专题08 一元二次方程应用题分类2（销售道路围栏日历几何动点）（高效培优期中专项训练）数学北师大版九年级上册

专题08 一元二次方程应用题分类2 （销售道路围栏日历几何动点） 考点01 销售利润 考点02 道路问题 考点03 围栏问题 考点04 日历问题 考点05 几何动点问题 考点01 销售利润 1．某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元． (1)若销售单价为每件55元，求每天的销售利润； (2)要使每天销售这种工艺品盈利1600元，每件工艺品售价应为多少元？ (3)公司每天销售这种工艺品获利能否达到2000元？请说明理由． 2．王大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，批发商规定：该种水果 10 千克起售，每人每天最多购买100 千克；批发价 （元/千克）与购买的重量 （千克）的关系满足一次函数关系，如图所示． 根据王大爷的销售经验，这种水果售价为 12 元时，每天可以销售 10 千克；售价每千克降低元，可多销售 2 千克． 假定每天购进的水果当天能够全部销售完． (1)求出这种水果的批发价 （元/千克）与购进重量 （千克）的函数关系式； (2)在尽量让顾客实惠的情况下，每天购进这种水果多少千克时，获得利润为 120 元？ 3．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降2元，商场平均每天可多售出4件； (1)衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出 件； (2)如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？ 4．为了丰富校园生活，学校在今年9月份购进了A、B两种图书，每种图书均花费了4000元，其中A种图书的数量比B种图书的数量少100本，已知9月份A种图书的单价是B种图书的单价的2倍． (1)请问学校在9月份购进A种图书和B种图书各多少本？ (2)10月份学校再次购进了、两种图书，与9月相比，种图书单价多了元，数量少了本．种图书单价打了8折，数量多了100本，结果两种图书的10月总价之和比9月总价之和多了，求的值． 5．某商店销售、两种款式的水杯．已知每只款水杯比每只款水杯贵12元，今年九月份款水杯的销售额为4800元，款水杯的销售额为3600元，且款水杯的销量是款水杯的1.2倍． (1)求、两款水杯的售价分别是多少元？ (2)十月份，该商店对款水杯进行降价促销：已知每只款水杯的进价是16元，每只款水杯的进价比款水杯低50%．若款水杯售价每降低2元，销量就比九月份多增加30只；款水杯售价和销量都和九月份相同．此次促销销售完两款水杯的总利润为4560元，求款水杯降低了多少元？ 6．某服装店销售某种恤，根据销售经验，每件的售价（元）与每天销售量（件）有如表关系： 每件售价（元） 70 69 68 67 … 40 每天销量（件） 20 22 24 26 … 80 已知与之间的函数关系是一次函数． (1)求与的函数解析式； (2)此种恤进价是30元/件，若该服装店每天销售此恤盈利800元，要使顾客获得实惠，每件售价是多少元？ (3)八月份销售量减少，服装店决定采取降价销售，所以从8月16日开始此恤销售价格在（2）的条件下下降了，同时此恤的进货成本下降了，销售量也因此比原来上涨了，8月份（按31天计算）降价销售的16天（8月16日至31日）所获总盈利，比降价前的15天（8月1日至15日）的总盈利多2336元，求的值． 考点02 道路问题 7．某社区为解决社区停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，阴影部分设计为停车位，其余部分均为宽度为的道路．已知阴影面积为，则道路的宽是多少？ 8．某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分为种植园区．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    (1)若中间种植园区的面积是44800平方米，求道路的宽度； (2)该农户在种植园区种植了草莓，经市场调查，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气情况影响，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓．若该农户预期一个月的总利润为57.2万元，并且想要让利于顾客，每平方米草莓的平均利润应该下调多少元？ 9．某学校在做参加最美校园评选的准备工作，校园园艺师计划在校园的一块矩形空地上建造一个花坛，要求花坛的面积是矩形面积的一半，其余部分进行智能化改造．九年级八班的同学们负责设计方案，同学们分成了2个大组来进行研究，具体分工与作法如下： ①好学小组测得矩形空地的长是16米，宽是12米． ②创新小组的设计如图所示．在矩形内部设计两条宽度相等的道路用来建造花坛，四周的四个小矩形用来进行智能改造． 请聪明的你用所学的数学知识，帮助创新小组进行计算，当道路的宽是多少时，这样的设计符合要求？ 10．张叔叔家的后院是一个长20米，宽12米的矩形．他打算把它划分成如图中阴影部分所示的4个小矩形分别布置不同的景观，空白部分留成宽度相同的道路．已知布置景观的4个小矩形的面积总和为180平方米，求道路的宽度． 11．某公园准备在一块长为，宽为的长方形花园内修建一个底部为正方形的温室花房（如图所示），在温室花房四周修四条宽度相同，且与温室花房各边垂直的小路，温室花房边长是小路宽度的倍，花园内其他的空白地方铺草坪，设小路宽度为． (1)用含的代数式分别表示花园内温室花房的面积和小路面积； (2)若草坪面积为时，求这时道路宽度． 12．某科研单位准备将院内一块长30m，宽20m的矩形空地，建成一个矩形花园，要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形），剩余的地方种植花草． (1)如图1，要使种植花草的面积为，求小道进出口的宽度为多少米； (2)现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示，均为全等的直角三角形，其中，设米，竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为2m，且竖向道路出口位于和之间，横向弯折道路出口位于和之间． ①求剩余的种植花草区域的面积（用含有a的代数式表示）； ②如果种植花草区域的建造成本是100元/米2、建造花草区域的总成本为42000元，求a的值． 考点03 围栏问题 13．如图，利用一面长为25米的墙，用总长度51米的栅栏围成一个长方形围栏，并在中间用栅栏隔开．设栅栏的长为米． (1) 米（用含的代数式表示）； (2)若长方形围栏的面积为210平方米，求栅栏的长； 14．如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为x； (1)_______米（用含x的代数式表示）； (2)若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长． 15．如图，要利用一面20米长的墙为一边，其余三边用总长33米的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门．当长和宽分别为多少米时，整个生态园的面积能达到96平方米？ 16．某家禽养殖场，用总长为的围栏靠墙（墙长为）围成如图所示的三块矩形区域，矩形与矩形的面积都等于矩形面积的，设长为． (1)请直接写出：____________； (2)当矩形的面积为时，求的长是多少？ 17．如图，要利用一面墙（墙长为60米），用100米的围栏建菜园（围栏无剩余），基本结构为三个大小相同的矩形．    (1)如果围成的总面积为400平方米，求菜园的边、的长各为多少米？ (2)保持菜园的基本结构，菜园总面积是否可以达到840平方米？请说明理由． 18．某学校计划用一片空地建一个形状为矩形的劳动教育场地，其中一面靠墙（墙可利用的最大长度为），另外三面用木栅栏建围栏，计划建造的矩形场地面积为，已知现有的木栅栏材料总长为．    (1)为了方便学生出行，学校决定与墙平行一面开的门，则矩形场地的边长分别为多少？ (2)在（1）条件下，如图修三条等宽的硬化小路便于师生通行，小路的占用面积为，则修建的小路宽为多少？ 考点04 日历问题 19．小颖同学积极参加“垃圾分类”宣传，为防止遗忘，她把要参加的日期在月历表上涂黑．已知这个月她要参加8天，将要参加的日期涂黑后恰好得到如图中的一个“回”字型． (1)若涂黑的8个数中最小数与最大数的积为161，求这8个数字的和； (2)这8个数字的和能否是192？请简要说明理由． 20．2025年7月1日是建党104周年纪念日，在本月月历表上可以用一个方框圈出4个数（如下图所示）．若圈出的4个数中，最小数与最大数的乘积为84，求这个最小数． 21．如图，这是2024年12月的月历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d，请解答下列问题． (1)若用表示最小的数，则 ， ， （用含的式子表示）． (2)若虚线方框中的最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，求最小的数． 22．如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 23．如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 24．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图①是2024年9月份的日历，用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），如图②，将“Z”字型框位置B、D上的数相乘，位置A、E上的数相乘，再相减，例如：在图①中，，，不难发现，结果都等于15． 如图②，设日历中所示图形中位置C的数字为x． (1)图②框中其余四个数用含x的代数式可以表示为__________，__________，__________，__________． (2)用含x的式子表示发现的规律__________． (3)利用整式的运算对（2）中的规律加以证明． (4)如图②，在某月历中，“Z”字型框框住部分（阴影部分）5个位置上的数，若最小的数和最大的数的乘积为161，则中间C位置上的数为__________． 考点05 几何动点问题 25．如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．． (1)当_______时，的长度等于（直接填结果）； (2)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 26．如图，矩形中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿向点以的速度移动，设它们的运动时间为． (1)若点和点之间的距离是，求出的值； (2)若时，求出的值． 27．如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于； (2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于； (3)在问题（1）中，的面积能否等于，若能，求出P、Q运动时间，若面积不能为，说明理由？ 28．如图，在中，，，，点M从点B出发，以1cm/s的速度沿着运动；点N从点A出发，以2cm/s的速度沿着运动．已知两点同时出发，当点N运动到点C时，点M和点N的运动停止． (1)经过多长时间，的面积为？ (2)的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 29．如图，在矩形中，，，点M从A点出发沿以速度向B点运动，同时点N从B点出发沿以的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设点M、N的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，？ (2)当t为何值时，的面积是面积的一半？ 30．