2.3 导数的计算-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦导数的计算，涵盖导函数定义、基本初等函数导数公式及几何意义应用。通过情境问题导入，从具体函数求导实例出发，衔接导数定义，逐步引出导函数概念，搭建从定义到公式应用的学习支架。 其亮点是以情境导学培养数学眼光，通过定义推导和公式应用发展数学思维，结合几何意义应用强化数学语言表达。如证明曲线xy=1切线与坐标轴三角形面积为常数的例题，提升逻辑推理与运算素养。学生能夯实基础，教师可利用分层练习优化教学。

第二章　导数及其应用 §3　导数的计算 学习任务 核心素养 1．能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数．(难点) 2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点) 通过基本初等函数的导数公式的应用，培养数学运算素养． §3　导数的计算 对于函数y＝1－x2． 问题1：如何求f ′(1)? 必备知识·情境导学探新知 [提示]　f ′(1)＝＝＝－2． §3　导数的计算 问题2：如何求f ′(x)的值． [提示]　f ′(x)＝ ＝＝－2x． 问题3：能由f ′(x)求f ′(1)吗？ [提示]　能，f ′(1)＝－2×1＝－2． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 1．导函数 一般地，如果一个函数y＝f (x)在区间(a，b)的每一点x处都有导数 f ′(x)＝，那么f ′(x)是关于x的函数，称f ′(x)为y＝ f (x)的导函数，也简称为____，有时也将导数记作___． 导数 y' 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 2．基本初等函数的导数公式 函数 导数 y＝c(c为常数) y′＝__ y＝xα(α是实数) y′＝_______ y＝sin x y′＝______ y＝cos x y′＝________ y＝ax(a＞0，a≠1) y′＝_________ 0 αxα-1 cos x －sin x axln a 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 函数 导数 y＝ex y′＝__ y＝loga x(a＞0，a≠1) y′＝ y＝ln x y′＝ y＝tan x y′＝ ex 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 思考　如何理解常数函数的导数为0的几何意义？ [提示]　设f (x)＝c，则f ′(x)＝0的几何意义为函数f (x)＝c的图象上每一点处的切线的斜率都为0． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)′＝cos ． (　　) (2)(cos x)′＝sin x． (　　) (3)′＝－． (　　) (4)(x2 025)′＝2 025x2 024． (　　) × √ × √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 √ 2．下列各式中，正确的是(　　) A．′＝cos x B．′＝sin x C．′＝sin x D．′＝cos x A　[先利用诱导公式化简，再根据求导公式求导．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 3．曲线y＝cos x在点P处的切线方程为_________________． y＝－x＋　[∵y′＝(cos x)′＝－sin x， ∴切线斜率k＝－sin ＝－． ∴切线方程为y－＝－，即切线方程为y＝－x＋．] y＝－x＋ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 4．已知曲线f (x)＝ex在P(x0，f (x0))处的切线方程为y＝kx，则k的值为________． e　[∵f ′(x)＝ex，∴k＝．① ∵点P既在曲线上又在切线上， ∴y0＝，y0＝kx0．② 由①②得x0＝1，y0＝e，∴k＝e．] e　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 关键能力·合作探究释疑难 类型1　利用导数的定义求导函数 【例1】　【链接教材P64例3】 求函数f (x)＝x2＋5x的导函数并求它在x＝3处的导数． [思路点拨]　先用导函数的定义求f ′(x)，再将x＝3代入即可得f ′(3)． §3　导数的计算 [解]　f ′(x)＝ ＝＝＝2x＋5，∴f ′(3)＝2×3＋5＝11． 【教材原题·P64例3】 求y＝f (x)＝3x2－x的导数f ′(x)，并利用f ′(x)求f ′(1)，f ′(－2)，f ′(0)． [解]　Δy＝f (x＋Δx)－f (x) ＝3(x＋Δx)2－(x＋Δx)－(3x2－x) ＝3(Δx)2＋6xΔx－Δx． ＝＝3Δx＋6x－1． 当Δx趋于0时，得到导数 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 f ′(x)＝＝＝6x－1． 可得 f ′(1)＝6×1－1＝5， f ′(－2)＝6×(－2)－1＝－13， f ′(0)＝6×0－1＝－1． 反思领悟　利用定义求函数y＝f (x)的导函数的一般步骤 (1)确定函数y＝f (x)在其对应区间上每一点是否都有导数； (2)计算Δy＝f (x＋Δx)－f (x)； (3)当Δx趋于0时，得到导函数 f ′(x)＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 [跟进训练] 1．利用导数的定义求函数f (x)＝x3的导函数并求它在x＝－1处的导数． [解]　f ′(x)＝＝＝＝3x2， ∴f ′(－1)＝3×(－1)2＝3． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 类型2　利用求导公式求函数的导数 【例2】　求下列函数的导数： (1)y＝－3；(2)y＝x4；(3)y＝；(4)y＝2x； (5)y＝log5x；(6)y＝sin ． [思路点拨]　解答本题可先将解析式调整为基本初等函数的形式，再利用公式求导． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 [解]　(1)y′＝(－3)′＝0． (2)y′＝(x4)′＝4x3． (3)y′＝()′＝==＝． (4)y′＝(2x)′＝2x ln 2． (5)y′＝(log5x)′＝． (6)因为y＝sin ＝cos x， 所以y′＝(cos x)′＝－sin x． 反思领悟　用导数公式求函数导数的方法 (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导； (2)对于不能直接利用导数公式的类型，可将其转化为基本初等函数的形式，如y＝可以写成y＝，y＝sin 可以写成y＝cos x等；以免在求导过程中出现指数或系数错误． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 [跟进训练] 2．求下列函数的导数： (1)y＝lg x；(2)y＝；(3)y＝x；(4)y＝x． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 [解]　(1)y′＝(lg x)′＝． (2)y′＝′＝ ln ＝－ ln 2． (3)y′＝(x)′＝＝＝． (4)y′＝′＝＝－． 类型3　导数几何意义的应用 【例3】　求证：曲线xy＝1上任何一点处的切线与坐标轴构成的三角形的面积为常数． [思路点拨]　要证明三角形面积为定值，应先求出直线在两坐标轴上的截距，因此应先写出直线的方程，要写直线方程，首先求出直线的斜率，于是可设出切点的坐标P． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 [证明]　 ∵xy＝1，得y＝，∴y′＝－． 在曲线xy＝1上任取一点P，则过点P的切线的斜率k＝． 切线方程为y－＝(x－x0)，即y＝x＋． 设该切线与x轴、y轴分别相交于A，B两点，则A(2x0，0)，B． 故S△OAB＝|OA|·|OB|＝|2x0|·＝2． ∴曲线上任意一点处的切线与坐标轴构成的三角形的面积为常数． 反思领悟　利用导数的几何意义研究曲线的切线问题是一种基本方法，尤其是非二次曲线的切线．解题的关键是利用切点的性质：①切点在曲线上；②切点在切线上；③在切点处的导数等于切线的斜率．求出切点的坐标，进一步利用点斜式求出切线方程． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 [跟进训练] 3．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离． [解]　根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图． 则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即f ′(x0)＝1． ∵y′＝(ex)′＝ex， ＝1，得x0＝0，代入y0＝，得y0＝1，即P(0，1)． 利用点到直线的距离公式得最小距离为． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 学习效果·课堂评估夯基础 √ 1．若函数f (x)＝ex，则f ′(0)＝(　　) A．1　　　B．－1　　　C．e　　　D．－e A　[∵f ′(x)＝ex，∴f ′(0)＝e0＝1．] §3　导数的计算 √ 2．已知函数f (x)＝ln x，则其图象在x＝处切线的斜率为(　　) A．2 B． C．ln 2 D．－ln 2 A　[∵f ′(x)＝，∴k＝f ′＝2．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 3．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(　　) A．e2 B．2e2 C．e2 D． √ D　[曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线方程为y＝e2x－e2， 所以该切线与坐标轴交点坐标分别为(1，0)，(0，－e2)， 所以所围三角形的面积为×1×e2＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 4．若曲线y＝ln x在点P处的切线方程为x－ey＝0，则切点的坐标为________． (e，1)　[y′＝(ln x)′＝，设切点为P(x0，y0)，则k＝＝，∴x0＝e．∴y0＝ln x0＝ln e＝1．∴切点为(e，1)．] (e，1) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 5．(教材P65练习T1(1)改编)求函数y＝的导函数． [解]　∵y＝＝， ∴y′＝ =＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 1．f ′(x0)与f ′(x)的异同   区别 联系 f ′(x0) f ′(x0)是具体的值，是数值 在x＝x0处的导数f ′(x0)是导函数f ′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这点的函数值 f ′(x) f ′(x)是f (x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 2．在应用求导公式时应注意的问题 (1)对于公式(sin x)′＝cos x，(cos x)′＝－sin x，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化． (2)对于公式(logax)′＝和(ax)′＝ax ln a的记忆较难，特别要注意 ln a所在的位置． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 课时分层作业(十三)　导数的计算 一、选择题 1．若函数f (x)＝cos x，则′＝(　　) A．0　　　　B．1　　　　C．－1　　　　D．－2 A　[注意此题中是先求函数值再求导，所以导数是0，故选A．] 35 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 2．若指数函数f (x)＝ax(a>0，a≠1)满足f ′(1)＝ln 27，则f ′(－1)＝ (　　) A．2 B．ln 3 C． D．－ln 3 C　[f ′(x)＝ax ln a，由f ′(1)＝a ln a＝ln 27， 解得a＝3，则f ′(x)＝3x ln 3，故f ′(－1)＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 36 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 3．已知直线y＝x＋a与曲线y＝ln x相切，则a的值为(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 C　[设切点为P(x0，y0)，则解得a＝－1．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 37 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 4．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝(　　) A．1 B． C．－ D．－1 A　[因为y′＝2ax，所以切线的斜率k＝2a． 又由题设条件知切线的斜率为2， 则2a＝2，即a＝1，故选A．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 38 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 5．若直线l与曲线y＝和圆x2＋y2＝都相切，则l的方程为(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝2x＋ C．y＝x＋1 D．y＝x＋ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 39 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 D　[易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，则＝，① 设直线l与曲线y＝的切点坐标为(x0，)(x0＞0)，则＝k，② ＝kx0＋b，③ 由②③可得b＝，将b＝，k＝代入①得x0＝1或x0＝ －(舍去)，所以k＝b＝，故直线l的方程为y＝x＋．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．若f (x)＝x2，g(x)＝x3，则满足f ′(x)＋1＝g′(x)的x值为________． 1或－　[由导数的公式知，f ′(x)＝2x，g′(x)＝3x2． 因为f ′(x)＋1＝g′(x)， 所以2x＋1＝3x2，即3x2－2x－1＝0，解得x＝1或x＝－．] 1或－　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 41 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．正弦曲线y＝sin x(x∈(0，2π))上切线斜率等于的点为 _____________________． 或　[y′＝(sin x)′＝cos x，令cos x＝， ∵x∈(0，2π)，∴x＝或． 当x＝时，y＝；当x＝时，y＝－．] 或　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 42 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．函数y＝x2(x>0)的图象在点处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N＋．若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________． 21　[∵y＝x2，∴y′＝2x，∴函数y＝x2(x>0)在点处的切线方程为＝2ak(x－ak)，令y＝0得ak＋1＝ak． ∴数列{an}是等比数列． 又∵a1＝16，∴a3＝a1＝4，a5＝a3＝1， ∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21．] 21 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 43 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．求下列函数的导数： (1)y＝log2x2－log2x； (2)y＝． [解]　(1)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，∴y′＝(log2x)′＝． (2)∵y＝＝2sincos ＝sin x，∴y′＝cos x． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 44 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．已知经过点(3，0)斜率存在的直线l与抛物线y＝x2相交于A，B两点，且过两个交点的抛物线的切线相互垂直，求直线l的斜率k的值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 45 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　设l：y＝k(x－3)． 由消去y，得x2－kx＋3k＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝3k． ∵y′＝(x2)′＝2x，∴4x1x2＝－1， ∴12k＝－1， ∴k＝－． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．设曲线y＝xn+1(n∈N＋)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为(　　) A． B． C． D．1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 47 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[对y＝xn+1(n∈N＋)求导得y′＝(n＋1)xn． 令x＝1，得在点(1，1)处的切线的斜率k＝n＋1， 所以在点(1，1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)． 令y＝0，得xn＝，所以x1·x2·…·xn＝×…×＝，故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 12．正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　) A． B．[0，π) C． D． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 49 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　[y′＝cos x，其值域为以点P为切点的切线的斜率的取值范围，为[－1，1]，结合正切函数图象及直线倾斜角取值范围[0，π)，可知本题答案为．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 13．(多选题)若直线l为曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝x3的公切线，则直线l的斜率为(　　) A．0 B．2 C． D． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 51 AD　[由曲线C1：y＝x2，得y′＝2x，由曲线C2：y＝x3，得y′＝3x2． 设直线l与曲线C1的切点坐标为(a，a2)，则切线方程为y＝2ax－a2， 设直线l与曲线C2的切点坐标为(m，m3)，则切线方程为y＝3m2x－2m3， ∴2a＝3m2，a2＝2m3，∴m＝0或m＝．∴直线l的斜率为0或．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．曲线y＝与y＝x2的交点坐标为________，它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是________． (1，1)　 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 53 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (1，1)　 　[由联立得交点为(1，1)， 而′＝－，(x2)′＝2x，∴斜率分别为－1和2， ∴切线方程分别为y－1＝－(x－1)，y－1＝2(x－1)． 令y＝0得与x轴交点分别为(2，0)，， ∴三角形的面积S＝×1＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．已知两条曲线y1＝sin x，y2＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处的两条曲线的切线互相垂直？并说明理由． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 55 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　不存在．理由如下： 设这两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)， 则这两条曲线在P(x0，y0)处的切线的斜率分别为 k1＝cos x0，k2＝－sin x0． 若使两条切线互相垂直，则必须有 cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin 2x0＝2， 这是不可能的． 所以这两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §3　导数的计算 $