1.4 数列在日常经济生活中的应用-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦数列在日常经济生活中的应用，涵盖单利复利概念及零存整取、定期自动转存、分期付款三种模型。以分期付款情境导入，通过“问题链”衔接数列知识，搭建从概念到实际应用的学习支架。 其特色在于以情境导学落实数学抽象与建模素养，如用教育储蓄实例抽象等差数列模型，旅游投入问题构建等比数列模型，结合分层训练与反思总结。学生能提升用数学语言表达现实问题的能力，教师可借助清晰结构高效开展教学。

第一章　数列 §4　数列在日常经济生活中的应用 学习任务 核心素养 1．掌握单利、复利的概念．(重点) 2．掌握零存整取、定期自动转存、分期付款三种模型及应用．(重点、难点) 1．通过对单利、复利、零存整取、定期自动转存、分期付款等概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助数列的应用，培养数学建模素养． §4　数列在日常经济生活中的应用 伴随着中国金融服务的完善以及人们消费习惯的改变，在国外流行的分期付款消费被引入国内，并迅速得到国内消费者的认可．采用分期付款方式消费的通常是当前支付能力较差，但有消费需求的年轻人，其消费的产品通常是笔记本电脑、手机、数码产品等． 必备知识·情境导学探新知 §4　数列在日常经济生活中的应用 分期付款方式通常由银行和分期付款供应商联合提供．银行为消费者提供相当于所购物品金额的个人消费贷款，消费者用贷款向供应商支付货款，同时供应商为消费者提供担保，承担不可撤销的债务连带责任．使用分期付款方式消费的年轻人通常被称为“分期族”． 问题：你知道分期付款时每期还款的金额是依据什么算出来的吗？ [提示]　依据等差数列和等比数列为数学模型算出来的． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 1．单利与复利 以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和． (1)单利计算公式 单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息．本利和S＝___________ ． P(1＋nr) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 (2)复利计算公式 复利是指一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的方法．本利和S＝___________． 2．三种常见模型 (1)零存整取模型； (2)定期自动转存模型； (3)分期付款模型． P(1＋r)n 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)零存整取储蓄的数学模型是等差数列模型． (　　) (2)定期自动转存储蓄的数学模型是等比数列模型． (　　) (3)在分期付款中，各期所付款额及各期所付款额生成的利息之和等于商品的售价． (　　) (4)复利是指把上期末的本利和作为下一期的本金的计息方法． (　　) √ × √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 2．一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个．现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，则细菌将病毒全部杀死至少需要(　　) A．6秒钟　　　　　　　　 B．7秒钟 C．8秒钟 D．9秒钟 √ B　[由题意可得20＋21＋22＋…＋2n-1≥100，即≥100，解得n≥7，故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 3．为方便出行，某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度折旧，若他打算用满4年后卖掉这辆车，则他能得到________元． 65 610　[由题意可知n年后这辆车的价值为an＝100 000×元，所以4年后卖掉这辆车能得到a4＝100 000×＝65 610元．] 65 610 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 4．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N＋)等于________． 6　[由题意知，第n天植树2n棵，则前n天共植树2＋22＋…＋2n＝(2n+1－2)棵，令2n+1－2≥100，则2n+1≥102， 又26＝64，27＝128，且{2n+1}为递增数列，所以n≥6，即n的最小值为6．] 6 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 关键能力·合作探究释疑难 类型1　等差数列模型 【例1】　【链接教材P34例1】 李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”．从8月1号开始，每个月的1号都存入100元，存期三年．已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰．问：到期时，李先生一次性可支取本息多少元？ [思路点拨]　解答本题可利用等差数列的前n项和公式来计算． §4　数列在日常经济生活中的应用 [解]　100×36＋100×2.7‰×＝3 779.82(元)． 所以到期时，李先生一次性可支取本息3 779.82元． 【教材原题·P34例1】 零存整取模型　银行有一种叫作零存整取的储蓄业务，即每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本金与利息和(以下简称本利和)，这是整取(现在有一年、三年、五年3种，年利率分别为1.35%，1.55%，1.55%)．规定每次存入的钱不计复利． (1)若每月存入金额为x元，月利率r保持不变，存期为n个月，试推导出到期整取时本利和的公式； (2)若每月初存入500元，到第3年整取时的本利和是多少？(精确到0.01元) (3)若每月初存入一定金额，希望到1年后整取时取得本利和2 000元，则每月初应存入的金额是多少？(精确到0.01元) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 [解]　(1)根据题意，第1个月存入的金额为x元，到期利息为xrn元；第2个月存入的金额为x元，到期利息为xr(n－1)元……第n个月存入的金额为x元，到期利息为xr元．不难看出，这是一个等差数列求和的问题． 各月利息之和为xr(1＋2＋…＋n)＝x， 而本金为nx元，这样就得到本利和公式y＝nx＋x， 即y＝x，n＝12，36，60． ① (2)根据题意知，x＝500，r＝，n＝36，代入①式，本利和为 y＝500×≈18 430.13(元)． (3)根据题意知，y＝2 000，r＝，n＝12，代入①式，得 x＝＝≈165.46(元)． 所以每月初应存入165.46元． 反思领悟　1．本题实际上是一个“零存整取”问题，解答的关键是将所求的本息转化为等差数列的求和问题． 2．等差数列在日常经济生活中的应用最基本的模型是“零存整取”，即利息按单利计算． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 [母题探究] 已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是1.725‰．问李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益多少元？ [解]　100×36＋100×1.725‰×＝3 714.885(元)． 由例题求得 3 779.82－3 714.885＝64.935(元)． 所以“教育储蓄”比“零存整取”多收益64.935元． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 类型2　等比数列模型 【例2】　从社会效益和经济效益出发，某旅游县区计划投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，2025年投入800万元，以后每年投入的资金将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后当地的旅游业收入每年会比上一年增加． (1)设n年内(2025年为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式； (2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 [思路点拨]　(1)an与bn分别是两个等比数列的前n项和．(2)解不等式bn＞an即可． [解]　(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×万元……第n年投入为800×万元，所以n年内的总投入为an＝800＋800×＋…＋800×＝4 000×万元． 第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×＝400×＝500万元……第n年旅游业收入为400×＝400×万元，所以n年内旅游业总收入为bn＝400＋400×＋…＋400×＝1 600×万元． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 (2)设至少经过n年旅游业总收入才能超过总投入，则bn－an＞0，即1 600×－4 000×＞0， 化简得2×＋5×－7＞0，设t＝，0<t≤， 则不等式等价为5t2－7t＋2＞0，解得t＜或t＞1(舍去)． 即＜，解得n≥5，即至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入． 反思领悟　解决数列在实际生活中的应用问题的关键是通过仔细审题，将实际问题转化为数列模型，运用等差数列和等比数列的知识解决问题，因此在做题过程中必须明确建立的是等差数列模型还是等比数列模型，明确是求n，还是求an，或是求Sn． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 [跟进训练] 1．现在某企业进行技术改造，有两种方案．甲方案：一次性贷款10万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年的利润都比前一年增加5千元，两种方案使用期都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均按年息10%的复利计算，试比较两方案的优劣．(计算时，精确到百元，并取1.110≈2.594，1.310≈13.786) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 [解]　甲方案10年共获利1＋(1＋30%)＋…＋(1＋30%)9＝≈42.63(万元)． 到期时，银行贷款本息为10(1＋10%)10≈25.94(万元)． 所以按甲方案扣除贷款本息后，净收益为42.63－25.94＝16.69(万元)． 乙方案10年共获利1＋1.5＋…＋(1＋9×0.5)＝＝32.5(万元)， 到期时，银行贷款本息为(1＋10%)＋(1＋10%)2＋…＋(1＋10%)10＝1.1×≈17.53(万元)， 所以按乙方案扣除贷款本息后，净收益为32.5－17.53＝14.97(万元)． 所以甲方案略优于乙方案． 类型3　分期付款问题 【例3】　【链接教材P36例3】 王老师借贷10 000元，按月利率为1%每月以复利计息，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(结果保留整数，1.016≈1.061，1.015≈1.051) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 [解]　法一：设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)， 则a0＝10 000，a1＝1.01a0－a， a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a， … a6＝1.01a5－a＝…＝)a． 由题意，可知a6＝0，即1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a＝0， a＝．又1.016≈1.061，所以a≈≈1 739(元)． 故每月应支付1 739元． 法二：一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104(1＋0.01)6＝104×1.016(元)． 另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为 S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a ＝＝a(1.016－1)×102(元)． 由S1＝S2，得a＝． 又1.016≈1.061，解得a≈1 739(元)，故每月应支付1 739元． 【教材原题·P36例3】 分期付款模型　小华准备购买一台售价为5 000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清．商场提出的付款方式为：购买后2个月的月末第1次付款，再过2个月第2次付款……购买后第12个月末第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.6%，每月利息按复利计算．求小华每次应付的金额是多少？(精确到0.01元) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 [解]　假定小华每次还款x元，第k个月末还款后的本利欠款数为Ak元，则A2＝5 000×(1＋0.006)2－x； A4＝A2(1＋0.006)2－x ＝5 000×1.0064－1.0062x－x； A6＝A4(1＋0.006)2－x ＝5 000×1.0066－1.0064x－1.0062x－x； … A12＝5 000×1.00612－(1.00610＋1.0068＋1.0066＋1.0064＋1.0062＋1)x； 由题意年底还清，则A12＝0． 解得x＝ ≈868.79(元)． 因此，小华每次应付的金额为868.79元． 反思领悟　分期付款的相关规定 (1)在分期付款中，每月的利息均按复利计算； (2)分期付款中规定每期所付款额相同； (3)各期所付款额连同到最后一次付款所生成的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 [跟进训练] 2．用分期付款方法购买电器一件，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%，分20次付完．若交付150元以后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第十个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花多少钱？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 [解]　 购买时付150元，欠1 000元，每月付50元，分20次付清，设每月付款数顺次成数列{an}，则 a1＝50＋1 000×1%＝60(元)， a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5＝(60－0.5×1)(元)， a3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59＝(60－0.5×2)(元)， … 依次类推， a10＝50＋(1 000－50×9)×1%＝55.5＝(60－0.5×9)(元)， an＝60－0.5(n－1)＝－0.5n＋60.5(1≤n≤20)． 所以{an}是以60为首项，－0.5为公差的等差数列，设其前n项和为Sn， 所以付款总数为＝S20＋150＝20a1＋＋150＝1 255(元)， 所以第十个月该交55.5元，全部付清实际花1 255元． 学习效果·课堂评估夯基础 1．某纯净水厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中20%的杂质，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为(lg 2≈0.301 0)(　　) A．5　　　B．10　　　C．14　　　D．15 √ §4　数列在日常经济生活中的应用 C　[设原杂质数为1，由题意，得每次过滤后水中杂质含量成等比数列{an}，且a1＝1－20%，公比q＝1－20%，故an＝(1－20%)n． 由题意可知(1－20%)n<5%， 即0.8n<0.05． 两边取对数，得n lg 0.8<lg 0.05， ∵lg 0.8<0，∴n>， 即n>＝＝≈≈13.41，故取n＝14．] 2．某储蓄所计划从2022年起，力争做到每年的吸储量比前一年增加8%，则2025年底该储蓄所的吸储量将比2022年的吸储量增加(　　) A．24% B．32% C．(1.083－1)×100% D．(1.084－1)×1.083 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 C　[设2022年吸储量为a． 则2023年吸储量为a(1＋8%)， 2024年吸储量为a(1＋8%)2， 2025年吸储量为a(1＋8%)3， ∴2025年底吸储量比2022年增加(1.083－1)×100%．] 3．某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择．调查资料表明，凡是在星期一选A种菜的，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有30%改选A种菜．用an，bn分别表示在第n个星期选A种菜的人数和选B种菜的人数，如果a1＝300，则a10＝________． 300 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 300　[依题意，n≥2时，an＝0.8an－1＋0.3bn－1，an＋bn＝500， ∴an＝0.8an－1＋0.3(500－an－1)＝0.5an－1＋150， ∴an－300＝0.5(an－1－300)， 又∵a1－300＝0， ∴an－300＝0， 即an＝300， ∴a10＝300．] 4．某城市2015年年底人口为100万人，人均住房面积为5平方米．该城市拟自2016年年初开始每年新建住房245万平方米，到2023年年底，人均住房面积为24平方米，则该城市的人口年平均增长率约是多少？(精确到0.001，参考公式(1＋x)8≈1＋8x(其中0<x<1)) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 [解]　设该城市的人口年平均增长率为x(0<x<1)， 则该城市2015年年底到2023年年底人口数量组成等比数列，记为{an}． 则a1＝100，q＝1＋x， 2023年年底人口数量为a9＝a1q8＝100(1＋x)8． 2023年年底，住房总面积为100×5＋8×245＝2 460(万平方米)． 由题意得＝24，即(1＋x)8＝． ∵(1＋x)8≈1＋8x(0<x<1)，∴1＋8x≈，∴x≈0.003． ∴该城市的人口年平均增长率约是0.3%． 1．等差、等比数列的应用常见于：存款、贷款、购物(购房)分期付款、保险、资产折旧等问题，解决方法是建立数列模型，应用数列知识解决问题． 2．将实际问题转化为数列问题时应注意： (1)分清是等差数列还是等比数列； (2)分清是求an还是求Sn，特别要准确确定项数n； (3)归纳前后项的关系是数列建模的关键． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 课时分层作业(九)　数列在日常经济生活中的应用 一、选择题 1．有一座七层塔，除最顶层外，每层所点灯的盏数都是上一层的两倍，这座塔一共点灯381盏，则底层所点灯的盏数是(　　) A．190　　　B．191　　　C．192　　　D．193 43 C　[设最上面一层有x盏，则第二层有2x盏，第三层有4x盏，第四层有8x盏，…，第七层有26x盏， 由题意知，x＋2x＋4x＋8x＋…＋26x＝381，即＝381， 解得x＝3， 故底层所点灯的盏数是26×3＝192．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 2．夏季高山上气温从山脚起每升高100米降低0.7 ℃，已知山顶气温是14.1 ℃，山脚的气温是26 ℃，那么此山顶相对于山脚的高度是 (　　) A．1 500米 B．1 600米 C．1 700米 D．1 800米 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 45 C　[由题意知高山上每升高100米的气温构成数列{an}，则{an}是等差数列，其中a1＝26，an＝14.1，d＝－0.7， ∴14.1＝26＋(n－1)×(－0.7)， ∴n＝18， ∴山高为(18－1)×100＝1 700(米)．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 3．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f (n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是(　　) A．5年 B．6年 C．7年 D．8年 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 47 C　[由已知可得第n年的产量an＝f (n)－f (n－1)＝3n2；当n＝1时也适合．据题意令an≥150⇒n≥5，即从第8年开始年产量超过150吨，即这条生产线最多生产7年．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4．某小区现有住房的面积为a平方米，在改造过程中政府决定每年拆除b平方米旧住房，同时按当年住房面积的10%建设新住房，则n年后该小区的住房面积为(　　) A．a·1.1n－nb B．a·1.1n－10b(1.1n－1) C．n(1.1a－1) D．1.1n(a－b) √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 49 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[设每年的住房面积构成数列{an}， 由an＋1＝an·1.1－b， a1＝a·1.1－b，则a2＝a·1.12－1.1b－b， a3＝a·1.13－1.12b－1.1b－b ＝a·1.13－b(1＋1.1＋1.12)， … an＝1.1na－b(1＋1.1＋1.12＋…＋1.1n-1) ＝1.1na－b×＝1.1na－10(1.1n－1)b．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 50 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 5．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为(　　) A．f B．f C．f D．f 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 51 D　[由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f，公比为的等比数列，设此数列为{an}，则a8＝f，即第八个单音的频率为f．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．某人从2022年起，每年的5月1日到银行存入a元的定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2026年的5月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(元)的总数为_______________________． [(1＋p)5－(1＋p)] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 53 [(1＋p)5－(1＋p)] 　[取出钱的总数应为a(1＋p)4＋a(1＋p)3＋a(1＋p)2＋a(1＋p)1 ＝a(1＋p)[1＋(1＋p)＋(1＋p)2＋(1＋p)3] ＝a(1＋p) ＝[(1＋p)5－(1＋p)]．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．某露天剧场有28排座位，每相邻两排的座位数相同，第一排有24个座位，以后每隔一排增加两个座位，则全剧场共有座位________个． 1 036　[第1，2排座位总数记为a1＝48，第3，4排座位总数为a2＝48＋4＝52，…，依次成公差为4的等差数列{an}，设其前n项和为Sn，S14＝14×48＋×4＝1 036．] 1 036 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 55 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．某公司今年获利5 000万元，如果以后每年的利润都比上一年增加10%，那么总利润达3亿元大约还需要________年． (参考数据：lg 1.01≈0.004，lg 1.06≈0.025，lg 1.1≈0.041，lg 1.6≈0.204) 4 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 56 4　[根据题意，每年的利润构成一个等比数列{an}，其中a1＝5 000，公比q＝1＋10%＝1.1，Sn＝30 000， 于是得到＝30 000， 整理得1.1n＝1.6， 两边取对数，得n lg 1.1＝lg 1.6， 解得n＝≈5，故还需要4年．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月份曾发生流感．据资料统计，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人．由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制．从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人．到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共有8 670人．问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 58 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　 设从11月1日起第n(n∈N＋，1≤n≤30)日感染此病毒的新患者人数最多，则从11月1日至第n日止，每日新患者人数依次构成一个等差数列，这个等差数列的首项为20，公差为50， 前n日的患者总人数即该数列前n项之和Sn＝20n＋·50＝25n2－5n． 从第n＋1日开始，至11月30日止，每日的新患者人数依次构成另一等差数列，这个等差数列的首项为[20＋(n－1)·50]－30＝50n－60，公差为－30，项数为(30－n)， 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 59 (30－n)日的患者总人数为T30－n＝(30－n)·(50n－60)＋(－30)＝(30－n)·(65n－495)＝－65n2＋2 445n－14 850． 依题意，Sn＋T30－n＝8 670，即2 445n－14 850)＝8 670． 化简得n2－61n＋588＝0，解得n＝12或n＝49． ∵1≤n≤30，∴n＝12． 第12日的新患者人数为20＋(12－1)×50＝570． ∴11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，且这一天的新患者人数为570人． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．(源自人教A版教材)去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨．为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算方式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 61 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　设从今年起每年生活垃圾的总量(单位：万吨)构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量(单位：万吨)构成数列{bn}，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn(单位：万吨)，则 an＝20(1＋5%)n， bn＝6＋1.5n，Sn＝(a1－b1)＋(a2－b2)＋…＋(an－bn) ＝(a1＋a2＋…＋an)－(b1＋b2＋…＋bn) ＝(20×1.05＋20×1.052＋…＋20×1.05n)－(7.5＋9＋…＋6＋1.5n) ＝(7.5＋6＋1.5n)＝420×1.05n－n2－n－420． 当n＝5时，S5≈63.5． 所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．中国古代著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，则最后一天走了(　　) A．6里　　 B．12里　　 C．24里　　 D．96里 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 63 A　[由题意可得，每天行走的路程构成等比数列，记作数列{an}，设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则q＝，依题意有＝378，解得a1＝192，则a6＝192×＝6，最后一天走了6里，故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 12．某人在一年12个月中，每月10日向银行存入1 000元，假设银行的月利率为5‰(按单利计算)，则到第二年的1月10日，此项存款一年的利息之和为(　　) A．5(1＋2＋3＋…＋12)元 B．5(1＋2＋3＋…＋11)元 C．1 000[5‰＋(5‰)2＋(5‰)3＋…＋(5‰)12]元 D．1 000[5‰＋(5‰)2＋(5‰)3＋…＋(5‰)11]元 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 65 A　[1 000[1×5‰＋2×5‰＋3×5‰＋…＋12×5‰]＝5(1＋2＋3＋…＋12)(元)．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13．某工厂购买一台a万元的机器，实行分期付款，每期付款b万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为5‰，按复利计算，则a，b应满足(　　) A．b＝ B．b＝(1＋5‰)12 C．b＝(1＋5‰) D．＜b＜(1＋5‰)12 √ D　[∵b(1＋1.005＋1.0052＋…＋1.00511)＝(1＋5‰)12a，∴12b＜(1＋5‰)12a，∴b＜(1＋5‰)12，又b＞，故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 67 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．对于《孙子算经》中“物不知数”问题的解法，西方称之为“中国剩余定理”．这是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2 025这2 025个数中，能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列共有_________项，这些项的和为________． 97 97 873 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 68 97　97 873　[能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数，故an＝21n－20，由1≤an≤2 025得1≤n≤97，又n∈N＋，故此数列共有97项，这些项的和为＝97 873．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就缴纳养老储备金，数目为a1，以后每年缴纳的数目均比上一年增加d(d>0)，因此，历年所缴纳的储备金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为r(r>0)，那么，在第n年末，第一年所缴纳的储备金就变为a1(1＋r)n-1，第二年所缴纳的储备金就变为a2(1＋r)n-2，……以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额． (1)写出Tn与Tn－1(n≥2)的递推关系式； (2)求证：Tn＝An＋Bn，其中{An}是一个等比数列，{Bn}是一个等差数列． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 70 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)根据题意知Tn＝Tn－1(1＋r)＋an(n≥2)． (2)证明：T1＝a1，对n≥2反复使用上述关系式，得 Tn＝Tn－1(1＋r)＋an＝Tn－2(1＋r)2＋an－1(1＋r)＋an＝… ＝a1(1＋r)n-1＋a2(1＋r)n-2＋…＋an－1(1＋r)＋an，① 在①式两端同乘1＋r，得 (1＋r)Tn＝a1(1＋r)n＋a2(1＋r)n-1＋…＋an－1(1＋r)2＋an(1＋r)，② ②－①，得rTn＝a1(1＋r)n＋d[(1＋r)n-1＋(1＋r)n-2＋…＋(1＋r)]－an ＝[(1＋r)n－1－r]＋a1(1＋r)n－an． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §4　数列在日常经济生活中的应用 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 即Tn＝(1＋r)n－n－． 如果记An＝(1＋r)n，Bn＝－n， 则Tn＝An＋Bn． 其中{An}是以(1＋r)为首项，以1＋r(r＞0)为公比的等比数列；{Bn}是以－为首项，－为公差的等差数列． $