2.2.2等差数列的前n项和课件（第2课时）-2025-2026学年高二数学北师大版选择性必修第二册

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第一章 数列 第1节 等差数列 2.2 等差数列的前n项和 第2课时（共2课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、掌握由Sn求an的方法。 2、理解Sn的性质。 3、会用Sn的性质解决问题。 1、掌握由Sn求an的方法。 2、会用Sn的性质解决问题。 1、掌握由Sn求an的方法。 2、会用Sn的性质解决问题。 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 1、等差数列的通项公式是什么？ an=a1+(n-1)d 2、等差数列的前n项和公式是什么？ Sn = 、 Sn = nad 本节课我们来研究等差数列前n项和Sn的性质. 3 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 若数列{an}的前n项和为Sn，则an= 4 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、若数列{an}的前n项和是Sn=n2-4n（n为正整数），则数列{an}的通项公式是__________. 解:当n≥2时，an = Sn-Sn-1 = (n2-4n)-[(n-1)2-4(n-1)] = 2n-5 当n=1时，a1= S1 = 12-4×1= -3 也满足an=2n-5, 所以数列{an}的通项公式是an=2n-5. 5 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、记Sn=n2-2n为数列{an}的前n项和，Tn=n2+2n为数列{bn}的前n项和，则 = ________ 解:由Sn=n2-2n可知， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =(n2-2n)-[(n-1)2-2(n-1)] =2n-3 当n=1时，a1=S1=-1，符合an=2n-3， 所以an=2n-3， 同理可得bn=2n+1 ∴ = = 6 典 例 引 路 柯 西 例2、若数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1，则数列{an}的通项公式an___________. 解:当n≥2时，an = Sn-Sn-1 = (3n2-2n+1)-[3(n-1)2-2(n-1)+1] = 6n-5 当n=1时，a1= S1 = 3×12-2×1+1= 2, 不满足an=6n-5, 所以an= 7 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练2、已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+2n+3，则通项公式an=________ 解:当n≥2时，an = Sn-Sn-1 = (-n2+2n+3)-[-(n-1)2+2(n-1)+3] = -2n+3 当n=1时，a1= S1 = -12+2×1+3= 4, 不满足an= -2n+3, 所以an= 8 典 例 引 路 牛 顿 例3、已知Sn为数列{an}的前n项和，an＞0，an2+2an=4Sn.则数列{an}的通项公式为______________ 解：当n=1时，a12+2a1=4S1=4a1，因为an＞0，所以a1=2； 当n≥2时，an2+2an=4Sn an-12+2an-1=4Sn-1 两式相减得 an2+2an-（an-12+2an-1）= 4Sn-4Sn-1 an2-an-12+2an-2an-1=4an an2-an-12=2(an+an-1) (an-an-1)(an+an-1)=2(an+an-1) 因为an＞0，所以an-an-1=2 所以数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列， 所以an=2n 9 同 步 练 习 黎 曼 练3、正项数列{an}的前n项和Sn满足an(1+an)=2Sn，则数列{an}的通项公式为____________ 解：当n=1时，a1(1+a1)=2S1=2a1，因为an＞0，所以a1=1； 当n≥2时，an(1+an)=2Sn an-1(1+an-1)=2Sn-1 两式相减得 an(1+an)-an-1(1+an-1)=2Sn-2Sn-1 an-an-1+an2-an-12=2an an2-an-12=an+an-1 (an-an-1)(an+an-1)=an+an-1 因为an＞0，所以an-an-1=1 所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列， 所以an=n 10 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 等差数列{an}的前n项和为Sn,则 Sn = nad = na1+dn2 - dn= _________________ d≠0时，等差数列前n项和Sn是关于n的二次函数,且常数项是0，即Sn=an2+bn(a,b∈R)。 dn2+(a1 - d)n 如果一个数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn+r，其中p,q,r为常数，且p≠0，则当n=1时，a1=S1=___________ 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=____________ p+q+r 2pn-p+q 数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn+r，其中p,q,r为常数，且p≠0，只有当r=0时该数列才是等差数列，. 