2.5有理数的混合运算(基础篇）讲义2025-2026学年北师大版数学七年级上册

有理数的混合运算 2.5有理数的混合运算 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 页码 传送门 复习 乘方的概念 2 课前复习 科学记数法 新课探索 有理数运算顺序 3 新课探索 题型练习 算24点 5 题型练习 程序流程图计算 求一个数的近似数 含乘方的有理数混合运算 易错点 10 易错点 总结 11 总结 课前复习 乘方的概念 求n个相同因数的积的运算，叫乘方，乘方的结果叫幂。在a的n次方中，a叫做底数，n叫做指数。负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.正数的任何次幂都是正数，0的任何正数次幂都是0. 科学计数法 把一个大于10数表示成a×10”的形式(其中a大于或等于1且小于10,n是整数),既简单明了，又便于比较大小和进行计算，这种记数法，习惯上叫科学记数法。 新课探索 1、 有理数运算顺序 (1) 在一个没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有三级运算，要先算第三级运算，再算第二级运算，即：先算乘方、再算乘除、最后算加减。 (2)在有括号的算式里，要先算括号里的，再算括号外的。 1、先乘方，再乘除，最后加减； 2、同级运算，从左到右进行； 3、如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 【练习】计算：-3²+18+32÷(-2)³-(-4)²×5. 答案：-75 分析：原式=-9+18+32÷(-8)-16×5=-9+18-4-80=-75. 题型练习 算24点 1．下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 【答案】A 【分析】本题考查有理数的四则运算，通过尝试不同的四则运算组合，判断每组数字是否能得到24． 【详解】解：A、无法通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； B、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； C、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； D、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24． 故选：A 2．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则逐项计算可得答案． 【详解】解：A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意；     D．，故不符合题意； 故选A． 程序流程图的计算 3．根据图中所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值是（  ） A．17 B．20 C．4 D．26 【答案】C 【分析】本题主要考查了程序流程图与有理数计算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键．根据程序计算图进行求解即可． 【详解】解：当时，则有， ， 当时，则有， ， ∴输出4． 故选：C． 4．按如图所示的程序计算，当输入的值为时，则输出的值为（　　） A．6 B．8 C．15 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查了程序运算题，含乘方的有理数的混合运算，解题的关键是读懂程序和掌握运算法则． 按照程序列出算式进行计算即可． 【详解】解：根据程序可得，当时， 第一轮：， 第二轮：， ∴输出的值为8， 故选：B． 求近似数 5．《九章算术》的“粟米”一章中提到斗粟米可以兑换斗御米，用四舍五入法将精确到百分位，得到的结果是（　　） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数的近似，准确分析判断是解题的关键． 把千分位上的数字8进行四舍五入即可． 【详解】解：精确到百分位得到的近似数是． 故选：D． 6．利用四舍五入法将有理数2.1374精确到百分位得到的近似数为（   ） A．2.1 B．2.13 C．2.14 D．2.137 【答案】C 【分析】本题主要考查了近似数，解题的关键是掌握近似数的规则．根据四舍五入法，精确到百分位需把千分位四舍五入． 【详解】解： （精确到百分位）． 故选：C． 含乘方的有理数混合运算 7．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算乘方和括号，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】解：原式 8．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数的混合运算，求一个数的绝对值，解题的关键是掌握各运算法则． 先进行乘方和绝对值运算，再进行乘除，最后进行加减运算． 【详解】解： ． 易错点 1. 运算顺序错误：未按照“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序进行计算，导致结果出错。例如，在表达式 中，误将加法优先于乘法计算。 2. 符号处理不当：在涉及负数的运算中，容易忽略负号或混淆符号规则。例如， 被错误理解为 ，而实际应为 。 3. 括号展开错误：在去掉括号时未正确分配符号，特别是在括号前有负号的情况下。例如， 被错误展开为 ，而实际应为 。 4. 绝对值误解：对绝对值定义理解不清，认为绝对值可以为负数。例如， 被错误计算为 ，而实际应为 5 。 5. 零的特殊性质忽视：在涉及零的运算中出错，如除以零或零乘任何数仍得零。例如，表达式 被错误认为有意义，而实际上无定义。 6. 近似计算误差：在取近似值时未按要求保留有效数字或四舍五入错误。例如，将 3.14159 保留两位小数时误写为 3.142 ，而实际应为 3.14 。 7. 指数与底数混淆：在幂运算中，混淆底数和指数的位置。例如，将 错误理解为 ，导致结果从 8 变为 9 。 总结 有理数运算顺序 (2) 在一个没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有三级运算，要先算第三级运算，再算第二级运算，即：先算乘方、再算乘除、最后算加减。 (2)在有括号的算式里，要先算括号里的，再算括号外的。 1、先乘方，再乘除，最后加减； 2、同级运算，从左到右进行； 3、如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 有理数的混合运算 2.5有理数的混合运算 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 传送门 复习 乘方的概念 课前复习 科学记数法 新课探索 有理数运算顺序 新课探索 题型练习 算24点 题型练习 程序流程图计算 求一个数的近似数 含乘方的有理数混合运算 易错点 易错点 总结 总结 课前复习 乘方的概念 求n个相同因数的积的运算，叫乘方，乘方的结果叫幂。在a的n次方中，a叫做底数，n叫做指数。负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.正数的任何次幂都是正数，0的任何正数次幂都是0. 科学计数法 把一个大于10数表示成a×10”的形式(其中a大于或等于1且小于10,n是整数),既简单明了，又便于比较大小和进行计算，这种记数法，习惯上叫科学记数法。 新课探索 1、 有理数运算顺序 (1) 在一个没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有三级运算，要先算第三级运算，再算第二级运算，即：先算乘方、再算乘除、最后算加减。 (2)在有括号的算式里，要先算括号里的，再算括号外的。 1、先乘方，再乘除，最后加减； 2、同级运算，从左到右进行； 3、如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 【练习】计算：-3²+18+32÷(-2)³-(-4)²×5. 题型练习 算24点 1．下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 2．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 程序流程图的计算 3．根据图中所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值是（  ） A．17 B．20 C．4 D．26 4．按如图所示的程序计算，当输入的值为时，则输出的值为（　　） A．6 B．8 C．15 D．24 求近似数 5．《九章算术》的“粟米”一章中提到斗粟米可以兑换斗御米，用四舍五入法将精确到百分位，得到的结果是（　　） A．3 B． C． D． 6．利用四舍五入法将有理数2.1374精确到百分位得到的近似数为（   ） A．2.1 B．2.13 C．2.14 D．2.137 含乘方的有理数混合运算 7．计算：． 8．计算：． 易错点 1. 运算顺序错误：未按照“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序进行计算，导致结果出错。例如，在表达式 中，误将加法优先于乘法计算。 2. 符号处理不当：在涉及负数的运算中，容易忽略负号或混淆符号规则。例如， 被错误理解为 ，而实际应为 。 3. 括号展开错误：在去掉括号时未正确分配符号，特别是在括号前有负号的情况下。例如， 被错误展开为 ，而实际应为 。 4. 绝对值误解：对绝对值定义理解不清，认为绝对值可以为负数。例如， 被错误计算为 ，而实际应为 5 。 5. 零的特殊性质忽视：在涉及零的运算中出错，如除以零或零乘任何数仍得零。例如，表达式 被错误认为有意义，而实际上无定义。 6. 近似计算误差：在取近似值时未按要求保留有效数字或四舍五入错误。例如，将 3.14159 保留两位小数时误写为 3.142 ，而实际应为 3.14 。 7. 指数与底数混淆：在幂运算中，混淆底数和指数的位置。例如，将 错误理解为 ，导致结果从 8 变为 9 。 总结 有理数运算顺序 (2) 在一个没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有三级运算，要先算第三级运算，再算第二级运算，即：先算乘方、再算乘除、最后算加减。 (2)在有括号的算式里，要先算括号里的，再算括号外的。 1、先乘方，再乘除，最后加减； 2、同级运算，从左到右进行； 3、如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 1 学科网（北京）股份有限公司 $