1.3.1 第1课时 等比数列-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦等比数列的概念、通项公式、判定及应用。通过《孙子算经》“出门望九堤”问题情境导入，类比等差数列构建知识脉络，设置思考辨析、例题解析等学习支架辅助理解。 其亮点在于以核心素养为导向，情境问题培养数学抽象能力，如“出门望九堤”抽象数列关系。判定证明发展逻辑推理，如例2证{a_n+1}为等比数列。实际应用强化数学建模，如细胞分裂问题。分层训练与对比小结助力学生系统掌握，教师可直接用于教学提升效率。

第一章　数列 §3　等比数列 3.1　等比数列的概念及其通项公式 第1课时　等比数列 学习任务 核心素养 1．掌握等比数列的概念、判定方法和通项公式．(重点) 2．理解等比数列通项公式的推导过程．(难点) 3．掌握等比数列通项公式的简单应用．(重点、难点) 1．通过对等比数列的有关概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助等比数列通项公式的简单应用，提升数学运算素养． 第1课时　等比数列 我们古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？” 问题1：你能写出“出门望九堤”问题构成的数列吗？ 必备知识·情境导学探新知 [提示]　9，92，93，…，98． 第1课时　等比数列 问题2：对上述数列，如何表示相邻两项的关系(an＋1与an)? [提示]　＝9． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等比数列 1．等比数列的定义 文字语言 如果一个数列从第__项起，每一项与它的前一项的比值都是__________，那么称这样的数列为等比数列 符号语言 若，则数列为等比数列 2．等比数列的通项公式 若首项是a1，公比是q，则等比数列{an}的通项公式为an＝_________(a1≠0，q≠0)． 2 同一个常数 ＝q(n≥2，q≠0) a1qn-1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等比数列 思考　1．为什么等比数列的每一项均不为零？ [提示]　若存在一项为零，设这一项为ak，则 (1)若ak不是最后一项，它将不能与ak＋1作比； (2)若ak是最后一项，可推知公比q等于零，从而a2＝0，它将不能与a3作比． 故等比数列的每一项均不能为零． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等比数列 思考　2．常数列一定是等比数列吗？ [提示]　不一定，当常数列各项均为零时，该常数列不是等比数列；当常数列各项均不为零时，该常数列是等比数列． 思考　3．试由an＝a1·推导出等比数列{an}的通项公式． [提示]　an＝a1·＝a1qn-1，此方法称为累乘法． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等比数列 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)等比数列的任意一项均不为零． (　　) (2)等比数列的公比q＝． (　　) (3)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac． (　　) (4)∀n∈N*，an＋1＝qan，其中q是常数且不为零，则{an}是等比数列． (　　) √ × × × 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等比数列 2．在等比数列中，若a2＝3，a5＝24，则数列的通项公式为 (　　) A．·2n　　　　　 B．·2n-2 C．3·2n-2　 D．3·2n √ C　[∵q3＝＝8，∴q＝2，又a1＝， ∴an＝×2n-1＝3·2n-2．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等比数列 3．在等比数列{an}中，a1＝，则项数n为(　　) A．3　　　 B．4 C．5　　　 D．6 √ C　[因为an＝a1qn-1，所以，即，解得n＝5．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等比数列 关键能力·合作探究释疑难 类型1　等比数列的通项公式 【例1】　已知为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，求的通项公式． [思路点拨]　欲求an，只需求首项a1和公比q，故可利用a3＝2，a2＋a4＝，建立关于a1和q的方程组求解． 第1课时　等比数列 [解]　 设等比数列的公比为q，则q≠0，a2＝，a4＝a3q＝2q， 所以＋2q＝，解得q1＝，q2＝3． 当q＝时，a1＝18，所以 an＝18×＝2×33-n； 当q＝3时，a1＝，所以an＝×3n-1＝2×3n-3． 反思领悟　1．等比数列的通项公式涉及首项a1、末项an、公比q以及项数n，共四个量，已知其中三个量就可求出第四个量． 2．基本量的计算主要是方程思想的应用，根据已知条件列出方程或者方程组，通过解方程或者方程组求出基本量，在解题时注意准确运用公式，注意公式运用的合理性． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等比数列 [跟进训练] 1．在等比数列中，a3＝6，a4＝18，求a1＋a2． [解]　法一：由题意知，解得 ∴a1＋a2＝a1＋a1q＝． 法二：由题意知，q＝＝3，又a3＝6，∴a1×32＝6，∴a1＝， ∴a2＝a1q＝×3＝2，∴a1＋a2＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等比数列 法三：由题意知，q＝＝3， ∴＝q2＝9， ∴a1＋a2＝． 类型2　等比数列的判定 【例2】　已知数列满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，证明：是等比数列． [思路点拨]　按定义，证明任意相邻两项的比为同一个常数，即为常数，可从递推公式变形入手． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等比数列 [证明]　∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2． 由a1＝1，知a1＋1≠0，可得an＋1≠0． ∴． ∴数列是等比数列． 反思领悟　1．证明一个数列是等比数列，可考虑用定义证明，即证明＝q(q为常数，q≠0，且n≥2)． 2．说明一个数列不是等比数列，只需说明存在两个相邻两项的比不等即可． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等比数列 [跟进训练] 2．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an，设bn＝． (1)求b1，b2，b3； (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； (3)求{an}的通项公式． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等比数列 [解]　(1)由条件可得an＋1＝an． 将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4． 将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12． 从而b1＝1，b2＝2，b3＝4． (2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下： 由条件可得，即bn＋1＝2bn，＝2，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得＝2n-1， 所以{an}的通项公式为an＝n·2n-1． 类型3　等比数列的实际应用 【例3】　某种细胞开始时有2个，1小时后，分裂成4个并死亡1个；2小时后，分裂成6个并死亡1个；3小时后，分裂成10个并死亡1个，……按此规律，10小时后，存活的细胞有多少个？ [思路点拨]　该实际问题的模型为等比数列模型，求出通项公式即可．按以下程序探索： (1)探索前几项之间的关系； (2)归纳出递推公式； (3)由递推公式求通项公式． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等比数列 [解]　 设an是经过n小时后细胞的存活数，根据题意，a1＝3， a2＝2a1－1＝5， a3＝2a2－1＝9，…， 由此得an＝2an－1－1， ∴an－1＝2，又a1－1＝2， ∴数列{an－1}是首项为2，公比为2的等比数列， ∴an－1＝2×2n-1＝2n，∴an＝2n＋1， 令n＝10，得a10＝210＋1＝1 025． ∴10小时后，存活的细胞有1 025个． 反思领悟　1．当一个数列的通项公式不宜直接求出时，可考虑先求其递推公式，再由递推公式求通项公式． 2．通过归纳的方法得到递推公式，对于解决复杂问题，这种方法值得借鉴． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等比数列 [跟进训练] 3．从盛满a L(a>1)纯酒精的容器里倒出1 L，然后灌满水，再倒出1 L混合液后又用水灌满，如此继续下去，问第n次操作后酒精的质量分数是多少？当a＝2时至少应倒几次后才能使酒精的质量分数低于10%? [解]　 记操作n次后酒精的质量分数为an， 依题意得a1＝1－， 操作第2次后酒精的质量分数为a2＝a1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等比数列 操作第3次后酒精的质量分数为a3＝a2·． … 依题意得an＋1＝an，∴{an}是以1－为首项，1－为公比的等比数列，∴an＝a1qn-1＝，即第n次操作后酒精的质量分数为． 当a＝2时，由an＝<得n≥4， 故至少应操作4次后才能使酒精的质量分数低于10%． 学习效果·课堂评估夯基础 为等比数列，a1＝12，a2＝24，则a3＝(　　) A．36　　　B．48　　　C．60　　　D．72 √ B　[] 第1课时　等比数列 2．(多选题)已知{an}是各项均为实数的等比数列，则下列结论正确的是(　　) A．首项a1不为零 B．公比q不为零 C．奇数项不同号 D．偶数项同号 √ √ √ ABD　[易知A，B正确，由＝q2＞0知，D正确．C不正确，故选ABD．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等比数列 3．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 √ B　[设公比为q，由题意知a1a2＝16，a2a3＝162， ∴q2＝＝16，又∵q＝16， ∴q>0，∴q＝4．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等比数列 4．设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则的值为___． 　[] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等比数列 5．已知a＋log23，a＋log43，a＋log83成等比数列，求公比q与a的值． [解]　由已知得q＝， 根据比例的性质， q＝＝， 所以，解得a＝－log23． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等比数列 1．判断或证明等比数列的常用方法 (1)定义法：＝q(q为不等于0的常数)⇔{an}为等比数列． (2)通项公式法：an＝a1·qn-1(a1≠0，q≠0)⇔{an}为等比数列． 2．在解决与等差、等比数列有关的问题时，合理地设项是解决问题的关键． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等比数列 (1)三个数成等比数列，常设成a，aq，aq2或，a，aq； (2)四个数成等比数列，常设成a，aq，aq2，aq3，在公比大于零的前提下，常设成，aq，aq3； (3)三个数成等差数列，常设成a－d，a，a＋d； (4)四个数成等差数列，常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d． 3．通过类比等差数列来学习等比数列，体会类比方法． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等比数列 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 课时分层作业(六)　等比数列 一、选择题 1．在等比数列中，a1＝4，公比q＝3，则通项公式an＝(　　) A．3n　　　　　　　　　 B．4n C．3·4n-1 D．4·3n-1 D　[an＝a1qn-1＝4×3n-1．] 33 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 2．已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则公比q的值为(　　) A．1或－ B．1 C．－ D．－2 A　[由数列{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，得2a1q2＝a1＋a1q． ∵a1≠0，∴2q2－q－1＝0，解得q＝1或－．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等比数列 34 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 3．等比数列中，＝1，a5＝－8a2，a5>a2，则an＝(　　) A． B．－ C． D．－ A　[∵a5＝－8a2， ∴q3＝－8，即q＝－2，又a5>a2， ∴a5>0>a2，从而a1>0，即＝a1＝1， ∴an＝a1qn-1＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等比数列 35 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4．若等比数列{an}各项都是正数，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则a3＋a4＋a5的值为(　　) A．21　　　 B．42 C．63　　　 D．84 √ D　[∵a1＋a2＋a3＝21， ∴a1(1＋q＋q2)＝21，又a1＝3， ∴1＋q＋q2＝7，∴q＝2或q＝－3 (舍去)， ∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝22×21＝84．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等比数列 36 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 5．若数列是等比数列，下列命题错误的是(　　) A．{}是等比数列 }是等比数列 C．是等比数列 D．{a2n}是等比数列 B　[用等比数列的定义易验证{}，，{a2n}是等比数列，故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等比数列 37 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．等差数列的第3，7，10项成等比数列，那么公比q＝_____． 1或　[当公差d＝0时，q＝1； 当d≠0时，q＝．] 1或　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等比数列 38 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．设{an}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令bn＝an＋1(n＝1，2，…)．若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23，19，37，82}中，则6q＝________． －9 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等比数列 39 －9　[∵bn＝an＋1，∴an＝bn－1， 而{bn}有连续四项在集合{－53，－23，19，37，82}中， ∴{an}有连续四项在集合{－54，－24，18，36，81}中． ∵{an}是公比为q的等比数列，|q|＞1． ∴{an}中的连续四项为－24，36，－54，81， ∴q＝－，∴6q＝－9．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．数列中，a1＝1，an＋1＝3an＋6，则an＝________________． 4×3n-1－3　[∵an＋1＝3an＋6， ∴an＋1＋3＝3an＋9＝3， ∴数列为等比数列，且首项为a1＋3＝4， ∴an＋3＝4×3n-1，即an＝4×3n-1－3．] 4×3n-1－3 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等比数列 41 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2，3，…)． (1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列； (2)求an． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等比数列 42 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15． 下面证明{an－n}是等比数列： ＝＝3(n＝1，2，3，…)． 又a1－1＝－2，∴数列{an－n}是以－2为首项，以3为公比的等比数列． (2)由(1)知an－n＝－2·3n-1， ∴an＝n－2·3n-1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等比数列 43 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．在数列中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N＋． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式． [解]　(1)证明：由题设an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N＋． 又a1－1＝1， 所以数列是首项为1，且公比为4的等比数列． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等比数列 44 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (2)由(1)可知an－n＝4n-1， 所以数列的通项公式为an＝4n-1＋n． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等比数列 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．在等比数列中，a1＝1，公比≠1．若am＝a1a2a3a4a5，则m＝(　　) A．9　　　B．10　　　C．11　　　D．12 C　[在等比数列中， ∵a1＝1，∴am＝a1a2a3a4a5＝q10＝q10． 又∵am＝qm-1，∴m－1＝10， ∴m＝11．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等比数列 46 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 12．已知直线y＝b与曲线f＝sin x在y轴右侧依次的三个交点的横坐标x1，x2，x3(其中x1是第一个交点的横坐标)成等比数列，则b的值为(　　) A． B． C． D．1 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等比数列 47 B　[依题意得，x2＝π－x1，x3＝2π＋x1， ∵，∴， 解得x1＝，∴b＝sin ，故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13．(多选题)已知数列为等比数列，则下面四个选项中的数列是等比数列的是(　　) A． B．(p为非零常数) C． D． √ √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等比数列 49 ABC　[因为为等比数列，所以＝q，所以＝q3． 又因为≠0，所以为等比数列． ＝q，且pa1≠0，从而为等比数列． ＝q2，且a1·a2≠0， 所以为等比数列． 1，－1，1，－1，…是等比数列，但an＋an＋1＝0， 所以不是等比数列．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．已知－7，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－4，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则b2＝_______，＝________． －2　－1　[由题意得a2－a1＝＝2， 且b2<0，∴b2＝－2， ∴＝－1．] －2 －1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等比数列 51 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．数列{an}的前n项和为Sn，若an＋Sn＝n，求证：数列{an－1}是等比数列． [证明]　∵an＋Sn＝n， ∴a1＋S1＝1，得a1＝， ∴a1－1＝－， 又an＋1＋Sn＋1＝n＋1， 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等比数列 52 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ∴2an＋1－an＝1，即2(an＋1－1)＝an－1， 又∵a1－1＝－，∴， ∴数列{an－1}是以－为首项，以为公比的等比数列． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等比数列 $