1.2.1 第2课时 等差数列的性质-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦等差数列的性质这一核心知识点，基于等差数列定义与通项公式，系统梳理项的性质（若m+n=p+q则am+an=ap+aq）、等差中项概念、与一次函数的关系（图象为直线上的点，公差是斜率）及增减性，构建从概念理解到性质应用的学习支架。 资料以问题链驱动探究（如三个等差数列实例引导发现项的数量关系），培养数学抽象与逻辑推理素养。例题设计结合实际问题（如“竹九节”问题），分层作业兼顾基础与提升，课中助力教师引导学生主动建构知识，课后帮助学生巩固性质应用，弥补运算薄弱点。

第2课时　等差数列的性质 学习任务 核心素养 1．了解等差数列的通项公式与一次函数的关系，理解公差d的几何意义．(重点) 2．掌握等差数列的性质及应用．(重点、难点) 3．掌握等差中项的概念及应用．(重点、难点) 1．通过对等差中项概念及公差d的几何意义的学习，培养数学抽象素养． 2．借助等差数列性质的应用，培养数学运算素养． 看下面三个等差数列： (1)1，3，5，7，9，11，13，… (2)5，2，－1，－4，－7，－10，… (3)2，2，2，2，2，2，… 问题：各个数列中，a1＋a5与a2＋a4的值有怎样的数量关系？这种关系是巧合吗？如果换为a1＋a4 与a2＋a3呢？你能给出一般性的结论吗？ [提示]　略． 1．等差数列的图象 对于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋，可将an记作f (n)，它是定义在正整数集(或其子集)上的函数．其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d． 2．等差数列的增减性 (1)当d＞0时，数列为递增数列； (2)当d＜0时，数列为递减数列； (3)当d＝0时，数列为常数列． 3．等差数列的性质 (1)等差中项 如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项，A＝． (2)如果是等差数列，正整数m，n，p，q，t满足m＋n＝p＋q＝2t，则有am＋an＝ap＋aq＝2at． 1．已知等差数列的两项，是否可确定这个数列的通项公式？请从几何意义上给出解释． [提示]　可以确定，因为数列的两项对应数列图象上的两点，又因等差数列的图象是直线y＝dx＋上的一些等间隔的点，由两点确定一条直线知，可以确定这个数列的通项公式． 2．已知等差数列的两项am，an，如何用am，an表示公差d？并解释公差d的几何意义． [提示]　d＝．d是直线y＝dx＋的斜率． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若是等差数列，且am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q． (　　) (2)若A＝，则a，A，b成等差数列． (　　) (3)若是等差数列，则an＝am＋d． (　　) (4)等差数列{an}的增减性是由公差d决定的． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．在等差数列{an}中，若a3＋a9＝26，则a3＋3a7＝(　　) A．13　　　B．26　　　C．39　　　D．52 D　[因为{an}是等差数列， 所以a3＋3a7＝a3＋a7＋2a7＝2(a5＋a7)， 又因为a3＋a9＝a5＋a7＝26， 所以a3＋3a7＝2×26＝52， 故选D．] 3．已知在等差数列{an}中，a6＋a10＝20，则a8的值是________． 10　[] 类型1　等差数列项的性质及应用 【例1】　已知等差数列． (1)若a1＋a2＋a3＝6，则a2＝________； (2)若a1＋a2＝3，a3＋a4＝7，则a5＋a6＝_________； (3)若a3＝12，a7＝24，则公差d＝________． [思路点拨]　观察已知式与待求式的结构特征，联想等差数列的性质，利用等差数列的性质求解． (1)2　(2)11　(3)3　[(1)∵a1＋a3＝2a2，∴3a2＝6，∴a2＝2． (2)∵a1＋a5＝2a3，a2＋a6＝2a4， ∴， 即， ∴3＋＝2×7． ∴a5＋a6＝11． (3)d＝＝3．] [母题探究] 在例1第(1)问的条件下，求a3＋a4－a5的值． [解]　法一：设数列{an}的公差为d，则 a3＋a4－a5＝a3－＝a3－d＝a2＝2． 法二：a3＋a4－a5＝a2＋a5－a5＝a2＝2． 　1．本题除了用性质法求解外，也可用基本量法求解，即将已知式与待求式用等差数列的基本量a1和d表示出来，通过解方程(组)或整体代换求解． 2．若注意到是等差数列，则第(2)问的求解会更简单，事实上第(2)问是已知等差数列的前两项求第三项． 3．若{an}是等差数列，则公差d＝，p，q∈N＋；an＝ap＋(n－p)，p，q，n∈N＋． 类型2　利用等差中项判定等差数列 【例2】　在数列中，a1＝0，当n≥2时，．求证：数列是等差数列． [思路点拨]　通过证明an＋2＋an＝2an＋1来证明． [证明]　 当n≥2时，由，得an＋1＝nan， ∴nan＋2＝an＋1， 两式相减得，nan＋2－an＋1－nan， 整理，得nan＋2＋nan＝2nan＋1， ∴an＋2＋an＝2an＋1， 又∵a3－a2＝2a2－a2＝a2＝a2－0＝a2－a1， ∴数列是等差数列． 　　证明一个数列是等差数列的方法 (1)定义法：an－an－1＝d⇔数列是等差数列． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2⇔数列是等差数列． [跟进训练] 1．已知a，b，c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b也成等差数列． [证明]　∵a，b，c成等差数列， ∴2b＝a＋c，∴(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c＝a＋(a＋c)＋c＝2． ∴b＋c，c＋a，a＋b成等差数列． 类型3　等差数列性质的应用 【例3】　【链接教材P14例5】 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升． 　[设竹子各节容积所构成的等差数列为{an}，则 由a7＋a8＋a9＝4，得3a8＝4，∴a8＝． 由a1＋a2＋a3＋a4＝3，得2(a1＋a4)＝3， ∴a1＋a4＝． ∴(a8－7d)＋(a8－4d)＝，∴d＝． ∴a5＝a8－3d＝．] 【教材原题·P14例5】 　一个木制梯形架的上、下两底边分别为33 cm，75 cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各对应分点，构成梯形架的各级．试计算梯形架间各级的宽度． [解]　记梯形架自上而下各级宽度所构成的数列为{an}，则由梯形中位线的性质，易知相邻三项均成等差数列，即数列{an}成等差数列．依题意，有 a1＝33 cm，a7＝75 cm． 现要求a2，a3，…，a6，即中间5级的宽度． 依等差数列的定义，有 d＝＝7(cm)， 所以a2＝33＋7＝40(cm)，a3＝40＋7＝47(cm)，a4＝47＋7＝54(cm)， a5＝54＋7＝61(cm)，a6＝61＋7＝68(cm)． 因此，梯形架中间各级的宽度自上而下依次是40 cm，47 cm，54 cm，61 cm，68 cm． 　求解与等差数列有关的实际问题时．在建立等差数列模型后，要确定等差数列的通项公式，并弄清楚实际问题所要求的是等差数列的什么问题． [跟进训练] 2．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给五人，使每人所得面包数成等差数列，且使最大的三份之和的是较小的两份之和，则最小1份的个数是________． 10　[设这五人所得面包数成递增的等差数列，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝100， ∴5a3＝100，即a3＝20， ∴a1＋2d＝20，① 由＝a1＋a2，得a1＝2d，② ①②联立，解得a1＝10．] 1．在等差数列中，a3，a10是方程x2－3x－5＝0的两个实根，则a5＋a8＝(　　) A．3　　　　B．5　　　　C．－3　　　　D．－5 A　[a5＋a8＝a3＋a10＝3．] 2．若48，a，b，c，－12是等差数列中连续五项，则a＝______，b＝______，c＝_______． 33　18　3　[] 3．已知在等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝________． 15　[∵a3＋a8＝a5＋a6＝22，又a6＝7， ∴a5＝15．] 4．已知数列{an}是等差数列，且a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，求a3＋a15的值． [解]　法一：设数列{an}的首项为a1，公差为d， 则a1－a5＋a9－a13＋a17＝117可化为a1＋8d＝117， ∴a3＋a15＝a1＋2d＋a1＋14d＝2(a1＋8d)＝2×117＝234． 法二：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q， 则am＋an＝ap＋aq，∴a1＋a17＝a5＋a13， ∴由条件可得a9＝117， ∴a3＋a15＝2a9＝2×117＝234． 1．等差数列增减性的判断方法：可利用公差d的符号来判断，当d＞0时，是递增数列；当d＝0时，是常数列；当d＜0时，是递减数列． 2．应用等差数列的性质，可使有关等差数列问题的解答变得简捷． 3．在利用等差数列的性质解题时，注意函数与方程思想、转化与化归思想及整体代入方法的应用． 课时分层作业(四)　等差数列的性质 一、选择题 1．已知数列{an}是等差数列，且a1＋a3＋a5＝2π，则cos a3＝(　　) A．　　　B．－　　　C．　　　D．－ D　[∵a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝2π，π，∴cos a3＝cos π＝－．] 2．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则2a10－a12的值为(　　) A．20 B．22 C．24 D．28 C　[由a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，得5a8＝120， ∴a8＝24， ∴2a10－a12＝a10－＝a10－2d＝a8＝24．] 3．若a≠b，两个等差数列a，x1，x2，b与a，y1，y2，y3，b的公差分别为d1，d2，则等于(　　) A． B． C． D． C　[∵b－a＝3d1，且b－a＝4d2， ∴．] 4．若数列{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9＝(　　) A．39 B．20 C．19.5 D．33 D　[由等差数列的性质，得 a1＋a4＋a7＝3a4＝45， a2＋a5＋a8＝3a5＝39， a3＋a6＋a9＝3a6． 又3a5×2＝3a4＋3a6， 解得3a6＝33，即a3＋a6＋a9＝33．] 5．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则＝(　　) A．1 B． C． D． C　[设方程x2－2x＋m＝0的两根分别为x1，x2，方程x2－2x＋n＝0的两根分别为x3，x4， 则x1＋x2＝x3＋x4＝2， 不妨设数列的首项为x1，根据等差数列的性质，数列的第四项为x2， 由题意知x1＝，∴x2＝， ∴数列的公差d＝， ∴数列的中间两项为， ∴m＝， ∴．] 二、填空题 6．已知{an}是等差数列，a3＋a9＝12，则a6等于__________． 6　[] 7．在等差数列中，a2＝－5，a6＝11，则公差d＝________． 4　[] 8．在等差数列{an}中，若a3－a4＋a5－a6＋a7＝100，则a5＝________． 100　[由等差数列的性质知a3＋a7＝a4＋a6，则a3－a4＋a5－a6＋a7＝(a3＋a7)－(a4＋a6)＋a5＝a5＝100．] 三、解答题 9．若三个数a－4，a＋2，26－2a，适当排列后构成递增的等差数列，求a的值和相应的数列． [解]　当a－4是等差中项时，2＝(a＋2)＋(26－2a)， 解得a＝12，相应的数列为2，8，14； 当a＋2是等差中项时，2， 解得a＝6，相应的数列为2，8，14； 当26－2a是等差中项时，2＝(a－4)＋(a＋2)， 解得a＝9，相应的数列为5，8，11． 10．在等差数列{an}中，若 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝30，a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝80，求a11＋a12＋a13＋a14＋a15的值． [解]　∵a1＋a11＝2a6， a2＋a12＝2a7， a3＋a13＝2a8， a4＋a14＝2a9， a5＋a15＝2a10， ∴a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝ ， ∴80＝， ∴a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝130． 11．已知数列{an}为等差数列，且a1＋a5＋a9＝4π，则tan(a3＋a7)＝(　　) A． B．－ C．－ D． C　[∵数列{an}为等差数列，且a1＋a5＋a9＝4π＝3a5，∴a5＝， 则tan (a3＋a7)＝tan 2a5＝tan ＝tan ＝， 故选C．] 12．四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则(　　) A．> B．< C． D． A　[] 13．(多选题)已知{an}是公差d>0的等差数列，下列结论正确的是(　　) A．数列是递增数列 B．数列是递增数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 AD　[an＝a1＋(n－1)d＝dn＋，所以A正确； 如an＝3n－12满足已知，但nan＝3n2－12n并非递增数列，所以B错误； 若an＝n＋1，则满足已知，但，是递减数列，所以C错误； an＋3nd＝4dn＋，所以是递增数列，D正确．] 14．已知在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则内角B等于__________；ac与b2的大小关系是________． 　b2≥ac　[由已知得B＝，解得B＝． 在△ABC中，b2＝a2＋c2－2ac cos ＝a2＋c2－ac， 所以b2＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac．] 15．在等差数列中，已知公差d，an≠0，设关于x的方程akx2＋2ak＋1x＋ak＋2＝0． (1)试问：这些方程是否有公共根？如果有，求出这个公共根；如果没有，说明理由． (2)设方程akx2＋2ak＋1x＋ak＋2＝0的另一根为xk，证明：是等差数列． [解]　(1)∵是等差数列，∴ak＋ak＋2＝2ak＋1， 代入已知方程，得akx2＋x＋ak＋2＝0，即＝0， 方程有解x＝－1， 故不论k取何正整数时，方程总有公共根x＝－1． (2)证明：当k取任何正整数时，xk＝－， ∴xk＋1＝－， 故， 则． ∴是公差为－的等差数列． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $