专题07 一元二次方程应用题分类1（增长率工程行程比赛方案）（高效培优期中专项训练）数学北师大版九年级上册

专题07 一元二次方程应用题分类1 （增长率工程行程比赛方案） 考点01 增长率问题 考点02 工程问题 考点03 行程问题 考点04 比赛场次 考点05 方案问题 考点01 增长率问题 1．某商场今年8月的营业额为400万元，9月份营业额比8月份增加，10、11月份营业额的月平均增长率相同，11月份的营业额达到万元，求11月份营业额的月平均增长率． (1)求9月份营业额． (2)求10、11月份营业额的月平均增长率． 【答案】(1) 440万元 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用——增长率问题，根据题意找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解题的关键． （1）根据增长后的量增长前的量（增长率），结合9月份比8月份增加即可计算； （2）设月平均增长率为x，用x表示出11月份营业额列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵8月份营业额为400万元，9月份营业额比8月份增加10%， ∴ 9月份营业额 为（万元）； 答：9月份营业额为440万元． （2）解：设10、11月份营业额的月平均增长率为x， 则10月份营业额为万元，11月份营业额为万元， 根据题意，， 解得（负值已舍去）， 答：10、11月份营业额的月平均增长率为． 2．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元，则这种台灯售价应定为多少元？ 【答案】(1)20% (2)38元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设月份和月份两个月的销售量月平均增长率为，根据题意得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设这种台灯售价应定为元，利用总利润每台的销售利润四月份的销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：设月份和月份两个月的销售量月平均增长率为， 根据题意，得， 解得，舍去， 答：月份和月份两个月的销售量月平均增长率为； （2）设这种台灯售价应定为元， 根据题意，得， 解得，， 售价在元至元范围内， ， 答：这种台灯售价应定为元． 3．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售200个，6月份销售288个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为50元个，测算在市场中，当售价为60元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？ 【答案】(1) (2)70 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，利用该品牌头盔6月份的销售量=该品牌头盔4月份的销售量该品牌头盔销售量的月增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该品牌头盔的实际售价为m元/个，则每个该品牌头盔的销售利润为元，月销售量为个，利用总利润=每个该品牌头盔的销售利润月销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个，则每个该品牌头盔的销售利润为元，月销售量为个， 根据题意得：， 解得，， 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴． ∴该品牌头盔的实际售价应定为70元/个． 4．为满足居民日常对于水果的需求，某超市经销一种优质水果，进货价为30元/箱． (1)当售价为40元/箱时，经过连续两次降价后这种水果的售价为元/箱，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； (2)经市场调查发现，当这种水果的售价为38元/箱时，每天可售出400箱，在进货价不变的情况下，该超市决定采取适当的涨价措施，若每箱每涨价1元，每天的销售量将减少20箱，现该超市要保证每天售出这种水果盈利3840元，那么每箱应涨价多少元？ 【答案】(1) (2)元或元 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为m， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：每次下降的百分率为； （2）解：设每箱应涨价y元，则每箱盈利元，每天可售出箱， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：每箱应涨价4元或8元． 5．今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． (2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 【答案】(1) (2)降价5元 【详解】（1）解：设平均增长率为x，由题意得：， 解得：或舍； 四、五这两个月的月平均增长百分率为； （2）设降价y元，由题意得：， 整理得：， 解得：或舍； 当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元． 6．在物理实验探究中，需要用到一种特殊的头盔传感器．某科技器材经销商统计了该特殊头盔传感器10月份到12月份的销量，10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该特殊头盔传感器销售量的月增长率； (2)在物理实验中，该头盔传感器的安装需要用到一种胶水，胶水的进价为20元/瓶，商家经过市场调研发现，当胶水售价为30元/瓶时，月销售量为400瓶，若在此基础上售价每上涨1元/瓶，则月销售量将减少10瓶，为使月销售利润达到6000元，且尽可能让实验者得到实惠，则胶水每个售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)40元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设月增长率为 ，利用10月和12月的销量关系建立方程求解； （2）设售价上涨 元，则售价为 元/瓶，销售量为 瓶，每瓶利润为 元，根据销售利润公式建立方程，解出可能的售价后选择较低值以满足实惠要求 【详解】（1）解：设月增长率为 ， 则 ， 解得：（负值舍去）， ∴月增长率为； （2）解：设售价上涨 元，则售价为 元/瓶，销售量为 瓶，每瓶利润为 元． 月销售利润为 ， 整理得： 解得： 售价分别为元或元． ∵尽可能让实验者得到实惠， ∴取较低售价40元． 答：胶水售价应定为40元． 考点02 工程问题 7．列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 【答案】(1)甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件 (2)10 【详解】（1）解：设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意，此时， 答：甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件； （2）解：更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， 即m的值为10． 8．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万． (1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米． (2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值． 【答案】(1)甲最多施工2500米 (2)a的值为6 【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论； （2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米， 依题意，得：12（5000-x）≥×10x， 解得：x≤2500， 答：甲最多施工2500米． （2）依题意，得： ， 整理，得：， 解得：，， 当时，总成本为：（万元）， ∵， ∴不符合题意舍去； 当时，总成本为：（万元）， ∵， ∴符合题意； 答：a的值为6． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 9．“绿水青山，就是金山银山”，为了改善生态环境，某县政府准备对境内河流进行清淤、疏通河道，同时在人群密集区沿河流修建滨河步道，打造生态湿地公园. （1）11月至12月，一期工程原计划疏通河道和修建滨河步道里程数共计20千米，其中修建滨河步道里程数是疏通河道里程数的倍，那么，原计划修建滨河步道多少千米？ （2）至12月底，一期工程顺利按原计划完成总共耗资840万元，其中疏通河道工程共耗资600万元；2019年二期工程开工后，疏通河道每千米工程费用较一期降低2.5a％，里程数较一期增加3a％；修建滨河步道每千米工程费用较一期上涨2.5a％，里程数较一期增加5a％，经测算，二期工程总费用将比一期增加2a％，求a的值. 【答案】（1）原计划修建滨河步道8千米；（2）a的值是28. 【分析】（1）根据修建滨河步道里程数是疏通河道里程数的倍，列方程即可得出结论； （2）先根据一期工程修建滨河步道里程数是疏通河道里程数与工程费用计算出每千米修建滨河步道与疏通河道的工程费，然后根据题意列方程，并利用换元法解方程即可得出结论． 【详解】（1）设原计划修建滨河步道x千米， 根据题意，得.解这个方程，得. 答：原计划修建滨河步道8千米   （2）根据题意， 一期工程疏通河道里程数：（千米）. 一期工程疏通河道费用：（万元/千米）. 一期工程修建滨河步道费用：（万元/千米） 令，原方程可化为 ， 整理这个方程，得. 解这个方程，得，. ∴（舍去），.∴. 答：a的值是28. 【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 10．随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍． （1）求甲、乙队单独完成这项工程各需几个月？ （2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元，在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数） 【答案】（1）甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月． （2）甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元． 【分析】（1）若乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需（x+5）个月，等量关系为：“两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍”，据此列方程求解即可． （2）设甲队施工m个月，求出乙施工的时间，根据工程款不超过1500万元，列不等式求解． 【详解】解：（1） 设乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需（x+5）个月， 根据题意，得， 即， 解得（不合题意，舍去）． ∴． 答：甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月． （2）设甲队施工m个月，则乙施工的时间为m 个月， 由题意得，100m+（100+50）m≤1500， 解得： ∵施工时间为整数， ∴m≤8， 答：完成这项工程，甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元． 11．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米 (2)m的值为18 【分析】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； （2）解：根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴m的值为18． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 12．在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 【答案】(1)B生产线至少加工6小时 (2)a的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解． 设生产线加工小时，则生产线加工小时，根据生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，列不等式求解即可； 根据一天恰好生产了个粽子，可列关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：设生产线加工小时，则生产线加工小时， 根据题意可得：，    解得： 答：生产线至少加工小时； （2）解：由题意可得：，     整理得：，    解得，（不符合题意，舍去），   答：的值为． 考点03 行程问题 13．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球速度为． (1)小球的滚动速度平均每秒减少______m． (2)小球从开始到停止滚动时，共滚动了多少m？（直接写出答案） (3)小球滚动用了多少秒？（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【答案】(1)1 (2)共滚动了 (3)小球滚动用了2秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，重点在于求出平均每秒小球减少的速度，而平均每秒小球的运动减少的速度等于速度变化÷小球运动速度变化的时间，掌握此关系式是关键． （1）从滚动到小球速度为平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间； （2）利用开始的速度与停止时的速度差除以时间等于速度平均每秒减小的量，即可求出小球从开始到停止滚动的时间，再利用求得小球从开始到停止滚动的距离； （3设小球滚动到时的时间为，根据得到方程，解方程即得到行驶时间． 【详解】（1）解：， 即小球的滚动速度平均每秒减少， 故答案为：1； （2）解：， ； 答：小球从开始到停止滚动时，共滚动了； （3）解：设小球滚动到时的时间为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：小球滚动用了2秒． 14．运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)小美每分钟跑360米 (2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键． （1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程求解即可； （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小美每分钟跑360米． （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟． 15．月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是千米/小时，步行的平均速度是千米/小时； (2)． 【分析】（）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，根据甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时．列出分式方程，解方程即可； （）根据乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米．列出一元二次方程，解之取其正值即可． 本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一元二次方程． 【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲开车的平均速度是千米小时，步行的平均速度是千米小时； （2）由（）可知，甲开车的时间为小时，则乙开车的时间为小时， 由题意可知，乙开车的速度为千米小时，乙步行的速度为千米小时， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：的值为． 16．已知，一辆汽车在笔直的公路上刹车后，该车的速度米秒与时间秒之间满足一次函数关系，其图象如图所示；    (1)求与之间的函数关系式； (2)已知汽车在该运动状态下，一段时间内向前滑行的距离等于这段时间内的平均速度乘以时间该运动状态下的平均速度，表示这段时间起始时刻的速度，表示这段时间结束时刻的速度．若该车刹车后秒内向前滑行了米，求的值． 【答案】(1) (2)该车刹车后秒内向前滑行了米 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意得出，路程等于速度乘以时间，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入， ， 解得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：依题意，， ，， 则 依题意，， 即 解得：或（舍去） 答：该车刹车后秒内向前滑行了米． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，求得一次函数解析式是解题的关键． 17．周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地． (1)求小明、小红的跑步速度； (2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）分别设小红和小明的速度，根据等量关系（小明比小红早5分钟到达B地）列出等量关系式，按照分式方程即可求解，求解后检验所求解是不是方程解． （2）先求出小明前30分钟中的5分钟是从B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的热量列方程，最后求解． 【详解】（1）解：设小红的速度为，则小明的速度为， 依据题意列方程得，， ， ， 经检验，是原式方程的解． ． 小红的速度为，小明的速度为． 故答案为：；． （2）解：小明的速度为， 小明从A地道B地需要的时间为：． 小明在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里， ． 设B地到C地的距离为，依据题意列方程得， ， ， ， ， 或（舍去）． A地到C地所需要时间为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用．解题的关键在于是否能根据题意列出等量关系式，解题的重点在于是否能了解小明的前30分钟内的最后5分钟是属于B地到C地时间． 18．某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点、，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． （1）甲运动后的路程是多少? （2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间? （3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间? 【答案】（1）28cm；（2）3s；（3）7s 【分析】（1）将t=4代入公式计算即可； （2）第一次相遇即是共走半圆的长度，据此列方程，求解即可； （3）第二次相遇应是走了三个半圆的长度，得到，解方程即可得到答案. 【详解】解：（1）当 t=4s 时，cm. 答：甲运动 4s 后的路程是 ． （2） 由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆 ，甲走过的路程为 ， 乙走过的路程为 ，则. 解得 或 （不合题意，舍去）． 答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了 3s． （3） 由图可知，甲乙第二次相遇时走过的路程为三个半圆 ， 则 解得 或 （不合题意，舍去）． 答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了 7s． 【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键. 考点04 比赛场次 19．行知中学举办九年级篮球赛，比赛采用单循环赛制（即每个队伍与其它参赛队伍各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： (1)若有6个参赛队伍，按赛制共进行了几场比赛？ (2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明； 【答案】(1)有6个参赛队伍，按赛制共进行了15场比赛 (2)小江说的有道理，理由见解析 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）由题意，得6个队伍需比赛的局数为； （2）设有x个队伍报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论． 【详解】（1）解：由题意，得6个队伍需比赛的局数为， 答：有6个参赛队伍，按赛制共进行了15场比赛； （2）解：小江说的有道理，理由如下： 设有x个队伍报名参赛，根据题意得， 整理，得：， 解得：（不是整数，不合题意）， ∴方程的解不符合实际，故小江的说法有道理． 20．象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ 【答案】(1) (2)45个 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据每局比赛必得2分，以及所获总分，列出一元二次方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与个选手比赛一局，比赛总共有局； （2）设这次比赛共有个选手参加，依题意，得， 解方程，得（不符合题意，舍） 答：这次比赛共有45个选手参加． 21．以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题： (1)热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展． 数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？ (2)热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军． 小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？ 【答案】(1)平均增长率为 (2)此次参赛一共有8个球队 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）设每年接待游客人数的增长率为，根据题意可得，求解得到合适的x值； （2）设此次参赛一共有个球队，根据题意可得，求解得到合适的x值即可． 【详解】（1）解：设每年接待游客人数的增长率为， 可列方程：，解得（舍去） 答：平均增长率为． （2）解：设此次参赛一共有个球队， 可列方程：，解得，（舍去） 答：此次参赛一共有8个球队． 22．2025赛季苏超第12轮展开角逐，徐州队坐镇主场迎战苏州队，吸引了大量观众前往徐州奥体中心现场观看比赛． (1)【苏超效应】比赛期间许多外地游客来徐州游玩，经估算，第一天徐州累计接待外地游客约5万人次， 第三天接待外地游客约7.2万人次．求游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率． (2)【文化赋能】徐州文庙近年实施保护性开发，复建棂星门等建筑，形成融合文保与商业的综合街区，重现商贸活力．如景区推出城市纪念徽章：每个徽章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个；当售价每降低0.5元，平均每天可多售出25个．若要使每天销售徽章获利1800元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)日平均增长率为； (2)售价应降低2元． 【分析】本题考查了一元二次方程在增长率问题和销售问题中的应用，根据题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设售价降低a元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设日平均增长率为x， 由题意得： ， 解得 ，（舍）， 答：日平均增长率为； （2）解：设售价降低a元， ， 解得 ，（负值不合题意，舍去）， 答：售价应降低2元． 23．足球被称为“世界第一运动”，精彩赛事让许多球迷回味不已． (1)若球赛以小组为单位进行单循环制，组共比赛了场，则组有多少支球队？ (2)在（1）的条件下，若球赛以积分形式决定球队是否晋级，胜一场积分，平一场积分，负一场积分．某球队在组目标是积分，则该球队胜、平、负的场数分别可以是多少？请列举说明． 【答案】(1)支 (2)该球队胜、平、负的场数可以有种情况：胜场、平场、负场；胜场、平场、负场 【分析】本题考查了一元二次方程和二元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，并正确找出等量关系． （1）设组有支球队，根据题意列方程即可求解； （2）由（1）知组共有支球队，则每支队伍比赛场．设该球队胜了场，平了场，则负了场，根据题意列方程即可求解． 【详解】（1）解：设组有支球队， 依题意得：， 解得：，（舍去）． 答：组有支球队； （2）由（1）知组共有支球队，则每支队伍比赛场． 设该球队胜了场，平了场，则负了场． 依题意得：， 化简得：， 当时，，此时； 当时，，此时． 答：该球队胜、平、负的场数可以有种情况：胜场、平场、负场；胜场、平场、负场． 24．请阅读下面材料，解决后面的问题： 材料一：单循环赛是体育比赛中的一种赛制，规则是：每个参赛队伍在比赛中只与其他每支队伍比赛一次．例如有4支队伍参加的单循环比赛中，每支队伍需要与其他3支队伍各进行一场比赛，每支队伍要进行场比赛，这4支队伍的比赛总场次为： 场． 材料二：淘汰赛是体育比赛中的又一种赛制，规则是：参赛队伍按照抽签配对比赛，失败一方被淘汰出局．胜利一方进入下一轮，每一轮淘汰掉一半队伍，直至产生最后的冠军．例如甲、乙、丙、丁四支球队进行淘汰赛过程如图所示． 材料三：足球比赛的积分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分． (1)大连是中国著名的“足球城”，某区组织区内企业进行足球比赛，在上届比赛中，有一支球队参加了8场比赛，以不败战绩获得积分18分，求这支球队胜了多少场； (2)在本届比赛中，由于报名参加比赛的队伍增多，组织者统计发现，如果全程按照单循环赛进行，共需要进行496场比赛，这样场次太多，经研究决定采用如下方案：先把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，小组内通过单循环赛确定前两名，然后把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军，这种方案共需要多少场比赛能决出冠军？ 【答案】(1)这支球队胜了5场 (2)这种方案共需要 119 场比赛能决出冠军 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设这个球队胜了x场，则平了场，根据总得分为18分建立方程求解即可； （2）设一共有m支球队参加比赛，根据单循环场次计算方法列出方程求出参与的球队数，进而求出每个小组的球队数，则可求出小组赛的场次，再求出淘汰赛的场次即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个球队胜了x场，则平了场， 由题意得，， 解得， 答：这支球队胜了5场； （2）解：设一共有m支球队参加比赛， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， ∴一共有32支球队参加比赛， ∵一共分成四个小组， ∴每个小组有支球队， ∴小组循环赛一共有场比赛， ∵把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军， ∴淘汰赛一共有支球队， ∴淘汰赛一共有场比赛， ∴一共有场比赛， 答：这种方案共需要119场比赛能决出冠军． 考点05 方案问题 25．研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议． 材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系； 材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克． 任务一：建立函数模型 （1）求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； 任务二：探究销售情况 （2）市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克21元，那么该种蔬菜的销售能否获得日销售利润8600元？如果能，蔬菜的销售单价应定为多少元？如果不能，请说明理由． 任务三：设计销售方案 （3）在（2）的基础上，蔬菜的销售单价定为多少元才能使日销售利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）；（2）当蔬菜的销售单价定为18元时，日销售利润为8600元；（3）该蔬菜的销售单价为元时，才能使日销售利润最大，最大日销售利润是元 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确列出关系式，和一元二次方程是关键． （1）运用待定系数法求解析式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，再减去其他开支，列出方程进行求解即可． （3）根据题意得到每千克的利润为元，，由此销售数量关系列式，根据完全平方公式的非负性即可求解． 【详解】解：（1）日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系， 设，销售单价为12元时，日销售量为1800千克，销售单价为15元时，日销售量为1500千克， ∴， 解得，， 根据题意，销售单价不应低于成本10元，且日销售量不应为负数，即， 解得， ∴； （2）能； 由题意，得：，， ∴， 解得：， ∵， ∴； ∴当蔬菜的销售单价定为18元时，日销售利润为8600元； （3）设总利润为，由题意，得： ， ∵， ∴当时，有最大值， ∴该蔬菜的销售单价为元时，才能使日销售利润最大，最大日销售利润是元． 26．某民族服饰工厂每月生产某种民族服装件，每件产品的成本为元，分配给线上旗舰店和线下直营店两个渠道销售．线上旗舰店的服装售价（元）与月销售量（件）满足关系：．线下直营店的服装按照每件元的定价出售，并进行促销活动：若月销售量不超过件，每件民族服装赠送成本为元的礼品，可全部售完；当月销售量超过件时，超过的部分因礼品已送完，则需要一次性投入成本为元的广告进行宣传． (1)①线上销售的件服装的总利润为_____元（用含的代数式表示）； ②设线下直营店的月销售量为件，求线下销售件服装的总利润（用含的代数式表示）． (2)假设工厂每月生产的件服装通过两种销售渠道全部售完，请你设计一种分配方案，使得销售总利润为元．（注：要有解答过程）． 【答案】(1)①；②当时，线下销售的件产品的总利润为元；当时，线下销售的件产品的总利润为元 (2)线上旗舰店销售件，线下直营店销售件 【分析】（）①根据题意列出代数式即可；②分和两种情况，根据题意列出代数式即可； （）设线上旗舰店的月销售量为件，则线下直营店的月销售量为件，分和两种情况，根据题意列出方程解答即可求解； 本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①， ∴线上销售的件服装的总利润为元， 故答案为：； ②当时，线下销售的件产品的总利润为：元； 当时，线下销售的件产品的总利润为：元； 综上，当时，线下销售的件产品的总利润为元；当时，线下销售的件产品的总利润为元； （2）解：设线上旗舰店的月销售量为件，则线下直营店的月销售量为件， 当，即时， ， 整理得，， ∵， ∴该方程没有实数根； 当，即时， ， 整理得，， 解得， ∴， ∴应分配线上旗舰店销售件，线下直营店销售件，可使得销售总利润为元． 27．某市某楼盘准备以每平方米元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米元的均价开盘销售． (1)求平均每次下调的百分率； (2)王先生准备以开盘价均价购买一套平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案： ①打折销售； ②不打折，一次性送装修费每平方米元，试问哪种方案更优惠? 【答案】(1) (2)方案②更优惠 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． ()设出平均每次下调的百分率为，第一次下调后 的价格为元，第二次下调后的价格为元，根据已知销售价格列方程解答即可． ()分别计算两种方案的优惠价格，比较后发现更优惠方案即可． 【详解】（1）解：设平均每次下调的百分率为， 第一次下调后的价格为元，第二次下调后的价格为元， 根据题意，可列方程： ， ， 当时，， 当时，（下调百分率不能大于，舍去）， 所以，平均每次下调的百分率为． （2）方案①： 住房面积是平方米，开盘均价为每平方米元，打折销售， 那么总房款为：(元) ； 方案②： 不打折，一次性送装修费每平方米元， 那么实际支付款为： (元) ∵， ∴方案②更优惠． 28．某大学为迎接运动会开幕式，准备购买甲、乙两款运动服，经市场调研，甲款运动服单价（元）与购买件数（件）之间的函数关系如图所示，乙款运动服的单价为50元． (1)直接写出当和时，与的函数关系式； (2)该学校预计购买甲、乙两款运动服共1000件，最终花费为56000元，请问有哪几种购买方案． 【答案】(1) (2)购买方案有3种，分别为：①购买甲款运动服200件，购买乙款运动服800件；②购买甲款运动服300件，购买乙款运动服700件；③购买甲款运动服600件，购买乙款运动服400件． 【分析】本题考查一次函数图象，一次函数的实际应用，解题的关键是： （1）根据图形利用待定系数法，即可求出y与x的函数关系式； （2）分，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：当时， 设与的函数关系式为， 把，代入，得， 解得， ∴； 当时，， 当时，， ∴； （2）解：当时， 根据题意，得， 解得，， ∴购买方案为：①购买甲款运动服200件，购买乙款运动服件； ②购买甲款运动服300件，购买乙款运动服件； 当时， 根据题意，得， 解得， ∴购买方案为：购买甲款运动服600件，购买乙款运动服件； 综上，购买方案有3种，分别为：①购买甲款运动服200件，购买乙款运动服800件； ②购买甲款运动服300件，购买乙款运动服700件； ③购买甲款运动服600件，购买乙款运动服400件． 29．某商场将进货价为元的台灯以元的销售价出售，平均每月能销售出个．市场调研表明，当销售价每上涨元时，其销售量将减少个．若设每个台灯的销售价上涨元． (1)试用的代数式填空： ①涨价后，每个台灯的销售价格为　　元； ②涨价后每个台灯的利润为　　元； ③涨价后商场的台灯的平均每月的销售量为　　个； (2)商场要想使该台灯的销售利润平均每月达到元，有如下的方案，销售经理甲说，“在原销售价每个元的基础上再上涨元，可以完成任务．”销售经理乙说，“不用涨那么多，在原售价每个元的基础上再上涨元就可以了．”试判断甲和乙的说法是否正确，并说明说明理由． 【答案】(1)①；②；③ (2)甲、乙的说法都是正确的，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）①根据每个台灯的销售价上涨元，列出代数式即可； ②根据某商场将进货价为元的台灯以元的销售价出售，每个台灯的销售价上涨元，列出代数式即可； ③根据当销售价每上涨元时，其销售量将减少个，列出代数式即可； （2）根据该台灯的销售利润平均每月达到元，列出一元二次方程，解方程，即可得出结论． 【详解】（1）解：①涨价后，每个台灯的销售价格为元， 故答案为：； ②涨价后每个台灯的利润为元，即元， 故答案为：； ③涨价后商场的台灯的平均每月的销售量为个， 故答案为：； （2）解：甲、乙的说法都是正确的，理由如下： 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 即商场要想使该台灯的销售利润平均每月达到元，在原销售价每个元的基础上再上涨元或元， ∴甲、乙的说法都是正确的． 30．某市一楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米2560元的均价开盘销售． (1)求平均每次下调的百分率． (2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？ 【答案】(1) (2)方案②更优惠，理由见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，有理数的混合运算， （1）设平均每次下调的百分率为x，根据每平方米4000元经过两次下调后为每平方米2560元列方程解答即可． （2）分别求出两种方案所需要花费的钱数，比较后发现更优惠方案即可． 解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题． 【详解】（1）解：设平均每次下调的百分率是x，依题意得， 解得：或不合题意，舍去） 答：平均每次下调的百分率是． （2）方案①实际花费元     方案②实际花费元 ∵ ∴方案②更优惠． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 一元二次方程应用题分类1 （增长率工程行程比赛方案） 考点01 增长率问题 考点02 工程问题 考点03 行程问题 考点04 比赛场次 考点05 方案问题 考点01 增长率问题 1．某商场今年8月的营业额为400万元，9月份营业额比8月份增加，10、11月份营业额的月平均增长率相同，11月份的营业额达到万元，求11月份营业额的月平均增长率． (1)求9月份营业额． (2)求10、11月份营业额的月平均增长率． 2．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元，则这种台灯售价应定为多少元？ 3．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售200个，6月份销售288个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为50元个，测算在市场中，当售价为60元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？ 4．为满足居民日常对于水果的需求，某超市经销一种优质水果，进货价为30元/箱． (1)当售价为40元/箱时，经过连续两次降价后这种水果的售价为元/箱，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； (2)经市场调查发现，当这种水果的售价为38元/箱时，每天可售出400箱，在进货价不变的情况下，该超市决定采取适当的涨价措施，若每箱每涨价1元，每天的销售量将减少20箱，现该超市要保证每天售出这种水果盈利3840元，那么每箱应涨价多少元？ 5．今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． (2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 6．在物理实验探究中，需要用到一种特殊的头盔传感器．某科技器材经销商统计了该特殊头盔传感器10月份到12月份的销量，10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该特殊头盔传感器销售量的月增长率； (2)在物理实验中，该头盔传感器的安装需要用到一种胶水，胶水的进价为20元/瓶，商家经过市场调研发现，当胶水售价为30元/瓶时，月销售量为400瓶，若在此基础上售价每上涨1元/瓶，则月销售量将减少10瓶，为使月销售利润达到6000元，且尽可能让实验者得到实惠，则胶水每个售价应定为多少元？ 考点02 工程问题 7．列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 8．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万． (1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米． (2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值． 9．“绿水青山，就是金山银山”，为了改善生态环境，某县政府准备对境内河流进行清淤、疏通河道，同时在人群密集区沿河流修建滨河步道，打造生态湿地公园. （1）11月至12月，一期工程原计划疏通河道和修建滨河步道里程数共计20千米，其中修建滨河步道里程数是疏通河道里程数的倍，那么，原计划修建滨河步道多少千米？ （2）至12月底，一期工程顺利按原计划完成总共耗资840万元，其中疏通河道工程共耗资600万元；2019年二期工程开工后，疏通河道每千米工程费用较一期降低2.5a％，里程数较一期增加3a％；修建滨河步道每千米工程费用较一期上涨2.5a％，里程数较一期增加5a％，经测算，二期工程总费用将比一期增加2a％，求a的值. 10．随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍． （1）求甲、乙队单独完成这项工程各需几个月？ （2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元，在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数） 11．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 12．在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 考点03 行程问题 13．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球速度为． (1)小球的滚动速度平均每秒减少______m． (2)小球从开始到停止滚动时，共滚动了多少m？（直接写出答案） (3)小球滚动用了多少秒？（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 14．运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 15．月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求的值． 16．已知，一辆汽车在笔直的公路上刹车后，该车的速度米秒与时间秒之间满足一次函数关系，其图象如图所示；    (1)求与之间的函数关系式； (2)已知汽车在该运动状态下，一段时间内向前滑行的距离等于这段时间内的平均速度乘以时间该运动状态下的平均速度，表示这段时间起始时刻的速度，表示这段时间结束时刻的速度．若该车刹车后秒内向前滑行了米，求的值． 17．周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地． (1)求小明、小红的跑步速度； (2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟． 18．某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点、，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． （1）甲运动后的路程是多少? （2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间? （3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间? 考点04 比赛场次 19．行知中学举办九年级篮球赛，比赛采用单循环赛制（即每个队伍与其它参赛队伍各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： (1)若有6个参赛队伍，按赛制共进行了几场比赛？ (2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明； 20．象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ 21．以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题： (1)热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展． 数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？ (2)热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军． 小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？ 22．2025赛季苏超第12轮展开角逐，徐州队坐镇主场迎战苏州队，吸引了大量观众前往徐州奥体中心现场观看比赛． (1)【苏超效应】比赛期间许多外地游客来徐州游玩，经估算，第一天徐州累计接待外地游客约5万人次， 第三天接待外地游客约7.2万人次．求游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率． (2)【文化赋能】徐州文庙近年实施保护性开发，复建棂星门等建筑，形成融合文保与商业的综合街区，重现商贸活力．如景区推出城市纪念徽章：每个徽章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个；当售价每降低0.5元，平均每天可多售出25个．若要使每天销售徽章获利1800元，则售价应降低多少元？ 23．足球被称为“世界第一运动”，精彩赛事让许多球迷回味不已． (1)若球赛以小组为单位进行单循环制，组共比赛了场，则组有多少支球队？ (2)在（1）的条件下，若球赛以积分形式决定球队是否晋级，胜一场积分，平一场积分，负一场积分．某球队在组目标是积分，则该球队胜、平、负的场数分别可以是多少？请列举说明． 24．请阅读下面材料，解决后面的问题： 材料一：单循环赛是体育比赛中的一种赛制，规则是：每个参赛队伍在比赛中只与其他每支队伍比赛一次．例如有4支队伍参加的单循环比赛中，每支队伍需要与其他3支队伍各进行一场比赛，每支队伍要进行场比赛，这4支队伍的比赛总场次为： 场． 材料二：淘汰赛是体育比赛中的又一种赛制，规则是：参赛队伍按照抽签配对比赛，失败一方被淘汰出局．胜利一方进入下一轮，每一轮淘汰掉一半队伍，直至产生最后的冠军．例如甲、乙、丙、丁四支球队进行淘汰赛过程如图所示． 材料三：足球比赛的积分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分． (1)大连是中国著名的“足球城”，某区组织区内企业进行足球比赛，在上届比赛中，有一支球队参加了8场比赛，以不败战绩获得积分18分，求这支球队胜了多少场； (2)在本届比赛中，由于报名参加比赛的队伍增多，组织者统计发现，如果全程按照单循环赛进行，共需要进行496场比赛，这样场次太多，经研究决定采用如下方案：先把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，小组内通过单循环赛确定前两名，然后把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军，这种方案共需要多少场比赛能决出冠军？ 考点05 方案问题 25．研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议． 材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系； 材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克． 任务一：建立函数模型 （1）求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； 任务二：探究销售情况 （2）市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克21元，那么该种蔬菜的销售能否获得日销售利润8600元？如果能，蔬菜的销售单价应定为多少元？如果不能，请说明理由． 任务三：设计销售方案 （3）在（2）的基础上，蔬菜的销售单价定为多少元才能使日销售利润最大？最大利润为多少元？ 26．某民族服饰工厂每月生产某种民族服装件，每件产品的成本为元，分配给线上旗舰店和线下直营店两个渠道销售．线上旗舰店的服装售价（元）与月销售量（件）满足关系：．线下直营店的服装按照每件元的定价出售，并进行促销活动：若月销售量不超过件，每件民族服装赠送成本为元的礼品，可全部售完；当月销售量超过件时，超过的部分因礼品已送完，则需要一次性投入成本为元的广告进行宣传． (1)①线上销售的件服装的总利润为_____元（用含的代数式表示）； ②设线下直营店的月销售量为件，求线下销售件服装的总利润（用含的代数式表示）． (2)假设工厂每月生产的件服装通过两种销售渠道全部售完，请你设计一种分配方案，使得销售总利润为元．（注：要有解答过程）． 27．某市某楼盘准备以每平方米元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米元的均价开盘销售． (1)求平均每次下调的百分率； (2)王先生准备以开盘价均价购买一套平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案： ①打折销售； ②不打折，一次性送装修费每平方米元，试问哪种方案更优惠? 28．某大学为迎接运动会开幕式，准备购买甲、乙两款运动服，经市场调研，甲款运动服单价（元）与购买件数（件）之间的函数关系如图所示，乙款运动服的单价为50元． (1)直接写出当和时，与的函数关系式； (2)该学校预计购买甲、乙两款运动服共1000件，最终花费为56000元，请问有哪几种购买方案． 29．某商场将进货价为元的台灯以元的销售价出售，平均每月能销售出个．市场调研表明，当销售价每上涨元时，其销售量将减少个．若设每个台灯的销售价上涨元． (1)试用的代数式填空： ①涨价后，每个台灯的销售价格为　　元； ②涨价后每个台灯的利润为　　元； ③涨价后商场的台灯的平均每月的销售量为　　个； (2)商场要想使该台灯的销售利润平均每月达到元，有如下的方案，销售经理甲说，“在原销售价每个元的基础上再上涨元，可以完成任务．”销售经理乙说，“不用涨那么多，在原售价每个元的基础上再上涨元就可以了．”试判断甲和乙的说法是否正确，并说明说明理由． 30．某市一楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米2560元的均价开盘销售． (1)求平均每次下调的百分率． (2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？ 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $