1.2.1 第1课时 等差数列-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦等差数列概念、通项公式及判定方法，通过“数列填空找规律”情境问题导入，引导学生从具体数列抽象出“差为常数”的共同特征，搭建从观察到抽象的学习支架，衔接数列基础与等差数列核心内容。 其亮点在于以情境导学培养数学抽象（如问题1抽象定义），通过例2证明{b_n}=3a_n+2是等差数列等分层训练提升数学运算与推理能力，课堂小结明确定义法和通项公式法判定路径。学生能深化知识理解，教师可借助系统设计高效开展教学。

第一章　数列 §2　等差数列 2.1　等差数列的概念及其通项公式 第1课时　等差数列 学习任务 核心素养 1．理解等差数列的概念．(重点) 2．掌握等差数列的判定方法．(难点) 3．掌握等差数列的通项公式及通项公式的应用．(重点、难点) 1．通过对等差数列的有关概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助等差数列通项公式的应用，培养数学运算素养． 第1课时　等差数列 问题1：先根据数列的特点填空，再思考一下这些数列的共同特点． 1，2，(　)，4，5，… 2，5，8，(　)，14，… －2，3，8，(　)，18，… 必备知识·情境导学探新知 [提示]　后一项减前一项都等于常数． 第1课时　等差数列 问题2：对这样的数列，如何表示相邻两项的关系(an＋1与an)? [提示]　an＋1－an＝d(d为常数)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等差数列 1．等差数列的定义 文字语言 对于一个数列，从第__项起，每一项与它的前一项的差都是__________，称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示 符号语言 若______________________，则数列为等差数列 2 同一个常数 an－an-1＝d(n≥2) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等差数列 2．等差数列的通项公式 若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为an＝_______________． a1＋(n－1)d 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等差数列 思考　1．若把等差数列概念中“同一个”去掉，那么这个数列还是等差数列吗？ [提示]　一个数列从第 2项起，每一项与它前一项的差都等于常数，若这些常数相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不相等，则这个数列不是等差数列． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等差数列 思考　2．若数列的通项公式为an＝ 试问数列是等差数列吗？ [提示]　不是． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等差数列 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知a3与a5，可以求出等差数列的通项公式． (　　) (2)在等差数列{an}的四个量a1，d，n，an中，知道其中三个量，可以求出其余的一个量． (　　) (3)数列为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数． (　　) (4)∀n∈N＋，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)． (　　) √ × √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等差数列 2．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为(　　) A．2　　　　B．3　　　　C．－2　　　　D．－3 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等差数列 3．等差数列{an}，a1＝7，a7＝1，则a5＝________． 3　[因为a1＝7，a7＝1，由an＝a1＋(n－1)d， 得1＝7＋6d， 解得d＝－1， 所以a5＝a1＋4d＝3．] 3 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等差数列 4．若an＝pn＋q(p，q为常数)，则数列{an}________(选填“是”或“不是”)等差数列． 是　[∵an＝pn＋q， ∴an＋1＝p(n＋1)＋q， ∴an＋1－an＝p(常数)． ∴数列{an}是公差为p，首项为p＋q的等差数列．] 是 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等差数列 关键能力·合作探究释疑难 类型1　等差数列的通项公式 【例1】　【链接教材P13例3】 在等差数列中，已知a5＝11，a8＝5，求通项公式an． [思路点拨]　欲求an，只需求首项a1和公差d，故可利用a5＝11，a8＝5，建立关于a1和d的方程组求解． 第1课时　等差数列 [解]　设数列的公差为d， 由a5＝11，a8＝5，得 即解得a1＝19，d＝－2， 所以数列{an}的通项公式为an＝19＋(－2)＝21－2n． 【教材原题·P13例3】 已知在等差数列{an}中，a5＝－20，a20＝－35．试求出此数列的通项公式． [解]　设数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d， 由已知，得 这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组．解这个方程组，得 故数列{an}的通项公式为 an＝－16＋(n－1)(－1)＝－n－15． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等差数列 反思领悟　1．首项a1和公差d是等差数列的两个基本量，有关等差数列的问题，一般都可以通过求a1和d求解，但要注意公式的变形和整体代换的运用，以减少运算量． 2．等差数列通项公式的推论：an＝am＋(n－m)d，m，n∈N＋． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等差数列 [跟进训练] 1．求在等差数列40，37，34，…中的第一个负数项． [解]　设数列{an}的公差为d， 由已知得a1＝40，d＝37－40＝－3， 所以an＝40＋＝43－3n， 由an<0，得43－3n<0，解得n>，故n能取到的最小整数为15， 所以第一个负数项是a15＝43－3×15＝－2． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等差数列 类型2　等差数列的判定 【例2】　【链接教材P12例1】 如果数列是等差数列，数列中，bn＝3an＋2，求证：是等差数列． [思路点拨]　要证是等差数列，即要证bn＋1－bn为常数(n∈N＋). 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等差数列 [证明]　已知为等差数列，设公差为d，则an＋1－an＝d(n∈N＋)， 由bn＝3an＋2，得bn＋1＝3an＋1＋2， bn＋1－bn＝3(an＋1－an)＝3d(n∈N＋)是常数． 故数列是等差数列． 【教材原题·P12例1】 判断下面数列是否为等差数列． (1)an＝2n－1； (2)an＝(－1)n． [解]　(1)由an＝2n－1， 得an＋1＝2(n＋1)－1， 于是an＋1－an＝[2(n＋1)－1]－(2n－1)＝2． 由n的任意性知，这个数列是等差数列． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等差数列 (2)a2－a1＝1－(－1)＝2， a3－a2＝－1－1＝－2． 因为a2－a1≠a3－a2，所以这个数列不是等差数列． 反思领悟　1．用定义证明一个数列是等差数列，即证明an＋1－an＝d(d为常数)． 2．说明一个数列不是等差数列，只需说明存在p，q使ap＋1－ap≠ aq＋1－aq(p，q∈N＋)即可． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等差数列 [跟进训练] 2．已知数列满足xn＝． (1)求证：是等差数列； (2)当x1＝时，求x100． [解]　 (1)证明：当n≥2时，＝＝， ＝，故是等差数列，公差为． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等差数列 (2)由(1)知，＝2＋， ∴＝2＋＝35， ∴x100＝． 类型3　等差数列的实际应用 【例3】　某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元．即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往 14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等差数列 [解]　 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加 1 km，乘客需要支付1.2元． 所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费． 令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2， 那么当出租车行至14 km处时，n＝11， 此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)． 即需要支付车费23.2元． 反思领悟　在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等差数列 [跟进训练] 3．某公司2024年生产一种数码产品，获利200万元，从2025年起，预计其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果该公司不研发新产品，也不调整经营策略，则从第几年起，该公司生产这一产品将出现亏损？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等差数列 [解]　记2024年为第1年，由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元……则该公司每年获得的利润构成等差数列{an}，且当an＜0时，该公司生产此产品将出现亏损． 设第n年的利润为an，因为a1＝200，公差d＝－20， 所以an＝a1＋(n－1)d＝220－20n． 由题意知数列{an}为递减数列，令an＜0，即220－20n＜0，解得n＞11， 即从第12年起，该公司生产此产品将出现亏损． 学习效果·课堂评估夯基础 1．(教材P13练习T2(3)改编)等差数列，－，－，…的第10项为(　　) A．－　 　B．－　　 C． 　　D． √ B　[由a1＝，d＝－＝－2，得an＝＋(n－1)(－2)＝－2n＋． 当n＝10时，a10＝－2×10＋＝－．] 第1课时　等差数列 2．在首项为81，公差为－7的等差数列中，值最接近零的项是(　　) A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项 √ C　[由an＝a1＋(n－1)d，得an＝－7n＋88， 令an≥0，解得n≤＝12，而a12＝4，a13＝－3，故a13的值最接近零．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等差数列 3．等差数列的第1项是1，第7项是－1，则它的第4项是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 √ A　[a1＝1，a7＝－1，由an＝a1＋(n－1)d，得－1＝1＋6d， ∴d＝－， ∴a4＝a1＋3d＝0．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等差数列 4．已知数列{an}的通项公式为an＝2n+2，求证：数列{lg an}是等差数列． [证明]　设bn＝lg an，则bn＋1－bn＝lg an＋1－lg an＝(n＋3)lg 2－(n＋2)lg 2＝lg 2(常数)． 所以数列{bn}是等差数列，即数列{lg an}是等差数列． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等差数列 1．等差数列的通项公式： (1)等差数列的通项公式由首项和公差确定； (2)在等差数列中，已知a1，n，d，an这四个量中的三个，可以求得另一个量． 2．等差数列的判定方法： (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)⇒{an}是等差数列． (2)通项公式法：an＝kn＋b(k，b为常数)⇒{an}是等差数列． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等差数列 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 课时分层作业(三)　等差数列 一、选择题 1．等差数列－3，－7，－11，…的通项公式为(　　) A．an＝4n－7　　　　　　　 B．an＝－4n－7 C．an＝4n＋1 D．an＝－4n＋1 35 D　[∵a1＝－3，d＝＝－4， ∴an＝－3－4＝－4n＋1．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 2．已知在等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝(　　) A．4－2n B．2n－4 C．6－2n D．2n－6 C　[由等差数列的通项公式，得an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)(－2)＝－2n＋6．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等差数列 37 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 3．已知数列是等差数列，若a3＋a11＝24，a4＝3，则数列的公差为(　　) A．1　　　 　 B．3 C．5　　　 　 D．6 B　[设等差数列的首项为a1，公差为d， ∴解得d＝3．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等差数列 38 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4．等差数列{an}的前三项分别是a－1，a＋1，a＋3，则该数列的通项公式为(　　) A．an＝2n－5 B．an＝2n－1 C．an＝2n＋a－3 D．an＝2n＋a－1 √ C　[由a1＝a－1，d＝＝2，得an＝2n＋a－3．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等差数列 39 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 5．已知等差数列{an}的通项公式为an＝2n－1，n∈N＋，若bn＝a2n－1，则数列{bn}(　　) A．是等差数列，公差为2 B．是等差数列，公差为4 C．是等差数列，公差为1 D．不是等差数列 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等差数列 40 B　[bn＝a2n－1＝2(2n－1)－1＝4n－3， ∴bn＋1－bn＝4(n＋1)－3－4n＋3＝4． ∴{bn}是等差数列，公差为4．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．定义一种运算“△”，∀n∈N＋，(1)2△2 025＝1；(2)(2n＋2)△ 2 025＝(2n)△2 025＋2，则2 024△2 025＝________． 2 023　[设an＝(2n)△2 025，则 a1＝1，an＋1＝an＋2，即an＋1－an＝2， 于是{an}是首项为1，公差为2的等差数列， ∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1， ∴2 024△2 025＝a1 012＝2×1 012－1＝2 023．] 2 023 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等差数列 42 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．在下面数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于下表中的第n行、第(n＋1)列的数是________． n＋n2　[观察数表知，第n行的数组成以n为首项，以n为公差的等差数列，故第n行、第n＋1列的数是n＋n2．] n＋n2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等差数列 43 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．在数列{an}中，a1＝3，且对任意大于1的正整数n，点()在直线x－y－＝0上，则数列{an}的通项公式为an＝____． 3n2　[∵点()在直线x－y－＝0上， ∴＝0， 即＝(n≥2)． 则数列{}是以为首项，为公差的等差数列， ∴＝(n－1)＝n，∴数列{an}的通项公式为an＝3n2．] 3n2　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等差数列 44 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．(源自湘教版教材)已知等差数列{an}的前四项分别为8，5，2， －1． (1)求该数列的第20项． (2)试问－121是不是该数列的项？如果是，指明是第几项；如果不是，试说明理由． (3)该数列共有多少项位于区间[－200，0]内？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等差数列 45 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)由于5－8＝2－5＝－1－2＝－3，所以公差d＝－3． 由a1＝8，d＝－3，得数列的通项公式为 an＝8－3(n－1)＝－3n＋11． 所以该数列的第20项a20＝－3×20＋11＝－49． (2)如果－121是这个数列的项，则方程－3n＋11＝－121有正整数解． 解这个方程，得n＝44，故－121是该等差数列的第44项． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等差数列 46 (3)由题意可得－200≤－3n＋11≤0， 从而3<≤n≤<71， 因此，该数列从第4项起直至第70项，共67项位于区间[－200，0] 内． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．在数列{an}中，a1＝1，3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． [解]　 (1)证明：因为3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)，整理得＝3(n≥2)，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列． (2)由(1)可得＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等差数列 48 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是(　　) A．92　　　B．47　　　C．46　　　D．45 C　[由题意得an＝1＋＝－2n＋3，由an＝－89，得n＝46．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等差数列 49 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 12．在等差数列{an}中，a1＝4，a3＝1，则|an|的最小值是(　　) A．0 B． C．1 D． √ B　[由解得所以an＝4－(n－1)＝ ，所以|an|＝，又n∈N＋，所以|an|的最小值为．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等差数列 50 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13．(多选题)有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则对这个新数列的说法正确的是(　　) A．构成的新数列是等差数列，公差为10 B．构成的新数列是等差数列，公差为12 C．该数列共有16项 D．该数列共有18项 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等差数列 51 BC　[等差数列2，6，10，…，190的公差为4，等差数列2，8，14，…，200的公差为6， 所以由两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列， 其公差为12，首项为2，所以通项公式为an＝12n－10， 所以12n－10≤190，解得n≤，而n∈N＋，所以n的最大值为16， 即新数列的项数为16．故选BC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．在等差数列{an}中，a3＝10，a10＝31，则首项a1＝_________，公差d＝___________． 4　3　[由题意知解得a1＝4，d＝3．] 4　 3 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等差数列 53 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2, … )，λ是常数． (1)当a2＝－1时，求λ及a3的值； (2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列？若存在，求出λ及数列 {an}的通项公式；若不存在，请说明理由． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等差数列 54 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)， 且a1＝1， 所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3． 从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　等差数列 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (2)不存在实数λ，使数列{an}成为等差数列． 证明如下： 由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)， a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)． 若存在λ，使{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1， 即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3．于是a2－a1＝1－λ＝－2， a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24． 这与{an}为等差数列矛盾． 所以不存在λ使{an}是等差数列． $