2.5 简单复合函数的求导法则-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦“简单复合函数的求导法则”，通过情境问题引导学生从h(x)=sin2x的分解与求导入手，观察归纳法则，衔接基本初等函数求导知识，构建导数应用的学习支架。 其亮点在于以情境导学培养数学抽象与创新意识，结合港口潮水高度、汽水温度变化等实例发展运算能力与模型意识，分层作业与课堂小结助力结构化教学，能提升学生探究能力，方便教师高效备课。

第二章　导数及其应用 §5　简单复合函数的求导法则 学习任务 核心素养 1．了解复合函数的求导法则．(重点) 2．能求简单复合函数的导数．(难点) 通过求简单复合函数的导数，培养数学运算素养． §5　简单复合函数的求导法则 已知函数h(x)＝sin 2x，f (u)＝sin u，g(x)＝2x． 问题1：h(x)可以由f (u)与g(x)得到吗？ 必备知识·情境导学探新知 [提示]　如果在f (u)＝sin u中，令u＝g(x)＝2x， 则有f (g(x))＝sin (g(x))＝sin 2x＝h(x)． §5　简单复合函数的求导法则 问题2：分别求出h′(x)，f ′(u)，g′(x)，并总结它们之间的关系． [提示]　因为h(x)＝sin 2x＝2sin x cos x，所以 h′(x)＝(2sin x cos x)′ ＝2(sin x)′cos x＋2sin x(cos x)′ ＝2cos2x－2sin2x ＝2cos2x． 又因为f ′(u)＝cos u，g′(x)＝2， 所以h′(x)＝f ′(g(x))g′(x)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 1．复合函数的概念 对于两个函数___________和________________，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数___________和_________的复合函数，记作________________，其中u为中间变量． 2．复合函数的求导法则 复合函数y＝f (φ(x))的导数为： y′x＝___________________＝__________________，其中u＝φ(x)． y＝f(u) u＝φ(x)＝ax＋b y＝f(u) u＝φ(x) y＝f(φ(x)) [f(φ(x))]' f '(u)φ'(x) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 思考　1．如何求复合函数y＝f (φ(x))的定义域？ [提示]　由内函数u＝φ(x)的值域包含于外函数y＝f (u)的定义域所求得的x的取值集合就是复合函数y＝f (φ(x))的定义域． 思考　2．任何两个函数都能复合吗？ [提示]　只有外函数y＝f (u)的定义域与内函数u＝φ(x)的值域的交集非空时才能复合． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复合函数y＝f (φ(x))的定义域就是内函数u＝φ(x)的定义域． (　　) (2)复合函数y＝f (φ(x))的定义域就是内函数u＝φ(x)的值域． (　　) (3)复合函数y＝f (φ(x))的定义域就是外函数y＝f (u)的定义域． (　　) (4)(ln |x|)′＝． (　　) × √ × × 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 √ 2．函数y＝的导数是(　　) A．　　　　　　　 B． C．－ 　 D．－ C　[∵y＝＝(3x－1)-2，∴y′＝－2(3x－1)-3·(3x－1)′＝－6(3x－1)-3＝－．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 3．已知f (x)＝cos 2x，则f ′＝________． －2　[由f ′(x)＝－2sin 2x得，f ′＝－2．] －2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 4．已知函数f (x)＝(2x＋1)5，则f ′(0)＝________． 10　[f ′(x)＝5(2x＋1)4·(2x＋1)′＝10(2x＋1)4， ∴f ′(0)＝10．] 10 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 关键能力·合作探究释疑难 类型1　复合函数的概念 【例1】　函数y＝可以看成哪两个函数的复合？ [解]　函数y＝可以看成函数y＝与函数u＝(2x＋1)2的复合，也可以看成函数y＝与函数u＝2x＋1的复合． §5　简单复合函数的求导法则 反思领悟　1．不是任意两个函数都能复合，只有内函数的值域与外函数的定义域的交集非空时，才能复合． 2．一个复合函数有不同的复合形式，要根据研究的需要进行选择． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 [跟进训练] 1．函数y＝e2x-1可以看成哪两个函数的复合？ [解]　函数y＝e2x-1可以看成函数y＝eu与函数u＝2x－1的复合． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 类型2　简单的复合函数求导 【例2】　【链接教材P75例1】 求下列函数的导数： (1)y＝sin 3x； (2)y＝； (3)y＝sin2． [思路点拨]　先分析复合函数的复合过程，然后运用复合函数的求导法则求解． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 [解]　(1)设y＝sinu，u＝3x， 则y′x＝y′u·u′x＝(sin u)′·(3x)′＝cos u·3＝3cos 3x． (2)设y＝，u＝1－2x2， 则y′x＝y′u·u′x＝′·(1－2x2)′ ＝－·(－4x) ＝－ (－4x)＝． (3)设y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋． 则y′x＝y′u·u′v·v′x＝2u·cos v·2 ＝2sin v·cos v·2＝2sin 2v＝2sin ． 【教材原题·P75例1】 求函数y＝的导数． [解]　引入中间变量u＝φ(x)＝3x＋1，则函数y＝是由函数 f (u)＝＝与u＝φ(x)＝3x＋1复合而成的． 由复合函数的求导法则，可得 y′x＝()′＝f ′(u)φ′(x)＝()′·(3x＋1)′＝·3＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 反思领悟　1．求复合函数的导数的步骤 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 2．求复合函数的导数的注意点 (1)内、外层函数通常为基本初等函数． (2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 [跟进训练] 2．求下列函数的导数： (1)y＝ln (6x＋4)；(2)y＝e2x+1； (3)y＝sin ． [解]　(1)y′＝·(6x＋4)′＝． (2)y′＝e2x+1·(2x＋1)′＝2e2x+1． (3)y′＝cos ·′＝3cos ． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 类型3　求导法则的综合应用 【例3】　【链接教材P75例3】 某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s(t)＝3sin (0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 [解]　设f (x)＝3sin x，x＝φ(t)＝t＋． 由复合函数求导法则得s′(t)＝f ′(x)·φ′(t) ＝3cos x·＝cos ． 将t＝18代入s′(t)得， s′(18)＝cos ＝(m/h)． 它表示当t＝18 h时，潮水的高度上升的速度为 m/h． 【教材原题·P75例3】 一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度h(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数解析式为h＝h(t)＝，求函数在t＝3时的导数，并解释它的实际意义． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 [解]　函数h＝是由函数f (u)＝和函数u＝φ(t)＝2t＋1复合而成的，其中u是中间变量． 由复合函数的求导法则，可得h′t＝h′(t)＝f ′(u)φ′(t)＝′·(2t＋1)′ ＝－·2＝－． 将t＝3代入h′(t)，得 h′(3)＝－(cm/s)． 它表示当t＝3时，水面高度下降的速度为 cm/s． 反思领悟　将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 [跟进训练] 3．一听汽水放入冰箱后，其摄氏温度x(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化满足关系：x＝4＋16e-2t． (1)求汽水温度x在t＝1时的导数； (2)已知摄氏温度x与华氏温度y之间具有如下函数关系：x＝y－32．写出y关于t的函数解析式，并求y关于t的函数的导数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 [解]　(1)x′＝－32e-2t，当t＝1时，x′＝－． (2)y＝(x＋32)＝(16e-2t＋36)， y′＝e-2t×(－2)＝－e-2t． 学习效果·课堂评估夯基础 √ 1．函数f (x)＝x(1－ax)2(a＞0)，且f ′(2)＝5，则a等于(　　) A．1　　　　B．－1　　　　C．2　　　　D．－2 A　[f ′(x)＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，则f ′(2)＝12a2－8a＋1＝5(a＞0)，解得a＝1(负值舍去)．] §5　简单复合函数的求导法则 √ 2．若f (x)＝ax4＋bx2＋c满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝(　　) A．－4 B．－2 C．2 D．4 B　[∵f ′(x)＝4ax3＋2bx，∴y＝f ′(x)是奇函数， ∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 3．若f (x)＝tan 2x，则f ′＝(　　) A．－4　　 B．4　　 C．－8　　 D．8 √ D　[因为f ′(x)＝，所以f ′＝8．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 4．函数f (x)＝，且f ′(1)＝1，则a的值为________． 2　[∵f ′(x)＝·(ax－1)′＝， ∴f ′(1)＝＝1，解得a＝2．] 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 5．(教材P76习题2－5T1(2)改编)求曲线y＝e-5x＋2在点(0，3)处的切线方程． [解]　因为y′＝－5e-5x，所以x＝0时，y′＝－5， 由点斜式得，曲线y＝e-5x＋2在点(0，3)处的切线方程为y－3＝ －5x，即5x＋y－3＝0． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 求复合函数的导数应处理好以下环节： (1)中间变量的选择应是基本初等函数结构； (2)正确分析函数的复合层次； (3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导； (4)善于把一部分表达式作为一个整体； (5)最后要把中间变量换成自变量的函数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 课时分层作业(十五)　简单复合函数的求导法则 一、选择题 1．下列函数不是复合函数的是(　　) A．y＝－x3－＋1　　 B．y＝cos C．y＝ D．y＝(2x＋3)4 34 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　[A中的函数是一个多项式函数，B中的函数可看作函数u＝x＋，y＝cos u的复合函数，C中的函数可看作函数u＝ln x，y＝的复合函数，D中的函数可看作函数u＝2x＋3，y＝u4的复合函数，故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 2．函数y＝(100－8x)8的导数为(　　) A．y′＝8(100－8x)7 B．y′＝－64x C．y′＝64(8x－100)7 D．y′＝64(100－8x)7 C　[y′＝8(100－8x)7·(100－8x)′ ＝－64(100－8x)7＝64(8x－100)7．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 36 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 3．函数y＝x2cos 2x的导数为(　　) A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x D．y′＝2x cos 2x＋2x2sin 2x B　[y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2xcos 2x－2x2sin 2x．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 37 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 4．下列结论中正确的是(　　) A．若y＝cos ，则y′＝－sin B．若y＝sin x2，则y′＝2x cos x2 C．若y＝cos 5x，则y′＝－sin 5x D．若y＝x sin 2x，则y′＝x sin 2x 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 38 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[对于A，y＝cos ，则y′＝sin ，故错误； 对于B，y＝sin x2，则y′＝2x cos x2，故正确； 对于C，y＝cos 5x，则y′＝－5sin 5x，故错误； 对于D，y＝x sin 2x，则y′＝sin 2x＋x cos 2x，故错误．故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 39 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 5．已知曲线f (x)＝a sin (－x)－ln (x＋1)在(0，0)处的切线方程为y＝x，则a的值为(　　) A．－2　　　 B．1 C．2　　　 D．3 A　[依题意，曲线f (x)＝－a sin x－ln (x＋1)，求导得f ′(x)＝ －a cos x－，则f ′(0)＝－a－1，因为曲线y＝f (x)在(0，0)处的切线方程为y＝x，则f ′(0)＝1，即－a－1＝1，解得a＝－2，所以a的值为－2．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 40 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．函数f (x)＝xex-1的图象在点(1，1)处切线的斜率等于________． 2　[函数的导数为f ′(x)＝ex-1＋xex-1＝(1＋x)ex-1， 当x＝1时，f ′(1)＝2，即函数y＝xex-1的图象在点(1，1)处切线的斜率k＝f ′(1)＝2．] 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 41 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln (x＋a)相切，则a的值为________． 2　[设切点为(x0，y0)，则y0＝x0＋1，且y0＝ln (x0＋a)， 所以x0＋1＝ln (x0＋a)．① 对y＝ln (x＋a)求导得y′＝，则＝1，即x0＋a＝1．② ②代入①可得x0＝－1，所以a＝2．] 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 42 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．设曲线f (x)＝ax－ln (x＋1)在点(1，f (1))处的切线与y＝x平行，则a＝________． 1　[f ′(x)＝a－， 由题意得f ′(1)＝，即a－＝，所以a＝1．] 1　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 43 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．(源自人教B版教材)求下列函数的导数． (1)h(x)＝e5x-1； (2)f (x)＝ln (2x＋1)； (3)y＝； (4)y＝sin ． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 44 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)h(x)＝e5x-1可以看成f (u)＝eu与u＝g(x)＝5x－1的复合函数，因此 h′(x)＝f ′(u)g′(x)＝(eu)′(5x－1)′＝eu×5＝5e5x-1． (2)f (x)＝ln (2x＋1)可以看成h(u)＝ln u与u＝g(x)＝2x＋1的复合函数，因此 f ′(x)＝h′(u)g′(x)＝(ln u)′(2x＋1)′＝×2＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 45 (3)y＝可以看成函数y＝与u＝2x－1的复合函数，因此 y′x＝y′uu′x＝()′(2x－1)′＝×2＝＝． (4)y＝sin 可以看成函数y＝sin u与u＝2x＋的复合函数，因此 y′x＝y′uu′x＝(sin u)′′＝2cos u＝2cos ． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．已知曲线C1：y＝x2与C2：y＝－(x－2)2，直线l与C1，C2都相切，求直线l的方程． [解]　设l与C1相切于点)，与C2相切于点Q(x2，－(x2－2)2)． 对于C1：y′＝2x，则与C1相切于点P的切线方程为＝2x1(x－x1)，即y＝， 对于C2：y′＝－2(x－2)，则与C2相切于点Q的切线方程为y＋(x2－2)2＝－2(x2－2)(x－x2)， 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 47 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 即y＝－4． ∵两切线重合，∴2x1＝－2(x2－2)，且＝－4． 解得x1＝0，x2＝2或x1＝2，x2＝0． ∴直线l的方程为y＝0或y＝4x－4． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．已知f (x)为奇函数，且f (x)＝logax(x＞0，a＞0，a≠1)，则当x＜0时，f ′(x)＝(　　) A． B．－ C． D．－ B　[当x＜0时，f (x)＝－loga(－x)，所以当x＜0时，f ′(x)＝－．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 49 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 12．原子有稳定和不稳定两种．不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成，这些不稳定的元素在放出α、β、γ等射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为“衰变”．这种不稳定的元素就称为放射性同位素．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N(单位：贝克)与时间t(单位：天)满足函数关系N(t)＝，其中N0为t＝0时钍234的含量．已知t＝24时，钍234含量的瞬时变化率为－8ln 2，则N(120)＝(　　) A．12贝克 B．12ln 2贝克 C．6贝克 D．6ln 2贝克 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 50 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　[N′(t)＝·N0， 所以－8ln 2＝－··N0，N0＝384， 所以N(t)＝＝， N(120)＝＝12(贝克)，故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 13．(多选题)已知f (x)＝，则下列各式中正确的是(　　) A．f ′(1)＝0 B．f ′(－1)＝－f ′(3) C．y＝f ′(x)的图象关于点(1，0)中心对称 D．y＝f ′(x)的图象关于直线x＝1轴对称 ABC　[f ′(x)＝，易知A，B正确， 因为f ′(2－x)＝＝－f ′(x)，所以C正确，D错误．] √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 52 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．若曲线y＝(x－1)α＋1在点(2，2)处的切线经过坐标原点，则α＝________，在原点处的切线为________． 1　x－y＝0　[y′＝α(x－1)α-1，由题意得α(2－1)α-1＝，所以α＝1． 所以在原点处的切线的斜率k＝(0－1)1-1＝1，由点斜式得，在原点处的切线为y＝x，即x－y＝0．] 1 x－y＝0 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 53 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．设f (x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f (x)＝2x2． (1)求x<0时，f (x)的表达式． (2)令g(x)＝ln x，问是否存在x0，使得f (x)，g(x)在x＝x0处的切线互相平行？若存在，请求出x0的值；若不存在，请说明理由． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 54 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　 (1)当x<0时，－x>0， f (x)＝－f (－x)＝－2(－x)2＝－2x2． (2)若f (x)，g(x)在x＝x0处的切线互相平行， 则f ′(x0)＝g′(x0)，又由题知x>0， 则f ′(x0)＝4x0＝g′(x0)＝，解得x0＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　简单复合函数的求导法则 $