点C的坐标即可； （2）求得A的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得． 【详解】解：（1）∵直线y=-x+b与x轴交于点B（1，0）， ∴-1+b=0   解得：b=1， ∴直线BC的解析式为y=-x+1， ，解得：， ∴C（-2，3）； （2）∵直线y=x+5与x轴交于点A， ∴A（-5，0）， ∵B（1，0），C（-2，3）， ∴S△ABC=（1+5）×3=9． 【点睛】本题是两条直线相交或平行问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，求得交点的坐标是本题的关键． 【变式2】如图，已知一次函数，完成下列问题： (1)在所给直角坐标系中画出此函数的图象； (2)求直线与两坐标轴围成的面积． 【答案】(1)见详解 (2)3 【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据题目中的函数解析式，可以求得相关点的坐标，即可画出相应的函数图象； （2）根据（1）的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数， ∴当时，；当时，， ∴函数图象与轴交于点，与轴交于点； 函数图象如图所示： （2）解：直线与两坐标轴围成的面积． 【变式3】如图，直线l与x轴、y轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，，点为y轴上一个动点． (1)求点C坐标； (2)求直线的函数表达式； (3)当与面积相等时，求实数a的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过点C作轴，根据等腰直角三角形的性质证明，推出，进而求出，即可得到点C的坐标； （2）由（1）知点C的坐标，利用待定系数法即可求解； （3）利用勾股定理求出，即可求出的面积为，由题意可得，根据，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作轴， ∵为等腰直角三角形，且， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点、点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， 设直线的函数表达式为：， 则，解得， ∴直线的函数表达式； （3）解：∵为等腰直角三角形，且，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∵与面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴或． 【点睛】本题考查图形与坐标、一次函数与几何综合、勾股定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【题型6 一次函数与几何综合】 【典例6】如图，直线与x轴、y轴分别交于点、，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点、的坐标以及直线的解析式； (2)若为直线上一动点，，求点的坐标； (3)点在直线上，当时，求所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)点、，直线的解析式为 (2)点的坐标为或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数综合应用，待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握知识点的应用及分类讨论思想的应用． （1）由直线：得，当时，，当时，，则有点、，设直线的解析式为，然后把，代入即可求解； （2）由直线的解析式为得，当时，，当时，，则点，，则，求出，设，，求出的值即可； （3）根据，分两种情况讨论，当在的左侧时，以为直角边作等腰直角三角形，过点分别作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点，证明得出，求得直线的解析式为，联立求得点，当在轴的右侧时，同理可得． 【详解】（1）解：由直线：得，当时，，当时，， ∴点、， 设直线的解析式为， 把，代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由直线的解析式为得，当时，，当时，， ∴点，， ∴， ∴， ∴， ∵为直线上一动点， ∴设， ∴， ∴，解得：， ∴点的坐标为或； （3）如图，当在的左侧时，以为直角边作等腰直角三角形，过点分别作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点， ∴， ∴ 又∵， ∴ 又∵、 ∴， ∴， ∴为与的交点， 设直线的解析式为，代入、 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得： ∴ 当在轴的右侧时，如图，在的右侧以为直角边作等腰直角三角形，过点作轴， 同理可得，直线的解析式为： 联立 解得： ∴ 综上所述，或 【变式1】如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求点，的坐标； (2)如果轴上有一动点，要使以为顶点的三角形构成等腰三角形，请探究并求出符合条件的所有点坐标． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或或或． 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点，利用了数形结合及分类讨论的思想，掌握知识点的应用是解题的关键． （）当时，求出的值，当时，求出的值，即可得出两点的坐标； （）分当，且点在轴上时；当时，点位于轴右侧；当时，点位于轴右侧三种情况分析即可． 【详解】（1）解：由直线得， 当时，；当时，， ∴，； （2）解：∵，， ∴，， ∴， 如图，当，且点在轴上时， ∴当点在点左侧时，， ∴此时点的坐标为； 当点在点右侧时，， ∴此时点的坐标为； 如图，当时，点位于轴右侧， ∴， ∴此时点的坐标为； 如图，当时，点位于轴右侧， 设，则，， ∴， ∴，解得：， ∴， 综上可得，点的坐标为或或或． 【变式2】如图：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． (1)求直线的解析式； (2)作直线，当点运动到什么位置时，的面积被直线分成的两部分； (3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当点C运动到或的位置时 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）由得，根据，得，利用待定系数法即得直线的解析式为； （2）可得的面积，当时，，可得，，即得，当时，同理可得； （3）在中，，，，分两种情况①若，②若时，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，令得， ，， ， ， ， 把代入得： ，解得， 直线的解析式为； （2）解：，， 的面积， 当时，如图：    此时， ，即， ， 在中令，得， ∴， ∴， 当时，如图：    此时， ，即， ， 在中令，得， ∴， ∴， 综上所述，当点C运动到或的位置时，的面积被直线分成的两部分； （3）解：存在点，使与全等， 在中，，， ， ①若，过作交轴于，过作于，如图：   ，， ，， 设，则，，， 而， ， 解得或， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意，舍去， ∴， 同理可知，时， ，，， ， 同理可得， ②若时，如图：   ，， ， 在中，令得， ， 此时，，符合题意， ， 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是分别画出图形，分类讨论，利用数形结合解决问题． 【变式3】如图1，已知函数与x轴交于点C，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q． ①若的面积为，求点M的坐标； ②连接，如图2，若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②或 【分析】本题考查一次函数的综合应用． （1）先由求得，。由点与点A关于轴对称可得，再利用待定系数法求出直线的函数解析式即可。 （2）①设，则：、，过点B作于点D，利用，进行求解即可； ②分点M在y轴的左侧和点M在y轴的右侧，两种情况进行讨论求解即可． 正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】（1）解：对于， 由得：， 由得：， 解得， ∴，， ∵点与点A关于轴对称， ∴ ， 设直线的函数解析式为， 则， 解得． ∴直线的函数解析式为； （2）解：①设， 则、， 如图1，过点作于点， ∴，， ∴， 解得， ∴，或；        ②如图，当点在轴的左侧时，∵点与点A关于轴对称, ∴， ∴, ∵， ∴, ∵， ∴, ∴, ∴, 设，则, ，，， ， 解得． ． 当点在轴的右侧时，如图3， 同理可得， 综上，点的坐标为或．       一、单选题 1．若一个正比例函数的图象经过两点，则b的值为（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求出正比例函数解析式以及正比例函数图象上点的坐标特征，根据给定点的坐标，利用待定系数法求出正比例函数解析式是解题的关键． 由点的坐标，利用待定系数法可求出正比例函数的解析式，再利用正比例函数图象上点的坐标特征即可求出b的值． 【详解】设正比例函数解析式为， 又图象过点， 所以，则， 又图象也过点， 时，， 所以． 故选：D． 2．如图，点A、D分别在直线和上，轴，B、C都在x轴上，且四边形是长方形，已知点B的坐标为，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征． 根据函数解析式求出点D坐标即可． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∵四边形是长方形， ∴点D的纵坐标为3， 在中，当时，， ∴． 故选：D． 3．弹簧原长（不挂重物），弹簧总长与重物质量的关系如表所示： 弹簧总长 11 12 13 14 重物重量 0.5 1.0 1.5 2.0 当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧总长是（　　） A．17 B．17.5 C．18 D．18.5 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是求出弹簧长度与重物质量的关系式．根据表格观察可发现：重量每增加1千克，弹簧增长2厘米，满足一次函数关系，根据待定系数法求解析式即可得解． 【详解】解：设L与x的关系式为：， 把，代入解析式得， 解得， ∴L与x的关系式为， 当时，， 故选：C． 4．已知一次函数是常数且中，x与y的部分对应值如表： x 0 1 2 3 y 3 2 1 则关于x的方程的解是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握该知识点是关键． 根据图表即可得出此方程的解． 【详解】解：根据图表可得：当时，， 因而方程的解是． 故选：B． 5．一次函数的图象如图所示，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与方程，根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解． 【详解】解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， 因此关于x的方程的解， 故选：D． 二、填空题 6．某公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售时的收入是 元． 【答案】300 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 先利用待定系数法求得直线解析式，再求时y的值． 【详解】解：设直线解析式为，由图知，直线过，， 代入得：， 解之得：， ∴， 当时，．即营销人员没有销售时的收入是300元． 故答案为：300． 7．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，．若是轴上一点，且的面积为5，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与几何综合，先求出点的坐标为，点的坐标为．设点的坐标为，再根据三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：因为一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， 所以当时，；当时，，解得， 所以点的坐标为，点的坐标为． 设点的坐标为， 因为， 所以， 解得或， 所以点的坐标为或， 故答案为：或． 三、解答题 8．如图是某企业职工养老保险个人月缴费元，随个人月工资百元变化的图象． ‍ (1)张工程师月份工资元，这个月他应缴养老金多少元． (2)李师傅月份缴养老金元，他这个月工资多少元． 【答案】(1)张工程师五月份工资元， 这个月他个人应缴养老保险元 (2)李师傅五月份的个人工资是元 【分析】此题考查了从函数图象获取信息、一次函数的应用． （1）直接利用函数图象解答即可； （2）设工资在和之间所交养老保险金的函数关系式为，列方程组解答即可．此题考查待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的应用． 【详解】（1）解：根据图象可知当时，， 即张工程师五月份工资元， 这个月他个人应缴养老保险元． （2）设工资在和之间所交养老保险金的函数关系式为， 则， 解得：， ， 当时，， 解得， 所以李师傅五月份的个人工资是元． 9．为了加强劳动教育，落实五育并举，某校在校园内建立了一处劳动教育基地．学校选定了基地中土壤水平及光照时长相同的一块地，用来种植甲、乙两种菜苗．从种植开始，每隔两天记录一次数据，数据记录如下表： 已种菜苗的天数 0 2 4 6 8 ．．． 甲种菜苗的高度 3 6 9 12 15 ．．． 乙种菜苗的高度 9 11 13 15 17 ．．． 通过分析数据，我们可以得到甲、乙两种菜苗的高度，（单位：）与已种菜苗的天数（单位：天）之间均满足一次函数关系． (1)在如图所示的平面直角坐标系中，分别画出甲、乙两种菜苗的高度，关于已种菜苗的天数的函数图象，并求出，关于的函数解析式；（不需要写出自变量的取值范围） (2)根据实践经验可知：这两种菜苗均在高度达到时成熟，请问哪种菜苗先成熟？并说明理由． 【答案】(1)见解析，， (2)甲种菜苗先成熟，见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）先描点再连线，利用待定系数法求其函数关系式即可； （2）将当和分别代入对应函数解析式，求出对应x的值并比较大小即可． 【详解】（1）解：画出甲、乙两种菜苗的高度，关于已种菜苗的天数的函数图象如图所示． 设关于的函数解析式为． 将点，代入，得 ， 解得， 关于的函数解析式为； 设关于的函数解析式为， 将点，代入，得 ， 解得， 关于的函数解析式为； （2）解：甲种菜苗先成熟，理由如下： 当时，， 解得； 当时，， 解得． ， 甲种菜苗先成熟． 10．已知一次函数； (1)画出函数的图象； (2)利用图象解方程． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与方程． （1）过图象上两个点的坐标画出直线即可； （2）根据一次函数与x轴的交点作答即可． 【详解】（1）解：令，则， 令，则， ∴一次函数的图象过点、，画出图象如下： （2）解：根据函数图象可知，当时，， 即方程的解为． 11．汽车由南京驶往相距的上海，它的平均速度为． (1)写出汽车距上海的路程s（单位：）与行驶的时间t（单位：h）的函数关系式； (2)指出自变量t的取值范围； (3)当汽车行驶时，汽车距离上海多远？ 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，找出s与t的函数关系式． （1）根据汽车与上海的距离南京与上海的距离汽车的行驶时间速度列出函数关系式即可； （2）根据南京与上海的距离以及汽车行驶速度求出汽车到达上海所需的时间，结合实际意义进一步确定t的取值范围即可； （3）将代入（1）的函数关系式中进行计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ∴t的取值范围是：． （3）解：当时，． 答：当汽车行驶时，汽车距离上海． 12．某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x次，所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题： (1)分别求出选择这两种卡消费时，所需费用、元关于入园次数x次的函数表达式； (2)当消费多少次时，甲、乙两种消费卡的费用相同？ (3)若进入生态体验园15次，采用哪种方式比较划算？ 【答案】(1)， (2)当消费10次时，选择两种消费卡的费用相同 (3)当进入生态体验园15次，采用乙方式比较划算 【分析】（1）利用待定系数法，根据图象上的点求出甲、乙两种卡费用关于入园次数的函数表达式； （2）通过联立两个函数表达式的方程，求解费用相同时的入园次数； （3）将入园次数代入两个函数表达式，比较费用大小确定划算的方式． 【详解】（1）解：甲卡：设，由图象过点，得，解得，所以； 乙卡：设，由图象过点，得，解得，所以． （2）解：联立和，得，解得，即消费10次时，两种卡费用相同． （3）解：当时，， 因为，所以采用乙卡比较划算． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数表达式，联立一次函数方程求交点，以及通过代入求值比较函数值大小是解题的关键． 13．已知一次函数与轴交于点，与轴交于点． (1)求点，点的坐标； (2)点在轴上，是以为腰的等腰三角形，直接写出符合题意的点的坐标． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形性质和勾股定理等知识，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解决问题的关键． （1）按照求一次函数与坐标轴的交点解法解答即可得到答案； （2）画出图形，由等腰三角形性质及勾股定理求解即可写出点的坐标． 【详解】（1）解：一次函数与轴交于点，与轴交于点， 令，得，则；令，得，则； ∴； （2）解：根据题意，作出等腰，如图所示： 当时，点与点关于轴对称，即； 在中，由勾股定理可知， 当时，分两种情况： 当点在轴负半轴上时，则，即； 当点在轴正半轴上时，则，即； 综上所述，点的坐标为或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！45 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 一次函数的应用 知识点1：一次函数与行程问题 知识点2：一次函数与销售利润问题 知识点3：一次函数与坐标轴的交点 1、行程问题中，一次函数中|k|通常对应行程问题中的速度 2、准确理解函数图象中出现的起点、拐点、终点的意义 1、常用等量关系：总利润=单件利润×数量 2、利用函数的增减性得到最大利润 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 kx+b=0（k≠0）的解．求 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点时, 1. 可令 y=0，得到方程 kx+b=0（k≠0），解方程得 ______________ ， 2. 直线 y=kx+b 交 x 轴于点_（0，）_______ , 就是直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标． 【题型1 一次函数与行程问题】 【典例1】一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，慢车先出发，设先发车辆行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象解决以下问题： (1)慢车的速度为______，快车的速度为______； (2)解释图中点D的实际意义并求出点D的坐标； (3)求当x为多少时，两车之间的距离为． 【变式1】某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1）．小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为t（分），两人各自距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数图象如图2所示． (1)求m的值，并说出m的实际意义； (2)求桐桐骑车时距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数解析式（不必写出t的取值范围）； (3)请求出两人在途中相遇时的时间t（分）的值． 【变式2】已知两地之间有一条长的高速公路．甲、乙两车分别从两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以的速度匀速行驶与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程与甲车的行驶时间之间的函数关系如图所示． (1)________，________； (2)求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式； (3)当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程． 【变式3】2025端午节济南大明湖举行龙舟赛活动，参赛队伍有15支．设若甲、乙两个龙舟队分别同时从起点出发，划行的路程y（米）与划行的时间x（分）（其中）之间满足的关系如图所示，根据图象所提供的信息，解答下列问题： (1)甲队划行的速度为 ；当时，乙队划行的速度为 ；当时，乙队划行的速度为 ； (2)当 分钟时，甲、乙两队划行的路程相等； (3)求出当甲、乙两队划行的路程相差100米时x的值． 【题型2 一次函数与销售问题】 【典例2】某商店准备购进一批电冰箱和空调，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，购买3台空调和2台电冰箱共需8800元． (1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？ (2)已知电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元．若商店准备购进这两种家电共100台，其中购进电冰箱台，则该商店要获得最大利润应如何进货？ 【变式1】“中国乳都”呼和浩特，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌．其中酸奶是深受大众喜爱的乳制饮品之一．某超市销售甲、乙两种品牌酸奶，结合以下材料解决问题． 内容 材料一 某超市销售甲、乙两种品牌的酸奶，甲种酸奶的进价为8元/罐；乙种酸奶的进货总金额（单位：元）与进货量（单位：罐）之间的关系如图所示，经过试销，甲、乙两种品牌酸奶的销售价分别为12元/罐和15元/罐． 材料二 某日，该超市销售甲、乙两种品牌的酸奶共800罐，其中乙种品牌的销售量不低于150罐，且不高于400罐． 任务一 （1）根据图象求出与的函数关系式． 任务二 （2）若购进的两种酸奶全部售完，设销售完甲、乙两种品牌的酸奶所获得的总利润为元，求出（单位：元）与乙种品牌酸奶的进货量（单位：罐）之间的函数关系式，并为该超市设计出获得最大利润的销售方案． 【变式2】近年来，文旅业爆火出圈，尤其以“汉服文化”最为游客喜爱．古城附近某汉服店同时购进甲、乙两种系列的汉服共300套，进价和售价如下表所示．设购进甲系列汉服x套，该汉服店全部售完甲、乙两个系列汉服获得的总利润为y元． 汉服款式 甲系列 乙系列 进价（元/套） 60 80 售价（元/套） 100 150 (1)求y与x的函数关系式． (2)该汉服店计划投入2万元购进这300套汉服系列，则至少购进多少套甲系列汉服？若售完全部汉服，则汉服店可获得的最大利润是多少元？ 【变式3】草莓属于多年生草本植物，风味独特、营养丰富，具有生产周期短、见效快、经济效益高、适合设施栽培等特点．某经销商准备从一草莓种植基地购进甲、乙两种草莓进行销售，设经销商购进甲种草莓x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示，购进乙种草莓的价格是每千克30元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若经销商计划一次性购进甲、乙两种草莓共100千克，其中甲种草莓不少于40千克且不超过70千克，设经销商付款总金额为W元，求W的最小值． 【题型3 一次函数的新情景应用】 【典例3】杆秤是我国传统的计重工具．如下图，秤钩上所挂的不同质量的物体使得秤砣到秤纽的水平距离不同．当称重时，秤钩所挂物重为x（单位：），秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为y（单位：）．下表所示的为若干次称重时所记录的一些数据（秤杆上秤砣在秤纽左侧时，水平距离y为正，在右侧时为负），且y是x的一次函数． 0 0.75 1.00 2.25 3.25 1 2 4 7 (1)根据题意，完成上表． (2)请求出y与x之间的关系式． (3)当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为时，秤钩所挂物重是_______． 【变式1】如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中的信息，解答问题： 碗的数量x/个 1 2 4 5 高度 7 8.2 10.6 11.8 (1)求整齐叠放在桌面上碗的高度y（单位：）与碗的数量x（单位：个）之间的函数关系式． (2)当碗的数量为8个时，这摞碗的高度是多少？ 【变式2】根据下面的项目式学习报告，完成相应的任务． 项目主题 探索烘焙温度与烘焙时间之间的关系 项目背景 学校劳动课上开展了烘焙实践课，同学们发现烘焙某种面点时，当烘焙温度大于且小于时，烘焙温度和烘焙时间之间存在关系，并对这种关系展开探索 驱动问题 在一定范围内，烘焙温度与烘焙时间之间是否存在某种特定关系 项目数据 设置不同的烘焙温度，对应的烘焙时间如下表所示： 烘焙温度 … 160 170 180 190 200 … 烘焙时间 … 30 27.5 25 22.5 20 … 项目结论 …… (1)根据表中数据可知，当烘焙温度大于且小于时，烘焙时间y是烘焙温度x的__________函数（填“一次”或“正比例”），则y关于x的函数解析式为__________． (2)已知某次烘焙时间是，请你根据（1）中的函数解析式计算这次的烘焙温度． 【变式3】在社会高速发展的当今时代，人们对于出行安全的关注度与日俱增，然而车辆的无序行驶却给景区、居民区、学校等场所的交通安全埋下了诸多隐患，为了保障交通安全，这些地方的道路上通常会横向安装减速带．如图是某种规格减速带的示意图，减速带由若干块形状和大小相同且完整的减速块以及两端的封堵块拼接而成，通过研究发现，减速带的总长度是所安装减速块块数（块）的一次函数，已知当安装18块减速块时，减速带的总长度为9.6；当安装27块减速块时，减速带的总长度为14.1． (1)求与之间的函数表达式； (2)当安装32块减速块时，减速带的总长度是多少？ 【题型4已知直线与坐标轴交点求方程的解】 【典例4】如图所示，已知点是一次函数图象上的一点，则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式1】一次函数的图象如图所示，则关于x的一元一次方程的解为 ． 【变式2】直线过点和点，则关于x的方程的解是 ． 【变式3】若关于的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【题型5 求直线围成的图象面积】 【典例5】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、． (1)求点A、B的坐标； (2)若点在轴上，且，求点的坐标． 【变式1】如图，直线y＝x＋5与x轴交于点A，直线y＝﹣x＋b与x轴交于点B（1，0），且这两条直线交于点C． （1）求直线BC的解析式和点C的坐标； （2）求△ABC的面积． 【变式2】如图，已知一次函数，完成下列问题： (1)在所给直角坐标系中画出此函数的图象； (2)求直线与两坐标轴围成的面积． 【变式3】如图，直线l与x轴、y轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，，点为y轴上一个动点． (1)求点C坐标； (2)求直线的函数表达式； (3)当与面积相等时，求实数a的值． 【题型6 一次函数与几何综合】 【典例6】如图，直线与x轴、y轴分别交于点、，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点、的坐标以及直线的解析式； (2)若为直线上一动点，，求点的坐标； (3)点在直线上，当时，求所有符合条件的点的坐标． 【变式1】如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求点，的坐标； (2)如果轴上有一动点，要使以为顶点的三角形构成等腰三角形，请探究并求出符合条件的所有点坐标． 【变式2】如图：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． (1)求直线的解析式； (2)作直线，当点运动到什么位置时，的面积被直线分成的两部分； (3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式3】如图1，已知函数与x轴交于点C，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q． ①若的面积为，求点M的坐标； ②连接，如图2，若，求点P的坐标． 一、单选题 1．若一个正比例函数的图象经过两点，则b的值为（   ） A． B．3 C．4 D． 2．如图，点A、D分别在直线和上，轴，B、C都在x轴上，且四边形是长方形，已知点B的坐标为，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．弹簧原长（不挂重物），弹簧总长与重物质量的关系如表所示： 弹簧总长 11 12 13 14 重物重量 0.5 1.0 1.5 2.0 当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧总长是（　　） A．17 B．17.5 C．18 D．18.5 4．已知一次函数是常数且中，x与y的部分对应值如表： x 0 1 2 3 y 3 2 1 则关于x的方程的解是(   ) A． B． C． D． 5．一次函数的图象如图所示，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C．2 D．0 二、填空题 6．某公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售时的收入是 元． 7．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，．若是轴上一点，且的面积为5，则点的坐标为 ． 三、解答题 8．如图是某企业职工养老保险个人月缴费元，随个人月工资百元变化的图象． ‍ (1)张工程师月份工资元，这个月他应缴养老金多少元． (2)李师傅月份缴养老金元，他这个月工资多少元． 9．为了加强劳动教育，落实五育并举，某校在校园内建立了一处劳动教育基地．学校选定了基地中土壤水平及光照时长相同的一块地，用来种植甲、乙两种菜苗．从种植开始，每隔两天记录一次数据，数据记录如下表： 已种菜苗的天数 0 2 4 6 8 ．．． 甲种菜苗的高度 3 6 9 12 15 ．．． 乙种菜苗的高度 9 11 13 15 17 ．．． 通过分析数据，我们可以得到甲、乙两种菜苗的高度，（单位：）与已种菜苗的天数（单位：天）之间均满足一次函数关系． (1)在如图所示的平面直角坐标系中，分别画出甲、乙两种菜苗的高度，关于已种菜苗的天数的函数图象，并求出，关于的函数解析式；（不需要写出自变量的取值范围） (2)根据实践经验可知：这两种菜苗均在高度达到时成熟，请问哪种菜苗先成熟？并说明理由． 10．已知一次函数； (1)画出函数的图象； (2)利用图象解方程． 11．汽车由南京驶往相距的上海，它的平均速度为． (1)写出汽车距上海的路程s（单位：）与行驶的时间t（单位：h）的函数关系式； (2)指出自变量t的取值范围； (3)当汽车行驶时，汽车距离上海多远？ 12．某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x次，所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题： (1)分别求出选择这两种卡消费时，所需费用、元关于入园次数x次的函数表达式； (2)当消费多少次时，甲、乙两种消费卡的费用相同？ (3)若进入生态体验园15次，采用哪种方式比较划算？ 13．已知一次函数与轴交于点，与轴交于点． (1)求点，点的坐标； (2)点在轴上，是以为腰的等腰三角形，直接写出符合题意的点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 17 学科网（北京）股份有限公司 $