所以当且仅当 r _____0 时，a1满足an=2pn-p+q. = 11 典 例 引 路 狄利克雷 例4、（1）设等差数列{an}的前n项和为Sn，S17=S9,若Sm=S14，则m的值为_____ 解：等差数列{an}的前n项和Sn为二次函数 ∵S17=S9 ∴ 对称轴为 n = =13 ∵Sm=S14 ∴ = 13 ∴m = 12 （2）等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1＜0，S3=S11，则当n=      时，Sn最小. 解：等差数列{an}的前n项和Sn为二次函数 ∵ a1＜0，S3=S11 ∴公差d＞0 ∴ Sn的图像为开口向上的抛物线 ∵S3=S11 ∴ 对称轴为 n = = 7 ∴ n = 7时，Sn最小。 12 同 步 练 习 庞加莱 练4、（1）已知{an}是各项不全为零的等差数列，前n项和是Sn，且S2000=S2040，若Sm=S2022，则正整数m=_____ 解：等差数列{an}的前n项和Sn为二次函数 ∵S2000=S2040 ∴ 对称轴为 n = = 2020 ∵Sm=S2022 ∴ = 2020 ∴ m = 2018 （2）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，S4=S8，则当Sn取得最大值时，n的值为_________ 解：等差数列{an}的前n项和Sn为二次函数 ∵ a1＞0，S4=S8 ∴公差d＜0 ∴ Sn的图像为开口向下的抛物线 ∵S4=S8 ∴ 对称轴为 n = = 6 ∴ n = 6时，Sn最大。 13 典 例 引 路 皮 亚 诺 例5、数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn=(n+2)2+λ，则λ的值是__________ 解：Sn = (n+2)2+λ = n2+4n+4+λ ∵等差数列的前n项和为常数项为0的二次函数 ∴4+λ=0 ∴λ= -4 14 同 步 练 习 莱布尼兹 练5、已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＝21，S5＝65，则Sn＝_________ 解：设等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn. 由已知可得 解得 ∴ Sn=3n2-2n 15 典 例 引 路 傅里叶 例6、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由. 解： ∵a1＝10，d＝－2， ∴ , 所以，当n取与 最接近的整数， 即5或6时，Sn最大，最大值为30. 16 同 步 练 习 洛必达 练6、已知等差数列 5，，，…的前n项和为Sn，求使得Sn最大的序号n的值。 解：依题意，等差数列 5，，…的公差为 - ， 所以 Sn = 5n+×(- ) = -(n-)2 + ∴当n取与最接近的整数即7或8时，Sn取最大值 17 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，……成等差数列。 对于无穷等差数列{an} a1，a2，…，am，am+1，am+2，…，a2m，a2m+1，a2m+2，…，a3m，… 每隔m项分成一段，再把每一段内的各项求和， 得到一个新的数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，… 注意：1、 Sm，S2m，S3m，S4m，…不是等差数列。 18 典 例 引 路 华罗庚 例7、等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,求数列{an}的前3m项的和S3m. 解：在等差数列{an}中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列, 即30,70,S3m-100成等差数列, 故2×70=30+(S3m-100), S3m=210. 19 同 步 练 习 陈景润 练7、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9等于 ( 　　) A.63 B.45 C.36 D.27 解：由等差数列前n项和的性质可知： S3，S6-S3，S9-S6构成等差数列， 所以 S3+(S9-S6)=2(S6-S3)， 即 S9=3S6-3S3， 又 S3=9，S6=36， 所以 S9=3×36-3×9=81， 所以 a7+a8+a9=S9-S6=81-36=45. B 20 学 习 新 知 拉格朗日 等差数列{an}的公差为d, S奇=a1+a3+a5+a7+… S偶=a2+a4+a6+a8+… 当n为奇数时，①S奇+S偶 =_________ ② S奇-S偶 = ________ ③ = __________ 当n为偶数时，①S奇+S偶 =_________ ② S偶-S奇 = _______ ③ = __________ (中间项) Sn Sn d … 21 典 例 引 路 贝叶斯 例8、 已知等差数列{an}的前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27,求该数列的公差d. 解:由已知得 解得 又 S偶-S奇= 6d 所以 d = = 5. 22 同 步 练 习 佩雷尔曼 练8、已知等差数列{an}的项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，则数列的中间项为      ；项数为      ． 解：∵ = = ∴ n=7 ∴中间项为a4 ∴ a4 = S奇-S偶 = 44-33 = 11 23 全 课 总 结 一、若数列{an}的前n项和为Sn，则an= 二、数列{an}为公差不为0的等差数列数列{an}的前n项和Sn是常数项为0的二次函数。 三、Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，……成等差数列。 四、当n为奇数时，①S奇+S偶 =Sn ② S奇-S偶 = ③ = 当n为偶数时，①S奇+S偶 =Sn ② S偶-S奇 = d ③ = 24 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 25 $