2.6.2 函数的极值-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦“函数的极值”，涵盖概念、判定条件及应用，通过苏轼诗句类比山峰引入，衔接导数与单调性，以问题链和对比表格为支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于情境化导入培养数学眼光，问题驱动与逻辑推理发展数学思维，分层例题与作业提升数学语言表达。教师可直接使用，学生能深化理解并提升抽象、运算等核心素养。

第二章　导数及其应用 §6　用导数研究函数的性质 6.2　函数的极值 学习任务 核心素养 1．通过实例了解极值的概念．(重点) 2．了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件．(重点) 3．会利用导数求函数的极大值、极小值．(难点) 1．借助函数的导数与极值关系的探究，培养数学抽象与逻辑推理素养． 2．通过利用导数求函数的极大值、极小值，培养数学运算素养． 6.2　函数的极值 苏轼在《题西林壁》中的诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，描述的是庐山的峰峦起伏，绵延逶迤，在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点，在数学上，这种现象如何来刻画呢？ 已知可导函数y＝f (x)，y＝g(x)的图象． 必备知识·情境导学探新知 6.2　函数的极值 问题1：对于y＝f (x)在(a，x0)，(x0，b)上，其单调性与导函数的符号有何特点？在x＝x0处的导数值是多少？ [提示]　y＝f (x)在(a，x0)上增加，导数大于零，在(x0，b)上减少，导数小于零；f ′(x0)＝0． 问题2：观察y＝f (x)的图象，在区间(a，b)内，函数值f (x0)有何特点？ [提示]　f (x0)在(a，b)内最大． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 问题3：函数值f (x0)在定义域内还是最大吗？ [提示]　不一定． 问题4：函数y＝g(x)在(a，b)上，结论如何？ [提示]　与y＝f (x)在(a，b)上结论相反． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 1．函数极值的概念 (1)极大值：在包含x0的一个区间(a，b)上，函数y＝f (x)在任何不为x0的一点处的函数值都____点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f (x)的极大值点，其函数值f (x0)为函数的______． (2)极小值：在包含x0的一个区间(a，b)上，函数y＝f (x)在任何不为x0的一点处的函数值都____点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f (x)的极小值点，其函数值f (x0)为函数的极小值． (3)极值：函数的极大值与极小值统称为____，极大值点与极小值点统称为______． 小于 极大值 大于 极值 极值点 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 2．函数的单调性与极值 (1)函数的极大值与导数的关系 x (a，x0) 极大值点x0 (x0，b) f ′(x) ＋ __ － y＝f (x)  f (x0)是______  图示 0 极大值 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 (2)函数的极小值与导数的关系 x (a，x0) 极小值点x0 (x0，b) f ′(x) － __ ＋ y＝f (x)  f (x0)是______  图示 0 极小值 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 思考　函数的极大值一定比极小值大吗？ [提示]　不一定． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)x＝0是函数y＝x3的极值点． (　　) (2)可导函数一定存在极值． (　　) (3)若f ′(x0)＝0，则x＝x0是函数y＝f (x)的极值点． (　　) (4)若x＝x0是可导函数y＝f (x)的极值点，则f ′(x0)＝0． (　　) × √ × × 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 √ 2．设函数f (x)＝xex，则(　　) A．x＝1为f (x)的极大值点 B．x＝1为f (x)的极小值点 C．x＝－1为f (x)的极大值点 D．x＝－1为f (x)的极小值点 D　[求导得f ′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f ′(x)＝ex(x＋1)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f (x)的极小值点．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 3．已知函数y＝3x－x3＋m的极大值为10，则m的值为________． 8　[y′＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)，令y′＝0得x1＝－1，x2＝1，经判断知x＝1是极大值点， 故f (1)＝2＋m＝10，m＝8．] 8 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 4．已知x＝－2是函数f (x)＝(x2＋ax－1)·ex-1的极值点，则f (x)的极小值为________． －1　[f ′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]·ex-1， 则f ′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]·e-3＝0，解得a＝－1， 则f (x)＝(x2－x－1)·ex-1，f ′(x)＝(x2＋x－2)·ex-1， 又ex-1>0恒成立，令f ′(x)＝0，得x＝－2或x＝1， 当x<－2或x>1时，f ′(x)>0；当－2<x<1时，f ′(x)<0， 所以x＝1是函数f (x)的极小值点， 则f (x)的极小值为f (1)＝－1．] －1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 关键能力·合作探究释疑难 类型1　求函数的极值 【例1】　【链接教材P81例3】 求下列函数的极值： (1)f (x)＝x3－3x2－9x＋2； (2)f (x)＝． [思路点拨]　利用函数极值的定义求出函数的极值点，进而求出极值． 6.2　函数的极值 [解]　(1)函数f (x)＝x3－3x2－9x＋2的定义域为R，且f ′(x)＝3x2－6x－9． 解方程f ′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3． 当x变化时，f ′(x)与f (x)的变化情况如表： x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞) f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x)  极大值  极小值  因此，x＝－1是函数的极大值点，极大值为f (－1)＝7；x＝3是函数的极小值点，极小值为f (3)＝－25． (2)函数f (x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 当x＞0时，f (x)＝，且f ′(x)＝， 令f ′(x)＝0，得x＝e． 当x变化时，f ′(x)与f (x)的变化情况如表： x (0，e) e (e，＋∞) f ′(x) ＋ 0 － f (x)  极大值  因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f (e)＝． 又因为f (x)＝是奇函数，所以x＝－e是函数的极小值点，极小值为f (－e)＝－． 【教材原题·P81例3】 求函数f (x)＝3x3－3x＋1的单调区间、极值，并画出函数的大致图象． [解]　f ′(x)＝9x2－3． 解方程f ′(x)＝0， 得x1＝－，x2＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 根据x1，x2列出表2-9，分析f ′(x)的符号、f (x)的单调性和极值点． 表2-9 x － f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ y＝f (x)  极大值  极小值  根据表2-9可知，函数f (x)的单调递增区间是，单调递减区间是．x1＝－为函数f (x)＝3x3－3x＋1的极大值点，函数f (x)在该点的取值(极大值)为f＝1＋；x2＝为函数f (x)＝3x3－3x＋1的极小值点，函数f (x)在该点的取值(极小值)为f＝1－． 函数f (x)＝3x3－3x＋1的大致图象如图2-19． 反思领悟　运用导数求函数f (x)极值的一般步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求导数f ′(x)； (3)解方程f ′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f ′(x)在f ′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 [跟进训练] 1．求下列函数的极值： (1)f (x)＝sin x－cos x＋x＋1(0<x<2π)； (2)f (x)＝x2e－x． [解]　(1)由f (x)＝sin x－cos x＋x＋1知，f ′(x)＝cos x＋sin x＋1＝1＋sin ． 令f ′(x)＝0，从而sin ＝－，又0<x<2π，所以x＝π或x＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 因此，当x＝时，f (x)有极小值；当x＝π时，f (x)有极大值π＋2． x (0，π) π f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x)  π＋2   当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如表： (2)f ′(x)＝2xe－x－x2e－x，令f ′(x)＝0，得x＝0或x＝2，当x变化时， f ′(x)，f (x)的变化情况如表： x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞) f ′(x) － 0 ＋ 0 － f (x)  0   所以f (x)的极小值是f (0)＝0，极大值是f (2)＝． 类型2　已知函数极值求参数的值 【例2】　已知f (x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且 f (1)＝－1． (1)试求常数a，b，c的值； (2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由． [思路点拨]　本题求解的关键是利用x＝±1是f (x)的极值点，及f (1)＝－1，建立关于a，b，c的方程组，解出a，b，c． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 [解]　(1)f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)， ∵x＝±1是函数的极值点， ∴x＝±1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根． 由根与系数的关系，得 又∵f (1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1．③ 由①②③解得a＝，b＝0，c＝－． (2)由(1)得f (x)＝x3－x， ∴f ′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)． 令f ′(x)>0，得x<－1或x>1； 令f ′(x)<0，得－1<x<1． ∴函数f (x)在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增， 在区间(－1，1)上单调递减． 因此，x＝－1是函数的极大值点；x＝1是函数的极小值点． 反思领悟　已知函数极值点或极值求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组； (2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以求解后必须检验． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 [跟进训练] 2．已知函数f (x)＝x3－x2＋ax－2． (1)若函数的极大值点是－1，求a的值； (2)若函数f (x)有两个极值点，求a的取值范围． [解]　(1)f ′(x)＝x2－2x＋a， 由题意f ′(－1)＝1＋2＋a＝0， 解得a＝－3，则f ′(x)＝x2－2x－3， 经验证可知，f (x)在x＝－1处取得极大值，故a＝－3． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 (2)由题意，方程x2－2x＋a＝0有两个不等的实根， 所以Δ＝(－2)2－4a＞0，解得a＜1， 故a的取值范围是(－∞，1)． 类型3　函数极值的应用 【例3】　设函数f (x)＝x3－3x＋1． (1)求函数f (x)的单调区间和极值； (2)若关于x的方程f (x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围． [思路点拨]　第(2)问可由(1)的结论，把问题转化为函数y＝f (x)与y＝a的图象有3个不同的交点，利用数形结合的方法来求解． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 [解]　(1)∵f ′(x)＝3x2－3，令f ′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1，∴当x<－1或x>1时，f ′(x)>0；当－1<x<1时，f ′(x)<0． ∴f (x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，f (x)的单调递减区间为(－1，1)． 当x＝－1时，f (x)有极大值3； 当x＝1时，f (x)有极小值－1． (2)由(1)得函数y＝f (x)的图象大致形状如图所示， 当－1<a<3时，直线y＝a与y＝f (x)的图象有三个不同交点， ∴方程f (x)＝a有三个不同的实根时，a的取值范围为(－1，3)． 反思领悟　1．本题第(2)问，将方程f (x)＝a有三个不同实根转化为函数y＝f (x)与y＝a有三个不同交点是求解的关键． 2．利用导数研究函数y＝f (x)的性质(单调性、极值)便可画出其大致图象． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 [跟进训练] 3．已知函数f (x)＝ax3－3x2＋1，若f (x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是(　　) A．(2，＋∞)　　　　　　 B．(1，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－∞，－1) √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 C　[法一：由已知a≠0，f ′(x)＝3ax2－6x，令f ′(x)＝0，得x＝0或x＝， 当a＞0时，x∈(－∞，0)时，f ′(x)＞0；x∈时，f ′(x)＜0；x∈时，f ′(x)＞0， 又f (0)＝1＞0，所以f (x)存在小于0的零点，与题意矛盾． 当a＜0时，x∈时，f ′(x)＜0；x∈时，f ′(x)＞0；x∈(0，＋∞)时，f ′(x)＜0． 要使f (x)有唯一的零点x0，且x0＞0，只需f＞0，即a2＞4， 所以a＜－2．故选C． 法二：由已知a≠0，a＝存在唯一的零点x0，且x0＞0， 令t＝，则y＝a与y＝－t3＋3t有唯一的交点，且交点在y轴右侧， 记g(t)＝－t3＋3t，则g′(t)＝－3t2＋3， 由g′(t)＝0得，t＝±1， t∈(－∞，－1)时，g′(t)＜0；t∈(－1，1)时，g′(t)＞0；t∈(1，＋∞)时，g′(t)＜0， 所以只需a＜g(－1)＝－2，故选C．] 学习效果·课堂评估夯基础 1．已知函数f (x)的定义域为(a，b)，导函数f ′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f (x)在(a，b)上的极大值点的个数为(　　) A．1　　　　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．4 √ 6.2　函数的极值 B　[由导函数的图象可知，f ′(x)在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x＝0不是函数f (x)的极值点．其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个．] √ 2．已知函数f (x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3处取得极值，则a＝(　　) A．2　 B．3　 C．4 　 D．5 D　[f ′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意得f ′(－3)＝0，解得a＝5．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 3．设函数f (x)在R上可导，其导函数为f ′(x)，且函数f (x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝x·f ′(x)的图象可能是(　　) √ A　　　　　　　B C　　　　　　　D 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 C　[∵函数f (x)在R上可导，其导函数为f ′(x)，且函数f (x)在x＝－2处取得极小值， 当x>－2时，f ′(x)>0；当x＝－2时，f ′(x)＝0；当x<－2时，f ′(x)<0． ∴当x>0时，xf ′(x)>0；当－2<x<0时，xf ′(x)<0；当x＝－2或0时， xf ′(x)＝0；当x<－2时，xf ′(x)>0． 因此y＝xf ′(x)的图象应为选项C．] 4．若函数f (x)＝x2＋(a－1)x－a ln x存在唯一的极值，则a的取值范围为___________． [0，＋∞)　[f ′(x)＝x－1＋a＝(x>0)，令f ′(x)＝0，解得x＝1或x＝－a．因为函数f (x)＝x2＋(a－1)x－a ln x存在唯一的极值，所以a≥0．] [0，＋∞)　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 5．已知x＝1是f (x)＝[x2－(a＋3)x＋2a＋3]ex的极小值点，求实数a的取值范围． [解]　f ′(x)＝[x2－(a＋1)x＋a]ex＝(x－a)(x－1)ex． 令f ′(x)＝0，得(x－a)(x－1)ex＝0． 设g(x)＝(x－1)(x－a)． ①当a＝1时，g(x)≥0，f ′(x)≥0，f (x)没有极值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 ②当a>1时，若x>a或x<1时，g(x)>0，f ′(x)>0； 若1<x<a时，g(x)<0，则f ′(x)<0． 所以x＝1是函数f (x)的极大值点，不合题意． ③当a<1时，若x>1或x<a，f ′(x)>0， 若a<x<1时，f ′(x)<0． 所以x＝1是f (x)的极小值点，满足题意． 综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1)． 1．对于可导函数来说，y＝f (x)在极值点处的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点．例如，函数y＝x3在x＝0处，f ′(0)＝0，但x＝0不是函数的极值点． 2．可导函数f (x)在x0取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧，f ′(x)的符号不同． 3．若函数y＝f (x)在(a，b)内有极值，则y＝f (x)在(a，b)内绝不是单调函数，即单调函数没有极值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 课时分层作业(十七)　函数的极值 一 、选择题 1．函数y＝x－ln (1＋x2)的极值情况是(　　) A．有极小值 B．有极大值 C．既有极大值又有极小值 D．无极值 D　[∵y′＝1－·(1＋x2)′＝1－＝≥0，∴函数y＝x－ln (1＋x2)无极值． ] 46 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 2．函数f (x)＝x2－ln x的极值点为(　　) A．0，1，－1　　　　　　　　 B． C．－ D．，－ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 47 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[由已知，得f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝3x－＝，令f ′(x)＝0，得x＝或x＝－(舍去)．当x>时，f ′(x)>0；当0<x<时，f ′(x)<0．所以当x＝时，f (x)取得极小值．从而f (x)的极小值点为x＝，无极大值点，故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 3．函数f (x)＝x3－3bx＋3b在(0，1)内有极值，则(　　) A．0<b<1 　 B．b<0 C．b>0 　 D．b< A　[f ′(x)＝3x2－3b．∵f (x)在(0，1)内有极值， ∴f ′(x)＝0有解，∴x＝±，∴0<<1，∴0<b<1．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 49 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 4．设三次函数f (x)的导函数为f ′(x)，函数y＝xf ′(x)的图象的一部分如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．f (x)的极大值为f ()，极小值为f (－) B．f (x)的极大值为f (－)，极小值为f () C．f (x)的极大值为f (－3)，极小值为f (3) D．f (x)的极大值为f (3)，极小值为f (－3) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 50 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 D　[由题图可知， 当x∈(－∞，－3)时，xf ′(x)>0，即f ′(x)<0； 当x∈(－3，0)时，xf ′(x)<0，即f ′(x)>0； 当x∈(0，3)时，xf ′(x)>0，即f ′(x)>0； 当x∈(3，＋∞)时，xf ′(x)<0，即f ′(x)<0． 故函数f (x)在x＝－3处取得极小值，在x＝3处取得极大值．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 51 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 5．已知f (x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f ′(x)的图象如图所示，则函数 f (x)的极大值是(　　) A．－2a＋c B．－4a＋c C．－3a D．c 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 52 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[由导函数f ′(x)的图象知当0<x<2时，f ′(x)>0；当x>2时，f ′(x)<0；当x＝2时，f ′(x)＝0．又f ′(x)＝3ax2＋2bx，所以b＝－3a，f (x)＝ax3－3ax2＋c，所以函数f (x)的极大值为f (2)＝－4a＋c，故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．(2025·全国二卷)若x＝2是函数f (x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的极值点，则f (0)＝________． －4　[f ′(x)＝(x－2)′[(x－1)(x－a)]＋(x－2)·[(x－1)·(x－a)]′＝(x－1)(x－a)＋(x－2)·[(x－1)(x－a)]′，因为x＝2是函数f (x)的极值点，所以f ′(2)＝0，即(2－1)(2－a)＝0，则a＝2，经检验，满足题意，所以f (x)＝(x－1)·(x－2)2，所以f (0)＝－4．] －4　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 54 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．已知函数f (x)＝x3－x2＋ax－a存在极值点x0，且f (x1)＝f (x0)，其中x1≠x0，则x1＋2x0＝________． 1　[由f (x)＝x3－x2＋ax－a，得f ′(x)＝3x2－2x＋a． 因为x0为f (x)的极值点，知－2x0＋a＝0． 因为f (x1)＝f (x0)，其中x1≠x0， 所以＋ax1－a＝＋ax0－a， 整理得－(x1＋x0)＋a＝0， 1　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 55 把a＝＋2x0代入上述方程可得＋2x0＝0， 整理得＋x0－x1＝0， 即(x1－x0)(x1＋2x0－1)＝0， 因为x1－x0≠0，所以x1＋2x0＝1．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．函数f (x)＝x3－3x＋2的零点个数为________． 2　[f ′(x)＝3x2－3＝3(x－1)·(x＋1)，可知f (x)在(－∞，－1)及(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，故f (x)的极大值为f (－1)＝4，极小值为f (1)＝0，其大致图象如图所示，所以零点个数为2．] 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 57 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．(源自湘教版教材)求下列三次函数的单调区间和极值． (1)f (x)＝x3－x2＋2x＋1； (2)h(x)＝－2x3＋9x2－12x＋5． [解]　(1)因为f ′(x)＝3x2－2x＋2＝3＋， 所以f ′(x)恒为正，f (x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)， 因此f (x)没有极值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 58 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (2)h′(x)＝－6x2＋18x－12＝－6(x2－3x＋2)＝－6(x－1)(x－2)． 令h′(x)＝0，得x＝1或x＝2． 当x在区间(－∞，＋∞)内变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如表： x (－∞，1) 1 (1，2) 2 (2，＋∞) h′(x) － 0 ＋ 0 － h(x)  极小值  极大值  故h(x)的单调递减区间为(－∞，1)，(2，＋∞)；单调递增区间为(1，2)．因而极大值为1，极小值为0． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 59 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．已知函数f (x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，求f (x)的极值． [解]　∵f (x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0， ∴f ′(x)＝48x2－40ax＋8a2＝8(6x2－5ax＋a2)＝8(2x－a)(3x－a)， 令f ′(x)＝0，得x＝或x＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 60 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ∴当x＝时，函数取得极大值f＝； 当x＝时，函数取得极小值f＝0． x f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x)  极大值  极小值  ①当a>0时，<，则随着x的变化，f ′(x)，f (x)的变化情况如表： 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 ②当a<0时，<，则随着x的变化，f ′(x)，f (x)的变化情况如表： x f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x)  极大值  极小值  ∴当x＝时，函数取得极大值f＝0； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 当x＝时，函数取得极小值f＝． 综上所述，当a>0时，函数f (x)在x＝处取得极大值f＝，在x＝处取得极小值f＝0； 当a<0时，函数f (x)在x＝处取得极大值f＝0，在x＝处取得极小值f＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．若函数f (x)＝2x＋a ln x在区间(1，2)上有极值点，则实数a的取值范围为(　　) A．(－4，－2) B．(2，4) C．(－∞，－4)∪(－2，＋∞) D．(－∞，2)∪(4，＋∞) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 64 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　[函数f (x)＝2x＋a ln x在区间(1，2)上有极值点，所以f ′(x)＝2＋在区间(1，2)上有变号零点． 所以f ′(1)f ′(2)<0，所以(2＋a)<0，解得－4<a<－2．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 12．已知f (x)＝x3－6x2＋9x－abc，a＜b＜c，且f (a)＝f (b)＝f (c)＝0，则下列结论中不正确的是(　　) A．f (0)＜0 B．f (1)＞0 C．f (2)＞0 D．f (3)＜0 C　[∵f (x)＝x3－6x2＋9x－abc，∴f ′(x)＝3x2－12x＋9， 令f ′(x)＝0，则x＝1或x＝3， 当x＜1时，f ′(x)＞0；当1＜x＜3时，f ′(x)＜0；当x＞3时，f ′(x)＞0， ∴当x＝1时，f (x)有极大值，当x＝3时，f (x)有极小值， 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 66 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ∵函数f (x)有三个零点， ∴f (1)＞0，f (3)＜0，且a＜1＜b＜3＜c， 又∵f (3)＝27－54＋27－abc＝－abc， ∴abc＞0，即a＞0， 因此f (0)＜f (a)＝0．由于2与b的大小不能确定，∴f (2)＞0不正确．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 13．(多选题)若函数f (x)＝a ln x＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　) A．bc＞0 B．ab＞0 C．b2＋8ac＞0 D．ac＜0 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 68 BCD　[因为函数f (x)＝a ln x＋(a≠0)，所以函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝，因为函数f (x)既有极大值也有极小值，则函数f ′(x)在(0，＋∞)上有两个变号零点，而a≠0，所以关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正实根x1，x2， 则即所以 故选BCD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．已知f (x)＝sin x(1＋cos x)(0＜x＜π)，则当x＝________时，f (x)取极大值，其极大值是________． 　[f ′(x)＝(2cos x－1)(cos x＋1)． 令f ′(x)＝0，得cos x＝或cos x＝－1． 当0＜x＜π时，x＝． 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 70 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 当x在区间(0，π)内变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如表： x f ′(x) ＋ 0 － f (x)  极大值  故当x＝时，f (x)取得极大值．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．若函数y＝f (x)存在n－1(n∈N＋)个极值点，则称y＝f (x)为n折函数，例如f (x)＝x2为2折函数．已知函数f (x)＝(x＋1)ex－x(x＋2)2，求f (x)为多少折函数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 72 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　f ′(x)＝(x＋2)ex－(x＋2)(3x＋2)＝(x＋2)·(ex－3x－2)，令f ′(x)＝0，得x＝－2或ex＝3x＋2． 易知x＝－2是f (x)的一个极值点， 又ex＝3x＋2，结合函数图象(图略)，y＝ex与y＝3x＋2有两个交点． 又e-2≠3×(－2)＋2＝－4， 所以函数y＝f (x)有3个极值点，则f (x)为4折函数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.2　函数的极值 $