如图，在中，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，运动时间为t． (1)经过______秒后，点P运动到B点；经过______秒后，点Q运动到C点； (2) ______；（用含t的代数式表示） (3)如果点P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟后，的面积为？ (4)如果点P，Q分别从A，B同时出发，点P在边上沿的路线以的速度移动，点Q在边上沿的路线以的速度移动，且其中一点到达终点时，另一点随之停止移动，连接，求经过几秒钟后，的面积为． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 一元二次方程应用题分类2 （销售道路围栏日历几何动点） 考点01 销售利润 考点02 道路问题 考点03 围栏问题 考点04 日历问题 考点05 几何动点问题 考点01 销售利润 1．某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元． (1)若销售单价为每件55元，求每天的销售利润； (2)要使每天销售这种工艺品盈利1600元，每件工艺品售价应为多少元？ (3)公司每天销售这种工艺品获利能否达到2000元？请说明理由． 【答案】(1)1350元 (2)60元 (3)不能，见解析 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及销售利润的计算和方程求解，理解题意、正确列出方程是关键． （1）直接计算销售单价为55元时的利润，利用利润公式； （2）设售价为x元，根据利润公式列方程求解，并考虑售价范围； （3）列方程判断利润能否达到2000元，通过判别式判断方程是否有解． 【详解】（1）解：销售单价为55元，比50元提高5元，销售量减少（件），销售量为（件）； 利润为（元）； 答：每天的销售利润为1350元； （2）解：设每件工艺品售价为x元，则销售量为件， 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵销售单价不得超过65元， ∴不符合题意，舍去， 答：每件工艺品售价应为60元； （3）解：设每件工艺品售价为x元，则销售量为(200-2x)件， 由题意得方程：， 整理得：， ∵， ∴方程无实数解． 答：利润不能达到2000元． 2．王大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，批发商规定：该种水果 10 千克起售，每人每天最多购买100 千克；批发价 （元/千克）与购买的重量 （千克）的关系满足一次函数关系，如图所示． 根据王大爷的销售经验，这种水果售价为 12 元时，每天可以销售 10 千克；售价每千克降低元，可多销售 2 千克． 假定每天购进的水果当天能够全部销售完． (1)求出这种水果的批发价 （元/千克）与购进重量 （千克）的函数关系式； (2)在尽量让顾客实惠的情况下，每天购进这种水果多少千克时，获得利润为 120 元？ 【答案】(1) (2)在顾客实惠的情况下，每天购进这种水果 60 千克时，获得利润为 120 元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用；能用待定系数法求解析式及根据图象列出方程是解题的关键． （1）设， 将，代入即可求解； （2）结合（1）列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设， 将，代入， 得， 解得 ， ∴y 与 x 的函数关系式为：； （2）解：由题意可得， 整理得，， 解得， ， ∵当时， 售价为：(元)， 当时， 售价为：(元)， ， ∴当时，顾客更实惠， 答：在尽量让顾客实惠的情况下，每天购进这种水果 60 千克时，获得利润为 120 元． 3．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降2元，商场平均每天可多售出4件； (1)衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出 件； (2)如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？ 【答案】(1)2 (2)衬衫的单价降了15元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是由题意找到等量关系并列出方程． （1）根据衬衫的单价每降2元，商场平均每天可多售出4件，得出答案即可； （2）设衬衫的单价降了x元．根据题意等量关系：降价后的销量×每件的利润，根据等量关系列出方程即可． 【详解】（1）解：∵衬衫的单价每降2元，商场平均每天可多售出4件， ∴衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件． （2）解：设衬衫的单价降了x元，根据题意，得： ， 解得：， 答：衬衫的单价降了15元． 4．为了丰富校园生活，学校在今年9月份购进了A、B两种图书，每种图书均花费了4000元，其中A种图书的数量比B种图书的数量少100本，已知9月份A种图书的单价是B种图书的单价的2倍． (1)请问学校在9月份购进A种图书和B种图书各多少本？ (2)10月份学校再次购进了、两种图书，与9月相比，种图书单价多了元，数量少了本．种图书单价打了8折，数量多了100本，结果两种图书的10月总价之和比9月总价之和多了，求的值． 【答案】(1)学校在9月份购进A种图书100本，B种图书200本 (2)10 【分析】本题考查分式方程解决实际问题，一元二次方程解决实际问题，找出相等关系列出方程是解题的关键． （1）设学校在9月份购进A种图书x本，则购进B种图书本．根据“A种图书的单价是B种图书的单价的2倍”列出分式方程，求解并检验即可解答； （2）根据“两种图书的10月总价之和比9月总价之和多了”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设学校在9月份购进A种图书x本，则购进B种图书本．根据题意，得 ， 解得， 经检验，是该方程的解， ∴， 答：学校在9月份购进A种图书100本，B种图书200本． （2）解：由（1）可得9月份A种图书单价为（元）， B种图书单价为（元）， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴m的值为10． 5．某商店销售、两种款式的水杯．已知每只款水杯比每只款水杯贵12元，今年九月份款水杯的销售额为4800元，款水杯的销售额为3600元，且款水杯的销量是款水杯的1.2倍． (1)求、两款水杯的售价分别是多少元？ (2)十月份，该商店对款水杯进行降价促销：已知每只款水杯的进价是16元，每只款水杯的进价比款水杯低50%．若款水杯售价每降低2元，销量就比九月份多增加30只；款水杯售价和销量都和九月份相同．此次促销销售完两款水杯的总利润为4560元，求款水杯降低了多少元？ 【答案】(1)A款水杯的售价为32元，B款水杯的售价为20元 (2)A款水杯降低了6元 【分析】本题主要考查分式方程和一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设A款水杯的售价为元，则B款水杯的售价为元，根据题意列分式方程求解即可； （2）先求出B款水杯的进价，九月份A款水杯销量，九月份B款水杯销量，设A款水杯降低了元，再根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设A款水杯的售价为元，则B款水杯的售价为元， 根据题意，可列出方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， B款水杯的售价为（元）， ∴A款水杯的售价为32元，B款水杯的售价为20元． （2）解：B款水杯的进价为（元）， 九月份A款水杯销量为（只）， 九月份B款水杯销量为（只）， 设A款水杯降低了元， 根据题意，可列出方程：， 解得，， 因为是降价促销，所以不符合题意，舍去， ∴A款水杯降低了6元． 6．某服装店销售某种恤，根据销售经验，每件的售价（元）与每天销售量（件）有如表关系： 每件售价（元） 70 69 68 67 … 40 每天销量（件） 20 22 24 26 … 80 已知与之间的函数关系是一次函数． (1)求与的函数解析式； (2)此种恤进价是30元/件，若该服装店每天销售此恤盈利800元，要使顾客获得实惠，每件售价是多少元？ (3)八月份销售量减少，服装店决定采取降价销售，所以从8月16日开始此恤销售价格在（2）的条件下下降了，同时此恤的进货成本下降了，销售量也因此比原来上涨了，8月份（按31天计算）降价销售的16天（8月16日至31日）所获总盈利，比降价前的15天（8月1日至15日）的总盈利多2336元，求的值． 【答案】(1) (2)每件售价是40元 (3)20 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法，求出y与x的函数解析式；（2）（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据表格中的数据，利用待定系数法，即可求出y与x的函数解析式； （2）利用总利润=每件的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要使顾客获得实惠，即可确定结论； （3）根据8月份（按31天计算）降价销售后的此T恤销售总盈利比8月份降价销售前的销售总盈利多2336元，可列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）设y与x的函数解析式为， 将代入y=kx+b得：， 解得：， ∴y与x的函数解析式为； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵要使顾客获得实惠， ∴． 答：每件售价是40元； （3）在（2）条件下，售价为40元时，销售量件，每天盈利800元． 降价前天数：8月1日至15日，共15天，总盈利元． 降价后天数：8月16日至31日，共16天． 新售价：元， 新进价：元， 新销售量：件， 每天盈利：元， 降价后总盈利：元． 根据题意得： ， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：m的值为20． 考点02 道路问题 7．某社区为解决社区停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，阴影部分设计为停车位，其余部分均为宽度为的道路．已知阴影面积为，则道路的宽是多少？ 【答案】道路的宽是5米． 【分析】本题主要考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系、列出方程是解题的关键． 由题意可得：其余部分均为宽度为的道路，利用平移的性质可得停车位部分组成一个边长为，宽为的矩形，再根据矩形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：由题意可得：其余部分均为宽度为的道路，利用平移的性质可得停车位部分组成一个边长为，宽为的矩形， 由题意可得：． 整理得：， 则， ∴（故舍去）， ∴道路的宽5米． 答：道路的宽是5米． 8．某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分为种植园区．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    (1)若中间种植园区的面积是44800平方米，求道路的宽度； (2)该农户在种植园区种植了草莓，经市场调查，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气情况影响，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓．若该农户预期一个月的总利润为57.2万元，并且想要让利于顾客，每平方米草莓的平均利润应该下调多少元？ 【答案】(1)道路宽度为10米 (2)每平方米草莓平均利润下调48元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 道路宽度为10米； （2）解：设每平方米草莓平均利润下调y元， 整理得：． 解得：，， 又从客户的角度考虑，要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调48元． 9．某学校在做参加最美校园评选的准备工作，校园园艺师计划在校园的一块矩形空地上建造一个花坛，要求花坛的面积是矩形面积的一半，其余部分进行智能化改造．九年级八班的同学们负责设计方案，同学们分成了2个大组来进行研究，具体分工与作法如下： ①好学小组测得矩形空地的长是16米，宽是12米． ②创新小组的设计如图所示．在矩形内部设计两条宽度相等的道路用来建造花坛，四周的四个小矩形用来进行智能改造． 请聪明的你用所学的数学知识，帮助创新小组进行计算，当道路的宽是多少时，这样的设计符合要求？ 【答案】道路的宽为4米时符合设计要求． 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用．设道路的宽为x厘米时符合设计要求，再建立方程，求解即可． 【详解】解：设道路的宽为x米时符合设计要求，则 ， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴道路的宽为4米时符合设计要求． 10．张叔叔家的后院是一个长20米，宽12米的矩形．他打算把它划分成如图中阴影部分所示的4个小矩形分别布置不同的景观，空白部分留成宽度相同的道路．已知布置景观的4个小矩形的面积总和为180平方米，求道路的宽度． 【答案】2米 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据图形正确列出方程成为解题的关键． 设道路的宽度为x米，根据题意列出一元二次方程求解并检验即可． 【详解】解：设道路的宽度为米． 由题意得． 解得：（不符合题意，舍去）， 道路的宽度为2米． 11．某公园准备在一块长为，宽为的长方形花园内修建一个底部为正方形的温室花房（如图所示），在温室花房四周修四条宽度相同，且与温室花房各边垂直的小路，温室花房边长是小路宽度的倍，花园内其他的空白地方铺草坪，设小路宽度为． (1)用含的代数式分别表示花园内温室花房的面积和小路面积； (2)若草坪面积为时，求这时道路宽度． 【答案】(1)温室花房的面积为，小路的面积为 (2)道路的宽度为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出花园内温室花房的面积和小路面积；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）由温室花房边长和小路宽度间的关系，得出温室花房边长为，再由正方形及长方形的面积公式，即可表示出花园内温室花房的面积和小路面积； （2）根据草坪面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：温室花房边长是小路宽度的倍，小路宽度为， 温室花房边长为， 温室花房的面积为，小路的面积为， 答：温室花房的面积为 ，小路的面积为． （2）解：依题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：道路的宽度为． 12．某科研单位准备将院内一块长30m，宽20m的矩形空地，建成一个矩形花园，要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形），剩余的地方种植花草． (1)如图1，要使种植花草的面积为，求小道进出口的宽度为多少米； (2)现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示，均为全等的直角三角形，其中，设米，竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为2m，且竖向道路出口位于和之间，横向弯折道路出口位于和之间． ①求剩余的种植花草区域的面积（用含有a的代数式表示）； ②如果种植花草区域的建造成本是100元/米2、建造花草区域的总成本为42000元，求a的值． 【答案】(1)1米； (2)①；②． 【分析】（1）设小道进出口的宽度为米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可； （2）①先用a表示出四个直角三角形的面积，从而表示出剩余花草区域的面积；②由①和题目意思列出方程求解即可． 【详解】（1） 解：设小道进出口的宽度为米， 依题意得． 整理，得． 解得，，． （不合题意，舍去）， ； 答：小道进出口的宽度应为1米； （2）解：①剩余的种植花草区域的面积为： ②由，得： ， 解得：（舍去）． 故． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，面积的表示，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程，注意根据实际意义舍根． 考点03 围栏问题 13．如图，利用一面长为25米的墙，用总长度51米的栅栏围成一个长方形围栏，并在中间用栅栏隔开．设栅栏的长为米． (1) 米（用含的代数式表示）； (2)若长方形围栏的面积为210平方米，求栅栏的长； 【答案】(1) (2)10 米 【详解】（1）解：根据题意得：米． 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：栅栏的长为 10 米． 14．如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为x； (1)_______米（用含x的代数式表示）； (2)若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长． 【答案】(1) (2)的长为10米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式； （1）设栅栏长为米，根据栅栏的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含的代数式表示出的长； （2）根据矩形围栏面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设栅栏长为米， ∵栅栏的全长为49米，且中间共留两个1米的小门， ∴（米）， 故答案为： （2）解：依题意，得：， 整理，得：， 解得：． 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， 答：栅栏的长为10米． 15．如图，要利用一面20米长的墙为一边，其余三边用总长33米的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门．当长和宽分别为多少米时，整个生态园的面积能达到96平方米？ 【答案】当长和宽分别为12米、8米时，整个生态园的面积能达到96平方米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，涉及到了一元一次不等式，解题关键是列出一元二次方程并求解，本题根据生态园面积为96列出方程求解即可． 【详解】解：设生态园宽为x米， ， ∵要利用一面20米长的墙为一边， ∴， ∴， 此时长为， 答：当长和宽分别为12米、8米时，整个生态园的面积能达到96平方米． 16．某家禽养殖场，用总长为的围栏靠墙（墙长为）围成如图所示的三块矩形区域，矩形与矩形的面积都等于矩形面积的，设长为． (1)请直接写出：____________； (2)当矩形的面积为时，求的长是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用等知识点， （1）由已知得出，进而即可得解； （2）用x表示出，然后根据题得出x的取值范围和列出方程，求解即可 熟练掌握找准等量关系，正确列出元一元二次方程是解决此题的关键． 【详解】（1）∵矩形与矩形的面积都等于矩形面积的， ∴ ∴ ， ∴， 故答案为：； （2）∵， ，依题意，得， ， ， ， 依题意，得，解得， ， ， 的长为． 17．如图，要利用一面墙（墙长为60米），用100米的围栏建菜园（围栏无剩余），基本结构为三个大小相同的矩形．    (1)如果围成的总面积为400平方米，求菜园的边、的长各为多少米？ (2)保持菜园的基本结构，菜园总面积是否可以达到840平方米？请说明理由． 【答案】(1)长为20米，长为20米 (2)不能，理由见解析 【分析】（1）设米，则米，由矩形面积公式列出关于x的方程，解之可得； （2）设米时，根据菜园的总面积为840平方米，列方程，即，再根据，得出方程无解，即可得出结论． 【详解】（1）解：设米，则米， ∵， ∴ 由题意知：， 即， 解得：，（舍） ∴米，米 答：菜园的边长为20米，长为20米． （2）解：不能． 理由：设米时，菜园的总面积为840平方米， 由题意得，即 ∵，，， ∴， ∴方程无实数根 ∴菜园的总面积不能达到840平方米 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 18．某学校计划用一片空地建一个形状为矩形的劳动教育场地，其中一面靠墙（墙可利用的最大长度为），另外三面用木栅栏建围栏，计划建造的矩形场地面积为，已知现有的木栅栏材料总长为．    (1)为了方便学生出行，学校决定与墙平行一面开的门，则矩形场地的边长分别为多少？ (2)在（1）条件下，如图修三条等宽的硬化小路便于师生通行，小路的占用面积为，则修建的小路宽为多少？ 【答案】(1)长为10米，宽为8米 (2)1米 【详解】（1）解：设与墙垂直的一面为米，另一面则为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得或， 当时，（舍去）； 当时，； 答：长为10米，宽为8米； （2）解：设宽为米，根据题意得：， 即， 解得：（舍去），， 答：小路的宽为1米． 考点04 日历问题 19．小颖同学积极参加“垃圾分类”宣传，为防止遗忘，她把要参加的日期在月历表上涂黑．已知这个月她要参加8天，将要参加的日期涂黑后恰好得到如图中的一个“回”字型． (1)若涂黑的8个数中最小数与最大数的积为161，求这8个数字的和； (2)这8个数字的和能否是192？请简要说明理由． 【答案】(1)120 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程在月历日期问题中的应用，解题的关键是找出月历中“回”字型8个数的数量关系，通过设未知数建立方程求解． （1）设最小数为，则最大数为，根据最小数与最大数的积为161列一元二次方程，求解得最小数，进而确定8个数并求和． （2）设最小数为，表示出8个数的和为，令其等于192，求解，再根据月历最大日期判断是否符合实际． 【详解】（1）解：设最小的数为，则最大的数为． 根据题意，， 解得或（日期不能为负，舍去）． 所以这个数分别是、、、14、16、21、22、23． 它们的和为． （2）设最小的数为，则这个数的和为 化简得． 若和为192，则 解得． 此时最大的数为，但月历中最大日期为31，不符合实际， 所以这个数字的和不能是192． 20．2025年7月1日是建党104周年纪念日，在本月月历表上可以用一个方框圈出4个数（如下图所示）．若圈出的4个数中，最小数与最大数的乘积为84，求这个最小数． 【答案】这个最小数为． 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握日历的特征，根据已知得出最大数与最小数的差值是解题的关键． 设圈出的四个数中最小数为，则最大的数为，根据圈出的四个数中最小数与最大数的乘积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值． 【详解】解：设这个最小数为，则最大数为． 依题意，得． 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）． 故答案为：这个最小数为． 21．如图，这是2024年12月的月历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d，请解答下列问题． (1)若用表示最小的数，则 ， ， （用含的式子表示）． (2)若虚线方框中的最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，求最小的数． 【答案】(1) (2)最小的数为20 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列方程是解题的关键． （1）观察日历表即可推出； （2）根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，列出方程即可推理． 【详解】（1）解：观察图形可得， 故答案为：； （2）解：设最小的数为，则． 由题意可得，整理得， 解得（舍去）， 最小的数为20． 22．如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)最小数为10 (2)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设最小数是，则最大数是，根据“最大数与最小数的乘积为180”，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设最小数为，则另外三个数分别是，，，根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为80，列出一元二次方程，解之可得出的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：设最小数为，则最大数为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 从日历表中可以看出10是第二行第6个数，符合要求， 答：最小数为10； （2）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由如下： 设最小数为，则另外三个数分别是，，， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80． 23．如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)10 (2)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由见详解 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设最小数是x，则最大数是，根据题意列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，设最小数为y，则另外三个数分别是，，，根据题意列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，由在最后一列，可得出假设不成立，即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 【详解】（1）解：设最小数是x，则最大数是， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去） 答：最小数是10； （2）方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由如下： 假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，设最小数为y，则另外三个数分别是，，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去） 在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 24．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图①是2024年9月份的日历，用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），如图②，将“Z”字型框位置B、D上的数相乘，位置A、E上的数相乘，再相减，例如：在图①中，，，不难发现，结果都等于15． 如图②，设日历中所示图形中位置C的数字为x． (1)图②框中其余四个数用含x的代数式可以表示为__________，__________，__________，__________． (2)用含x的式子表示发现的规律__________． (3)利用整式的运算对（2）中的规律加以证明． (4)如图②，在某月历中，“Z”字型框框住部分（阴影部分）5个位置上的数，若最小的数和最大的数的乘积为161，则中间C位置上的数为__________． 【答案】(1)，，， (2) (3)见解析 (4)15 【分析】本题考查列代数式，整数的乘法，一元二次方程的应用． （1）由日历可发现：位置B的数字比位置C的数字少7，位置A的数字比位置C的数字少8，位置D的数字比位置C的数字多7，位置E的数字比位置C的数字多8，据此即可解答； （2）根据题意列出式子即可； （3）运用平方差公式展开后，合并同类项即可得证； （4）由题意可得方程，求解后根据x的取值进行取舍即可解答． 【详解】（1）解：∵位置C的数字为x， ∴位置B的数字为， 位置A的数字为， 位置D的数字为， 位置E的数字为． 故答案为：，，， （2）解：规律为：； 故答案为： （3）解：； （4）解：∵最小的数和最大的数的乘积为161， ∴， 解得， ∵x为正整数， ∴． 即中间C位置上的数为15． 故答案为：15 考点05 几何动点问题 25．如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．． (1)当_______时，的长度等于（直接填结果）； (2)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，． 【详解】（1）解：在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，设运动时间为秒， ，， ， 四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得（舍去），， 当时，的长度等于； 故答案为：． （2）由题意得：， 的面积等于， ， ， ， 或（舍去）， 当时，使得的面积等于． 26．如图，矩形中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿向点以的速度移动，设它们的运动时间为． (1)若点和点之间的距离是，求出的值； (2)若时，求出的值． 【答案】(1) (2)的值为或5 【分析】（1）根据题意，表达出，，因为在矩形中，所以，且已知，利用勾股定理列方程求解即可； （2）分两种情况进行讨论，当点在上运动时，当点在上运动时，分别表达出的长度，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：，，，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 解得，， 不符合题意，舍去， ； （2）解：当点在上运动时，， ，， ， 解得：， ，符合该时间段条件； 当点在上运动时，， ，， ， ， 解得：， ∵5在该时间段内，符合题意， 或， 的值为或5． 【点睛】本题考查矩形的性质，一元二次方程的应用，勾股定理，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． 27．如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于； (2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于； (3)在问题（1）中，的面积能否等于，若能，求出P、Q运动时间，若面积不能为，说明理由？ 【答案】(1)1秒 (2)0或2秒 (3)不能 ，见解析 【分析】（1）设t秒后，的面积等于，根据三角形面积公式得到，然后解一元二次方程即可； （2）设t秒后，的长度等于5cm，利用勾股定理得到，然后解一元二次方程即可； （3）设t秒后，的面积等于；利用三角形面积公式得到，整理得，然后利用根的判别式的意义判断方程没有实数的解，从而可判断的面积不能等于 本题考查了一元二次方程的应用：运用三角形的面积公式和勾股定理列方程． 【详解】（1）解：设t秒后，的面积等于，则，，， 的面积等于， ， 整理得， 解得，舍去， 答：1秒后，的面积等于； （2）设t秒后，的长度等于5cm，则，，， 的长度等于5cm， ， 整理得， 解得，， 答：0秒或2秒后，PQ的长度为； （3）不能． 理由如下： 设t秒后，的面积等于； 的面积等于， ， 整理得， ， 方程没有实数的解， 的面积不能等于 28．如图，在中，，，，点M从点B出发，以1cm/s的速度沿着运动；点N从点A出发，以2cm/s的速度沿着运动．已知两点同时出发，当点N运动到点C时，点M和点N的运动停止． (1)经过多长时间，的面积为？ (2)的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 【答案】(1)经过4s或6s，的面积为24cm2 (2)不会，详见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设运动时间为t秒，则，，，根据题意得，解方程即可； （2）当的面积会等于面积的一半时，则，再根据的值可得结论． 【详解】（1）解：设，，， ∴，即， 解得或， ∵当点N运动到点C时，点M和点N的运动停止， ∴，即， ∴经过4s或6s，的面积为24cm2． （2）解：不会，理由如下： ， ， 当的面积会等于面积的一半时，则 ， 整理得， 此时， ∴的面积不会等于面积的一半． 29．如图，在矩形中，，，点M从A点出发沿以速度向B点运动，同时点N从B点出发沿以的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设点M、N的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，？ (2)当t为何值时，的面积是面积的一半？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据矩形性质和，得到，根据勾股定理得到，得到，解得； （2）根据，，可得，，根据，得到，解得，取． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， 且， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故当t值为1或时，； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 化简得， 解得， ∵， ∴， ∴当t值为3时，的面积是面积的一半． 【点睛】本题主要考查了矩形与动点．熟练掌握矩形性质，写动点移动距离表达式，勾股定理，三角形面积公式，是解题的关键． 30．如图，在中，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，运动时间为t． (1)经过______秒后，点P运动到B点；经过______秒后，点Q运动到C点； (2) ______；（用含t的代数式表示） (3)如果点P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟后，的面积为？ (4)如果点P，Q分别从A，B同时出发，点P在边上沿的路线以的速度移动，点Q在边上沿的路线以的速度移动，且其中一点到达终点时，另一点随之停止移动，连接，求经过几秒钟后，的面积为． 【答案】(1)6，4 (2) (3)经过2或4秒钟后，的面积为 (4)经过2或8秒钟后，的面积为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、三角形面积以及分类讨论；通过分类讨论得出方程是解题的关键． （1）根据时间等于路程除以速度，即可求解； （2）根据题意可得，即可求解； （3）根据的面积为，列出关于t的方程，即可求解； （4）分三种情况：当点P从A向点B运动，点Q从点B向点C运动时，此时；当点P从A向点B运动，点Q从点C向点B运动时，此时； 当点P从B向点A运动，点Q从点C向点B运动时，此时；根据的面积为，列出关于t的方程，即可求解． 【详解】（1）解：经过秒后，点P运动到B点； 经过秒后，点Q运动到C点； 故答案为：6；4 （2）解：根据题意得：， ∴； 故答案为： （3）解：根据题意得：， ∵的面积为， ∴，即， 解得：或4， 即经过2或4秒钟后，的面积为； （4）解：根据题意得：点P到达终点的时间为秒，点Q到达终点的时间为秒， 当点P从A向点B运动，点Q从点B向点C运动时，此时，， ∵的面积为， ∴，即， 解得：或8（舍去）； 当点P从A向点B运动，点Q从点C向点B运动时，此时，， ∵的面积为， ∴，即，此方程无解； 当点P从B向点A运动，点Q从点C向点B运动时，此时，， ∵的面积为， ∴，即， 解得：（舍去）或8； 综上所述，经过2或8秒钟后，的面积为． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $