1.1.2 数列的函数特性-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦数列的函数特性核心知识点，系统梳理数列的图象、列表、通项公式三种表示方法，深入讲解递增、递减、常数列的概念及判断方法。通过实例观察引入，联系函数单调性定义数列增减性，结合作差作商等方法应用，形成完整学习支架。 该资料以实例驱动概念生成，类比函数单调性培养数学抽象素养，借助作差法判断增减性提升逻辑推理能力。设有思考辨析、分层作业等环节，课中助力教师系统教学，课后帮助学生巩固查漏，体现学科特色教学方法。

1.2　数列的函数特性 学习任务 核心素养 1．掌握数列的几种简单表示方法．(重点) 2．理解递增数列、递减数列、常数列的概念．(重点) 3．掌握判断数列的增减性的方法．(重点、难点) 1．通过对递增数列、递减数列、常数列等概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助数列的增减性的判断，提升逻辑推理素养． 观察以下几个数列： ①1，2，3，4，…； ②－2，－4，－6，－8，…； ③1，1，1，1，…． 问题：从增减性上考查，以上三个数列有何特点？联想函数单调性的定义，如何定义数列的增减性？ [提示]　①是递增的数列；②是递减的数列；③是常数列． 1．数列的表示方法 表示一个数列，我们可以用图象、列表、通项公式． 2．递增数列、递减数列、常数列 名称 定义 表达式 图象特点 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项 an＋1>an(n∈N＋) 上升 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项 an＋1<an(n∈N＋) 下降 常数列 各项都相等 an＋1＝an(n∈N＋) 不升不降 1．在数列中，an＝，请说出数列与函数f (x)＝(x>0)的图象的区别与联系？ [提示]　区别：数列{an}的图象是一群孤立的点，而函数f (x)的图象是一条光滑的曲线；联系：表示数列图象的点分布在函数图象上． 2．若函数y＝f在区间上是单调递增函数，那么数列an＝f一定是递增数列吗？反之，是否一定成立？ [提示]　一定是递增数列，反之，不一定成立，例如an＝n2－n是递增数列，但f＝x2－x在区间上不单调． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列． (　　) (2)若∀n∈N＋，>1，则数列{an}是递增数列． (　　) (3)若∃m，n∈N＋，且m<n，使得am>an，则数列{an}不是递增数列． (　　) (4)若∀n∈N＋，an＋3＝an，则a2 025＝a3． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．已知数列{an}满足：任意m，n∈N＋，都有an·am＝an＋m，且a1＝，那么a5＝(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． A　[由题意，得a2＝a1a1＝，a3＝a1·a2＝，则a5＝a3·a2＝．] 3．在数列{an}中，an＝n2－9n(n∈N＋)，则此数列最小项的值是________． －20　[an＝n2－9n＝－， ∵n∈N＋，∴当n＝4或n＝5时，an取最小值－20．] 4．对于数列{an}，a1＝4，an＋1＝f (an)，n∈N＋，依照下表，则a2 026＝________． x 1 2 3 4 5 f (x) 5 4 3 1 2 1　[a1＝4，a2＝f (4)＝1，a3＝f (1)＝5，a4＝f (5)＝2，a5＝f (2)＝4，a6＝f (4)＝1，…， 所以该数列是周期为4的周期数列， 所以a2 026＝a2＝1．] 类型1　数列的图象及其应用 【例1】　 已知数列的通项公式为an＝n2－10n＋10，这个数列从第几项起各项的数值逐渐增大？从第几项起各项的数值均为正值？数列中是否还存在数值与首项相同的项？ [思路点拨]　画出数列的图象，借助图象求解． [解]　 表示数列的各点都在函数y＝x2－10x＋10的图象上． 由图可得， 这个数列从第5项起各项的数值逐渐增大， 从第9项起各项的数值均为正值， 第9项是与首项相同的项． 　　数列的项与项数之间构成特殊的函数关系．因此，涉及数列的增减性、最值等问题均可仿照求函数单调性、最值问题的方法来研究，不过在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意到函数的定义域为正整数集这一约束条件． [跟进训练] 1．若数列的通项公式为an＝－n2＋7n，求an的最大值，并与函数f＝－x2＋7x(x∈R)的最大值作比较． [解]　 作出函数f＝－x2＋7x(x∈R)的图象与数列的图象，如图所示． 从图象上看，表示数列的各点都在函数f＝－x2＋7x(x∈R)的图象上， 由数列的图象，得an的最大值为a3＝a4＝12， 由函数f的图象，得f的最大值为f＝， 因此，an的最大值小于f的最大值． 类型2　数列的增减性的判定 【例2】　【链接教材P5例3】 已知数列{an}的通项公式为an＝，试判断该数列的增减性． [思路点拨]　可用作差法或作商法判断数列的增减性． [解]　法一：an＋1－an＝＝． 因为n∈N＋， 所以1－n2－n＝1－n(n＋1)≤1－2＝－1<0， 所以an＋1－an<0，即an＋1<an．故该数列为递减数列． 法二：因为＝＝ ＜1， 所以an＋1<an．故该数列为递减数列． 【教材原题·P5例3】 写出下面数列的一个通项公式，并判断数列的增减性． (1)2，1，0，－1，…，3－n，… (2)，…，，… [解]　(1)an＝3－n可以作为这个数列的一个通项公式，那么 an＋1＝3－(n＋1)＝2－n， an＋1－an＝(2－n)－(3－n)＝－1＜0， 所以an＋1＜an，因此数列{an}是递减数列． (2)bn＝可以作为这个数列的一个通项公式，那么 bn＋1＝＝， bn＋1－bn＝＝＞0， 所以bn＋1＞bn，因此数列{bn}是递增数列． 　讨论数列的增减性，即比较an与an＋1的大小关系，可以作差比较，即证an＋1－an＞0 (或an＋1－an＜0)，也可以作商比较，前提条件是数列各项为正，即an>0，则只要证＞1． [跟进训练] 2．已知数列的通项公式为an＝，试判断该数列的增减性． [解]　∵an＋1－an＝＝<0，∴an＋1<an，∴数列为递减数列． 类型3　求数列的最大(小)项 【例3】　已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋1)·(n∈N＋)，试问该数列{an}有没有最大项？若有，求出最大项的项数；若没有，说明理由． [思路点拨]　思路一：利用不等式组求n的值；思路二：利用数列{an}的增减性，求n的值． [解]　法一：令 化为解得 ∴当n＝9或n＝10时，an最大，即数列{an}有最大项，此时n＝9或n＝10． 法二：∵an＋1－an＝(n＋2)·－(n＋1)·＝·． 当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an； 当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1<an． 故a1<a2<a3<…<a9＝a10>a11>a12>…． ∴数列{an}中有最大项，为第9，10项． 　求数列{an}的最大(小)项的两种方法 (1)设ak是最大(小)项，则有 解之便可求出n，并把ak与首项、尾项作比较； (2)先判断数列的增减情况，再根据增减情况求数列的最大(小)项． [跟进训练] 3．若数列中的最大项是第k项，则k＝________． 4　[因为数列中的最大项为第k项，则有 即所以 所以k＝4．] 类型4　数列的递推公式 【例4】　在数列中，a1·a2·a3·…·an＝n2(n∈N＋)，求an． [解]　已知a1·a2·a3·…·an＝n2(n∈N＋)，① 当n＝1时，a1＝1； 当n≥2时，a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2，② ①÷②，得an＝(n≥2)， 所以an＝ 　　如果已知数列的第一项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式．递推公式也是给出数列的一种重要形式．有的递推公式与通项公式之间也可以进行互化． [跟进训练] 4．某人卖西瓜，第一位顾客买去了所有西瓜的一半加半个，第二位顾客买去所剩西瓜的一半加半个，……依次类推，每一位顾客都买所剩西瓜的一半再加半个，第八位顾客恰好把西瓜买完，问共有多少个西瓜？ [解]　 设原来共有西瓜数为a0，各位顾客买后剩下的西瓜数依次记为an， 依题意得 整理，得 ∴a7＝1，a6＝3，a5＝7，a4＝15，a3＝31，a2＝63，a1＝127，a0＝255，即共有255个西瓜． 1．已知an＋1－an＝3，则数列是(　　) A．递增数列　　　　　　 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 A　[∵an＋1－an＝3>0，∴an＋1>an，数列{an}是递增数列．] 2．已知表示数列的图象的点在函数y＝的图象上，则其通项公式为________． an＝(n∈N＋)　[数列对应的点列为，即有an＝(n∈N＋)．] 3．(教材P8习题1－1A组T6改编)已知数列，an＝2n2－10n＋3，它的最小项是第________项． 2或3　[an＝2n2－10n＋3＝2－，故当n＝2或3时，an最小．] 4．已知数列{an}的通项公式为an＝，判断该数列是否有最大项．若有，指出第几项最大；若没有，试说明理由． [解]　因为an＋1－an＝＝， 所以，当n<8时，an＋1>an； 当n＝8时，an＋1＝an，即a9＝a8； 当n>8时，an＋1<an． 因此数列{an}有最大项，即第8项和第9项，其取值为． 1．数列是一类特殊函数，因此用函数观点解决数列问题是一种常用的方法，但要注意其定义域为正整数集或其有限子集． 2．数列的三种表示方法各有优点：(1)用通项公式表示数列，简捷明了，便于计算．(2)列表法的优点是不经过计算，就可以直接看出项数与项的对应关系．(3)图象能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项变化的趋势． 3．判断一个数列的增减性，可以借助于图象的升、降趋势进行判断，也可以利用定义进行判断，即通过判断一个数列的任意相邻两项之间的大小关系来确定数列的增减性． 课时分层作业(二)　数列的函数特性 一、选择题 1．下列四个数列中，是递增数列的是(　　) A．　　　　　　 B． C． C　[由于函数y＝cos ，在x∈上单调递增，所以数列是递增数列．] 2．已知数列{an}满足an＝，其中a，b，c均为正数，则此数列(　　) A．递增　 B．递减 C．先增后减　 D．先减后增 A　[an＝，∵a，b，c均为正数，∴an随n的增大而增大，故选A．] 3．已知数列{an}的通项公式为an＝n＋(n∈N＋)，则数列{an}的最小项是(　　) A．a12 B．a13 C．a12或a13 D．不存在 C　[函数y＝x＋在(0，)上单调递减，在[，＋∞)上单调递增，又12＜＜13，且a12＝a13＝25，故选C．] 4．已知函数f (x)＝若数列{an}满足an＝f (n)(n∈N＋)，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是(　　) A． C．(2，3) D．(1，3) C　[根据题意， an＝f (n)＝ 要使{an}是递增数列， 需满足 解得2＜a＜3．] 5．对于数列{an}，“an＋1>(n＝1，2，…)”是“{an}为递增数列”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．必要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[当an＋1>(n＝1，2，…)时， ∵≥an，∴an＋1>an，∴{an}为递增数列． 当{an}为递增数列时，若该数列为－2，0，1，则a2>不成立，即知an＋1>(n＝1，2，…)不一定成立． 综上知，“an＋1>(n＝1，2，…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．] 二、填空题 6．已知是递增数列，且对任意n∈N＋，都有an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________． 　[由题意知，an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn＝2n＋1＋λ＞0，又n∈N＋，∴λ＞－2n－1＝－3．] 7．已知数列{an}的通项公式为an＝，则数列{an}的最大项是________，最小项是________． 4　0　[∵an＋1－an＝ ＝ ＝ ＝－ ＝－． 当n≤2时，an＋1－an<0，即an＋1<an； 当n＝3时，an＋1－an>0，即an＋1>an； 当n≥4时，an＋1－an<0，即an＋1<an． 又当n≤3时，an<2；当n≥4时，an>2． ∴a4>a5>…>an>…>2>a1>a2>a3． 故最小项为a3＝0，最大项为a4＝4．] 8．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N＋)，则a16＝________． 　[∵a1＝2，由an＋1＝，得a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，…，∴数列{an}是周期为4的数列， ∴a16＝a4×4＝a4＝．] 三、解答题 9．(源自人教B版教材)已知函数f (x)＝，设数列{an}的通项公式为an＝f (n)，其中n∈N＋． (1)求证：0≤an<1； (2)判断{an}是递增数列还是递减数列，并说明理由． [解]　(1)证明：由题意可知 an＝f (n)＝＝1－， 又因为n∈N＋，所以0<≤1，因此0≤1－<1，即0≤an<1． (2)因为an＋1－an＝＝， 又因为n＋1>n≥1，所以>0，从而an＋1－an>0，即an＋1>an． 因此{an}是递增数列． 10．已知在数列中，an＝，求数列的最大项． [解]　设函数y＝＝1＋， 因为函数在上单调递减，在(15.6，＋∞)上单调递减， 所以当n>15.6且n最接近15.6且n∈N＋时，an最大， 故a16最大，即第16项最大． 11．已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝an，则数列{an}的最大项是(　　) A．a1　　　B．a9　　　C．a10　　　D．不存在 A　[∵a1>0且an＋1＝an， ∴an>0，＝<1， ∴an＋1<an，∴此数列为递减数列，故最大项为a1．] 12．数列{an}的首项a1＝1，a＝，b＝(an＋1，n＋1)，且a⊥b，则a100等于(　　) A．－100　　 B．100 C． D．－ A　[∵a⊥b，∴a·b＝0，即nan＋1＋an＝0， ∴＝－， ∴··…·＝×…×＝－100， ∴a100＝－100．] 13．(多选题)数列中，a1＝3，a2＝7，当n≥1时，an＋2等于anan＋1的个位数，则an的个位数不可能是(　　) A．1 B．4 C．6 D．9 BC　[a3＝1，a4＝7，a5＝7，a6＝9，a7＝3，a8＝7，a9＝1，…，所以数列是以6为周期的周期数列，an的个位数不可能是4与6．] 14．已知f (x)＝，各项均为正数的数列满足a1＝1，an＋2＝f (an)．若a2 020＝a2 022，则a11＝_________，a20＝________． 　[由题意得，a3＝，a5＝，a7＝，a9＝，a11＝． ∵a2 020＝a2 022，且an＞0，∴a2 020＝，易得a2 022＝a2 018＝…＝a24＝a22＝a20＝．] 15．已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N＋，a∈R且a≠0)． (1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n∈N＋，都有an≤a6成立，求a的取值范围． [解]　(1)∵an＝1＋(n∈N＋，a∈R，且a≠0)， 又a＝－7， ∴an＝1＋(n∈N＋)． 结合函数f (x)＝1＋的单调性，可知1＞a1＞a2＞a3＞a4，a5＞a6＞a7＞…＞an＞1(n∈N＋)． ∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0． (2)an＝1＋＝1＋， 已知对任意的n∈N＋，都有an≤a6成立，结合函数f (x)＝1＋的单调性，可知5＜＜6， 即－10＜a＜－8． 即a的取值范围是(－10，－8)． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $