专题10 相似相关几何证明压轴题（5种类型40道）（高效培优期中专项训练）数学北师大版九年级上册

专题10 相似相关几何证明压轴题 （5种类型40道） 考点01 相似相关最值问题 考点02 相似相关动点问题 考点03 探究数量关系 考点04 相似相关定值问题 考点05 相似相关折叠问题 考点01 相似相关最值问题 1．在中，，为平面内一点． (1)如图1，若在边上，且． 求证：； 若，延长至点，使，求证：； (2)如图2，，，延长至点，使，直接写出的最小值． 2．在矩形中，，，点E为边上一动点，连接，在右侧作射线于点E，点F为射线上一点． (1)如图1，若点F在边上，，求的长； (2)如图2，若点F在矩形内部，，连接并延长，交边于点H，当时，求的长； (3)如图3，若点F在边上，连接，过点A作于点M，则的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 3．如图，在菱形中，，，点E为线段上一个动点，边关于对称的线段为，连接． (1)当平分时，的度数为___________． (2)延长，交射线于点G，当时，求的长． (3)连接，点H为线段上一动点（不与点A，C重合），且，求的最小值． 4．【初步探究】 （1）如图1，在中，点、、分别在边，，上，，这两个相等的角会使图形中出现其它的等角．请你直接写出这组等角（不添加其他辅助线）， 【深入研究】 （2）如图2，，，试说明 【变式探究】 （3）如图3，在等边中，，分别为，边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当从点向运动（不运动到点）时， ①求的度数； ②若，的面积为，点为边上（不与，重合）的任意一点，连接，，直接写出的最小值（用含的代数式表示）． 5．某校数学兴趣小组的同学在学习了“图形的相似”后，利用相关知识进行了深入研究． （一）合作探究 （1）如图1，在中，平分交于点．兴趣小组的同学得出．如图2，理由如下： 过点作，交的延长线于点． ① ， 平分 ② 请完成填空：①________________；②___________________； （二）内化迁移 （2）已知：如图3，为的边延长线上一点，连接，为边延长线上一点，． 求证：平分． （三）问题解决 （3）如图4，正方形边长为9，为边上一点，为延长线上一点．为正方形内部一动点，连接并延长交于点，连接，若，平分交于点，为中点，，连接，．求的最小值． 6．（1）如图 1，在三角形 中， 是 中点，连结 ， 是 上任意一点，过点 作别交 ， 于点 、 ，求证： 是中点；    （2）如图 2，在四边形 中，， 与 不平行， ， ，连结对角线 ， 交于点 ， 是 上的点，过点 作交 于点 ， 于点 ，求的值； （3）如图 3，在菱形 中， ， ，分别取菱形各边的中点 ，，， 并顺次连结得到四边形 ，连结 ， 交于点 ， 是 上一动点，作交 于点 ，交 于点 ，过点 作 交 于点 ，连结 ，求 的最小值． 7．【问题探究】 （1）如图1，在矩形中，点分别是边上的点，连接．若，求的长； 【问题解决】 （2）如图2，张叔叔承包了一个四边形农场的中点处是农场的入口，是一条小路（宽度忽略不计），现要在上修建一口水井，并以为边用篱笆围一个等腰直角三角形区域（即，且，点在上方）用于养殖动物，再从点向入口修一条运输通道，为节省时间，要求运输通道尽可能的短．已知，，求运输通道的最小值． 8．已知：中，E在上，F在上，． (1)如图1，D、F重合，，，，求的长． (2)如图2，若F为中点，，求． (3)如图3，中，，P为对角线上一动点，过P作直线使得，分别交直线、于点F、E，若，请直接写出的最小值． 考点02 相似相关动点问题 9．如图，在中，，动点P从点B出发，沿线段以每秒的速度向终点A运动，同时动点Q从点A出发，沿线段以每秒的速度向点C运动．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t秒． (1) ； (2)若以点A、P、Q为顶点的三角形与相似，求t的值； (3)当t为何值时，的面积为？ 10．直线与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发匀速运动，点Q沿线段运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线运动，P、Q同时到达A点，运动停止． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______． (2)点运动的速度为每秒______个单位长度． (3)设点Q的运动时间为秒，的面积为S，求出S与t之间的函数关系式． (4)当时，直接写出点P的坐标． 11．如图中，厘米，厘米，是的中点，点从出发，以厘米/秒（）的速度沿匀速向点运动，点同时以1厘米/秒的速度从出发，沿匀速向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为秒． (1)若，，求的值； (2)设点在上，四边形为平行四边形，若，求的长． 12．如图，在正方形中，点为边上一动点，交于点，过点作交于点，点为的中点． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)若，求证：． 13．已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线． (1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F． ①如图1，当点P与点O重合时，求证：； ②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． 14．如图，在矩形中，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点以的速度从C点出发，沿向B点移动，设P、Q两点移动的时间为t秒．() (1)t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似? (2)探究：在P、Q两点移动过程中，四边形与的面积能否相等?若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 15．在矩形中，，点为上一动点． (1)如图1，过点分别作、的垂线，垂足分别为、，求的值； (2)如图2，点和点关于的对称点分别为和． ①若，试判断四边形的形状，并说明理由； ②当为直角三角形时，求的长． 16．如图，在矩形中，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度沿折线向终点C运动，点Q的速度沿向终点D运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，设运动时间为t（s）． (1)当t=______s时，四边形的面积为； (2)当点P在边上运动时，是否存在一个时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)设的面积为S，求S关于t的函数关系式； (4)当是以为腰的等腰三角形时，直接写出t的值． 考点03 探究数量关系 17．在中，， ，点D是边上一点，交于点F，交直线于点E． (1)如图1，当D为的中点时，证明：． (2)如图2，若于点M，当点D运动到某一位置时恰有，则，与之间有何数量关系，并说明理由． (3)连接，当时，请求出的值． 18．如图，在中，，点D在直线上，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段． 【问题初探】 （1）如图1，点D在线段上，延长至点F，使得，连接． 求证：． 【类比分析】 （2）如图2，若，点D在的延长线上，延长至点F，使得，连接．求证：． 【拓展延伸】 （3）如图3，若，，点D在的延长线上，连接，延长交于点G，猜想与的数量关系，并加以证明． 19．如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在边CD，AD，BC上，且于点，连接BH，满足． (1)求证：； (2)点为边上一点，若且，用等式表示和的数量关系，并证明． 20．综合与实践 在中，，，是的中点，为直线上一动点，连接，过点作，交直线于点，连接． (1)如图1，当是线段的中点时，判断四边形的形状，并证明； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (3)若，设与直线的交点为，当时，直接写出的面积． 21．中，． 问题背景如图（1），点为上一点，，．求证：． 问题探究如图（2），，．探究，和之间的数量关系，并给出证明． 问题拓展如图（3），点，分别在边和上，连接和交于点，，，，直接写出的长度． 22．在中，，，点E在边上（点E不与点B，点C重合），连接． (1)如图1，作，垂足为点D，若点D为中点，则 ， ； (2)如图2，在（1）的条件下，点F在线段上，连接，若，，求的长； (3)如图3，点F在线段上，连接，，将射线绕点B逆时针旋转得到射线，点H在射线上且，连接和，求与的数量关系． 23．在中，，，点在边上（点不与点，点重合），连接并将绕点逆时针旋转得到． (1)如图1，连接． 与的位置关系为 ，与的数量关系是 ； 请用等式表示，和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，将沿翻折，得到，连接，若的最小值为2，求的长． 24．四边形是正方形，点E是边上一动点（点D除外），是直角三角形，，点G在的延长线上． (1)如图1，当点E与点A重合，且点F在边上时，写出和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形内部时，的延长线与B的延长线交于点P，如果，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，写出和的数量关系，并说明理由． 考点04 相似相关定值问题 25．背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点在同一条直线上），小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： (1)如图，将正方形绕点按逆时针方向旋转，则与的数量关系为______，位置关系为______；（直接写出答案） (2)如图，把背景中的正方形分别改成矩形和矩形，且，，，将矩形绕点按顺时针方向旋转，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)在（）的条件下，小组发现：在旋转过程中，的值是定值，请求出这个定值．（直接写出答案） 26．（1）如图1，正方形和正方形，连接并延长交于点．求证：； （2）如图2，若将（1）中正方形改为菱形，且，求的度数； （3）如图3，若将（1）中正方形改为矩形，且，，．连接，，将矩形绕点旋转，旋转过程中发现的值为定值，请求出这个定值. 27．如图，在正方形中，点E，F分别在边和上，且，连接，分别交，于点H，点G，连接，，． (1)若正方形的边长为，则的周长为________； (2)求证：； (3)与存在怎样的位置关系？请说明理由； (4)求证：为定值． 28．如图1，正方形的边长为4，点是边上一动点（不与端点重合），连接． (1)当时，求的周长； (2)将沿折叠得到，延长交射线于点． ①如图2，当为中点时，求的长； ②当点在边上运动的过程中，小方同学认为的长度是一个定值，而小程同学认为的长度才是一个定值，你认为谁说的对呢？说出你的理由． 29．【问题情境】在数学活动课上，同学们在课上用两张矩形纸片进行探究活动.小组同学准备了两张矩形纸片和，其中，，将它们按如图1所示的方式放置，点E，G分别落在，边上时，点E，G恰好为边，的中点.然后将矩形纸片绕点B按顺时针方向旋转，旋转角为，连接与． 【观察发现】 （1）如图2所示，当时，小组成员发现与存在的数量关系为_________；位置关系为_________； 【探索猜想】 （2）如图3所示，当时，（1）中发现的结论是否仍然成立?请说明理由； 【拓展延伸】 （3）在矩形的旋转过程中，交于点P，交于点O，连接，，是否为定值；如果是，请直接写出此定值，如果不是，请你说明理由. 30．（1）如图，点为正方形对角线上一动点，过点作交于点，试判断线段、的数量关系，并说明理由； （2）如图，点为矩形对角线上一动点，过点作交于点，若，，试判断的值是否为定值？若是定值，请求出的值；若不是定值，请说明理由．    31．如图1，在中，，，． (1)请计算的面积； (2)如图2，将沿着翻折，D点的对应点为，线段交于点M，请计算的长度； (3)如图3，在（2）的条件下，点P为线段上一动点，过点P作于点N，交的延长线于点G．在点P运动的过程中，的长度是否为定值？如果是，请计算出这个定值；如果不是，请说明理由． 32．综合与实践 在一次综合实践活动课上，小明将锐角三角形纸片沿过点的直线折叠，使边落在边上，展开纸片，折痕为，如图（）．展开纸片，再次折叠，使点与点重合，折痕为，展开纸片，连接，，如图（）．    (1)【探索发现】小明发现折痕将边分为，两段，且边，与线段，之间存在的数量关系为，请借助图（）进行证明． (2)【拓展应用】有一张三角形纸片，，，，将该三角形纸片按上述折叠过程操作， 为折痕上一点，过点作于点，于点，随着点的运动，线段的值是定值吗？如果是，直接写出的值；如果不是，请说明理由． 考点05 相似相关折叠问题 33．在矩形中，宽，E是边上的一个动点，F是边上的一个动点，连接，将矩形沿折叠． (1)如图1，若，将矩形沿折叠后，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，交于点M． ①判断与是否相等，并说明理由； ②连接交于点N，若，求的值； (2)如图2，若矩形的长，将矩形沿折叠后，点A、D的对应点分别是点，连接，直接写出面积的最小值为　　． 34．【探究】如图1，已知四边形是正方形，点E是上一动点，连接，将沿着折叠，点C落在四边形内部的点F处，连接并延长，交于点    （1）求证：； （2）如图2，延长交边于点H，若，求的值； 【拓展】 （3）如图3，已知四边形是矩形，点E是上一动点，连接，将沿着折叠，点C落在四边形内部的点F处，连接CF，延长CF，BF交边于点G，H，若，，求的值． 35．问题情境：如图①，矩形中，M是边上一点，分别交，于点E，F． (1)探究发现：若，求的值； (2)探索研究：如图②，矩形中，，，将矩形沿直线折叠，E，F分别在边，上，点A落在边上的点M处，，连接，与交于点G． ①求的长； ②连接，若，求的长； (3)探究拓展：如图③，矩形中，，，将矩形沿直线折叠，E，F分别在边，上，点A落在边上的点M处，若，，求关于的函数关系式． 36．如图，平行四边形中，．    (1)如图1，将平行四边形沿对角线折叠，点A的对应点落在点E处，与交于点F． ①求证：； ②连接与交于点G，求的长； (2)如图2，点M，N分别在平行四边形的边上，连接，且，将平行四边形沿折叠，使点B的对应点Q落在边上，求的面积． 37．综合与实践：小明想在如图1所示的三角形纸片折出一个菱形，使为菱形的一个内角． (1)小明进行如下折叠过程： 步骤1：如图2，将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得点C的对应点落在边上（点D在边上），展平纸片； 步骤2：如图3，再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，再次展平后，连接，，得到菱形． ①折痕为的 （填“中线”“角平分线”或“高”）； ②若，，求菱形的边长． (2)若将（1）中的步骤2改为：如图4，再次折叠该三角形纸片（且A与D不重合），折痕为，展平纸片，连接，．证明：四边形是菱形． 38．如图，在矩形中，，，是边上的点（不与点，重合），将沿折叠，是点的对应点；是边上的点，将沿折叠，是点的对应点，且点在直线上． (1)求证：； (2)①若，求的长； ②若是的中点，求的值； (3)当点恰好落在边上时，求四边形的面积． 39．如图1，在矩形中，，，E是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点D恰好落在边上点F处，延长交的延长线于点G． (1)求线段的长； (2)求证：四边形为菱形； (3)如图2，M，N分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设，是否存在这样的点N，使是直角三角形？若存在，请直接写出x的值 40．某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题． (1)【图形认知】如图①，在正方形中，，交于点，则 （填比值）； (2)【探究证明】如图②，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：； (3)【结论应用】如图③，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，．求折痕的长； (4)【拓展运用】如图④，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处，得到四边形，若，，，请求点P到直线的距离． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 相似相关几何证明压轴题 （5种类型40道） 考点01 相似相关最值问题 考点02 相似相关动点问题 考点03 探究数量关系 考点04 相似相关定值问题 考点05 相似相关折叠问题 考点01 相似相关最值问题 1．在中，，为平面内一点． (1)如图1，若在边上，且． 求证：； 若，延长至点，使，求证：； (2)如图2，，，延长至点，使，直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析；见解析 (2) 【详解】（1）证明：①， ， ， ， ， ， ， ． ②延长，交于点， ， ，， ， ， ， ， ， ，即点为的中点， 设，则，， 由①得：， ，， 在中，， ， ， ， ， ， 解得：， ，即点是的中点， 是的中位线， ． （2）解：的最小值为． 如图，延长至点，使，连接，过点作，交的延长线于点， ， ，，， ，即， ， ， ， ， ， ， ，则， ，， ， ，则， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的定理，勾股定理，平行线的判定与性质等，熟练掌握相关知识点是解题关键． 2．在矩形中，，，点E为边上一动点，连接，在右侧作射线于点E，点F为射线上一点． (1)如图1，若点F在边上，，求的长； (2)如图2，若点F在矩形内部，，连接并延长，交边于点H，当时，求的长； (3)如图3，若点F在边上，连接，过点A作于点M，则的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2.5 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据矩形的性质证明，即可求解； （2）先求出，过点F作于点M，证明，得到，则，设，则，再证明，则，得到，再解一元二次方程即可； （3）连接，设，由得到，整理得到，可求y有最大值，而，那么当时，有最大值，为，由于，则取最大值时，有最小值为：． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 如图 ，过点F作于点M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 即， 解得：，（舍）， ∴； （3）解：的长度是存在最小值，连接， 设， 由（1）得， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴当时，y有最大值， ∵， ∴当时，有最大值，为， ∵， ∴ ∴取最大值时，有最小值为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的性质等知识点，掌握基本图形“一线三等角”相似是解题的关键． 3．如图，在菱形中，，，点E为线段上一个动点，边关于对称的线段为，连接． (1)当平分时，的度数为___________． (2)延长，交射线于点G，当时，求的长． (3)连接，点H为线段上一动点（不与点A，C重合），且，求的最小值． 【答案】(1) (2)， (3)8 【详解】（1）解：∵边关于对称的线段为， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：． 故答案为：． （2）解：∵菱形， ∴，， ∴， 如图：过E作交其延长上点H，延长交于M 设，连接 由轴对称的性质可得：，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∵ ∴，即 ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． （3）解：如图：过B作， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 如图：过B作交延长线于K，连接， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 当D、E、K三点不共线时，， 当D、E、K三点共线时，， ∴，即， ∴的最小值为8． 4．【初步探究】 （1）如图1，在中，点、、分别在边，，上，，这两个相等的角会使图形中出现其它的等角．请你直接写出这组等角（不添加其他辅助线）， 【深入研究】 （2）如图2，，，试说明 【变式探究】 （3）如图3，在等边中，，分别为，边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当从点向运动（不运动到点）时， ①求的度数； ②若，的面积为，点为边上（不与，重合）的任意一点，连接，，直接写出的最小值（用含的代数式表示）． 【答案】（1），理由见解析；（2）见解析；（3）①；②的最小值是 【详解】解：（1）这组等角是： 理由如下：在中，． 点在边上， ． （2）证明：（已证） 在和中， （3）①是等边三角形， ． 是等边三角形， 据（1）可知 在上截取，连接． ， ． 又， ． 在和中， ， ． ， ，且， ②的最小值是．如图， 由可知，点在等边的角平分线上运动．点关于线段的对称点是点， 所以， 当点、点、点三点共线且时，取最小值， 即转化为求等边的高． 因为的面积是， 所以， 所以． 即的最小值是． 【点睛】本题属于三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形三边关系，垂线段最短，熟练掌握利用垂线段最短求最短路径问题是解题的关键． 5．某校数学兴趣小组的同学在学习了“图形的相似”后，利用相关知识进行了深入研究． （一）合作探究 （1）如图1，在中，平分交于点．兴趣小组的同学得出．如图2，理由如下： 过点作，交的延长线于点． ① ， 平分 ② 请完成填空：①________________；②___________________； （二）内化迁移 （2）已知：如图3，为的边延长线上一点，连接，为边延长线上一点，． 求证：平分． （三）问题解决 （3）如图4，正方形边长为9，为边上一点，为延长线上一点．为正方形内部一动点，连接并延长交于点，连接，若，平分交于点，为中点，，连接，．求的最小值． 【答案】（1）①；②；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）根据平行线分线段成比例可得①的答案，根据等腰三角形的性质可得②的答案； （2）如图，过作，交于，可得，，，证明，可得，进一步可得结论； （3）如图，连接，，，求解，可得，，，，，当最小时，即最小；结合，当共线时，，此时最小，由（2）的结论可得：平分，而平分，再进一步可得结论． 【详解】解：过点作，交的延长线于点． ① ，， 平分 ② ． （2）如图，过作，交于， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （3）如图，连接，，， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵为中点，正方形边长为9， ∴，，，， ∴最小时，即最小； ∵，当共线时，，此时最小， ∵， 由（2）的结论可得：平分，而平分， ∴， ∵， ∴， 而， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 6．（1）如图 1，在三角形 中， 是 中点，连结 ， 是 上任意一点，过点 作别交 ， 于点 、 ，求证： 是中点；    （2）如图 2，在四边形 中，， 与 不平行， ， ，连结对角线 ， 交于点 ， 是 上的点，过点 作交 于点 ， 于点 ，求的值； （3）如图 3，在菱形 中， ， ，分别取菱形各边的中点 ，，， 并顺次连结得到四边形 ，连结 ， 交于点 ， 是 上一动点，作交 于点 ，交 于点 ，过点 作 交 于点 ，连结 ，求 的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【分析】（1）由可得，，于是可得，结合 是 中点，即可得出结论； （2）由可得，，于是可得，进而可得，由题意可得四边形是等腰梯形，然后求出，根据可得，于是可得，于是得解； （3）由题意可推出且，均为等边三角形，且，均为等腰三角形，进而得出四边形是矩形，于是可得，连接，结合（1）可推出，根据，可得，于是得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∵ 是 中点， ∴， ∴， ∴ 是中点； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， 与 不平行， ， ∴四边形 是等腰梯形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵，，，是菱形各边的中点， ∴， ∴且，均为等边三角形，且，均为等腰三角形， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴， 如图，连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时 取得最小值 ，故的最小值为 ． 7．【问题探究】 （1）如图1，在矩形中，点分别是边上的点，连接．若，求的长； 【问题解决】 （2）如图2，张叔叔承包了一个四边形农场的中点处是农场的入口，是一条小路（宽度忽略不计），现要在上修建一口水井，并以为边用篱笆围一个等腰直角三角形区域（即，且，点在上方）用于养殖动物，再从点向入口修一条运输通道，为节省时间，要求运输通道尽可能的短．已知，，求运输通道的最小值． 【答案】（1）6 （2） 【分析】（1）证明，得，，从而求得，即可由求解． （2）如图，当点O与点B重合时，则点F与M重合，当点O与点P重合时，则点F与N重合，从而得出当点O在上运动时，点F在上运动，根据垂线段最短得出当时，的值最小，证明，得到，再由，点E是的中点，求得，由勾股定理求得，从而可求得，，，，，然后证明是等腰直角三角形，即可由勾股定理求出此时的长． 【详解】解：（1）∵矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． （2）如图，当点O与点B重合时，则点F与M重合，当点O与点P重合时，则点F与N重合， 则当点O在上运动时，点F在上运动， ∴当时，的值最小， 当点O与点P重合时，即与重合， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵，点E是的中点， ∴ ∴ ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当点O与点N重合时，与， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 答：运输通道的最小值为． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识面．（2）问的关键是分析研究得出点F的运动路径是解题的关键． 8．已知：中，E在上，F在上，． (1)如图1，D、F重合，，，，求的长． (2)如图2，若F为中点，，求． (3)如图3，中，，P为对角线上一动点，过P作直线使得，分别交直线、于点F、E，若，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）证明，则代入数值即可得到答案； （2）延长交的延长线于点Q，设，则，则，由四边形是平行四边形得到，，证明，则，，得到，证明，得到，，求出，求出，设，则，则，即可得到答案； （3）先证明四边形是平行四边形，得，结合四边形是平行四边形，以及等角对等边得，证明是等边三角形，再结合三角形的三边关系列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵中，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（负值不合题意，舍去）； （2）解：延长交的延长线于点Q，设，则，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，，， ∵F为中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，则， ∴； （3）解：将平移到，点D的对应点是点，点E的对应点是点，连接，如图所示： 由平移的性质得， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， 则， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， 当三点共线时，则，即取最小值； 此时的最小值为． 考点02 相似相关动点问题 9．如图，在中，，动点P从点B出发，沿线段以每秒的速度向终点A运动，同时动点Q从点A出发，沿线段以每秒的速度向点C运动．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t秒． (1) ； (2)若以点A、P、Q为顶点的三角形与相似，求t的值； (3)当t为何值时，的面积为？ 【答案】(1) (2)当或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与相似． (3)， 【分析】本题考查了勾股定理，动点问题，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． （1）根据勾股定理直接求解； （2）根据题意列出代数式，分当和时两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，解方程即可求解； （3）如图，过作于，证明，可得，，再利用面积公式建立方程即可求解． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理，得， ∴． （2）解：由题意，得，， ①当时，， ∴， ∴， 解得， ②当时，， ∴， ∴， 解得， 综上所述，当或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与相似． （3）解：如图，过作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 解得：，． 10．直线与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发匀速运动，点Q沿线段运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线运动，P、Q同时到达A点，运动停止． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______． (2)点运动的速度为每秒______个单位长度． (3)设点Q的运动时间为秒，的面积为S，求出S与t之间的函数关系式． (4)当时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)，； (2)2； (3)； (4) 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质以及一次函数的综合应用，要注意的是中，要根据P点的不同位置进行分类求解． 分别令，，即可求出A、B的坐标； 因为，，利用勾股定理可得，进而可求出点Q由O到A的时间是8秒，点P的速度是2； ①当P在线段上运动时，，，；②当P在线段BA上运动时，，，作于点D，由相似三角形的性质，得，利用，即可求出答案； 令，求出t的值，进而求出，即可求出P的坐标． 【详解】（1）解：∵直线与坐标轴分别交于A、B两点， 当时，， 解得，即， 当时，，即， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴在中，，， 则由勾股定理知， 动点P、Q同时从O点匀速出发，同时到达A点，到达A时运动停止．点Q沿线段运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线运动， 点P的速度，即点P的速度是每秒2个单位长度； 故答案为：2； （3）解：①当P在线段上运动（或）时， ，， ∴， ②当P在线段上运动时， ，， 如图，过点P作于点D，则， ∴ 得， ， 综上所述，S与t之间的函数关系式是：； （4）解：， 当时，点P在线段上． ， 解得， ，， ∴， ， 点P的坐标是． 11．如图中，厘米，厘米，是的中点，点从出发，以厘米/秒（）的速度沿匀速向点运动，点同时以1厘米/秒的速度从出发，沿匀速向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为秒． (1)若，，求的值； (2)设点在上，四边形为平行四边形，若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由中，厘米，厘米，是的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，即可求得与的长，又由，，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得的值； （2）过点作于，由四边形为平行四边形，易证得，又由得到，再由相似三角形的性质即可得方程解此方程即可求得答案． 【详解】（1）解：（1）在中，厘米，厘米，是的中点， ． ， ，， ． ， ， 即， 解得：； （2）过点作于， 四边形为平行四边形， ， ，且， ， ， ． ， ， ， 是等腰三角形． ， ． ， ． 中，厘米，是的中点， 是等腰三角形， ， ， ，且， ， ， 即， 解得：， ． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质以及等腰三角形的性质等知识．注意数形结合思想与方程思想的应用是解题的关键． 12．如图，在正方形中，点为边上一动点，交于点，过点作交于点，点为的中点． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)若，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】（）连接，证明和全等，得，，在四边形中，由，得，再根据得，则，进而得，由此即可得出结论； （）根据，得，进而得，，则，由此得，则，即，然后再根据即可得出结论； （）过点作，的延长线交于，则四边形为矩形，进而得，根据，得，则，证明得，再证明得，则，即，由此得，据此即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在四边形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）证明：过点作，的延长线交于，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，，，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，同角的补角相等，矩形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 13．已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线． (1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F． ①如图1，当点P与点O重合时，求证：； ②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． 【答案】(1)①证明见解析 ②为定值，该定值为 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、正方形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）①过点P作、，根据四边形是正方形得到，证四边形是矩形，又得到，进而证明四边形是正方形，利用角度关系得到，证出，根据全等三角形的性质得到即可； ②过点P作、，根据①可得到，根据，证得并且，利用相似三角形的性质得到，最后进行面积转化得到定值即可； （2）过点P作、，连接，易证得，根据相似三角形的性质得到，再证，根据相似三角形的性质，同理可得，进而得到，是等腰直角三角形，根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】（1）①证明：过点P作、，如图所示： 则 四边形是正方形 四边形是矩形 在中， 四边形是正方形 ， ； ②过点P作、，如图所示： 由①可知四边形是正方形 、 故 为定值，该定值为； （2）解：过点P作、，连接，如图所示： 四边形是正方形 射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F 、 同理可得 是等腰直角三角形 在中， 由勾股定理得 ． 答：四边形的面积为． 14．如图，在矩形中，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点以的速度从C点出发，沿向B点移动，设P、Q两点移动的时间为t秒．() (1)t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似? (2)探究：在P、Q两点移动过程中，四边形与的面积能否相等?若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)当为或时相似 (2)四边形与的面积不能相等，理由见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握相似三角形判定定理和性质． （1）利用勾股定理求出直角三角形斜边的长，分两种情况讨论，根据相似三角形的判定定理列出方程求解即可； （2）作于点，证明，利用相似三角形的性质表示出，根据面积的数量关系列出一元二次方程，根据根的判别式，判断根的情况即可得出结论． 【详解】（1）解：在中， ∵ ， ∴当时，△CQP∽△CBA， 则，即， 解得； 当时，△CQP∽△CAB， 则 ，即， 解得 ； ∴当为或时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似； （2）解：四边形与的面积不能相等．理由如下：    作于点，如图， ∵， ∴， ∴ ，即 ∴ ， 当四边形与的面积相等时， ， 即 ， ∴ ， 整理得, ∵， ∴此时方程无实数解， ∴四边形与的面积不能相等． 15．在矩形中，，点为上一动点． (1)如图1，过点分别作、的垂线，垂足分别为、，求的值； (2)如图2，点和点关于的对称点分别为和． ①若，试判断四边形的形状，并说明理由； ②当为直角三角形时，求的长． 【答案】(1) (2)①四边形是正方形，理由见解析；②或 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理； （1）由矩形和勾股定理得到，，再根据求解即可； （2）①由得到，则，由对称得到，，即可得到，结合，得到四边形是正方形； ②由对称得到，，，，，，即可证明三点共线，则，再由为直角三角形，得到或，据此分情况讨论，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：连接，如图所示， ∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：①四边形是正方形，理由如下： 如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点和点关于的对称点分别为和， ∴，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形； ②∵点和点关于的对称点分别为和， ∴，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴， ∵为直角三角形， ∴或， 当时， ∵， ∴，即在上， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； 当时， 由对称可得垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，当为直角三角形时，或． 16．如图，在矩形中，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度沿折线向终点C运动，点Q的速度沿向终点D运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，设运动时间为t（s）． (1)当t=______s时，四边形的面积为； (2)当点P在边上运动时，是否存在一个时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)设的面积为S，求S关于t的函数关系式； (4)当是以为腰的等腰三角形时，直接写出t的值． 【答案】(1)3 (2)不存在，理由见解析 (3)当时，；当时， (4)或 【分析】本题考查了几何动点问题，涉及了勾股定理、一元二次方程的求解、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握分类讨论的数学思想是解题关键． （1）由题意得：， ，据此表示出四边形的面积，即可求解； （2）作，利用表示出各线段的长度，然后利用勾股定理列出方程，最后进行判断求解即可； （3）分类讨论当时，当时，两种情况，画出对应图形即可求解； （4）分类讨论时，时，两种情况，画出对应图形即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：3； （2）解：当点P在边上运动时，即， 作，如图1所示： ∴，， ∴，， 由勾股定理得，， 若，则, 即， 整理得：， ∵， ∴不存在一个时刻，使得； （3）解：当时，如图2所示： ； 当时，如图3所示： ， ； 综上所述：当时，；当时，； （4）解：当时，作，如图4所示： 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 即：， 解得：； 当时，如图5所示： ∵， ∴， 解得：，（舍）， 综上所述：或． 考点03 探究数量关系 17．在中，， ，点D是边上一点，交于点F，交直线于点E． (1)如图1，当D为的中点时，证明：． (2)如图2，若于点M，当点D运动到某一位置时恰有，则，与之间有何数量关系，并说明理由． (3)连接，当时，请求出的值． 【答案】(1)见解析． (2)，理由见解析． (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）由推出，由推出，从而，进而得出结论． （2）可证明，从而推出；进而得到． （3）作，交的延长线于点Q，可证得，从而，可证得，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2），理由如下： 由（1）得：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）如图： 作，交的延长线于点Q， ，， ， ，， ， ， ， ， ． 18．如图，在中，，点D在直线上，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段． 【问题初探】 （1）如图1，点D在线段上，延长至点F，使得，连接． 求证：． 【类比分析】 （2）如图2，若，点D在的延长线上，延长至点F，使得，连接．求证：． 【拓展延伸】 （3）如图3，若，，点D在的延长线上，连接，延长交于点G，猜想与的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键在于构造全等三角形． （1）由旋转的性质，结合即可证明； （2），同理可证明，则，故，即可证明平行； （3）延长至点，使得，可得为等边三角形，证明，则，，即可得到，那么，则，故，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 由旋转得，， ∴， ∴， ∵ ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， 由旋转得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 延长至点，使得， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， 由旋转得，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在边CD，AD，BC上，且于点，连接BH，满足． (1)求证：； (2)点为边上一点，若且，用等式表示和的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）延长，，相交于点N，证明即可解答； （2）延长至点K，使得，连接，．证明得到，，从而，得到为等腰直角三角形，由得到，从而得到，进而推出，得到．设，，根据平行线分线段成比例得到，即整理，得，从而，，根据三角形的中位线定理得到，根据等腰直角三角形的性质得到，即可得到． 【详解】（1）证明：延长，，相交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴在四边形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴ （2）解：，证明如下： 延长至点K，使得，连接，． ∵，， ∴， ∴，， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴，即， ∵， ∴， ∴， 由（1）有，又， ∴设，， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，即 整理，得， ∴，， ∴， ∵在等腰中，， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，三角形中位线定理，等腰三角形的判定及性质，综合运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． 20．综合与实践 在中，，，是的中点，为直线上一动点，连接，过点作，交直线于点，连接． (1)如图1，当是线段的中点时，判断四边形的形状，并证明； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (3)若，设与直线的交点为，当时，直接写出的面积． 【答案】(1)矩形，见解析 (2)，见解析 (3)或 【分析】（1）根据三角形中位线定理，矩形的判定定理解答即可． （2）延长到点G；使，连接．证明得到平行线，继而得到，利用勾股定理，等量代换思想解答即可； （3）取的中点M，连接，分点E在上和的延长线上两种情况，利用勾股定理，三角形中位线定理，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用解答即可． 【详解】（1）证明：∵是的中点，是线段的中点, ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵, ∴四边形是矩形． （2）解：，理由如下： 延长到点G；使，连接． ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ． ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴直线垂直平分线段， ∴， ∴． （3）解：取的中点M，连接， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴，， 当点E在上时， 设，则 ∵， ∴， 根据（2）的结论，得，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； 当点E在延长线上时， 设，则 ∵， ∴， 根据（2）的结论，得，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质，勾股定理，三角函数的应用是解题的关键． 21．中，． 问题背景如图（1），点为上一点，，．求证：． 问题探究如图（2），，．探究，和之间的数量关系，并给出证明． 问题拓展如图（3），点，分别在边和上，连接和交于点，，，，直接写出的长度． 【答案】（1）证明见解析 （2），证明见解析 （3） 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转辅助线构造及勾股定理，解题的关键是利用等腰直角三角形的角特征，通过构造垂线辅助线建立相似三角形关系，结合相似比和方程求解边长，进而计算目标线段长度． （1）利用等腰直角三角形角的等量代换和垂直条件证及用证明 （2）通过旋转至构造全等，证得结合平行线内错角和角推，用勾股定理得 （3）作垂线构造等腰直角三角形，证明利用相似比列方程求结合等腰直角三角形性质和勾股定理求长度． 【详解】（1）解：∵中，， ∴，． ∵， ∴， ∴即． ∵， ∴ ， ∴，故． 在和中，， ∴ ． （2）探究结论：． 证明：将绕点A逆时针旋转至， ∵旋转后与重合，． ∵， ∵， 即． 在和中，， ∴ 故． ∵，且、被所截， ∴． ∵，且， ∴． ∵，且， ∴． ∴（因 ，故是直角三角形． 在中，由勾股定理得：． ∵， ∴． （3）解：如图，自点D作与交于点自点E作交于点 ∵，则，又， ∴ ∴，即， 由知，则， ∴， 又与都是等腰直角三角形，则， ∴，则， ∵， ∴，化简得， 解得：（因不合题意舍去）， 因等腰直角中，， ∴， ∴， 则． 22．在中，，，点E在边上（点E不与点B，点C重合），连接． (1)如图1，作，垂足为点D，若点D为中点，则 ， ； (2)如图2，在（1）的条件下，点F在线段上，连接，若，，求的长； (3)如图3，点F在线段上，连接，，将射线绕点B逆时针旋转得到射线，点H在射线上且，连接和，求与的数量关系． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质； （1）设，则，， ，由，可得，，得到，解得，，即可求出和的值； （2）在（1）的条件下，，，，再由，证明，得到，结合代入列方程计算即可； （3）先求出，作点 关于的对称点点 ，连接，则，，，得到， ， 即可证明，得到，，再证明，利用勾股定理得到． 【详解】（1）解：∵，， ∴设，，， ∵点D为中点， ∴， ∵， ∴，， ∵, ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴，， 故答案为：；； （2）解：在（1）的条件下，，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 作点 关于的对称点点 ，连接， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 在中，， ∴， ∴ ． 23．在中，，，点在边上（点不与点，点重合），连接并将绕点逆时针旋转得到． (1)如图1，连接． 与的位置关系为 ，与的数量关系是 ； 请用等式表示，和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，将沿翻折，得到，连接，若的最小值为2，求的长． 【答案】(1)， ，理由见解析 (2) 【分析】（1）由题意可得与为等腰三角形，证明得，； 在上取点，使，连接，如图2所示，证明得，，又 ，可得为等腰直角三角形，，从而； （2）取中点，连接、、连接，证明，当最小为时，最小为，此时，为中点，根据中位线定理从而求出的长度． 【详解】（1）解：如图所示，连接， 由题意可得与为等腰三角形， ， ∴，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； 证明：，理由如下：    在上取点，使，连接，如图2所示， 在和中，，   ， ，           ， 为等腰直角三角形，， ； （2）解：如图3所示， 取中点，连接、、连接， 由题意可知和为等腰直角三角形，，． 由折叠可知， 由（1）可知， ， ， 又， ． ， 当最小为时，最小为，此时，为中点， 由中位线定理可知． 24．四边形是正方形，点E是边上一动点（点D除外），是直角三角形，，点G在的延长线上． (1)如图1，当点E与点A重合，且点F在边上时，写出和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形内部时，的延长线与B的延长线交于点P，如果，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，写出和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【详解】（1）解：，理由如下： ∵正方形， ∴， ∵是直角三角形，， ∴， 当点E与点A重合时，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）∵正方形， ∴， ∵点G在的延长线上，的延长线与的延长线交于点P， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3），理由如下： 由（2）可知：， ∴，， 作于点，则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∵， ∴． 考点04 相似相关定值问题 25．背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点在同一条直线上），小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： (1)如图，将正方形绕点按逆时针方向旋转，则与的数量关系为______，位置关系为______；（直接写出答案） (2)如图，把背景中的正方形分别改成矩形和矩形，且，，，将矩形绕点按顺时针方向旋转，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)在（）的条件下，小组发现：在旋转过程中，的值是定值，请求出这个定值．（直接写出答案） 【答案】(1)，； (2)，，理由见解析； (3)． 【分析】（）延长交于，交于，由四边形、四边形为正方形，则，，，然后证明，再通过性质即可求解； （）设与交于，与交于点，由四边形和四边形为矩形，则，所以，证明，然后通过相似三角形性质即可求解； （）连接，，由（）知，，，，由勾股定理得，，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长交于，交于， ∵四边形、四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案是：，； （2）解：，，理由如下： 如图，设与交于，与交于点， ∵，，， ∴，， ∵四边形和四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，， 由（）知，，，， ∴，， 由（）知， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法和全等三角形的判定方法． 26．（1）如图1，正方形和正方形，连接并延长交于点．求证：； （2）如图2，若将（1）中正方形改为菱形，且，求的度数； （3）如图3，若将（1）中正方形改为矩形，且，，．连接，，将矩形绕点旋转，旋转过程中发现的值为定值，请求出这个定值. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）260 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形，矩形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形相似的判定及性质，勾股定理等；掌握判定方法及性质，作出恰当的辅助线，构建直角三角形，利用勾股定理解答是解题关键． （1）如图，交于，由正方形的性质及可判定，由全等三角形及性质得，即可得证； （2）同（1）可证，得，再结合三角形的内角定理，即可求得； （3）连接、，交于，交于，由矩形的性质及三角形相似判定方法得，由三角形相似的性质得，由勾股定理得，，，，即可求解； 【详解】解：（1）如图，交于， 四边形与四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中，， ， ∴， ， ，则 ， ； （2）如图，交于， 四边形与四边形是菱形，， ，， ， ， 在和中，， ， ，， ， ； （3）如图，连接、，交于，交于， 四边形和四边矩形是矩形， ， ， ， ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 27．如图，在正方形中，点E，F分别在边和上，且，连接，分别交，于点H，点G，连接，，． (1)若正方形的边长为，则的周长为________； (2)求证：； (3)与存在怎样的位置关系？请说明理由； (4)求证：为定值． 【答案】(1)8 (2)见解析 (3)，理由见解析 (4)见解析 【分析】（1）将绕点顺时针旋转得到，根据旋转及正方形的性质可证明，得，进而可得答案； （2）结合题意，由正方形的性质可知，，得，进而可证明结论； （3）根据正方形的性质可知，由（2）可知，，得，可证得，从而得，即可得结论； （4）根据正方形的性质可知，由（2）可知，，得，即，证得，得，由（2）可知，得．同理可得，得，由即可证明结论． 【详解】（1）解：在正方形中，，， 将绕点顺时针旋转得到， 则，，，， ∵， ∴点、、在同一直线上， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 则的周长， 故答案为：8； （2）证明：四边形为正方形，，． ，， ， ． （3），理由如下： 四边形为正方形， ． 由（2）可知，， ， ． ，即． （4）证明：四边形ABCD为正方形， ， 由（2）可知，， ， ， ， ， ． 由（2）可知， ，即． 同理可得， ，即． ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，证明，利用相似三角形的性质转化边之间的关系是解决的关键． 28．如图1，正方形的边长为4，点是边上一动点（不与端点重合），连接． (1)当时，求的周长； (2)将沿折叠得到，延长交射线于点． ①如图2，当为中点时，求的长； ②当点在边上运动的过程中，小方同学认为的长度是一个定值，而小程同学认为的长度才是一个定值，你认为谁说的对呢？说出你的理由． 【答案】(1) (2)①1 ②当点F在的延长线上时，为定值，小程同学说得对；当点F在线段上时，为定值，小方同学说得对．理由见解析 【分析】（1）由勾股定理求出，即可求出的周长． （2）①连接，通过证明，得到为的角平分线，，进而得出，再通过，得出，从而求的长，即可得到的长度． ②通过辅助线构造和，得出，，再根据点F的位置进行分类讨论判断，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴， 在中，，，则， ∴的周长， 故的周长为． （2）解：①连接，如图， ∵正方形， ∴， 根据折叠的性质，，，． ∴， ∵点E为的中点， ∴ ∴， 在和中，，， ∴． ∴，． ∴， ， ∵ ∴ ∴， 在和中，，， ∴， ∴， ∴． ∴． ②当点F在的延长线上时，为定值，小程同学说得对； 当点F在线段上时，为定值，小方同学说得对． 理由如下： 延长交于点H，交延长线于点G，连接．如图， 由正方形与折叠的性质得， ，， ∴对于和，，， ∴， ∴， 在和中，，，， ∴， ，， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 如图a，当点F在的延长线上时，， ∵，，， ∴； 如图b，当点F在线段上时，， ∵，，， ∴． 故当点F在线段上时，小方同学说得对；当点F在的延长线上时，小程同学说得对． 【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质，以及分类讨论的能力．通过构造全等三角形证明是解决本题的关键． 29．【问题情境】在数学活动课上，同学们在课上用两张矩形纸片进行探究活动.小组同学准备了两张矩形纸片和，其中，，将它们按如图1所示的方式放置，点E，G分别落在，边上时，点E，G恰好为边，的中点.然后将矩形纸片绕点B按顺时针方向旋转，旋转角为，连接与． 【观察发现】 （1）如图2所示，当时，小组成员发现与存在的数量关系为_________；位置关系为_________； 【探索猜想】 （2）如图3所示，当时，（1）中发现的结论是否仍然成立?请说明理由； 【拓展延伸】 （3）在矩形的旋转过程中，交于点P，交于点O，连接，，是否为定值；如果是，请直接写出此定值，如果不是，请你说明理由. 【答案】（1）；；（2）成立，理由见解析；（3）是定值，其的定值为65 【分析】（1）延长交于点H，证明，即可得，再根据相似的性质得到，通过等量转换，证明，即可解答； （2）证明，得出，，设与交于点P，与交于点O，进而得，即可解答； （3）连接，，由（2）得，根据勾股定理得出，即可解答． 【详解】解：（1）如图1所示，延长交于点H． ∵点E，G恰好为边的中点， ∴，， ∵四边形和是矩形，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：；； （2）当时，（1）中发现的结论仍然成立． 理由：如图2所示， ∵四边形和是矩形， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴，， 设与交于点P，与交于点O，则， ∴， ∴； ∴当时，与的数量关系是；位置关系是； （3）是定值，其的定值为65． 连接，，由（2）得， ∴、、、均为直角三角形， 根据勾股定理得：，， ，， ∴， ∵， ， ∴， 即：的定值为65． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，三角形内角和定理的应用，作出正确的辅助线是解题的关键． 30．（1）如图，点为正方形对角线上一动点，过点作交于点，试判断线段、的数量关系，并说明理由； （2）如图，点为矩形对角线上一动点，过点作交于点，若，，试判断的值是否为定值？若是定值，请求出的值；若不是定值，请说明理由．    【答案】（1），理由见解析；（2）的值是定值， 【分析】（1）过点作，交于，证明，由全等三角形的性质得出结论； （2）过点作，交于点，证明，得出，由直角三角形的性质得出结论． 【详解】解：．理由： 过点作，交于，   四边形是正方形， ， ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴ ∴， ， ， ； 的值定值． 过点作，交于点，    ∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴四边形是矩形， ， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，矩形的判定及性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 31．如图1，在中，，，． (1)请计算的面积； (2)如图2，将沿着翻折，D点的对应点为，线段交于点M，请计算的长度； (3)如图3，在（2）的条件下，点P为线段上一动点，过点P作于点N，交的延长线于点G．在点P运动的过程中，的长度是否为定值？如果是，请计算出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)的长度为； (3)的长度是定值，这个定值为． 【分析】（1）作，在中，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得高的长，再根据平行四边形的面积公式即可求解； （2）先证明，再在中，由勾股定理列式计算即可求解； （3）利用勾股定理求得，证明，求得，再求得，过点作交的延长线于点，得到的长度是的长度，据此求解即可． 【详解】（1）解：作交延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， 在中，，， ∴的面积为； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得：，即的长度为； （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，由折叠的性质得， ∵， ∴， 过点作交的延长线于点， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴的长度是的长度， 过点作交的延长线于点， ∴四边形是矩形， ∴，由折叠的性质得， 又， ∴， ∴． 综上，的长度是定值，这个定值为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，第3问求得是解题的关键． 32．综合与实践 在一次综合实践活动课上，小明将锐角三角形纸片沿过点的直线折叠，使边落在边上，展开纸片，折痕为，如图（）．展开纸片，再次折叠，使点与点重合，折痕为，展开纸片，连接，，如图（）．    (1)【探索发现】小明发现折痕将边分为，两段，且边，与线段，之间存在的数量关系为，请借助图（）进行证明． (2)【拓展应用】有一张三角形纸片，，，，将该三角形纸片按上述折叠过程操作， 为折痕上一点，过点作于点，于点，随着点的运动，线段的值是定值吗？如果是，直接写出的值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是，或 【分析】 本题考查了折叠的性质，相似三角形的性质与判定，菱形的性质与判定； （1）过点作交的延长线于点，证明，得出，根据折叠的性质得出，即可得证，进而即可得证； （2）先证明四边形是菱形，作关于的对称点，连接，得出，过点作，则，设,则，由（1）可得，设，，在中，，可得，证明得出，在中，勾股定理求得或，进而即可求解． 【详解】（1） 证明：如图所示，过点作交的延长线于点，    , 又 ， ， 由翻折得： ； （2）解：∵折叠， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 如图所示，作关于的对称点，连接，    ∴， 过点作， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 设,则， ∵， 由（1）可得， 设，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得：或 ， ∴或． 考点05 相似相关折叠问题 33．在矩形中，宽，E是边上的一个动点，F是边上的一个动点，连接，将矩形沿折叠． (1)如图1，若，将矩形沿折叠后，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，交于点M． ①判断与是否相等，并说明理由； ②连接交于点N，若，求的值； (2)如图2，若矩形的长，将矩形沿折叠后，点A、D的对应点分别是点，连接，直接写出面积的最小值为　　． 【答案】(1)①，理由见解析② (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）①证明，即可解答； ②延长交于点G，证明，得到，设，则，根据勾股定理可得，，再证明，得到，证明，得到，即可求解； （2）当中边上的高最小时，的面积最小，即当E，C，三点共线时，的面积最小，根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：①，理由如下：             如图1，由折叠可得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；                                     ②如图2，延长交于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：x， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴； （2）解：如图3，由折叠可得： 当中边上的高最小时，的面积最小， 即当E，C，三点共线时，的面积最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， 即面积的最小值为， 故答案为：． 34．【探究】如图1，已知四边形是正方形，点E是上一动点，连接，将沿着折叠，点C落在四边形内部的点F处，连接并延长，交于点    （1）求证：； （2）如图2，延长交边于点H，若，求的值； 【拓展】 （3）如图3，已知四边形是矩形，点E是上一动点，连接，将沿着折叠，点C落在四边形内部的点F处，连接CF，延长CF，BF交边于点G，H，若，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 或 【分析】本题考查了四边形综合题，正方形的性质，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握利用全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题是解题的关键． （1）根据正方形的性质可得，，根据折叠的性质结合“同角的余角相等”进行等量代换证得，从而证明三角形全等，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证； （2）连接，由，可设，，令，根据等边对等角结合两直线平行，内错角相等，进行等量代换得到，从而得到，，，最后根据，求出的值即可； （3）分点H在点D左侧，点H在点D右侧两种情况进行讨论．通过证明，得到，从而可设出、、、，结合，即可求解得到的值． 【详解】（1）证明：将沿着折叠，点C落在四边形内部的点F处， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ； （2）解：如图2，连接， 由，可设，，令， 又 ， 在和中 由勾股定理得： 解得：或不合题意，舍去 ； （3）解：由，可设，，令，则 ①当点H在点D左侧时，如图3，    由（2）知， 将沿着折叠，点C落在四边形内部的点F处， 又 ，即 ， 在和中 由勾股定理得： 解得或不合题意，舍去， ； ②当点H在点D右侧时，如图4，    则， 同理可得 ， 或不合题意，舍去 综上所述，或． 35．问题情境：如图①，矩形中，M是边上一点，分别交，于点E，F． (1)探究发现：若，求的值； (2)探索研究：如图②，矩形中，，，将矩形沿直线折叠，E，F分别在边，上，点A落在边上的点M处，，连接，与交于点G． ①求的长； ②连接，若，求的长； (3)探究拓展：如图③，矩形中，，，将矩形沿直线折叠，E，F分别在边，上，点A落在边上的点M处，若，，求关于的函数关系式． 【答案】(1) (2)① ；② (3) 【分析】（1）过点E作于点Q，易得，由相似三角形的性质即可求解； （2）①过点E作于点Q，由翻折性质得，则由（1）的求解过程得 的值，由勾股定理求得，即可求得的值； ②过G点作于点P，由相似三角形性质得，由勾股定理即可求得的长； （3）连接，过点E作于点Q，由翻折性质得，由（1）知，则有，则可得，从而得，；在中，由勾股定理建立关于x与y的关系式，整理后即可求得y与x的函数关系式． 【详解】（1）解：如图，过点E作于点Q，则， 在矩形中，， 四边形为矩形， ， ； ， ， ； ， ， ； （2）解：①过点E作于点Q，如图所示， 矩形沿直线折叠， ； 故由（1）知，； 由勾股定理得， ； ②如图，过G点作于点P， 则， ， 又， ， ， ， ； 在中，由勾股定理即得； （3）解：如图，连接，过点E作于点Q， 由翻折性质得； 由（1）知，， ， ； 四边形是矩形， ， ； 在中，由勾股定理得， 即 整理得：， 即y与x的函数关系式为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质，动点问题的函数关系式；作出相关辅助线，利用翻折的性质及相似三角形的性质是解题的关键． 36．如图，平行四边形中，．    (1)如图1，将平行四边形沿对角线折叠，点A的对应点落在点E处，与交于点F． ①求证：； ②连接与交于点G，求的长； (2)如图2，点M，N分别在平行四边形的边上，连接，且，将平行四边形沿折叠，使点B的对应点Q落在边上，求的面积． 【答案】(1)①证明见解析；②的长为 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质、折叠的性质，掌握折叠后图形是轴对称图形，对应点连线垂直于对称轴是解题关键． （1）①根据平行四边形的性质得出，由折叠得到，则，得到，则可证明； ②过点A作于点H，根据特殊的直角三角形的性质可得，，再根据勾股定理可求出的值，最后根据同一三角形面积的两种表示，结合折叠的对称性即可求解． （2）连接交于点，交于点，过点A作于点H．由折叠可知：，进而证明，由此可得，再利用证明，可得，由此求出，，进而求出，继续利用三角形相似可得，求出，，由即可求出． 【详解】（1）解：①证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，且， ∴， 由折叠可知， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ②过点A作于点H．    在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴在中， 由折叠可知垂直平分， ∴，且， ∵， ∴ 解得， ∵， ∴； （2）解：如图，连接交于点，交于点，过点A作于点H．    由折叠可知：，，， ∵， ∴， 由（1）可知：， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ， ∴． 37．综合与实践：小明想在如图1所示的三角形纸片折出一个菱形，使为菱形的一个内角． (1)小明进行如下折叠过程： 步骤1：如图2，将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得点C的对应点落在边上（点D在边上），展平纸片； 步骤2：如图3，再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，再次展平后，连接，，得到菱形． ①折痕为的 （填“中线”“角平分线”或“高”）； ②若，，求菱形的边长． (2)若将（1）中的步骤2改为：如图4，再次折叠该三角形纸片（且A与D不重合），折痕为，展平纸片，连接，．证明：四边形是菱形． 【答案】(1)①角平分线；② (2)证明见解析 【分析】（1）①由折叠的性质可得出结论； ②证明，由相似三角形的性质列出方程，解方程即可得出答案． （2）由折叠的性质可知四个三角形全等，即可得到四条边相等，进而得到菱形即可解决问题． 【详解】（1）解：①∵将三角形纸片沿过点A的直线折叠， ∴折痕为的角平分线， 故答案为：角平分线； ②∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， 解得． ∴菱形的边长为． （2）证明：由折叠的性质可知,，, ∴, ∵，,, ∴， ∴ ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质和判定等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 38．如图，在矩形中，，，是边上的点（不与点，重合），将沿折叠，是点的对应点；是边上的点，将沿折叠，是点的对应点，且点在直线上． (1)求证：； (2)①若，求的长； ②若是的中点，求的值； (3)当点恰好落在边上时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 (3)或 【分析】（1）由折叠可得，，推出，进而得到，即可得证； （2）①由（1）知，，，证明，得到，，即可求解；②由（1）知，，根据相似三角形对应边成比例，可求的长，进而求出的值； （3）连接，交于点，证明，然后能证明四边形是平行四边形，设，，则，在中， ，再由，得，求出，则可求解面积． 【详解】（1）证明：由折叠可得，， ， ， ， ， ， 又， ； （2）①由（1）知，，， ， ， ，， ， ； ②由（1）知，， ， 是的中点， ， ， 或， 或； （3）连接，交于点， 点恰好落在边上， 是的垂直平分线， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 设，， 则， 在中，，， ， ， ， ， ， ， 解得， 四边形的面积， 综上：四边形的面积为或． 39．如图1，在矩形中，，，E是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点D恰好落在边上点F处，延长交的延长线于点G． (1)求线段的长； (2)求证：四边形为菱形； (3)如图2，M，N分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设，是否存在这样的点N，使是直角三角形？若存在，请直接写出x的值 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)或2 【详解】（1）解：如图1中， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ， 由翻折可知：，， 设，则， 在中，， ∴， 在中，则有：， ∴， ∴； （2）证明：如图2， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由翻折可知：， ∴， ∴， 由翻折可知：， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （3）∵是直角三角形，， ∴只有或两种情形， 如图，当时， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的x的值为或2． 40．某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题． (1)【图形认知】如图①，在正方形中，，交于点，则 （填比值）； (2)【探究证明】如图②，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：； (3)【结论应用】如图③，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，．求折痕的长； (4)【拓展运用】如图④，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处，得到四边形，若，，，请求点P到直线的距离． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3) (4) 【详解】（1）解：由题意知，， 又∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）证明：如图②，过作交于，过作交于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形、均为平行四边形， ∴，， 同（1）可得， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：由矩形的性质可得， 由勾股定理得， 由（2）可知，，即，解得， ∴的长． （4）解：如图④，延长到，过作于， 由（2）可知，，即，解得， ∴在中，由勾股定理得， 由折叠的性质可得，，，， 设：，则， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴点到直线的距离为． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $