2.6.1 函数的单调性-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦“函数的单调性与导数关系”，通过一次函数、指数函数等六个常见函数的导数计算、符号判断及单调性分析，引导学生自主探究导数正负与函数增减的关联，搭建从具体函数到抽象规律的学习支架。 其亮点是以问题链驱动探究，结合数学抽象与逻辑推理，如通过分类讨论、图像分析解决参数范围问题，培养数学运算素养。分层作业覆盖基础到拓广，学生能深化理解，教师可高效开展差异化教学，提升课堂效率。

第二章　导数及其应用 §6　用导数研究函数的性质 6.1　函数的单调性 学习任务 核心素养 1．了解函数的单调性与导数的关系．(重点) 2．能利用导数研究函数的单调性．(重点、难点) 3．会求函数的单调区间．(难点) 1．借助对函数的单调性与导数的关系的探究，培养数学抽象与逻辑推理素养． 2．通过导数在研究函数的单调性中的应用，培养数学运算素养． 6.1　函数的单调性 已知函数(1)y1＝2x－1，(2)y2＝－2x－1，(3)y3＝2x，(4)y4＝，(5)y5＝＝． 问题1：求上面六个函数的导数． [提示]　(1)y1′＝2，(2)y2′＝－2，(3)y3′＝2x ln 2，(4)y4′＝ ln ＝ －2－xln 2，(5)y5′＝，(6)y6′＝＝－． 必备知识·情境导学探新知 6.1　函数的单调性 问题2：试判断所求导数的符号． [提示]　(1)(3)(5)的导数为正，(2)(4)(6)的导数为负． 问题3：试判断上面六个函数的单调性． [提示]　(1)(3)(5)在定义域上函数值随x的增加而增加，(2)(4)(6)在定义域上函数值随x的增加而减少． 问题4：试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系． [提示]　当f ′(x)>0时，f (x)单调递增，当f ′(x)<0时，f (x)单调递减． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 函数在区间(a，b)上的单调性与其导数的符号有如下关系． 导数的正负 函数在(a，b)上的单调性 f ′(x)＞0 ________ f ′(x)＜0 ________ f ′(x)＝0 ________ 单调递增 单调递减 常数函数 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 思考　1．在某一区间上f ′(x)>0(或f ′(x)<0)是函数y＝f (x)在该区间上单调递增(或单调递减)的什么条件？ [提示]　充分不必要条件． 思考　2．若在某个区间上有有限个(或无限个不连续)点使f ′(x)＝0，而其余点恒有f ′(x)>0(或f ′(x)<0)，该函数在这个区间上是否仍是单调递增(或单调递减)的？ [提示]　是． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数f (x)在(a，b)内单调递增，则一定有f ′(x)>0． (　　) (2)若∀x∈(a，b)，f ′(x)>0，则函数f (x)在(a，b)内单调递增． (　　) (3)若∃x∈(a，b)，f ′(x)＝0，则函数f (x)在(a，b)内不单调． (　　) (4)已知f (x)是定义在R上的可导函数，若∀x≥a，f (x)≥f (a)，则 f ′(a)≥0． (　　) × √ × √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 √ 2．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝sin x　　　　　 B．y＝x·ex C．y＝x3－x 　 D．y＝ln x－x B　[(sin x)′＝cos x，(x·ex)′＝ex＋x·ex＝(1＋x)·ex，(x3－x)′＝3x2－1，(ln x－x)′＝－1，当x∈(0，＋∞)时，只有(x·ex)′＝(1＋x)·ex>0．故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 3．已知函数f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图，则函数f (x)的单调递增区间为____________________． [－1，0]和[2，＋∞)　[由图可知，当－1≤x≤0或x≥2时f ′(x)≥0，可得单调递增区间为[－1，0]和[2，＋∞)．] [－1，0]和[2，＋∞)　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 关键能力·合作探究释疑难 类型1　求函数的单调区间 【例1】　【链接教材P78例1】 求下列函数的单调区间． (1)f (x)＝x2－ln x； (2)f (x)＝ax3－3x2＋1(a≠0)． 6.1　函数的单调性 [解]　(1)函数f (x)的定义域为(0，＋∞)． f ′(x)＝2x－＝， 因为x>0，所以x＋1>0，由f ′(x)>0，解得x>， 所以函数f (x)的单调递增区间为； 由f ′(x)<0，解得x<，又x∈(0，＋∞)， 所以函数f (x)的单调递减区间为． (2)由题设知a≠0． f ′(x)＝3ax2－6x＝3ax，令f ′(x)＝0，得x1＝0，x2＝． ①当a>0时， 若x∈(－∞，0)，则f ′(x)>0， ∴f (x)的单调递增区间为(－∞，0)，； 若x∈，则f ′(x)<0， ∴f (x)的单调递减区间为． ②当a<0时， 若x∈∪(0，＋∞)，则f ′(x)<0， ∴f (x)的单调递减区间为，(0，＋∞)； 若x∈，则f ′(x)>0， ∴f (x)的单调递增区间为． 【教材原题·P78例1】 讨论函数f (x)＝2x3－3x2－36x＋16的单调性． [解]　f ′(x)＝6x2－6x－36＝6(x＋2)(x－3)． 设f ′(x)＞0，则6(x＋2)(x－3)＞0，即x＜－2或x＞3． 故当x∈(－∞，－2)或x∈(3，＋∞)时，f ′(x)＞0，因此，在这两个区间上，函数f (x)均单调递增； 当x∈(－2，3)时，f ′(x)＜0，因此，在这个区间上，函数f (x)单调递减． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 反思领悟　确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f (x)的定义域； (2)求f ′(x)； (3)解不等式f ′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式f ′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 [跟进训练] 1．求下列函数的单调区间． (1)f (x)＝； (2)f (x)＝x－＋a(2－ln x)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 [解]　(1)函数f (x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f ′(x)＝＝． 因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以ex>0，(x－2)2>0． 令f ′(x)>0，解得x>3， 所以函数f (x)的单调递增区间为(3，＋∞)； 令f ′(x)<0，解得x<3， 又x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以函数f (x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2，3)． (2)函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1＋＝ ， 考虑Δ＝a2－8． ①当Δ≤0即－2≤a≤2时，x2－ax＋2≥0恒成立，故f (x)的单调递增区间为(0，＋∞)． ②当a＞2时，x2－ax＋2＝0的解x1＝ ，x2＝，x1，x2＞0， ∴x2－ax＋2＞0的解集为； x2－ax＋2＜0的解集为，， ∴f (x)的单调递增区间为； 单调递减区间为． ③当a＜－2时，x1，x2＜0， ∴∀x∈(0，＋∞)，f ′(x)＞0， ∴f (x)的单调递增区间为(0，＋∞)． 类型2　已知函数单调性求参数范围 【例2】　若函数f (x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1，4)内单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 [解]　法一：f ′(x)＝x2－ax＋a－1，令f ′(x)＝0得x＝1或x＝a－1． 当a－1≤1，即a≤2时，函数f (x)在(1，＋∞)内单调递增，不合题意． 当a－1>1，即a>2时，f (x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上单调递增，在(1，a－1)上单调递减， 由题意知(1，4)⊆(1，a－1)且(6，＋∞)⊆(a－1，＋∞)，所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7． 故实数a的取值范围为[5，7]． 法二：f ′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]． 因为在(1，4)内f ′(x)≤0， 在(6，＋∞)内f ′(x)≥0，且f ′(x)＝0有一根为1， 作出y＝f ′(x)的示意图如图所示， 则f ′(x)＝0的另一根在[4，6]上． 所以即所以5≤a≤7． 故实数a的取值范围为[5，7]． 法三：f ′(x)＝x2－ax＋a－1． 因为f (x)在(1，4)内单调递减，所以f ′(x)≤0在(1，4)上恒成立．即a(x－1)≥x2－1在(1，4)上恒成立，所以a≥x＋1，又因为2<x＋1<5，所以当a≥5时，f ′(x)≤0在(1，4)上恒成立． 因为f (x)在(6，＋∞)上单调递增，所以f ′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立，所以a≤x＋1，又因为x＋1>7， 所以当a≤7时，f ′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立． 综上知5≤a≤7． 故实数a的取值范围为[5，7]． 反思领悟　根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f (x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集． (2)f (x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f ′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f ′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解． (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 [跟进训练] 2．已知函数f (x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，求实数a的取值范围． [解]　函数f (x)的导数f ′(x)＝3ax2＋6x－1． 由题设知f (x)在R上是减函数， ∴f ′(x)≤0对x∈R恒成立，即3ax2＋6x－1≤0在R上恒成立， ∴∴a≤－3． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 当a＝－3时，f ′(x)＝－9x2＋6x－1＝－(3x－1)2≤0，有且仅有f ′＝0， 故实数a的取值范围是(－∞，－3]． 类型3　单调性的应用 角度1　利用单调性比较大小 【例3】　已知函数y＝f (x)(x∈R)满足f ′(x)>f (x)，则f (1)与ef (0)的大小关系是(　　) A．f (1)<ef (0)　　　　　 B．f (1)>ef (0) C．f (1)＝ef (0) D．不能确定 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 B　[令g(x)＝，则g′(x)＝＝>0，则函数g(x)在R上单调递增，所以g(1)>g(0)，即>，所以可得f (1)>ef (0)，故选B．] 反思领悟　利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 [跟进训练] 3．已知f (x)是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x)，且不等式xf ′(x)<2f (x)恒成立，则(　　) A．4f (1)<f (2)　　 B．4f (1)>f (2) C．f (1)<4f (2)　　 D．f (1)>4f (2) √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 B　[设函数g(x)＝(x>0)， 则g′(x)＝＝<0， 所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减， 因此g(1)>g(2)，即>， 所以4f (1)>f (2)．] 角度2　利用单调性解不等式 【例4】　已知f (x)在R上是奇函数，且f ′(x)为f (x)的导函数，对任意x∈R，均有f (x)>成立，若f (－2)＝2，则不等式f (x)>－2x-1的解集为(　　) A．(－2，＋∞)　　 B．(2，＋∞) C．(－∞，－2)　　 D．(－∞，2) √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 D　[因为f (x)>，所以f ′(x)－ln 2·f (x)<0． 令g(x)＝，则g′(x)＝， 所以g′(x)<0，则g(x)在R上单调递减． 由f (－2)＝2，且f (x)在R上是奇函数， 得f (2)＝－2，则g(2)＝＝－， 又f (x)>－2x-1，所以>－＝g(2)， 所以x<2．] 反思领悟　利用函数单调性解不等式时通常需要构造函数，常见的形式有： (1)对于f ′(x)＞g′(x)，构造h(x)＝f (x)－g(x)； (2)对于f ′(x)＋g′(x)＞0，构造h(x)＝f (x)＋g(x)； (3)对于f ′(x)＋f (x)＞0，构造h(x)＝exf (x)； (4)对于f ′(x)＞f (x)，构造h(x)＝； (5)对于xf ′(x)＋f (x)＞0，构造h(x)＝xf (x)； (6)对于xf ′(x)－f (x)＞0，构造h(x)＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 [跟进训练] 4．函数f (x)的定义域为R，f (－1)＝2，对任意的x∈R，有f ′(x)＞2，则f (x)＞2x＋4的解集是_________________． (－1，＋∞)　[令g(x)＝f (x)－(2x＋4)， 则g′(x)＝f ′(x)－2＞0， 所以g(x)在R上单调递增． 由f (－1)＝2，得g(－1)＝0，又f (x)＞2x＋4⇔g(x)>0，所以x>－1． 即不等式f (x)＞2x＋4的解集是(－1，＋∞)．] (－1，＋∞)　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 学习效果·课堂评估夯基础 √ 1．(教材P79练习T2改编)函数f (x)＝x－sin x，x∈(0，2π)(　　) A．单调递增 B．单调递减 C．在(0，π)上单调递增，在(π，2π)上单调递减 D．在(0，π)上单调递减，在(π，2π)上单调递增 A　[f ′(x)＝1－cos x>0，∴f (x)在(0，2π)上单调递增．] 6.1　函数的单调性 √ 2．函数f (x)＝x2－2ln x的单调递减区间是(　　) A．(0，1]　　　　　　　　 B．[1，＋∞) C．(－∞，－1)，(0，1) D．[－1，0)，(0，1] A　[函数的定义域为(0，＋∞)，又f ′(x)＝2x－＝， 由f ′(x)≤0，解得0＜x≤1．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 3．若f (x)＝，e<a<b，则(　　) A．f (a)>f (b) B．f (a)＝f (b) C．f (a)<f (b) D．f (a)与f (b)的大小关系不确定 √ A　[f ′(x)＝，当x>e时，f ′(x)<0，则f (x)在(e，＋∞)上单调递减，所以f (a)>f (b)．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 4．已知函数f (x)＝在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a的取值 范围为________． 　[f ′(x)＝＝， 由函数f (x)在(－2，＋∞)内单调递减知，f ′(x)≤0在(－2，＋∞)内恒成立，即≤0在(－2，＋∞)内恒成立，因此a≤．又当a＝时，f (x)＝＝为常数函数，所以不符合题意． 所以a的取值范围是．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 5．比较与的大小． [解]　令f (x)＝，则f ′(x)＝， 当0＜x＜e2时，f ′(x)＞0， ∴f (x)在(0，e2)上单调递增． 又0＜2＜3＜e2，则＜， ∴ln 2＜ln 3，即， ． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 1．在利用导数来讨论函数的单调性时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内通过讨论导数的符号来确定函数的单调区间． 2．已知函数的单调性求参数的范围，这类问题往往转化为不等式的恒成立问题，即f ′(x)≥0或f ′(x)≤0在给定区间恒成立，从中求出参数范围，同时应注意能否取到等号需要单独验证． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 课时分层作业(十六)　函数的单调性 一、选择题 1．函数f (x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为(　　) A．(2，＋∞)　　　　　　 B．(－∞，2) C．(－∞，0)　 D．(0，2) D　[f ′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f ′(x)<0，得0<x<2，所以f (x)的单调递减区间为(0，2)．] 43 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．函数y＝f (x)的图象如图所示，则y＝f ′(x)的图象可能是(　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 44 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 D　[由f (x)的图象知，f (x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f ′(x)＜0，在(－∞，0)上f ′(x)＞0，故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 3．若函数h(x)＝2x－在(1，＋∞)上单调递增，则实数k的取值范围是(　　) A．[－2，＋∞)　 B．[2，＋∞) C．(－∞，－2] 　 D．(－∞，2] A　[根据条件得h′(x)＝2＋＝≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，所以k∈[－2，＋∞)．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 46 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 4．已知函数f (x)＝－ln x，则有(　　) A．f (2)<f (e)<f (3) B．f (e)<f (2)<f (3) C．f (3)<f (e)<f (2) D．f (e)<f (3)<f (2) C　[因为在区间(0，4)上，f ′(x)＝＜0， 所以f (x)在(0，4)上单调递减， 所以有f (2)＞f (e)＞f (3)．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 47 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 5．对于R上可导的任意函数f (x)，若满足≤0，则必有(　　) A．f (1)＋f (3)＜2f (2) B．f (1)＋f (3)≤2f (2) C．f (1)＋f (3)＞2f (2) D．f (1)＋f (3)≥2f (2) C　[当x＞2时，f ′(x)≥0，则函数f (x)单调递增，所以有f (3)＞f (2)； 当x＜2时，f ′(x)≤0，则函数f (x)单调递减，所以有f (1)＞f (2)， 所以f (1)＋f (3)＞2f (2)，故选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 48 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．函数f (x)＝x－2sin x在(0，π)上的单调递增区间为________． 　[令f ′(x)＝1－2cos x>0，则cos x<． 又x∈(0，π)，解得<x<π， 所以函数f (x)在(0，π)上的单调递增区间为．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 49 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．函数f (x)＝x＋(b>0)的单调递减区间为____________________． (－，0)和(0，)　[函数f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， f ′(x)＝1－， 令f ′(x)<0，则(x＋)(x－)<0， ∴－<x<，且x≠0． ∴函数的单调递减区间为(－，0)和(0，)．] (－，0)和(0，) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 50 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．若函数f (x)＝ex－ax－1在区间(－2，3)上单调递减，则a的取值范围为__________． [e3，＋∞)　[由题意知，f ′(x)＝ex－a≤0在(－2，3)上恒成立． ∴a≥ex在x∈(－2，3)上恒成立． ∵－2<x<3，∴e-2<ex<e3，只需a≥e3． 当a＝e3时，f ′(x)＝ex－e3在x∈(－2，3)上，f ′(x)<0，即f (x)在(－2，3)上单调递减， ∴a≥e3．] [e3，＋∞) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 51 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．设f (x)＝－x3＋x2＋2ax．若f (x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 52 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　f ′(x)＝－x2＋x＋2a＝－＋＋2a， 当x∈时，f ′(x)的最大值为f ′＝＋2a． 函数有单调递增区间，即在内，导函数大于零有解， 令＋2a>0，得a>－． 所以当a∈时，f (x)在上存在单调递增区间． 所以a的取值范围是． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 53 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．设函数f (x)＝ln (x＋a)＋x2，若f ′(－1)＝0，求a的值，并讨论 f (x)的单调性． [解]　f ′(x)＝＋2x， 依题意，有f ′(－1)＝0，故a＝． 从而f (x)的定义域为， 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 54 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 f ′(x)＝＝． 当－<x<－1时，f ′(x)>0； 当－1<x<－时，f ′(x)<0； 当x>－时，f ′(x)>0． 从而f (x)在区间上单调递增，在区间上单调递减． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．设f (x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，且g(x)≠0，当x<0时，f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)>0，且f (－2)＝0，则不等式f (x)g(x)<0的解集为(　　) A．(－2，0)∪(0，2) B．(－2，0)∪(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪(0，2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 56 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 C　[设φ(x)＝f (x)g(x)，由题意知，φ(x)为奇函数． ∵f (－2)＝0， ∴φ(－2)＝f (－2)·g(－2)＝0， ∴φ(2)＝0， ∵当x<0时，φ′(x)＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)>0， ∴φ(x)在(－∞，0)上单调递增， ∴φ(x)在(0，＋∞)上单调递增， 故使f (x)g(x)<0成立的x的取值范围是x<－2或0<x<2．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 12．已知函数f (x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为(　　) A．e2　　　B．e　　　C．e-1　　　D．e-2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 58 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 C　[因为函数f (x)＝aex－ln x，所以f ′(x)＝aex－．因为函数f (x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，所以f ′(x)≥0在(1，2)上恒成立，即aex－≥0在(1，2)上恒成立，易知a>0，则0<≤xex在(1，2)上恒成立．设g(x)＝xex，则g′(x)＝(x＋1)ex．当x∈(1，2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以在(1，2)上，g(x)>g(1)＝e，所以≤e，即a≥＝e-1，故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 13．(多选题)若函数y＝exf (x)(e＝2．718 28…是自然对数的底数)在 f (x)的定义域上单调递增，则称函数y＝f (x)具有性质M．下列函数中，不具有性质M的是(　　) A．f (x)＝2－x　　 B．f (x)＝x2 C．f (x)＝3－x　　 D．f (x)＝cos x √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 60 BCD　[设函数g(x)＝ex·f (x)，对于A，g(x)＝ex·2－x＝，在定义域R上单调递增，具有性质M．对于B，g(x)＝ex·x2，则g′(x)＝x(x＋2)ex，由g′(x)>0得x<－2或x>0，所以g(x)在定义域R上不单调递增，不具有性质M．对于C，g(x)＝ex·3－x＝在定义域R上单调递减，不具有性质M．对于D，g(x)＝ex·cos x，则g′(x)＝ex cos ，g′(x)>0在定义域R上不恒成立，不具有性质M．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．设a∈(0，1)，若函数f (x)＝ax＋(1＋a)x在(0，＋∞)上单调递 增，则a的取值范围是__________． 　[由题意得当x>0时，f ′(x)＝ax ln a＋(1＋a)x ln (1＋a)＝ax≥0，设g(x)＝ln a＋ ln (1＋a)，因为ax>0，所以g(x)≥0． 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 62 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 因为a∈(0，1)，所以ln (1＋a)>0，＋1>1，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故只需满足g(0)≥0，即ln a＋ln (1＋a)＝ln (a＋a2)≥0，所以a＋a2≥1，解得a≤－或a≥，又0<a<1，所以a的取值范围为．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．已知函数f (x)＝x3－x2＋ax＋1． (1)讨论f (x)的单调性； (2)求曲线y＝f (x)过坐标原点的切线与曲线y＝f (x)的公共点的坐标． [解]　(1)由题意知f (x)的定义域为R，f ′(x)＝3x2－2x＋a，对于f ′(x)＝0，Δ＝(－2)2－4×3a＝4(1－3a)． ①当a≥时，f ′(x)≥0，f (x)在R上单调递增； 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 64 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ②当a＜时，令f ′(x)＝0，即3x2－2x＋a＝0，解得x1＝，x2＝，令f ′(x)＞0，则x＜x1或x＞x2； 令f ′(x)＜0，则x1＜x＜x2． 所以f (x)在(－∞，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增． 综上，当a≥时，f (x)在R上单调递增； 当a＜时，f (x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 6.1　函数的单调性 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (2)记曲线y＝f (x)过坐标原点的切线为l，切点为＋ax0＋1)， 因为f ′(x0)＝－2x0＋a，所以切线l的方程为＋ax0＋1)＝－2x0＋a)(x－x0)． 由l过坐标原点，得－1＝0，解得x0＝1，所以切线l的方程为y＝(1＋a)x． 令x3－x2＋ax＋1＝(1＋a)x，则x3－x2－x＋1＝0，解得x＝±1． 所以曲线y＝f (x)过坐标原点的切线与曲线y＝f (x)的公共点的坐标为(1，1＋a)和(－1，－1－a)． $