2.6.3 函数的最值-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦“函数的最值”，系统讲解概念、求法及应用。通过“班级最高同学”情境问题导入，类比建立极值与最值的联系，搭建从导数应用到最值求解的学习支架。 其亮点在于情境化设计培养直观想象，分层例题与逆向问题（如已知最值求参数）提升数学运算与逻辑推理，反思步骤总结方法。学生能系统掌握知识，教师可高效开展教学，助力核心素养落地。

第二章　导数及其应用 §6　用导数研究函数的性质 6.3　函数的最值 学习任务 核心素养 1．能够通过函数的图象区分函数的极值与最值．(重点) 2．会求闭区间上函数的最大值、最小值．(重点、难点) 1．结合实例，培养直观想象素养． 2．通过求闭区间上函数的最大值、最小值，培养数学运算素养． 6.3　函数的最值 问题1：如何确定你班哪位同学最高？ 必备知识·情境导学探新知 [提示]　方法很多，可首先确定每小组中最高的同学，再比较每组的最高的同学，便可确定班中最高的同学． 问题2：上述方法，对你求函数最值有什么启发？ [提示]　先求极值，再由极值求最值． 6.3　函数的最值 1．最值点 (1)最大值点：函数y＝f (x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数f (x)在这个区间上所有点处的函数值都______ f (x0)． (2)最小值点：函数y＝f (x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数f (x)在这个区间上所有点处的函数值都______ f (x0)． (3)函数的____在极值点(也是导数的零点)取得，或者在区间的端点取得． 2．最值 函数的______和______统称为函数的最值． 不超过 不小于 最值 最大值 最小值 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.3　函数的最值 思考　函数的极值与最值有何区别？ [提示]　极值是函数在极值点的一个小领域的性质，最值是函数在定义域上的性质． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.3　函数的最值 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一般地，连续函数f (x)在[a，b]上既有最大值，又有最小值． (　　) (2)函数的极值可以有多个，但最大(小)值最多只能有一个． (　　) (3)最大(小)值一定是函数的极大(小)值． (　　) (4)极大(小)值一定是函数的最大(小)值． (　　) × √ √ × 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.3　函数的最值 √ 2．函数f (x)＝x＋在区间[－3，－1]上的最大值为(　　) A．－2　　B．－3　　C．－　　D．－ A　[f ′(x)＝1－＝，x∈[－3，－1]，令f ′(x)＝0得，x＝－， 当－3≤x<－时，f ′(x)>0，函数f (x)单调递增； 当－<x≤－1时，f ′(x)<0，函数f (x)单调递减， 所以函数f (x)的最大值是f (－)＝－2．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.3　函数的最值 3．函数f (x)＝x3－3x2＋6x－10在区间[－1，1]上的最大值为_____． －6　[因为f ′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x－1)2＋3>0， 所以函数f (x)在区间[－1，1]上单调递增， 所以当x＝1时，函数f (x)取得最大值f (1)＝－6．] －6　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.3　函数的最值 4．函数f (x)＝sin 2x－x在上的最大值和最小值分别为_______． ，－　[f ′(x)＝2cos 2x－1，x∈， 令f ′(x)＝0，解得x＝－或x＝． 而f＝，f＝，f＝，f＝－， 所以函数f (x)的最大值为，最小值为－．] ，－　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.3　函数的最值 关键能力·合作探究释疑难 类型1　求函数的最值 【例1】　【链接教材P82例4】 (1)求函数f (x)＝x3－x2－2x＋5在区间[－2，2]上的最大值与最小值； (2)求函数f (x)＝x＋sin x在区间[0，2π]上的最大值与最小值． [思路点拨]　先利用导数求极值，然后与端点处的函数值比较得最值． 6.3　函数的最值 [解]　(1)因为f (x)＝x3－x2－2x＋5， 所以f ′(x)＝3x2－x－2． 令f ′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝1． 因为f＝，f (1)＝，f (－2)＝－1，f (2)＝7， 所以函数f (x)在[－2，2]上的最大值是7，最小值是－1． (2)因为f (x)＝x＋sin x，x∈[0，2π]，所以f ′(x)＝＋cos x， 令f ′(x)＝0，解得x1＝，x2＝． 因为f (0)＝0，f＝，f＝，f (2π)＝π， 所以函数f (x)在[0，2π]上的最大值是π，最小值是0． 【教材原题·P82例4】 求函数f (x)＝x3－2x2＋5在区间[－2，2]上的最值． [解]　f ′(x)＝3x2－4x． 解方程f ′(x)＝0，得x1＝0，x2＝． 计算函数f (x)在导数零点x1＝0和x2＝、区间端点x3＝－2和x4＝2处的值： 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.3　函数的最值 f (0)＝5，f＝，f (－2)＝－11，f (2)＝5． 比较这4个数的大小，可知： 函数f (x)＝x3－2x2＋5在区间[－2，2]上的最大值是5， 最小值是－11． 反思领悟　求函数最值的4个步骤 提醒：求函数最值时不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.3　函数的最值 [跟进训练] 1．已知函数f (x)＝＋ln x，求f (x)在上的最大值和最小值． [解]　易知f (x)的定义域为(0，＋∞)， ∵f (x)＝＋ln x＝－1＋ln x， ∴f ′(x)＝－＝． 令f ′(x)＝0，得x＝1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.3　函数的最值 当x变化时，f ′(x)与f (x)在上的变化情况如表： x 1 (1，2) 2 f ′(x)   － 0 ＋   f (x) 1－ln 2  0  －＋ln 2 ∴在上，当x＝1时，f (x)取得极小值，也是最小值，且f (1)＝0． 又f＝1－ln 2，f (2)＝－＋ln 2， ∴f－f (2)＝－2ln 2＝×(3－4ln 2)＝ln >0，∴f>f (2)， ∴f (x)在上的最大值为f＝1－ln 2，最小值为f (1)＝0． 类型2　已知函数的最值求参数的值 【例2】　已知函数f (x)＝ax3－6ax2＋b，是否存在实数a，b，使f (x)在[－1，2]上取得最大值12，最小值－20？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由． [思路点拨]　利用导数求出f (x)的最值(用a，b表示)，列方程求a，b的值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.3　函数的最值 [解]　显然a≠0，f ′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，x∈[－1，2]， 令f ′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)． ①当a>0时，当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如表： x －1 (－1，0) 0 (0，2) 2 f ′(x)   ＋ 0 －   f (x) －7a＋b  最大值  －16a＋b ∴当x＝0时，f (x)取得最大值．∴b＝12． 又∵f (2)＝－16a＋12，f (－1)＝－7a＋12，f (－1)>f (2)，∴当x＝2时，f (x)取得最小值，即－16a＋12＝－20，即a＝2． ②当a<0时，当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如表： x －1 (－1，0) 0 (0，2) 2 f ′(x)   － 0 ＋   f (x) －7a＋b  最小值  －16a＋b ∴当x＝0时，f (x)取得最小值． ∴b＝－20． 又∵f (2)＝－16a－20，f (－1)＝－7a－20，f (2)>f (－1)，∴当x＝2时，f (x)取得最大值，即－16a－20＝12，即a＝－2． 综上所述，a＝2，b＝12或a＝－2，b＝－20． 反思领悟　由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，逆向问题可正向求解，即先求出最值，列出含参数的方程或方程组，从而得出参数的值，这也是方程思想的应用． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.3　函数的最值 [跟进训练] 2．设函数f (x)＝ln x＋ln(2－x)＋ax(a>0)． (1)当a＝1时，求f (x)的单调区间； (2)若f (x)在(0，1]上的最大值为，求a的值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.3　函数的最值 [解]　函数f (x)的定义域为(0，2)，f ′(x)＝＋a． (1)当a＝1时，f ′(x)＝，所以f (x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)． (2)因为a>0，所以，当x∈(0，1]时，f ′(x)＝＋a>0， 即f (x)在(0，1]上单调递增． 故f (x)在(0，1]上的最大值为f (1)＝a，因此a＝． 类型3　最值的应用 【例3】　求证：当x＞1时，1－＜ln x． [思路点拨]　通过构造函数，利用函数的最值来证明． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.3　函数的最值 [证明]　令f (x)＝ln x－1＋，则f ′(x)＝＝(x＞0)． 在(0，1)上，f ′(x)＜0，故f (x)单调递减；在(1，＋∞)上，f ′(x)＞0，故f (x)单调递增， 故f (x)在(0，＋∞)上的最小值为f (1)＝0， 所以，当x＞1时，f (x)＞f (1)＝0，即1－＜ln x． 反思领悟　利用导数证明不等式问题时，一般根据要证明的不等式构造函数，转化为函数的最值问题．具体的证明步骤为： (1)将所给的不等式移项、整理、变形为求证不等式f (x)＞0(＜0)的形式； (2)利用导数研究函数在给定区间上的单调性，得到函数的最值； (3)将不等式问题转化为函数的最值恒大于0或者恒小于0的问题． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.3　函数的最值 [跟进训练] 3．求证：当x＞0时，x－1≥ln x． [证明]　令f (x)＝ln x－x＋1，则f ′(x)＝－1＝(x＞0)． 在(0，1)上，f ′(x)＞0，故f (x)单调递增；在(1，＋∞)上，f ′(x)＜0，故f (x)单调递减， 故f (x)在(0，＋∞)上的最大值为f (1)＝0， 所以，当x＞0时，f (x)≤f (1)＝0，即x－1≥ln x． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.3　函数的最值 学习效果·课堂评估夯基础 √ 1．函数f (x)＝xe－x，x∈[0，4]的最大值是(　　) A．0　　　B．　　　C．　　　D． B　[f ′(x)＝(1－x)e－x，令f ′(x)＝0，解得x＝1，当x＜1时，f ′(x)>0；当x＞1时，f ′(x)<0，又x∈[0，4]，所以当0≤x＜1时，f (x)单调递增；当1＜x≤4时，f (x)单调递减，所以f (1)最大，所以函数f (x)＝ xe－x，x∈[0，4]的最大值是f (1)＝．] 6.3　函数的最值 √ 2．如图是导函数y＝f ′(x)的图象，最大值点一定不是(　　) A．x1　　　　B．x2　　　　C．x3　　　　D．x4 B　[因为x2是极小值点，所以一定不是最大值点．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.3　函数的最值 3．对于在R上可导的任意函数f (x)，若满足(x－a)f ′(x)≥0，则必有 (　　) A．f (x)≥f (a) B．f (x)≤f (a) C．f (x)>f (a) D．f (x)<f (a) √ A　[由(x－a)f ′(x)≥0知，当x>a时，f ′(x)≥0；当x<a时，f ′(x)≤0，所以当x＝a时，函数f (x)取得最小值，则f (x)≥f (a)，故选A．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.3　函数的最值 4．(教材P84习题2－6A组T3(3)改编)如果函数f (x)＝x3－x2＋a在[－1，1]上的最大值是2，那么f (x)在[－1，1]上的最小值是________． －　[f ′(x)＝3x2－3x＝3x(x－1)，令f ′(x)＝0，得x＝0或x＝1． 当－1<x<0时，f ′(x)>0，则f (x)单调递增；当0<x<1时，f ′(x)<0， 则f (x)单调递减． ∴当x＝0时，f (x)取得最大值为a， ∴a＝2，∴f (－1)＝－1－＋2＝－，f (1)＝1－＋2＝． ∴在x∈[－1，1]上，f (x)的最小值为－．] －　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.3　函数的最值 5．已知函数f (x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值． [解]　由题意知f ′(x)＝4－＝． 又x>0，a>0，令f ′(x)＝0，得x＝， 当0<x<时，f ′(x)<0；当x>时，f ′(x)>0． 故f (x)在上单调递减，在上单调递增， 即当x＝时，f (x)取得最小值，则＝3，解得a＝36． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.3　函数的最值 在闭区间[a，b]上连续的函数f (x)在[a，b]上必有最大值与最小值，但在开区间(a，b)内连续的函数f (x)不一定有最大值与最小值．例如：函数f (x)＝在(0，＋∞)上连续，但没有最大值与最小值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.3　函数的最值 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 课时分层作业(十八)　函数的最值 一、选择题 1．函数f (x)＝x3－3x，x∈(－1，1)(　　) A．有最大值但无最小值 B．有最大值也有最小值 C．无最大值也无最小值 D．无最大值但有最小值 35 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 C　[因为x∈(－1，1)，f ′(x)＝3x2－3＜0，所以y＝f (x)在区间(－1，1)上单调递减，所以y＝f (x)在区间(－1，1)上无最大值也无最小值．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 2．函数f (x)＝ex(sin x＋cos x)在区间上的值域为(　　) A．　　　　　　 B． C．[1，] D．(1，) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.3　函数的最值 37 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　[f ′(x)＝ex(sin x＋cos x)＋ex(cos x－sin x)＝ex cos x， 当0≤x≤时，f ′(x)≥0，∴f (x)在上单调递增． ∴f (x)的最大值为f＝，f (x)的最小值为f (0)＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 3．若函数f (x)＝x3－3x在(a，6－a2)上有最小值，则实数a的取值范围是(　　) A．(－，1) B．[－，1) C．[－2，1) D．(－2，1) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.3　函数的最值 39 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 C　[f ′(x)＝3x2－3，令f ′(x)＞0⇒x＞1或x＜－1，∴f (x)在(－∞， －1)，(1，＋∞)单调递增，在(－1，1)单调递减，∴x＝1为函数的极小值点．∵函数f (x)在(a，6－a2)上有最小值，则函数f (x)的极小值点必在区间(a，6－a2)内，且左端点的函数值不小于f (1)， ∴⇒ ∴a∈[－2，1)．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 4．已知函数f (x)＝－1＋ln x，若存在x0>0，使得f (x0)≤0，则实数a的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，3) C．(－∞，1] D．[3，＋∞) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.3　函数的最值 41 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 C　[函数f (x)的定义域是(0，＋∞)，不等式－1＋ln x≤0有解，即a≤x－x ln x在(0，＋∞)上有解． 令h(x)＝x－x ln x，则h′(x)＝－ln x． 由h′(x)＝0，得x＝1． 当0<x<1时，h′(x)>0，当x>1时，h′(x)<0． 故当x＝1时，函数h(x)＝x－x ln x取得最大值1， 所以要使不等式a≤x－xln x在(0，＋∞)上有解， 只要a小于或等于h(x)的最大值即可，即a≤1．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.3　函数的最值 42 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 5．已知a∈R，设函数f (x)＝ 若关于x的不等式f (x)≥0在R上恒成立，则a的取值范围为(　　) A．[0，1] B．[0，2] C．[0，e] D．[1，e] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.3　函数的最值 43 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 C　[当x≤1时，由f (x)＝x2－2ax＋2a≥0恒成立，且f (x)关于x＝a对称． 所以当a≥1时，f (x)min＝f (1)＝1>0恒成立， 当a<1时，f (x)min＝f (a)＝2a－a2≥0，所以0≤a<1． 综上，a≥0． 当x>1时，由f (x)＝x－a ln x≥0恒成立，即a≤恒成立． 设g(x)＝，则g′(x)＝． 令g′(x)＝0，得x＝e， 且当1<x<e时，g′(x)<0，当x>e时，g′(x)>0， 所以g(x)min＝g(e)＝e，所以a≤e． 综上，a的取值范围是[0，e]．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．若函数f (x)＝x3－3x－a在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________． 20　[∵f ′(x)＝3x2－3，x∈[0，3]， ∴当x＞1或x＜－1时，f ′(x)＞0； 当－1＜x＜1时，f ′(x)＜0． ∴f (x)在[0，1)上单调递减，在(1，3]上单调递增． 20 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.3　函数的最值 46 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ∴f (x)min＝f (1)＝1－3－a＝－2－a＝n． 又∵f (0)＝－a，f (3)＝18－a， ∴f (0)＜f (3)． ∴f (x)max＝f (3)＝18－a＝m， ∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．直线y＝b分别与直线y＝2x＋1和曲线y＝ln x相交于点A，B，则|AB|的最小值为________． 1＋　[设两个交点分别为A，B(eb，b)， 则|AB|＝eb－． 令g(x)＝ex－，则g′(x)＝ex－． 1＋　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.3　函数的最值 48 由g′(x)＝0，得x＝－ln 2． 所以g(x)在区间(－∞，－ln 2)上单调递减，在区间(－ln 2，＋∞)上单调递增， 所以g(x)min＝g(－ln 2)＝1＋．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8． 若对任意a，b满足0<a<b<t，都有b ln a<a ln b，则t的最大值为________． e　[∵0<a<b<t，b ln a<a ln b，∴<， 令y＝，x∈(0，t)，则函数在(0，t)上单调递增， 由y′＝>0，解得0<x<e， 故t的最大值是e．] e 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.3　函数的最值 50 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．已知函数f (x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值． (1)求函数f (x)的解析式； (2)求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有 |f (x2)－f (x1)|≤4． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.3　函数的最值 51 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)f ′(x)＝3ax2＋2bx－3，依题意，f ′(1)＝f ′(－1)＝0， 即解得a＝1，b＝0． ∴f (x)＝x3－3x． (2)证明：∵f (x)＝x3－3x，∴f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， 当－1＜x＜1时，f ′(x)＜0，故f (x)在区间[－1，1]上单调递减， ∴f (x)max＝f (－1)＝2，f (x)min＝f (1)＝－2． ∴|f (x2)－f (x1)|≤|f (x)max－f (x)min|＝2－(－2)＝4． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.3　函数的最值 52 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．已知函数f (x)＝(x－k)ex． (1)求f (x)的单调区间； (2)求f (x)在区间[0，1]上的最小值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.3　函数的最值 53 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)f ′(x)＝(x－k＋1)ex．令f ′(x)＝0，得x＝k－1． 当x变化时，f (x)与f ′(x)的变化情况如表： x (－∞，k－1) k－1 (k－1，＋∞) f ′(x) － 0 ＋ f (x)  －ek-1  所以f (x)的单调递减区间是(－∞，k－1)，单调递增区间是(k－1， ＋∞)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.3　函数的最值 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f (x)在[0，1]上单调递增，所以f (x)在区间[0，1]上的最小值为f (0)＝－k； 当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，由(1)知f (x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1，1]上单调递增， 所以f (x)在区间[0，1]上的最小值为f (k－1)＝－ek-1； 当k－1≥1，即k≥2时，函数f (x)在[0，1]上单调递减，所以f (x)在区间[0，1]上的最小值为f (1)＝(1－k)e． √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．设直线x＝t与函数f (x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为(　　) A．1　　　　B．　　　　C．　　　　D． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.3　函数的最值 56 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 D　[将x＝t代入f (x)＝x2，g(x)＝ln x中，得到点M，N的坐标分别为(t，t2)，(t，ln t)，从而|MN|＝t2－ln t(t＞0)，不妨令h(t)＝t2－ln t，则h′(t)＝2t－，令h′(t)＝0，解得t＝． 当t∈时，h′(t)＜0； 当t∈时，h′(t)＞0， 所以当t＝时，|MN|达到最小．故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 12．当x＝1时，函数f (x)＝a ln x＋取得最大值－2，则f ′(2)＝(　　) A．－1 B．－ C． D．1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.3　函数的最值 58 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[因为函数f定义域为，所以依题可知，f＝－2， f ′＝0，而f ′＝，所以b＝－2，a－b＝0，即a＝－2，b＝－2，所以f ′＝－，因此函数f在上单调递增，在上单调递减，当x＝1时取得最大值，满足题意，即f ′＝－1＋＝－． 故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 13．(多选题)已知函数f (x)＝ex cos x－x，下列结论正确的是(　　) A．曲线y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程是y＝1 B．f (x)在区间上单调递增 C．f (x)在区间上的最小值为－ D．f (x)在区间上的最大值为1 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.3　函数的最值 60 ACD　[因为f (x)＝ex cos x－x，所以f ′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f ′(0)＝0．又因为f (0)＝1， 所以曲线y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程为y＝1． 令h(x)＝f ′(x)，则h′(x)＝ex(cos x－sin x－sin x－cos x)＝－2ex sin x． 当x∈时，h′(x)≤0， 所以f ′(x)在区间上单调递减， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 所以f ′(x)≤f ′(0)＝0， 所以f (x)在区间上单调递减． 因此f (x)在区间上的最大值为f (0)＝1， 最小值为f＝－．故选ACD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．函数f (x)＝12x－x3在区间[－3，3]上的最小值是________，最大值是________． －16　16　[由f ′(x)＝12－3x2＝0，得x＝－2或x＝2． 又f (－3)＝－9，f (－2)＝－16，f (2)＝16，f (3)＝9， 所以函数f (x)在[－3，3]上的最小值为－16，最大值为16．] －16 16 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.3　函数的最值 63 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．已知函数f (x)＝2sin x＋sin 2x，求f (x)的最小值． [解]　由题意可知，T＝2π是函数y＝f (x)的一个周期，故只需考虑y＝f (x)在[0，2π)上的最小值， f ′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝2cos x＋2(2cos2x－1)＝2(2cosx－1)(cos x＋1)， 令f ′(x)＝0，解得cos x＝或cos x＝－1， 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.3　函数的最值 64 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 此时x＝，π或， f (x)的最小值只能在x＝，π或和边界点x＝0处取到， 计算可得f (0)＝0，f＝，f (π)＝0， f＝－， 所以f (x)的最小值为－． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.3　函数的最值 $