1.5　数学归纳法　课件-2023-2024学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

数 学 归 纳 法 探究新知 01 新知讲解 02 课堂练习 03 课堂小结 04 目 录 CONTENTS 2 问题1：袋中有5个小球，如何证明它们都是红色的？ 把研究对象一一考察到，而推出结论的归纳法 问题2：对于数列{},若=1, = (1)求数列的前4项，你能得到什么猜想？ =1 =1 =1 猜想=1 （n） (2)你的猜想一定正确吗？ 探究新知 完全归纳法 不完全归纳法 思考：能否通过有限个步骤的推理，证明n取所有的正整数都成立？ 逐一验证不可能 思考1：在这个游戏中，能使所有的多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？ 使所有多米诺骨牌倒下的条件有两个： （1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。 思考2：你认为去除条件（2）能否使得骨牌全部倒下？ 如何用数学语言描述条件（2）？ 数学语言：第K块骨牌倒下 第K+1块骨牌倒下。 结论：无论有多少块骨牌，只要保证条件（1）（2）成立，那么所有骨牌都会倒下。 例1 ：已知数列{an}满足1 =,计算，猜想其通项公式，并证明你的猜想。 新知讲解 解：由=1，计算可得 由此可猜想 证明：（1）当=1， （2）假设= 时，结论成立，即 当=+1时， 1 即当= +1时，结论也成立。 通项公式为： （） 归纳 猜想 证明 数学归纳法的定义 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）归纳奠基：证明当=（ ）时命题成立； （2）归纳递推：以“当= ( )时命题成立”为条件，推出“当= +1时命题成立”. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立. 这种方法称为数学归纳法. 思考：数学归纳法的第一步的初始值是否一定为1？ 不一定，如证明边形的内角和为（-2)180,第一个值=3. 数学归纳法的证明流程表示： 验证n =命题成立 若n= ( )时命题成立，证明n= +1时命题成立 归纳奠基 归纳递推 命题对从 开始的所有正整数n都成立 小试牛刀 判断正误 (1)用数学归纳法证题时可以只证明归纳递推即可. ( ) (2)数学归纳法证明(n ),第一步验证n=3.( ) (3)设=+ + ,则=+ + . ( ) ❌ ✔ ❌ 用数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤： （1）证明当取第一个值； （2）假设n= ( )时命题成立，证明n= +1时命题成立 据（1）（2）可知命题对从开始的所有正整数n都成立 口诀:递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。 基础性 传递性 探究一：用归纳法证明等式 例2 用数学归纳法证明“1- ) 解：(1)当n=1时，左边=1- ，右边= 左边=右边 ，等式成立. (2)假设n=k时， 1 - 当n=k+1时，左边= 1- + （利用假设代入得）= + 右边= + + 左边=右边 n=k+1成立，所以1- )成立 探究二：用归纳法证明不等式 例3 用数学归纳法证明“1 , )” 解：(1)当n=2时，左边= ，右边= 左边右边 ，不等式成立. (2)假设n=k (k)时，1 成立 当n=k+1时，左边= 1+ （利用假设代入得） += - = 左边右边 ，不等式成立 所以 1 , )不等式成立 右边= 巩固训练 1、 若且，求证：+ + + +…+ 解： 归纳奠