1.3.1 第2课时 等比数列的性质-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦等比数列的性质，系统涵盖等比中项概念、项的乘积性质（若m+n=p+s则aₘ·aₙ=aₚ·aₛ）及增减性判定。课堂导入通过类比等差数列性质的情境问题，引导学生从数量关系中提出猜想，搭建从旧知到新知的探究支架，脉络清晰。 其亮点在于以问题链驱动数学探究，通过性质证明培养逻辑推理素养，结合实例（如例1用性质化简计算）提升数学运算能力，分层练习（基础、能力、拓广）强化模型意识。学生能在类比与推理中深化理解，教师可借助结构化内容高效落实核心素养，兼顾不同层次教学需求。

第一章　数列 §3　等比数列 3.1　等比数列的概念及其通项公式 第2课时　等比数列的性质 学习任务 核心素养 1．结合等差数列的性质，理解等比数列的性质．(重点、难点) 2．掌握等比中项的概念，会求同号两数的等比中项．(重点) 3．理解等比数列的增减性与a1，q的关系．(难点) 1．通过等比数列的性质的应用，培养数学运算素养． 2．借助等比数列的判定，培养逻辑推理素养． 第2课时　等比数列的性质 在数列中，m，n，p，s∈N＋，且m＋n＝p＋s． 问题1：如果是等差数列，则am＋an＝ap＋as．类比等差数列，如果是等比数列，你有什么结论？ 必备知识·情境导学探新知 [提示]　am·an＝ap·as． 第2课时　等比数列的性质 问题2：你能证明问题1得到的结论吗？ [提示]　am ·an ＝a1 qm-1·a1 qn-1＝·as＝a1 qp-1· a1 qs-1＝qp＋s-2， 又m＋n＝p＋s，则am·an＝ap·as． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　等比数列的性质 1．等比中项 如果a，G，b成________，那么G为a，b的等比中项，G＝_________． 2．等比数列的性质 已知数列{an}为公比为q的等比数列，则 (1)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，q，p，k∈N＋)，则am ·an ＝ap ·aq ＝； (2) ＝qm－n． 等比数列 ± 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　等比数列的性质 3．等比数列的增减性如下表： a1 a1>0 a1<0 q的范围 0<q<1 q＝1 q>1 0<q<1 q＝1 q>1 的增减性 减 非增非减 增 增 非增非减 减 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　等比数列的性质 思考　在数列{an}中，对于任意的正整数n(n≥2)，都有＝an－1· an＋1，那么数列{an}一定是等比数列吗？ [提示]　不一定．例如对于数列0，0，0，…，总有＝an－1·an＋1，但这个数列不是等比数列． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　等比数列的性质 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当q>1时，等比数列{an}是递增数列． (　　) (2)在等比数列{an}中，若am ·an ＝ap ·aq ＝，则m＋n＝p＋q＝2k． (　　) (3)若数列{an}是等比数列，则数列是等比数列． (　　) (4)若a，b，c成等比数列，则a与c的等比中项一定是b． (　　) × √ × × 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　等比数列的性质 2．在等比数列{an}中，a5a14＝5，则a8·a9·a10·a11＝(　　) A．10　　　　B．25　　　　C．50　　　　D．75 √ B　[a8·a11＝a9·a10＝a5·a14，∴a8·a9·a10·a11＝＝25．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　等比数列的性质 3．在由正数组成的等比数列中，a1＋a2＝1，a3＋a4＝4，则a5＋a6＝________． 16　[∵是等比数列， ∴a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列， ∴＝， ∴a5＋a6＝＝16．] 16　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　等比数列的性质 4．已知在等比数列中，4a7＝a3·a11，数列为等差数列，且b7＝a7，则b6＋b8＝________． 8　[在等比数列中，4a7＝a3·a11＝， ∴a7＝4， 又∵b7＝a7＝4， ∴b6＋b8＝2b7＝2×4＝8．] 8　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　等比数列的性质 关键能力·合作探究释疑难 类型1　等比数列的性质及应用 【例1】　(1)已知{an}是等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于________． (2)在等比数列{an}中，a3·a4·a5＝3，a6·a7·a8＝24，则a9·a10·a11的值是________． [思路点拨]　观察已知式与待求式的结构特征，联想等比数列的性质，利用等比数列的性质求解． 5 192 第2课时　等比数列的性质 (1)5　(2)192　[(1)由等比数列性质a2a4＝，a4a6＝， 把a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25化为＝25， ∴(a3＋a5)2＝25，又an>0， ∴a3＋a5＝5． (2)∵{an}是等比数列， ∴a3·a4·a5，a6·a7·a8，a9·a10·a11仍成等比数列，此新数列公比q＝＝＝8， ∴a9a10a11＝(a6a7a8)·q＝24×8＝192．] 反思领悟　1．利用等比数列的性质解题，会起到化繁为简的效果． 2．等比数列中的项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列，有关等比数列的计算问题，应充分发挥“下标”的“指引”作用． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　等比数列的性质 [跟进训练] 1．(1)在等比数列{an}中，若a9＝－2，则此数列前17项之积为________． (2)在等比数列{an}中，若a1＝1，a5＝10，则a9＝________． (1)－217　(2)100　[(1)由题意得a1a2a3…a15a16a17＝(a1a17)·(a2a16)· (a3a15)…a9＝·…·a9＝＝(－2)17＝－217． (2)∵{an}是等比数列，∴a1，a5，a9仍是等比数列＝a1a9， ∴a9＝＝＝100．] －217 100 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　等比数列的性质 类型2　等比中项及应用 【例2】　三个互不相等的实数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，求这三个数． [思路点拨]　从以下三点考虑： (1)根据这三个数成等差数列，设出这三个数； (2)以三个数中一个数为等比中项分类； (3)根据已知条件，建立方程． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　等比数列的性质 [解]　由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，d≠0，则a－d＋a＋a＋d＝6，∴a＝2． 这三个数可表示为2－d，2，2＋d， ①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，解得d＝6或d＝0(舍去)． 此时三个数为－4，2，8． ②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解得d＝－6或d＝0(舍去)． 此时三个数为8，2，－4． ③若2为等比中项，则22＝(2＋d)(2－d)，解得d＝0(舍去)． 综上，可求得此三个数为－4，2，8． 反思领悟　1．三个数适当排列，不同的排列方法有6种，但这里不必分成6种，因为若以三个数中一个数为等比中项，则只有三种情况，因此对于分类讨论问题，恰当地分类是解决问题的关键． 2．证明一个数列是等比数列的方法 (1)定义法：＝q(n∈N＋，q≠0且q是常数)⇔是等比数列； (2)等比中项法：＝an·an＋2(n∈N＋)且an≠0⇔是等比数列． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　等比数列的性质 [跟进训练] 2．若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则的值为(　　) A．±　　　　　　　 B． C．±1 D．1 √ C　[依题意a＝＝2， b＝±＝±2， ∴＝±1．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　等比数列的性质 类型3　等比数列的综合应用 【例3】　【链接教材P25例3】 在数列{an}中，已知lg an＋1＝lg an＋lg 3．设a1＝1，求a2n－1． [思路点拨]　先探求数列{an}的性质，在此基础上，研究数列的性质，再求出确定这个数列的基本量． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　等比数列的性质 [解]　由lg an＋1＝lg an＋lg 3，得an＋1＝3an， ∴数列{an}是等比数列，公比q＝3， 由已知a1＝1，数列仍是等比数列，它的首项是a1＝1，公比是q2＝9， ∴a2n－1＝a1(q2)n-1＝9n-1． [母题探究] 根据例3的条件，求数列的通项公式． [解]　数列仍是等比数列，它的首项是a1a2＝1×3＝3，公比是＝q4＝81， ∴数列的通项公式为a2n－1a2n＝3×81n-1＝34n-3． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　等比数列的性质 【教材原题·P25例3】 在各项为负数的数列{an}中，已知2an＝3an＋1，且a2·a5＝． (1)求证：数列{an}是等比数列，并求出它的通项公式； (2)试问－是数列{an}中的项吗？如果是，指出是{an}中的第几项；如果不是，请说明理由． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　等比数列的性质 [解]　(1)因为2an＝3an＋1，且an≠0，所以＝， 故数列{an}是公比q＝的等比数列． 又a2·a5＝，则a1q·a1q4＝， 即·＝． 又数列各项均为负数，则a1＝－， 所以an＝－＝－． (2)设an＝－，由等比数列的通项公式得 －＝－， 即＝． 根据指数函数的性质，得4＝n－2，即n＝6． 因此，－是数列{an}的第6项． 反思领悟　1．对于各项均为正数的数列，是等差数列⇔an是等比数列； 2．数列是数列{an}的子数列，由此例可看出：子数列的性质可通过原数列获得． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　等比数列的性质 学习效果·课堂评估夯基础 1．在等比数列中，若a1，a10是方程3x2－2x－6＝0的两根，则a4·a7＝(　　) A．－6　　　　　　　　 B．－2 C．2 D． √ B　[a4a7＝a1a10＝＝－2．] 第2课时　等比数列的性质 2．(教材P27练习T3(1)改编)2和6的等比中项是________． ±2　[2和6的等比中项是±＝±2．] ±2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　等比数列的性质 3．若实数数列1，a1，a2，a3，4是等比数列，则a2＝________． 2　[∵1，a1，a2，a3，4是等比数列＝1×4，得a2＝±2， 又1，a1，a2是等比数列，∴1·a2＝ >0， ∴a2＝2．] 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　等比数列的性质 4．已知数列{an}，满足a1＝1，且an，an＋1是函数f＝x2－bnx＋2n的两个零点，试求b10的值． [解]　依题意，有anan＋1＝2n，an＋an＋1＝bn， 所以an＋1an＋2＝2n+1，两式相除，得＝2， 所以a1，a3，a5，…成等比数列，a2，a4，a6，…成等比数列， 而a1＝1，a2＝2， 所以a10＝2×24＝32，a11＝1×25＝32， 所以b10＝a10＋a11＝64． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　等比数列的性质 1．学习了等比中项的概念，可以应用等比中项证明等比数列． 2．类比等差数列的性质，探究了等比数列的性质． 3．在解决与等比数列有关的计算问题时，我们首先想到的方法是通法，即通过解方程组求两个基本量：首项a1和公比q，求解过程中要注意整体代换思想的运用，对于有些问题，合理地运用性质求解，可以减少运算量，提高解题效率． 4．解数列的实际应用问题时，首先应分清是等差数列还是等比数列，是求某一项还是求某些项的和，再用相应的公式求解． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　等比数列的性质 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 课时分层作业(七)　等比数列的性质 一 、选择题 1．在等比数列中，a4＝4，则a2·a6等于(　　) A．4　　　B．8　　　C．16　　　D．32 C　[∵是等比数列，∴a2a6＝＝42＝16．] 32 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 2．若实数a，b，c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．无法确定 A　[a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的判别式Δ＝b2－4ac＝－3b2<0，从而函数与x轴无交点．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　等比数列的性质 33 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 3．若正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，则当x>1时，logax，logbx，logcx(　　) A．依次成等差数列 B．各项的倒数依次成等差数列 C．依次成等比数列 D．各项的倒数依次成等比数列 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　等比数列的性质 34 B　[因为＝＝＝＝＝＝，x>1， 所以logax，logbx，logcx各项的倒数依次成等差数列．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4．已知等比数列的公比为正数，且a3·a9＝，a2＝1，则a1等于(　　) A． B． C． D．2 √ B　[∵a3a9＝＝，∴＝2，即q2＝2． 又q>0，∴q＝．∴a1＝＝＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　等比数列的性质 36 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 5．已知等比数列中，公比q>1，且a1＋a6＝8，a3a4＝12，则＝(　　) A．2 B．3 C．6 D．3或6 B　[由条件知，公比q＞1，a1＋a6＝8，a1a6＝a3a4＝12，解得a1＝2，a6＝6．又a1a11＝，∴＝＝＝3．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　等比数列的性质 37 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．已知数列1，b1，b2，4是等比数列，则b1b2＝________． 4　[由等比数列的性质可知b1b2＝1×4＝4．] 4 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　等比数列的性质 38 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．在各项都为正数的等比数列中，a5·a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________． 10　[log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3＝log395＝10．] 10 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　等比数列的性质 39 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．若不等于1的三个正数a，b，c成等比数列，则(2－logba)(1＋logca)＝________． 2　[由题意知b2＝ac，即a＝， ∴(2－logba)(1＋logca)＝＝logbc×2logcb＝2．] 2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　等比数列的性质 40 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，求a10的值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　等比数列的性质 41 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　 由a4a7＝－512，知a3a8＝－512． 解方程组得或 所以q＝＝－2，或q＝＝－， 当q＝－2时，a10＝a3q7＝－4×(－2)7＝512； 当q＝－时，a10＝a3q7＝128×＝－1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　等比数列的性质 42 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．(源自人教A版教材)数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　等比数列的性质 43 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　设前三项的公比为q，后三项的公差为d，则数列的各项依次为，80，80＋d，80＋2d．于是得 解方程组，得或 所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16， －48． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　等比数列的性质 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．在各项均为实数的等比数列中，a1＋a2＋…＋a5＝27，＋…＋＝3，则a3＝(　　) A．±9 B．9 C．±3 D．3 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　等比数列的性质 45 D　[由＋…＋＝3， 得 ＝＝3， 又a1＋a2＋…＋a5＝∴＝9， ∴a3＝±3，经检验a3＝－3不合题意，故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 12．已知等比数列{an}中，an>0，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a40a50a60的值为(　　) A．32 B．64 C．256 D．±64 √ B　[由题意得，a1a99＝16，∴a40a60＝＝a1a99＝16，∵a50>0，∴a50＝4， ∴a40a50a60＝16×4＝64．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　等比数列的性质 47 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13．(多选题)已知等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，且a1＞1，a6＋a7＞a6a7＋1＞2，记{an}的前n项积为Tn，则下列结论正确的是(　　) A．0＜q＜1 B．a6＞1 C．T12＞1 D．T13＞1 √ √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　等比数列的性质 48 ABC　[由于等比数列{an}的各项均为正数，且a6＋a7＞a6a7＋1>2，所以(a6－1)(a7－1)＜0，所以a6，a7中，一个大于1，另一个小于1，又a1＞1，所以a6＞1，a7＜1，所以0＜q＜1，因为a6a7＞1，所以T12＝(a6a7)6＞1，T13＝＜1．故选ABC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a5a13＝16，则a9＝________，an＝________． 4　2n-7　[a9＝＝＝4，an＝4×2n-9＝2n-7．] 4 2n-7 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　等比数列的性质 50 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．设是公差d≠0的等差数列，且恰好构成等比数列，其中k1＝1，k2＝5，k3＝17，求kn． [解]　由题意a1，a5，a17成等比数列． ∴(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)，又d≠0，∴a1＝2d， ∴的公比q＝＝＝＝3， ∴在等差数列中，＝a1＋(kn－1)d＝(kn＋1)d； 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　等比数列的性质 51 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 在等比数列中， ＝a1qn-1＝a1·3n-1＝2d·3n-1， ∴(kn＋1)d＝2d·3n-1， ∴kn＝2·3n-1－1. 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第2课时　等比数列的性质 $