1.1.1 数列的概念-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦数列的概念及其函数特性核心知识点，从自然界斐波那契数列实例引入，系统梳理数列的定义、表示、分类及通项公式概念，通过函数视角揭示数列与正整数集函数的关系，构建从情境感知到概念抽象再到应用的学习支架。 资料以学习任务与核心素养对应为特色，通过概念辨析题和“根据前几项写通项公式”等例题，培养数学抽象与数学运算素养。课中助力教师引导学生逻辑推理，课后分层作业帮助学生巩固知识，查漏补缺，提升用数学语言表达和解决问题的能力。

§1　数列的概念及其函数特性 1.1　数列的概念 学习任务 核心素养 1．理解数列、数列的通项公式的概念．(重点) 2．能根据通项公式确定数列的某一项．(重点) 3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(重点、难点) 1．通过对数列有关概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助数列通项公式的确定与应用，提升数学运算素养． 如果细心观察花菜、向日葵、菠萝等，你会发现这些事物似乎都与下面这列数有关：1，1，2，3，5，8，13，21，…． 自然界的一些看似千差万别的事物，似乎都能在这一列数中找到联系，这是巧合，还是别的什么原因？同学们若感兴趣，想研究它，就需要先来学习我们今天的内容：数列的概念． [提示]　略． 1．数列的有关概念 数列的定义 按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项 数列的表示 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…或简记为数列{an}，其中a1是数列的第1项，也叫数列的首项；an是数列的第n项，也叫数列的通项 数列的分类 按照项数的多少，可分为有穷数列和无穷数列 2．通项公式 (1)数列的函数刻画 数列可以看作定义域为正整数集N＋(或其子集)的函数．当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列． (2)通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成 an＝f (n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式． 两个数列相同的条件是什么？ [提示]　两个数列相同必须满足两个条件： (1)两个数列中的数相同； (2)各数的排列次序相同． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相同的一组数，即使按不同顺序排列，也都表示同一个数列． (　　) (2)数列1，2，3，4，…，2n是无穷数列． (　　) (3)8是数列的第4项． (　　) (4)数列1，，…的第5项一定是． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．数列，…的一个通项公式是(　　) A．an＝　　　　　 B．an＝ C．an＝ D．an＝ C　[观察前4项的特点易知an＝．] 3．数列的通项公式为an＝则＝______． 　[＝＝．] 4．已知数列{an}，an＝kn－5，且a8＝1，则a16＝_______________________． 7　[由a8＝1，得8k－5＝1，解得k＝， ∴an＝n－5，∴a16＝×16－5＝7．] 类型1　数列的有关概念 【例1】　下列说法中，正确的是(　　) A．数列1，2，3可用集合表示为{1，2，3} B．数列1，0，－1与数列－1，0，1是相同数列 C．数列的第10项为－1 D．数列0，2，4，6，8，…，可记作{2n} [思路点拨]　紧扣数列的有关概念，验证每一个说法是否符合条件． C　[A中，{1，2，3}表示的是集合而不是数列； B中，虽然构成这两个数列的数相同，但它们的排列次序不同，所以它们不是相同数列； D中，数列{2n}不含数列0，2，4，6，8，…，的首项．故选C．] 　　1．数列的项是在这个数列中出现的某一确定的数，而项数是其在这个数列中的位置序号． 2．对于数列来说，十分强调顺序，每一项与正整数形成有序对应． [跟进训练] 1．下列说法中，正确的是(　　) A．任何数列都存在通项公式 B．数列与数列是相同数列 C．数列的通项公式是an＝n2 D．数列1，3，5，7，9，…的第n项是2n＋1 C　[有些数列不存在通项公式，故A错误； 数列是0，1，0，1，…，而数列 是1，0，1，0，…，故B错误；C正确； 数列1，3，5，7，9，…的第n项是2n－1，故D错误．] 类型2　根据数列的前几项写出数列的一个通项公式 【例2】　【链接教材P4例2】 已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式： (1)1，3，7，15，31，…； (2)2，－，－，－，…； (3)5，55，555，5 555，…； (4)1，2，1，2，1，2，…． [思路点拨]　经过观察、分析，寻找每一项与项数的统一规律． [解]　(1)各项分别加上1，变为2，4，8，16，32，…，其通项公式为2n，所以原数列的通项公式为an＝2n－1． (2)数列的符号规律是(－1)n+1，使各项分子为4，变为，－，－，…，再把各分母分别加1，又变为，－，－，…，所以原数列的通项公式为an＝． (3)各项乘，变为9，99，999，…，各项加上1，又变为10，100，1 000，…，而这一数列的通项公式为10n，所以原数列的通项公式为an＝(10n－1)． (4)各项均减1得，0，1，0，1，…， 所以原数列的通项公式为an＝1＋，即an＝． 【教材原题·P4例2】 写出下面各数列的一个通项公式． (1)3，5，7，9，… (2)1，2，4，8，… (3)9，99，999，9 999，… [解]　(1)观察知，这个数列的前4项都是序号的2倍加1，所以它的一个通项公式为 an＝2n＋1； (2)这个数列的前4项可以写成20，21，22，23，所以它的一个通项公式为 an＝2n-1； (3)这个数列的前4项可以写成10－1，100－1，1 000－1，10 000－1，所以它的一个通项公式为 an＝10n－1． 　1．归纳通项公式应从以下五个方面着手： (1)项与项之间的关系； (2)项与序号之间的关系； (3)符号与绝对值分别考虑，对于正负号的变化可使用(－1)n或(－1)n+1来调整； (4)先分开看分子、分母，再综合看分子、分母的关系； (5)如果规律不明显，则进行适当变形． 2．联想和转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法． [跟进训练] 2．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)，2，，8，，…； (2)0，3，8，15，24，…； (3)－，－，…． [解]　(1)统一分母为2，则有，…，因此有an＝． (2)数列递增速度较快，像成平方地递增，即1－1，22－1，32－1，42－1，52－1，…，因此有an＝n2－1． (3)各项负正相间，故通项公式中含有因式(－1)n，各项的分子均为1，分母为n，因此有an＝． 类型3　利用数列的通项公式确定数列的项 【例3】　已知数列{an}的通项公式是an＝(n∈N＋)． (1)0和1是不是数列中的项？如果是，那么是第几项？ (2)数列中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？ [思路点拨]　若某个数是数列的某一项，则在通项中必存在一个正整数n与其对应，否则就不是数列中的项． [解]　(1)若0是{an}中的第n项，则＝0， ∵n∈N＋，∴n＝21．∴0是{an}中的第21项． 若1是{an}中的第n项，则＝1， ∴n2－21n＝2，即n2－21n－2＝0． ∵方程n2－21n－2＝0不存在正整数解， ∴1不是{an}中的项． (2)假设{an}中存在第m项与第m＋1项相等，即am＝am＋1，则＝，解得m＝10． ∴数列{an}中存在连续的两项第10项与第11项相等． [母题探究] 1．在例3中，当n为何值时，an<0? [解]　由an<0，得0<n<21，又∵n∈N＋， ∴当n＝1，2，3，…，20时，an<0． 2．在例3中，当n为何值时anan＋1最小，并求出最小值． [解]　当0＜n＜21时，an＜0； 当n＝21时，an＝0； 当n＞21时，an＞0． 所以，当n＝20或21时，anan＋1最小，最小值为0． 　　因为数列通项公式反映了第n项与项数n的函数关系，所以利用通项公式，可以求数列中任意一项，也可以检验某数是否是该数列中的一项．其方法与由自变量的值求函数值和由函数值求自变量的值类似． 1．(多选题)有下面四个结论，不正确的是(　　) A．数列可以看作一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数 B．数列的项数一定是无限的 C．数列的通项公式的形式是唯一的 D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式 BCD　[结合数列的定义与函数的概念可知，A正确；有穷数列的项数就是有限的，因此B错误；数列的通项公式的形式不一定唯一，C错误；数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…存在通项公式，D错误．] 2．数列1，3，6，10，x，21，28，…中，由给出的数之间的关系可知x的值是(　　) A．12　　　B．15　　　C．17　　　D．18 B　[各项乘2，变为1×2，2×3，3×4，…，可得原数列的通项公式为an＝，故x＝a5＝＝15．] 3．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是(　　) A．an＝n2－n＋1 B．an＝ C．an＝ D．an＝ C　[观察所给图案知，an＝1＋2＋3＋…＋n＝．] 4．(教材P8习题1－1B组T1(2)改编)数列，…的一个通项公式是_______________． an＝　[数列，…，即数列，…，故an＝．] 5．已知在数列中，a1＝3，a10＝21，通项an是项数n的一次函数． (1)求数列的通项公式，并求a2 026； (2)若是由a2，a4，a6，a8，…组成，试归纳的一个通项公式． [解]　 (1)设an＝kn＋b， 则解得 ∴an＝2n＋1(n∈N＋)，∴a2 026＝2×2 026＋1＝4 053． (2)∵a2，a4，a6，a8，…即为5，9，13，17，…， ∴bn＝4n＋1． 1．对通项公式的理解 (1)数列的通项公式的表示形式不一定是唯一的，如数列：1，0，－1，0，1，0，－1，0，…，通项公式可以是an＝sin (n∈N＋)，也可以是an＝cos π(n∈N＋)． (2)并不是所有数列都能写出通项公式．如由π的近似值构成的数列：3，3.1，3.14，3.141，3.141 5，…就写不出通项公式． 2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式的方法是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想． 课时分层作业(一)　数列的概念 一、选择题 1．数列0，，…的一个通项公式为(　　) A．an＝(n∈N＋) B．an＝(n∈N＋) C．an＝(n∈N＋) D．an＝(n∈N＋) C　[0可写为，故分母是正奇数列{2n－1}，分子是0，2，4，6，其通项公式为2(n－1)，故所求的通项公式为an＝(n∈N＋)．] 2．已知直线y＝25－3x，点(n，an)在该直线上，则a3＋a5＝(　　) A．24　　　B．25　　　C．26　　　D．27 C　[由题意知an＝25－3n，∴a3＋a5＝(25－3×3)＋(25－3×5)＝26．] 3．在数列a1，a2，…，an，…的每相邻两项中插入3个数，使它们与原数构成一个新数列，则新数列的第49项(　　) A．不是原数列的项 B．是原数列的第12项 C．是原数列的第13项 D．是原数列的第14项 C　[∵＝12，∴新数列的第49项是原数列的第13项．] 4．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋(－1)n×2，则其第3，4项分别是(　　) A．9，14 B．9，18 C．7，18 D．7，14 C　[a3＝32＋(－1)3×2＝7，a4＝42＋(－1)4×2＝18．] 5．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5等于(　　) A． B． C． D． D　[a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝．] 二、填空题 6．已知数列{an}的前4项为11，102，1 003，10 004，…，则它的一个通项公式为________． an＝10n＋n　[11＝10＋1， 102＝102＋2， 1 003＝103＋3， 10 004＝104＋4， … 由此可归纳出an＝10n＋n．] 7．如图所示是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图有化学键________个．(用含n的代数式表示) (1)　　(2)　　(3)　　(n) 5n＋1　[各图中的“短线”依次为6，6＋5，6＋5＋5，…，于是第n个结构图有6＋5(n－1)＝5n＋1个化学键．] 8．数列{an}的通项公式为an＝，则a8＝________，－3是此数列的第________项． 3－2　9　[a8＝＝＝3－2． ∵－3＝＝，∴n＝9．] 三、解答题 9．(源自人教B版教材)写出以下各数列{an}的一个通项公式． (1)2，4，6，8，10，…； (2)1，3，5，7，9，…； (3)0，2，0，2，0，…； (4)－，－，－，…． [解]　(1)观察数列的前5项可知，每一项都是序号的2倍，因此数列的一个通项公式为an＝2n． (2)因为这个数列每一项都比(1)中数列的对应项小1，所以数列的一个通项公式为an＝2n－1． (3)因为数列的第1，3，5，…项都是0，而第2，4，…项都是2，所以它的一个通项公式为an＝ (4)忽略正负号时，数列每一项的分子构成的数列是 2，4，6，8，10，…， 其中每一个数都是序号的2倍；数列每一项的分母都是分子的平方减去1．又因为负号、正号是交替出现的，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n． 10．已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n． (1)写出数列的第4项和第6项； (2)－49是否为该数列的一项？如果是，是哪一项？68是否为该数列的一项呢？ (3)数列{an}中有多少个负数项？ [解]　(1)a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60． (2)令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝(舍去)， 所以n＝7，即－49是该数列的第7项． 令3n2－28n＝68，解得n＝或n＝－2． 因为∉N＋，－2∉N＋，所以68不是该数列的项． (3)an＝n(3n－28)，令an＜0，结合n∈N＋，解得n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，即数列{an}中有9个负数项． 11．数列－，－，…的一个通项公式为(　　) A．an＝(－1)n+1 B．an＝(－1)n+1 C．an＝(－1)n D．an＝(－1)n D　[观察式子的分子为1，2，3，4，…，n，…，分母为3×5，5×7，7×9，…，(2n＋1)(2n＋3)，…，而且正负间隔，故通项公式为an＝(－1)n．] 12．已知数列{an}对任意的p，q∈N＋满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于(　　) A．－165 B．－33 C．－30 D．－21 C　[由已知得a4＝a2＋a2＝－12，a8＝a4＋a4＝－24，a10＝a8＋a2＝－24－6＝－30．] 13．(多选题)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式为(　　) 4＝1＋3　　9＝3＋6　 　16＝6＋10 A．25＝9＋16 B．36＝15＋21 C．49＝18＋31 D．64＝28＋36 BD　[这些“三角形数”的规律是1，3，6，10，15，21，28，36，45，…，且正方形数是这串数中相邻两数之和，很容易发现，恰有15＋21＝36，28＋36＝64，只有BD是正确的．] 14．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－4n－12(n∈N＋)，则这个数列的第4项是________，65是这个数列的第________项． －12　11　[a4＝42－4×4－12＝－12． 由an＝65，得n2－4n－12＝65，即n2－4n－77＝0，因为n∈N＋，解得n＝11．] 15．在数列中，a1＝1，an＝(n≥2)，求a2，a3，a4，a5，并归纳出an． [解]　 ∵a1＝1，an＝(n≥2)， ∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝，由，… 可以归纳出an＝． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $