精品解析：河北省石家庄市第三十八中学2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度高二年级数学期中考试卷 考试时间：120分钟；考试分数：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共8个小题，每题5分，共40分） 1. 已知直线经过点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助斜率公式计算即可可得. 【详解】直线的斜率为. 故选：D. 2. 已知空间单位向量的夹角为，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用数量积的定义及运算律，即可求解. 【详解】因为向量是单位向量，且两向量的夹角为，则， 所以， 故选：D. 3. 点到直线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】应用点线距离公式求点与直线的距离. 【详解】点到直线的距离为. 故选：A 4. 如图，在四面体中，是棱上一点，且是棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的加减法进行计算. 【详解】由题意，得 ． 故选：D． 5. 给出下列四个命题，其中正确的有（ ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由空间向量的相关性质以及运算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于（1），当时，与不一定平行，故（1）错误； 对于（2），空间任意两个单位向量的模长相等，方向不一定相同，故（2）错误； 对于（3），取，满足， 且，但是，故（3）错误； 对于（4），因为与都是常数，所以和表示两个向量， 若与方向不同，则与不相等，故（4）错误； 故选：A 6. 已知向量，，则向量 在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得. 【详解】向量，， 则，， 所以向量 在向量上的投影向量为. 故选：C. 7. 设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，结合直线相交关系及斜率公式可求答案. 【详解】如图，直线的斜率为；直线的斜率为； 当直线与线段相交时，则的斜率的取值范围是或. 故选：B. 8. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角是 D. 与所成角的余弦值为 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的基本定理，结合向量的数量积运算可判断A、B，利用夹角公式可判断C、D. 【详解】对于A，由题意可知， 则 ， 所以，故A错误； 对于B， ， 所以，故B正确； ， 所以， 所以向量与的夹角是，故C错误； 对于D，设与所成的角为， ， . 所以，故D错误. 二、多选题（共3个小题，每题6分，共18分，选不全得部分分，有错选不得分） 9. 以下关于向量的说法正确的有（ ） A. 若＝，则＝ B. 若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆 C. 若＝－且＝－，则= D. 若与共线，与共线，则与共线 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量的基本概念和性质即可逐项判断. 【详解】若＝，则和的大小相等，方向相同，故A正确； 将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个球，故B错误； 若＝－，＝－，则＝－=，故C正确； 若与共线，与共线，则当时，无法判断与的关系，故D错误. 故选：AC. 10. 以下命题正确的是（ ） A. 直线方向向量为，直线方向向量，则与垂直 B. 直线的方向向量，平面的法向量，则 C. 平面、的法向量分别为，，则 D. 平面经过三点、、，向量是平面的一个法向量，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用直线的方向向量与直线的位置之间的关系可判断A选项；利用直线的方向向量、平面的法向量与线面位置关系可判断B选项；利用平面法向量与面面位置关系可判断C选项；利用平面法向量的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为直线方向向量为，直线方向向量， 所以，故，所以，A对； 对于B选项，因为直线的方向向量，平面的法向量， 所以，则，所以或，B错； 对于C选项，平面、的法向量分别为，， 所以，则，故，C错； 对于D选项，平面经过三点、、， 所以，，显然、不共线， 因为向量是平面的一个法向量，则，， 所以，解得，故，D对. 故选：AD. 11. 对于直线，下列选项正确的是（ ） A. 直线恒过点 B. 当时，直线在轴上的截距为 C. 已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是 D. 坐标原点到直线的距离的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，将方程变形为，即可列方程求解定点判断；对B，令，求出截距判断；对C，根据直线过的定点，画出图象，结合定点与端点处连线的斜率，求出实数的取值范围；对D，求出原点到定点的距离即是原点到直线的距离的最大值. 【详解】对于A，直线可变形为， 由，得，所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，当时，直线，令，得，所以直线在轴上的截距为，故B错误； 对于C，由选项A知直线恒过定点，如图， ，， 要使得直线与线段相交，则或， 解得或，所以的取值范围为，故C错误； 对于D，因为直线恒过定点，所以坐标原点到直线的距离的最大值为，故D正确. 故选：AD. 第II卷（非选择题） 三、填空题（共3个小题，每题5分，共15分） 12. 已知四点共面，且任意三点不共线，为平面外任意一点，若，则_________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理即可求得. 【详解】∵， 由空间向量共面定理得：， 故答案为：. 13. 直线，之间距离为，则实数___________. 【答案】4或##或4 【解析】 【分析】先把两平行线的，前的系数化为相同，再利用平行线间距离公式进行求解 【详解】把变形为，则 解得：a=4或 故答案为：4或 14. 已知是圆上的动点，则最大值是 _________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，结合的几何意义，求其最大值. 【详解】由的圆心，半径为， 而表示圆上点到点距离的平方， 圆心到点的距离为， 所以点、的最大距离为， 所以的最大值为. 故答案为： 四、解答题（15题13分，16.17题15分，18.19题17分，共77分） 15. （1）直线经过点，且与直线垂直，求直线的一般式方程； （2）求过两条直线和的交点，且与平行的直线一般式方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由题可得直线的斜率为，过点，写出点斜式方程化简得解；（2）由两条直线方程联立得交点坐标，再结合斜率求直线方程即可. 【详解】（1）由题可得直线的斜率为，又直线经过点，则直线的方程为，即. （2）由题可得，解得，则交点为， 由直线与平行，则该直线的斜率为， 所以直线方程为，即. 故直线方程为. 16. 三角形ABC的三个顶点分别是、、. （1）求三角形ABC的面积 （2）求三角形ABC的外接圆（为圆心）的标准方程，并写出圆心和半径. 【答案】（1）； （2），圆心为，半径为. 【解析】 【分析】（1）运用两点间距离公式计算，求出边所在直线的方程，再用点到直线距离公式计算高，最后算出面积即可； （2）设圆的方程为，根据三点都在圆上求，即可得到圆的方程. 【小问1详解】 ， 边所在直线的方程为，即， 点到直线的距离为， 所以； 【小问2详解】 设圆的方程为（其中）， 因为，，三点都在圆上，可得， 解得，满足， 所以所求圆的方程为， 即，圆心为，半径为. 17. 如图，正方体的棱长为2. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：由正方体的性质可知， 因为平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用正方体的性质得到，然后利用线面平行的判定可证结论； （2）利用垂直关系找到两平面夹角的平面角，利用直角三角形可求正弦值； （3）建立坐标系，求出平面法向量，利用点到平面的距离公式可求答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设交于点，连接，由正方形的性质可知，且； 因为正方体的棱长为2，所以， 所以,且， 所以为平面与平面所成角的平面角， 因为底面，所以， 所以，即平面与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为，则， 令可得， 设到平面的距离为， 则，即点到平面的距离为. 18. 已知的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为． （1）求顶点C的坐标； （2）求直线BC的一般式方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设，利用点C在AB边上的中线CM上和直线AC与高线BH垂直求解； （2）设，利用点B在BH上和AB的中点M在直线CM上求解； 【小问1详解】 设，AB边上的中线CM所在直线方程为， AC边上的高BH所在直线方程为， ∴，解得， ∴． 【小问2详解】 设，则，解得， ∴，则． ∴直线BC的方程为，即为. 19. 如图，在三棱锥中，，，是线段上的点． （1）求证：平面平面； （2）若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若平面，为垂足，直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的长． 【答案】（1） 取的中点，连接、， 因为，，则， 所以，所以，所以， 又因为，所以，则， 又因为，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值； （3）设，设，根据空间向量的坐标运算求出点的坐标，将三棱锥的体积表示为关于的函数关系式，利用基本不等式求出三棱锥体积的最大值，利用等号成立的条件求出的值，可得出点、的坐标，求出平面的一个法向量，设，求出的坐标，根据求出的值，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 当点为的中点时，，，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，则， 所以，， 故当为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设，因为，其中， 所以，，可得，即点， 因为平面，则点，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当点为线段的中点时，三棱锥的体积取最大值， 此时，点， 由（2）可知，此时，平面的一个法向量为， 设，其中， 则， 因为平面，则， 所以，，解得， 所以，，所以，即的长为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高二年级数学期中考试卷 考试时间：120分钟；考试分数：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共8个小题，每题5分，共40分） 1. 已知直线经过点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间单位向量的夹角为，则（ ） A. B. C. 1 D. 3. 点到直线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图，在四面体中，是棱上一点，且是棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 给出下列四个命题，其中正确的有（ ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 4个 6. 已知向量，，则向量 在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 8. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角是 D. 与所成角的余弦值为 二、多选题（共3个小题，每题6分，共18分，选不全得部分分，有错选不得分） 9. 以下关于向量的说法正确的有（ ） A. 若＝，则＝ B. 若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆 C. 若＝－且＝－，则= D. 若与共线，与共线，则与共线 10. 以下命题正确的是（ ） A. 直线方向向量为，直线方向向量，则与垂直 B. 直线的方向向量，平面的法向量，则 C. 平面、的法向量分别为，，则 D. 平面经过三点、、，向量是平面的一个法向量，则 11. 对于直线，下列选项正确的是（ ） A. 直线恒过点 B. 当时，直线在轴上的截距为 C. 已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是 D. 坐标原点到直线的距离的最大值为 第II卷（非选择题） 三、填空题（共3个小题，每题5分，共15分） 12. 已知四点共面，且任意三点不共线，为平面外任意一点，若，则_________． 13. 直线，之间距离为，则实数___________. 14. 已知是圆上的动点，则最大值是 _________. 四、解答题（15题13分，16.17题15分，18.19题17分，共77分） 15. （1）直线经过点，且与直线垂直，求直线的一般式方程； （2）求过两条直线和的交点，且与平行的直线一般式方程. 16. 三角形ABC的三个顶点分别是、、. （1）求三角形ABC的面积 （2）求三角形ABC的外接圆（为圆心）的标准方程，并写出圆心和半径. 17. 如图，正方体的棱长为2. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 已知的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为． （1）求顶点C的坐标； （2）求直线BC的一般式方程． 19. 如图，在三棱锥中，，，是线段上的点． （1）求证：平面平面； （2）若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若平面，为垂足，直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $