专题09 概率解答题（5种类型30道）（高效培优期中专项训练）数学北师大版九年级上册

专题09 概率解答题（5种类型30道） 考点01 转盘相关概率问题 考点02 判断是否公平 考点03 设计规则 考点04 跨学科概率问题 考点05 统计与概率综合题 考点01 转盘相关概率问题 1．“七夕情人节”期间，某购物广场举办有奖销售活动，每购物满元，就获得一次转转盘的机会．转动转盘，转盘停止转动后指针对准某个区域，顾客得到相应的指示．小华购物元，获得一次转动转盘的机会，请你根据转盘（如图所示）求： (1)小华中奖的概率；（除了谢谢参与其他均是中奖） (2)小华获得元红包的概率； (3)小华享受八折优惠的概率． 2．如图1，是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，4．如图2，正方形顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每转动转盘一次，当转盘停止运动时，指针所落扇形中的数字是几(当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘)，就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长． 如：若从圈A起跳，第一次指针所落扇形中的数字是3，就顺时针连续跳3个边长，落到圈D；若第二次指针所落扇形中的数字是2，就从D开始顺时针续跳2个边长，落到圈B；……设游戏者从圈A起跳． (1)嘉嘉随机转一次转盘，求落回到圈A的概率； (2)琪琪随机转两次转盘，用列表法求最后落回到圈A的概率，并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样吗？ 3．如图，甲分为三等分数字转盘，乙为四等分数字转盘，自由转动转盘． (1)转动甲转盘，指针指向的数字小于3的概率是 ． (2)同时自由转动两个转盘，用列表或画树状图的方法求两个转盘指针指向的数字均为奇数的概率． 4．根据金属活动性顺序可知，（铁）、（锌）、（镁）都可以与稀盐酸反应，而（铜）、（银）与稀盐酸不反应，如图，某学习小组制作了一个可以自由转动的转盘，该转盘被它的半径等分为5个扇形区域，每个扇形内分别写有一种金属、转动转盘、待转盘自动停止后，指针指向一个扇形内部，则该扇形内的金属即为转出的金属、此时称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形内部为止） (1)小西转动转盘一次，转出的金属是“”的概率为______； (2)小西转动转盘一次后，小安再转动转盘一次，请用列表或画树状图的方法，求两人转出的金属都能与稀盐酸反应的概率． 5．如图，现有一个圆形转盘被平均分成6等份，分别标有2，3，4，5，6，7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．(当指针指向分割线时，则重新转动) (1)转到数字大于1是__________事件；(填“随机”或“必然”或“不可能”) (2)转动转盘，转出的数字大于5的概率是__________； (3)现有一张卡片写有数字1，随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字；再转动转盘，停止后记下转出的数字，把两次的数字与卡片上的数字作为三条线段的长度．用画树状图或列表法求这三条线段能构成三角形的概率是多少? 6．如图，一个质地均匀的转盘，被分成面积相等的三个扇形，指针的位置固定，当转盘自由转动停止后，观察指针指向区域内的数字（若指针正好指向分界线，则重新转一次，直至指针指向区域内的数字）． (1)转动转盘一次，则转出的数字是非负数的概率为_______； (2)转动转盘两次，求两次转动转盘指针指向的数字之积为零的概率． 考点02 判断是否公平 7．为迎接第30个世界读书日，某校计划开展以“阅读与科技融合，书香与梦想齐飞”为主题的读书活动，并计划在每班选一名“阅读领航员”．九年级（1）班的小明和小华同学均符合要求，于是班长设计了抽扑克牌的方式来决定选谁．具体方法如下：将梅花和红桃分开，背面朝上洗匀，放在桌面上，小明在4张梅花中随机抽1张，小华在4张红桃中随机抽1张，规定谁抽取的牌面数字大，就选谁， (1)小明抽到牌面上的数字是“3的倍数”的概率为________； (2)请用列表或画树状图的方法，判断班长设计的这种方式对双方是否公平，并说明理由． 8．小明和小亮玩纸牌游戏，他们从同一副扑克牌中抽出四张（如图所示），牌面数字分别为2、3、4、6，游戏规则如下：将四张牌正面朝下洗匀后放在桌上，小明先从中随机抽出一张并记下牌面上的数字，不放回．小亮再从剩余的3张中随机抽出一张也记下牌面上的数字．若抽出的两张牌的牌面数字之和是偶数，则小明获胜；否则，小亮获胜． (1)小明抽到的牌面数字是__________数的可能性大；（选填“奇”或“偶”） (2)这个游戏规则对双方是否公平？请用列表或画树状图的方法说明理由． 9．孪生素数就是相差2的素数对，是否存在无限多对孪生素数，这就是孪生素数猜想，它是数论中的核心问题．2013年华人数学家张益唐在孪生素数问题上取得重大突破．走走同学制作了四张背面完全相同的卡片，正面分别写上四个最小的素数2，3，5，7，将这四张卡片背面朝上洗匀放好． (1)格格从这四张卡片中随机抽取一张，则正面数字是偶数的概率是________； (2)走走和格格做游戏，从以上四张卡片中，随机抽取两张卡片，若两张卡片上的数字是孪生素数，则走走获胜；否则，格格获胜．请用列表或画树状图的方法，判断上述游戏是否公平，并说明理由． 10．行酒令是汉族民间风俗之一，是一种有中国特色的酒文化，大家轮流说诗词、联语或其他游戏，明朝唐之淳在《忆吴越风景》中写道“旋折藕花行酒令，细书蕉叶送诗筒”．行酒令中有一种游戏称为“虎棒鸡虫令”．“二人相对，以筷子相声，同时口喊虎、喊棒、喊鸡、喊虫、以棒打虎、虎吃鸡、鸡吃虫、虫嗑棒论胜负，负者饮．若棒与鸡，虎与虫同时被喊出或两人喊出同一物，则不分胜负，继续喊．”依据上述规则，张三和李四同时随机喊出其中一物，两人只喊一次．（提示：可以用分别表示“老虎”“棒子”“鸡”“虫”） (1)若张三已经决定喊“虎”，那么李四获胜的概率为___________； (2)判断这个游戏是否公平，并说明理由． 11．为了提升博物馆的服务质量，更好地发挥其文化宣扬和传承方面的作用，某博物馆面向社会招募志愿者某校现有名同学准备参加该博物馆志愿服务工作，其中男生人，女生人． (1)若从这名志愿者中随机选取一人作为联络员，则选到男生的概率为______． (2)若该博物馆的某项工作只在甲、乙两名志愿者中选一名，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为，，，的扑克牌背面完全相同洗匀后，数字朝下放于桌面，甲先从四张牌中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的牌中随机抽取一张若所抽取的两张牌的牌面数字之和为偶数，则甲参加；否则，乙参加请用画树状图法或列表法说明该游戏对双方是否公平． 12．新素材 杜鹃花、香樟树杜鹃花是江西省省花，杜鹃红是江西省红色旅游的象征色；香樟树是江西省省树，香樟绿是构筑绿色江西最基本的原色．如图中的3张卡片有2张正面印着杜鹃花，1张正面印着香樟树，卡片的形状、大小、质地和背面图案都完全相同，现将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上． (1)从中随机抽取1张卡片，抽到正面印着杜鹃花的卡片的概率是 ； (2)小明和小颖玩抽卡片游戏，规则如下：小明从以上3张卡片中随机抽取1张，放回洗匀后小颖再随机抽取1张，若2张卡片正面图案相同，则小明赢，否则小颖赢．请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平． 考点03 设计规则 13．小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券．于是，老师就设计了这样的一个游戏：一口袋装有除颜色外均相同的2个白球1个红球和1个蓝球，通过摸球来决定谁去观看演出．方案如下：第一次随机从口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一白一红”，则小颖去观看；摸到“一红一蓝”，则小亮去观看． (1)这个方案公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由； (2)你若认为这个方案不公平，那么请你改变两人胜负规则，设计一个公平的方案． 14．某校举办艺术节，其中A班和B班的节目总成绩并列第一，学校决定从A、B两班中选派一个班代表学校参加全省比赛，B班班长想法是：用八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给A班班长，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：A班班长和B班班长从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则A班去；如果和为奇数，则B班去． (1)请用树状图或列表的方法求A班去参赛的概率； (2)B班班长设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则． 15．今年10月，我市即将迎来第十五届省运会．此次省运会的吉祥物是阿福、阿仙．小明和小颖只有一张省运会的门票，正商议着谁去观看．小明提议：我们分别在三张卡片上写“阿、福、仙”，将它们正面朝下放在一起，从中随机抽取两张，能拼成阿福或阿仙我获胜，否则你获胜． (1)请写出小明、小颖获胜的概率 （小明获胜）_____， （小颖获胜）_____； (2)小明的提议对小颖_____；（填“公平”或“不公平”） (3)请你利用若干张卡片，设计一个对小明和小颖都公平的新方案． 16．有5张不透明的卡片，正面的数字分别为0，1，2，3，3，背面图案完全一样，洗匀后，背面朝上放在桌面上． (1)随机抽取一张卡片，求抽到卡片上的数字为3的概率； (2)小明和小丽用这5张卡片做游戏，小明随机抽取一张卡片，若卡片上的数字为偶数，则小明赢；若卡片上的数字为奇数，则小丽赢．这个游戏公平吗？请说明理由； (3)请你利用这5张卡片为小明和小丽设计一个公平的新游戏，不改变卡片的数量和内容，直接写出游戏规则． 17．小明和小颖在一起做游戏．从一个装有4个红球和3个绿球（每个球除颜色外都相同）的不透明口袋中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到绿球小颖获胜． (1)小明获胜的概率是多少？小颖获胜的概率是多少？ (2)该游戏对双方是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，如何设计该游戏，使该游戏对双方公平． 18．为响应生态文明，增强居民环保意识，某社区举办“绿色生活”问答赛，答对道以上题目的居民可参与如图①的自由转盘抽奖（指针指向边界需重新转）．请根据以上信息，完成下列问题： (1)小远在此次问答赛中共答对道题目，他转到环保购物袋的概率是 ； (2)请你重新设计一种转盘抽奖方案，使得最后抽到环保卫士徽章、节能台灯和环保购物袋的概率分别为 ，要求奖项包含内容同图①．你可以写出设计方案，也可以在图②中画出具体设计方法（标清楚具体奖项名称）． 考点04 跨学科概率问题 19．为了激发学生对理化学科的研究兴趣，某校在初三年级开展了理化实验操作测试，要求每名学生每科只操作一项，题目由学生随机抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目，以两次抽签的结果作为理化实验测试的题目，物理、化学实验操作内容如图所示． 理化实验操作内容物理 实验一：用托盘天平测固体和液体的质量 实验二：探究并联电路中电流的规律 实验三：探究杠杆的平衡条件 化学 实验一：氧气的制取 实验二：溶液酸碱性的检验 实验三：粗盐提纯 (1)求小李同学抽到化学实验一的概率； (2)请你用列表法或画树状图法求出理化实验题目的所有可能的结果，并求出小刚同学抽到物理实验二和化学实验三的概率． 20．在物理课上，同学们学习了“电学”知识之后，便可以设计一些简单的电路图． (1)如图1所示的电路图中，三个开关并联成一个开关组A，闭合其中任何一个开关，则灯泡发亮是 事件． A．随机            B．不可能            C．必然 (2)如图2，在图1的电路图中，新增一个开关组B，在A、B两个开关组中各闭合一个开关，用树状图或列表法求小灯泡发亮的概率． 21．如图，某同学学习物理《电流和电路》后设计了如图所示的电路图，其中分别表示四个可开闭的开关，“”表示小灯泡，“”表示电源．电源、小灯泡、开关和线路都能正常工作，当闭合开关中任意一个，再闭合开关时，小灯泡发光，按要求完成下列问题： (1)当开关闭合时，再随机闭合开关或或其中一个，小灯泡发光的概率为__________； (2)当随机闭合开关中的两个，请用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率． 22．我校组织学生进行学考化学实验操作模拟考试，准备了如下四个实验：A（探究化学反应前后物质的质量关系），B（用不同的方法鉴别铁粉和氧化铜粉末），C（粗盐中难溶性杂质的去除），D（探究锌、铁、铜三种金属的活动性顺序）．老师制作了A，B，C，D四个签，四个签除内容不同外，其他没有区别，放置于袋中摇匀． (1)甲从四个签中抽取一个，抽中C实验的概率是______； (2)甲、乙两人分别从袋中随机抽取一个签（有放回），用列表法或画树状图法求两人抽得同一个实验的概率． 23．化学实验课上，张老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气） (1)小明从四种金属中随机选一种，则选到的概率为 ； (2)小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属分别进行实验，求二人所选金属均能置换出氢气的概率． 24．物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．在化学课上，陈超老师为帮助学生正确理解这两种变化，将4种生活现象制作成如图所示的卡片（分别用A，B，C，D表示），四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀． (1)将卡片摇匀后从箱中随机抽取一张，则抽中D卡片的概率是 ； (2)小龙从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求他抽取的两张卡片内容均为化学变化的概率． 考点05 统计与概率综合题 25．居民区内的“广场舞”引起媒体关注，小王想了解本小区居民对“广场舞”的看法，进行一次分四个层次的抽样调查（四个层次为：A．非常赞同；B．赞同但要有时间限制；C．无所谓；D．不赞同），并把调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：    (1)本次被抽查的居民人数是______人； (2)图中的度数是______度； (3)据了解，甲、乙、丙、丁四位居民投不赞同票，小王想从这四位居民中随机选择两位了解具体情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙的概率． 26．央行推出数字货币，支付方式即将变革，调查结果晶示，目前支付方式有：A微信、B支付宝、Ｃ现金、D其他，调查组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图： 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)本次一共调查了多少名购买者？ (2)请补全条形统计图； (3)在扇形统计图中，D种支付方式所对应的圆心角为 度； (4)在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“现金”三种付款方式中选一种方式进行付款，请用树状图或列表法求出两人选择不同付款方式的概率． 27．国家航天局消息：神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功，某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图： (1)此次调查中接受调查的人数为______人，扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角为______； (2)补全条形统计图； (3)该校九年一班非常关注的学生有A、B、C、D四人，随机选取两人去参加学校即将举办的航天知识竞赛，请利用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到A、B两位同学的概率． 28．某中学开展“国庆70周年阅兵盛典观看情况”调查活动，随机调查了部分初中生观看阅兵盛典的收视情况，并将调查结果统计后绘制成如图1和图2所示的不完整统计图． (1)被调查初中生的人数为 人； (2)把条形统计图补充完整； (3)若该学校有学生1000人，请估计该校没观看阅兵盛典的学生人数？ (4)某班级3名同学都观看了阅兵盛典，1人完整看完，1人看一多半，一人看一少半，要从这3人中任选2人写观后感在班级交流，请用列表法或画树形图法求选出的2人恰好1人全看完，1人看一多半的概率． 29．某中学为合理安排体育活动，在全校喜欢乒乓球、排球、羽毛球、足球、篮球五种球类运动的500名学生中，随机抽取了若干名学生进行调查，了解学生最喜爱的一种球类运动，每人只能在这五种球类运动中选择一种．调查结果统计如下： 球类名称 乒乓球 排球 羽毛球 足球 篮球 人数 a 12 36 18 b 解答下列问题： (1)________，________； (2)试估计上述500名学生中最喜欢羽毛球运动的人数； (3)该学校将组织趣味运动会，九（1）班决定从3名喜欢乒乓球、1名喜欢羽毛球，1名喜欢篮球的5名学生中随机抽取2人作为班级代表参加活动，那么被抽到的2名同学都是喜欢乒乓球的概率是多少？请用树状图或列表法说明理由． 30．实施“双减”政策后，让同学们有了更多的时间来做自己喜欢的事．为了了解我市某区学生参与课外阅读的情况，某校“同悦读·共成长”兴趣小组对全区初中学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并对调查数据进行了统计，绘制成了两幅统计图．但统计图还没有绘制完成，绘制图形的同学就因参加重要比赛活动被抽调走了．如图所示，请根据统计图回答下列问题： (1)本次调查共抽取了 名学生，两幅统计图中的 ， ． (2)已知该区共有3600名初中学生，请你估计该区喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？ (3)全区将举办读书知识竞赛，“同悦读·共成长”兴趣小组计划从3名优秀成员（2男1女）中随机选送2人代表学校参赛，请用列表或画树状图的方法求被选送的两名参赛者为一男一女的概率． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 概率解答题（5种类型30道） 考点01 转盘相关概率问题 考点02 判断是否公平 考点03 设计规则 考点04 跨学科概率问题 考点05 统计与概率综合题 考点01 转盘相关概率问题 1．“七夕情人节”期间，某购物广场举办有奖销售活动，每购物满元，就获得一次转转盘的机会．转动转盘，转盘停止转动后指针对准某个区域，顾客得到相应的指示．小华购物元，获得一次转动转盘的机会，请你根据转盘（如图所示）求： (1)小华中奖的概率；（除了谢谢参与其他均是中奖） (2)小华获得元红包的概率； (3)小华享受八折优惠的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了概率公式的知识，解题的关键是掌握概率的求法． （1）用“中奖”的圆心角的度数除以周角的度数即可求得答案； （2）用“元红包”的圆心角的度数除以周角的度数即可求得答案； （3）用“八折优惠”的圆心角除以周角的度数即可求得答案． 【详解】（1）解：； （2）小华获得元红包的概率为； （3）小华享受八折优惠的概率为． 2．如图1，是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，4．如图2，正方形顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每转动转盘一次，当转盘停止运动时，指针所落扇形中的数字是几(当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘)，就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长． 如：若从圈A起跳，第一次指针所落扇形中的数字是3，就顺时针连续跳3个边长，落到圈D；若第二次指针所落扇形中的数字是2，就从D开始顺时针续跳2个边长，落到圈B；……设游戏者从圈A起跳． (1)嘉嘉随机转一次转盘，求落回到圈A的概率； (2)琪琪随机转两次转盘，用列表法求最后落回到圈A的概率，并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样吗？ 【答案】(1)落回到圈A的概率； (2)，她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样． 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意随机转两次转盘，最后落回到圈A，需要两次和是4的倍数． （1）由共有4种等可能的结果，落回到圈A的只有1种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与最后落回到圈A的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】（1）∵共有4种等可能的结果，落回到圈A的只有1种情况， ∴落回到圈A的概率 ； （2）列表得： 1 2 3 4 1 2 3 4 ∵共有16种等可能的结果，最后落回到圈A的有， ∴最后落回到圈A的概率， ∴她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样． 3．如图，甲分为三等分数字转盘，乙为四等分数字转盘，自由转动转盘． (1)转动甲转盘，指针指向的数字小于3的概率是 ． (2)同时自由转动两个转盘，用列表或画树状图的方法求两个转盘指针指向的数字均为奇数的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】题考查了列表或画树状图的方法求事件的概率，熟练掌握列表或画树状图的方法是解题的关键． （1）列举所有的等可能结果和满足事件条件的等可能结果，再根据概率的计算公式计算即可； （2）先画出树状图，再分别写出所有的等可能结果和满足事件条件的等可能结果，最后根据概率的计算公式计算即可． 【详解】（1）解：转动甲转盘，共有3种等可能结果，指针指向的数字小于3的等可能结果有2种， 所以指针指向的数字小于3的概率是； 故答案为：； （2）解：画树状图： 共有12种等可能结果，其中两个转盘指针指向的数字均为奇数的结果数为4， 所以两个转盘指针指向的数字均为奇数的概率为． 4．根据金属活动性顺序可知，（铁）、（锌）、（镁）都可以与稀盐酸反应，而（铜）、（银）与稀盐酸不反应，如图，某学习小组制作了一个可以自由转动的转盘，该转盘被它的半径等分为5个扇形区域，每个扇形内分别写有一种金属、转动转盘、待转盘自动停止后，指针指向一个扇形内部，则该扇形内的金属即为转出的金属、此时称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形内部为止） (1)小西转动转盘一次，转出的金属是“”的概率为______； (2)小西转动转盘一次后，小安再转动转盘一次，请用列表或画树状图的方法，求两人转出的金属都能与稀盐酸反应的概率． 【答案】(1) (2)见详解， 【详解】（1）解：∵该转盘被它的半径等分为5个扇形区域，每个扇形内分别写有一种金属 ∴转出的金属是“”的概率为， 故答案为： （2）解：依题意，先把（铁）、（锌）、（镁）、（铜）、（银）分别记为，画树状图如下图所示： ∴一共有种等可能的结果，满足两人转出的金属都能与稀盐酸反应的结果有种 ∴两人转出的金属都能与稀盐酸反应的概率为． 5．如图，现有一个圆形转盘被平均分成6等份，分别标有2，3，4，5，6，7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．(当指针指向分割线时，则重新转动) (1)转到数字大于1是__________事件；(填“随机”或“必然”或“不可能”) (2)转动转盘，转出的数字大于5的概率是__________； (3)现有一张卡片写有数字1，随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字；再转动转盘，停止后记下转出的数字，把两次的数字与卡片上的数字作为三条线段的长度．用画树状图或列表法求这三条线段能构成三角形的概率是多少? 【答案】(1)必然 (2) (3) 【详解】（1）解：转到数字大于1是必然事件； 故答案为：必然 （2）解：转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，大于5的结果有2种， ∴转出的数字大于5的概率是， 故答案为： （3）列表如下： 2 3 4 5 6 7 2 （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） （7，2） 3 （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） （7，3） 4 （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） （7，4） 5 （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） （7，5） 6 （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） （7，6） 7 （2，7 （3，7） （4，7） （5，7） （6，7） （7，7） 由列表可得共有36种等可能的结果，其中能构成三角形的只有6种结果， ∴（这三条线段能构成三角形）． 6．如图，一个质地均匀的转盘，被分成面积相等的三个扇形，指针的位置固定，当转盘自由转动停止后，观察指针指向区域内的数字（若指针正好指向分界线，则重新转一次，直至指针指向区域内的数字）． (1)转动转盘一次，则转出的数字是非负数的概率为_______； (2)转动转盘两次，求两次转动转盘指针指向的数字之积为零的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：转出的数字是非负数的概率为：； 故答案为：； （2）解：列表如下： 0 2 0 0 0 0 0 1 2 0 4 由列表知，所有可能的结果共有9种，其中乘积为0的结果有5种， 则两次转动转盘指针指向的数字之积为零的概率为． 答：两次转动转盘指针指向的数字之积为零的概率为． 考点02 判断是否公平 7．为迎接第30个世界读书日，某校计划开展以“阅读与科技融合，书香与梦想齐飞”为主题的读书活动，并计划在每班选一名“阅读领航员”．九年级（1）班的小明和小华同学均符合要求，于是班长设计了抽扑克牌的方式来决定选谁．具体方法如下：将梅花和红桃分开，背面朝上洗匀，放在桌面上，小明在4张梅花中随机抽1张，小华在4张红桃中随机抽1张，规定谁抽取的牌面数字大，就选谁， (1)小明抽到牌面上的数字是“3的倍数”的概率为________； (2)请用列表或画树状图的方法，判断班长设计的这种方式对双方是否公平，并说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查了概率公式的应用，列表法或画树状图法求概率； （1）根据概率公式计算即可； （2）画树状图得出共有16种等可能的结果，小明抽到牌面数字大于小华抽到牌面数字的结果有7种，小华抽到牌面数字大于小明抽到牌面数字的结果有9种，然后求出选小明和选小华的概率，进而可得答案． 【详解】（1）解：∵小明抽到牌面上的数字共有4种情况，其中是“3的倍数”的为3和6，有两种， ∴小明抽到牌面上的数字是“3的倍数”的概率为， 故答案为：； （2）不公平； 理由：画树状图如下， 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中小明抽到牌面数字大于小华抽到牌面数字的结果有7种，小华抽到牌面数字大于小明抽到牌面数字的结果有9种， （选小明）（选小华）， ， ∴不公平． 8．小明和小亮玩纸牌游戏，他们从同一副扑克牌中抽出四张（如图所示），牌面数字分别为2、3、4、6，游戏规则如下：将四张牌正面朝下洗匀后放在桌上，小明先从中随机抽出一张并记下牌面上的数字，不放回．小亮再从剩余的3张中随机抽出一张也记下牌面上的数字．若抽出的两张牌的牌面数字之和是偶数，则小明获胜；否则，小亮获胜． (1)小明抽到的牌面数字是__________数的可能性大；（选填“奇”或“偶”） (2)这个游戏规则对双方是否公平？请用列表或画树状图的方法说明理由． 【答案】(1)偶 (2)这个游戏规则对双方公平，见解析 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，简单的概率公式，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用简单概率公式求解，然后比较即可； （2）画出树状图，分别求出他们获胜的概率，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：抽到的牌面数字是偶数的可能性为：， 抽到的牌面数字是奇数的可能性为：， ∴抽到偶数的可能性大， 故答案为：偶； （2）这个游戏规则对双方公平．            理由：画树状图如下：        由树状图可知共有12种等可能的结果，其中两数之和为偶数的结果有6种，两数之和为奇数的也有6种， （小明获胜）（小亮获胜）， 这个游戏规则对双方公平． 9．孪生素数就是相差2的素数对，是否存在无限多对孪生素数，这就是孪生素数猜想，它是数论中的核心问题．2013年华人数学家张益唐在孪生素数问题上取得重大突破．走走同学制作了四张背面完全相同的卡片，正面分别写上四个最小的素数2，3，5，7，将这四张卡片背面朝上洗匀放好． (1)格格从这四张卡片中随机抽取一张，则正面数字是偶数的概率是________； (2)走走和格格做游戏，从以上四张卡片中，随机抽取两张卡片，若两张卡片上的数字是孪生素数，则走走获胜；否则，格格获胜．请用列表或画树状图的方法，判断上述游戏是否公平，并说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查列表法求概率，正确的列出表格，是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：随机抽取一张共4种等可能的结果，其中是偶数只有1种， ∴正面数字是偶数的概率是； （2）不公平，理由如下： 由题意，列表如下： 2 3 5 7 2 3 5 7 共有12种等可能的结果，其中是孪生素数的结果有4种， ∴走走获胜的概率为，格格获胜的概率为：； ∵， ∴游戏不公平． 10．行酒令是汉族民间风俗之一，是一种有中国特色的酒文化，大家轮流说诗词、联语或其他游戏，明朝唐之淳在《忆吴越风景》中写道“旋折藕花行酒令，细书蕉叶送诗筒”．行酒令中有一种游戏称为“虎棒鸡虫令”．“二人相对，以筷子相声，同时口喊虎、喊棒、喊鸡、喊虫、以棒打虎、虎吃鸡、鸡吃虫、虫嗑棒论胜负，负者饮．若棒与鸡，虎与虫同时被喊出或两人喊出同一物，则不分胜负，继续喊．”依据上述规则，张三和李四同时随机喊出其中一物，两人只喊一次．（提示：可以用分别表示“老虎”“棒子”“鸡”“虫”） (1)若张三已经决定喊“虎”，那么李四获胜的概率为___________； (2)判断这个游戏是否公平，并说明理由． 【答案】(1) (2)游戏公平，理由见解析 【分析】本题考查利用概率公式求概率，利用树状图或列表求概率，熟练掌握根据题意画出树状图或列表是解题的关键． （1）张三喊出“虎”，李四可能喊出“虎”、“棒”、“鸡”、“虫”四种情况，其中“虎棒”， 李四胜，利用概率公式求概率即可； （2）用，，，分别表示老虎，棒子，鸡，虫，画出树状图，分别计算出张三和李四获胜的概率，即可解答． 【详解】（1）解：张三喊出“虎”，李四可能喊出“虎”、“棒”、“鸡”、“虫”四种情况， 其中“虎棒”， 李四胜， ∴张三喊出“虎”, 李四取胜的概率为， 故答案为：； （2）解：游戏公平，理由如下： 用，，，分别表示老虎，棒子，鸡，虫， 画树状图如下： 共种等可能的情况，其中张三获胜的有、、、，共种， 则张三获胜的概率是， 其中李四获胜的有、、、，共种， 则李四获胜的概率是， 则张三、李四获胜的概率相等， 所以游戏公平． 11．为了提升博物馆的服务质量，更好地发挥其文化宣扬和传承方面的作用，某博物馆面向社会招募志愿者某校现有名同学准备参加该博物馆志愿服务工作，其中男生人，女生人． (1)若从这名志愿者中随机选取一人作为联络员，则选到男生的概率为______． (2)若该博物馆的某项工作只在甲、乙两名志愿者中选一名，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为，，，的扑克牌背面完全相同洗匀后，数字朝下放于桌面，甲先从四张牌中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的牌中随机抽取一张若所抽取的两张牌的牌面数字之和为偶数，则甲参加；否则，乙参加请用画树状图法或列表法说明该游戏对双方是否公平． 【答案】(1) (2)该游戏对双方不公平，见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断以及树状图法球概率．判断游戏公平性就要计算每个人的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取的两张牌的牌面数字之和为偶数的结果有4种，抽取的两张牌的牌面数字之和不为偶数的结果有8种，再由概率公式求出所抽取的两张牌的牌面数字之和为偶数的概率和抽取的两张牌的牌面数字之和不为偶数的概率，再比较即可． 【详解】（1）解：∵现有10名同学准备参加该博物馆志愿服务工作，其中男生6人、女生4人， 从这10名志愿者中随机选取一人作为联络员，则选到男生的概率为， 故答案为：； （2）解：该游戏对双方不公平，理由如下： 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取的两张牌的牌面数字之和为偶数的结果有种，抽取的两张牌的牌面数字之和不为偶数的结果有8种， 所抽取的两张牌的牌面数字之和为偶数的概率为，抽取的两张牌的牌面数字之和不为偶数的概率为， ， 该游戏对双方不公平． 12．新素材 杜鹃花、香樟树杜鹃花是江西省省花，杜鹃红是江西省红色旅游的象征色；香樟树是江西省省树，香樟绿是构筑绿色江西最基本的原色．如图中的3张卡片有2张正面印着杜鹃花，1张正面印着香樟树，卡片的形状、大小、质地和背面图案都完全相同，现将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上． (1)从中随机抽取1张卡片，抽到正面印着杜鹃花的卡片的概率是 ； (2)小明和小颖玩抽卡片游戏，规则如下：小明从以上3张卡片中随机抽取1张，放回洗匀后小颖再随机抽取1张，若2张卡片正面图案相同，则小明赢，否则小颖赢．请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平． 【答案】(1) (2)不公平，说明见解析 【分析】本题主要考查了概率的计算，概率的应用，根据概率判断游戏的公平性是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）用列表或画树状图的方法先计算出小明和小颖赢的概率，比较大小，判断游戏是否公平即可． 【详解】（1）解：因为3张卡片有2张正面印着杜鹃花，从中随机抽取1张卡片，抽到正面印着杜鹃花的卡片的概率是， 故答案为：； （2）解：将印着杜鹃花的2张卡片分别记为，，将印着香樟树的卡片记为B． 方法一：根据题意，列表如下． B B 由表格可知，共有9种等可能的情况，其中2张卡片正面图相同的情况有5种， ∴小明赢的概率为 ，小颖赢的概率为      ∴这个游戏不公平．     方法二：根据题意，画树状图如下． 由树状图可知，共有9种等可能的情况，其中2张卡片正面图案相同的情况有5种， ∴小明赢的概率为 ，小颖赢的概率为      ∵ ∴这个游戏不公平． 考点03 设计规则 13．小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券．于是，老师就设计了这样的一个游戏：一口袋装有除颜色外均相同的2个白球1个红球和1个蓝球，通过摸球来决定谁去观看演出．方案如下：第一次随机从口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一白一红”，则小颖去观看；摸到“一红一蓝”，则小亮去观看． (1)这个方案公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由； (2)你若认为这个方案不公平，那么请你改变两人胜负规则，设计一个公平的方案． 【答案】(1)这个游戏不公平，详见解析 (2)拿出一个白球或放进一个蓝球，其他不变．游戏就公平了． 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．画出树状图，求出他们各自获胜的概率是解答本题的关键． （1）画出树状图，根据概率公式即可求出概率，比较概率即可得出结论； （2）让二者的概率相同即可． 【详解】（1）解：游戏方案不公平，理由如下： 由树状图可以看出：共有12种可能，摸到“一白一红”有4种，摸到“一红一蓝”的情况有2种， 故小颖获胜的概率为 ，小亮获胜的概率为，所以这个游戏不公平． （2）解：当拿出一个白球时，其他不变，同理可求摸到“一白一红”和摸到“一红一蓝”的概率均是； 或放进一个蓝球，其他不变，则同理可求摸到“一白一红”和摸到“一红一蓝”的概率均是； ∴游戏就公平了． 14．某校举办艺术节，其中A班和B班的节目总成绩并列第一，学校决定从A、B两班中选派一个班代表学校参加全省比赛，B班班长想法是：用八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给A班班长，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：A班班长和B班班长从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则A班去；如果和为奇数，则B班去． (1)请用树状图或列表的方法求A班去参赛的概率； (2)B班班长设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则． 【答案】(1)； (2)游戏不公平，游戏规则可改为：若和小于9则A班去参赛，若和大于9则B班去参赛，若和等于9，则重新抽取． 【分析】（1）利用列表法得出所有可能结果，即可求出A班去参赛的概率； （2）根据（1）中所求数据即可得出A班B班去参赛的概率，从而判断游戏是否公平，将规则修改为两班被选中的概率相等即可． 本题考查概率的求法，掌握利用列表法或树状图求概率是解题的关键． 【详解】（1）所有可能的结果如下表： BA 4 6 7 8 1 (1,4) (1,6) (1,7) (1,8) 2 (2,4) (2,6) (2,7) (2,8) 3 (3,4) (3,6) (3,7) (3,8) 5 (5,4) (5,6) (5,7) (5,8) 一共16种结果，每个结果出现的可能性相同， 和为偶数的概率； ∴A班去参赛的概率为：； （2）游戏不公平． 由（1）列表的结果可知：A班去的概率为，B班去的概率为， ∴游戏不公平，对B班有利． A班班长和B班班长从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，则和可能为，故游戏规则可改为：若和小于9则A班去参赛，若和大于9则B班去参赛，若和等于9，则重新抽取． 15．今年10月，我市即将迎来第十五届省运会．此次省运会的吉祥物是阿福、阿仙．小明和小颖只有一张省运会的门票，正商议着谁去观看．小明提议：我们分别在三张卡片上写“阿、福、仙”，将它们正面朝下放在一起，从中随机抽取两张，能拼成阿福或阿仙我获胜，否则你获胜． (1)请写出小明、小颖获胜的概率 （小明获胜）_____， （小颖获胜）_____； (2)小明的提议对小颖_____；（填“公平”或“不公平”） (3)请你利用若干张卡片，设计一个对小明和小颖都公平的新方案． 【答案】(1)，； (2)不公平； (3)准备四张卡片，分别写“阿、阿、福、仙”，将它们正面朝下放在一起，从中随机抽取一张，抽到“阿”小明获胜，抽到“福”或“仙”小颖获胜．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了概率的计算与应用，熟练掌握概率公式（其中是所有可能的结果数，是事件发生的结果数）是解题的关键． （1）通过列举所有可能的抽取结果，确定小明和小颖获胜的情况数，再根据概率公式计算概率． （2）比较两人获胜的概率，判断是否公平． （3）设计一个两人获胜概率相等的方案． 【详解】（1）解：从三张卡片“阿、福、仙”中随机抽取两张，所有可能的结果有：（阿，福）、（阿，仙）、（福，仙），共种． 能拼成“阿福”或“阿仙”的结果有种，即（阿，福）、（阿，仙）． 所以（小明获胜），（小颖获胜） 故答案为：，； （2）解：因为， 所以小明的提议对小颖不公平． （3）解：示例：准备四张卡片，分别写“阿、阿、福、仙”，将它们正面朝下放在一起，从中随机抽取一张，抽到“阿”小明获胜，抽到“福”或“仙”小颖获胜．（答案不唯一） 16．有5张不透明的卡片，正面的数字分别为0，1，2，3，3，背面图案完全一样，洗匀后，背面朝上放在桌面上． (1)随机抽取一张卡片，求抽到卡片上的数字为3的概率； (2)小明和小丽用这5张卡片做游戏，小明随机抽取一张卡片，若卡片上的数字为偶数，则小明赢；若卡片上的数字为奇数，则小丽赢．这个游戏公平吗？请说明理由； (3)请你利用这5张卡片为小明和小丽设计一个公平的新游戏，不改变卡片的数量和内容，直接写出游戏规则． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了游戏公平性以及概率公式，熟练掌握概率公式，理解游戏规则是解题的关键． （1）直接由概率公式求解即可； （2）分别求出小明赢和小丽赢的概率，再比较即可得出结论； （3）修改游戏规则后，使两人赢的概率相等即可． 【详解】（1）解：（抽到卡片上的数字为3）． （2）解：这个游戏不公平． 理由：， ， 因为， 所以这个游戏不公平． （3）解：小明随机抽取一张卡片，抽到偶数小明赢，抽到数字3小丽赢．（答案不唯一） 17．小明和小颖在一起做游戏．从一个装有4个红球和3个绿球（每个球除颜色外都相同）的不透明口袋中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到绿球小颖获胜． (1)小明获胜的概率是多少？小颖获胜的概率是多少？ (2)该游戏对双方是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，如何设计该游戏，使该游戏对双方公平． 【答案】(1)小明获胜的概率是，小颖获胜的概率是 (2)该游戏对双方不公平，设计该游戏规则见解析 【分析】本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （1）根据概率公式分别计算出摸到红球和绿球的概率，比较大小即可得出答案； （2）答案不唯一，只需使两者获胜的概率相等即可． 【详解】（1）解：（小明获胜）， （小颖获胜）， 答：小明获胜的概率是，小颖获胜的概率是． （2）解：该游戏对双方不公平， 设计该游戏规则为：如可以将其中一个红球换成黄球，从袋中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到绿球小颖获胜，摸到黄球为平局（答案为不唯一，使小明和小颖获胜的概率一样即可）． 18．为响应生态文明，增强居民环保意识，某社区举办“绿色生活”问答赛，答对道以上题目的居民可参与如图①的自由转盘抽奖（指针指向边界需重新转）．请根据以上信息，完成下列问题： (1)小远在此次问答赛中共答对道题目，他转到环保购物袋的概率是 ； (2)请你重新设计一种转盘抽奖方案，使得最后抽到环保卫士徽章、节能台灯和环保购物袋的概率分别为 ，要求奖项包含内容同图①．你可以写出设计方案，也可以在图②中画出具体设计方法（标清楚具体奖项名称）． 【答案】(1) (2)设计方法见解析 【分析】本题考查了几何概率，掌握概率计算方法是解题的关键． （）用环保购物袋所在扇形的圆心角度数除以即可求解； （）根据概率求出各奖项所在扇形圆心角的度数，进而画出设计方法即可； 【详解】（1）解：环保购物袋所在扇形的圆心角度数为， ∴他转到环保购物袋的概率是， 故答案为：； （2）解：∵抽到环保卫士徽章、节能台灯和环保购物袋的概率分别为 ， ∴环保卫士徽章所在扇形圆心角的度数为， 节能台灯所在扇形圆心角的度数为， 环保购物袋所在扇形的圆心角度数为， ∴谢谢参与所在扇形的圆心角度数为， ∴设计方法如图所示： 考点04 跨学科概率问题 19．为了激发学生对理化学科的研究兴趣，某校在初三年级开展了理化实验操作测试，要求每名学生每科只操作一项，题目由学生随机抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目，以两次抽签的结果作为理化实验测试的题目，物理、化学实验操作内容如图所示． 理化实验操作内容物理 实验一：用托盘天平测固体和液体的质量 实验二：探究并联电路中电流的规律 实验三：探究杠杆的平衡条件 化学 实验一：氧气的制取 实验二：溶液酸碱性的检验 实验三：粗盐提纯 (1)求小李同学抽到化学实验一的概率； (2)请你用列表法或画树状图法求出理化实验题目的所有可能的结果，并求出小刚同学抽到物理实验二和化学实验三的概率． 【答案】(1) (2)列表法的所有可能结果见详解， 【分析】本题考查了概率的计算，具体涉及古典概率和用列表法或树状图法求概率． （1）化学实验共有3个（实验一、实验二、实验三），小李抽到化学实验一的情况只有1种，所以根据古典概率型概率公式可得抽到化学实验一的概率为； （2）利用列表法或树状图法先列举所有等可能结果，通过此方法可以得到理化实验题目的所有可能结果共有9种，再计算特定事件概率可得到最终结果． 【详解】（1）解：由题意知，化学共有三个实验可选，每名学生每科只操作一项，题目由学生随机抽签确定， 则小李同学抽到化学实验一的概率为． （2）解：记物理实验一，实验二，实验三分别为A，B，C，化学实验一，实验二，实验三分别为a，b，c，列表如下： A B C a (A，a) (B，a) (C，a) b (A，b) (B，b) (C，b) c (A，c) (B，c) (C，c) 由表可知，共有9种等可能的结果，其中小刚同学抽到物理实验二和化学实验三只有1种结果， ∴， ∴小刚同学抽到物理实验二和化学实验三的概率为． 20．在物理课上，同学们学习了“电学”知识之后，便可以设计一些简单的电路图． (1)如图1所示的电路图中，三个开关并联成一个开关组A，闭合其中任何一个开关，则灯泡发亮是 事件． A．随机            B．不可能            C．必然 (2)如图2，在图1的电路图中，新增一个开关组B，在A、B两个开关组中各闭合一个开关，用树状图或列表法求小灯泡发亮的概率． 【答案】(1)C (2) 【分析】本题考查事件的分类，列表法求概率，熟知跨学科的物理“电学”知识是解答的关键： （1）根据事件的分类，进行判断即可； （2）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：闭合其中任何一个开关，灯泡都会发光， 故灯泡发亮是必然事件； 故选：C； （2）解：列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共有9种等可能的结果，其中小灯泡发亮的结果有3种， ∴小灯泡发亮的概率． 21．如图，某同学学习物理《电流和电路》后设计了如图所示的电路图，其中分别表示四个可开闭的开关，“”表示小灯泡，“”表示电源．电源、小灯泡、开关和线路都能正常工作，当闭合开关中任意一个，再闭合开关时，小灯泡发光，按要求完成下列问题： (1)当开关闭合时，再随机闭合开关或或其中一个，小灯泡发光的概率为__________； (2)当随机闭合开关中的两个，请用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了画树状图或列表法求一个事件的概率． 当开关闭合时，再随机闭合开关或或中的任何一个都可以使小灯泡发光，所以小灯泡发光的的概率为； 列表可知随机闭合开关中的两个，共有种等可能出现的情况，只有闭合的开关中有时，可以使小灯泡发光，可以使小灯泡发光的情况有种情况，从而可求小灯泡发光的概率． 【详解】（1）解：当开关闭合时，再随机闭合开关或或中的任何一个都可以使小灯泡发光， 小灯泡发光的的概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下， 随机闭合开关中的两个，共有种等可能出现的情况， 只有闭合的开关中有时，可以使小灯泡发光， 可以使小灯泡发光的情况有种情况， 可以使小灯泡发光的概率为． 22．我校组织学生进行学考化学实验操作模拟考试，准备了如下四个实验：A（探究化学反应前后物质的质量关系），B（用不同的方法鉴别铁粉和氧化铜粉末），C（粗盐中难溶性杂质的去除），D（探究锌、铁、铜三种金属的活动性顺序）．老师制作了A，B，C，D四个签，四个签除内容不同外，其他没有区别，放置于袋中摇匀． (1)甲从四个签中抽取一个，抽中C实验的概率是______； (2)甲、乙两人分别从袋中随机抽取一个签（有放回），用列表法或画树状图法求两人抽得同一个实验的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽中C实验的结果有1种，利用概率公式可得答案； （2）画树状图可得出所有等可能的结果数，甲、乙两人抽得同一个实验的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽中C实验的结果有1种， ∴抽中C实验的概率是． 故答案为； （2）画树状图如下 共有16种等可能的结果，甲、乙两人抽得同一个实验的的结果数的结果共4种， ∴P(甲、乙两人抽得同一个实验)=． 23．化学实验课上，张老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气） (1)小明从四种金属中随机选一种，则选到的概率为 ； (2)小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属分别进行实验，求二人所选金属均能置换出氢气的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及二人所选金属均能置换出氢气的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，选到的概率为． 故答案为：． （2）（2）列表如下： （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） 共有16种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气的结果有：（,），（,），（,），（,），（,），（,），（,），（,），（,），共9种， ∴二人所选金属均能置换出氢气的概率为． 24．物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．在化学课上，陈超老师为帮助学生正确理解这两种变化，将4种生活现象制作成如图所示的卡片（分别用A，B，C，D表示），四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀． (1)将卡片摇匀后从箱中随机抽取一张，则抽中D卡片的概率是 ； (2)小龙从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求他抽取的两张卡片内容均为化学变化的概率． 【答案】(1) (2)列表见解析， 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽中D卡片的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及他抽取的两张卡片内容均为化学变化的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽中D卡片的结果有1种， ∴抽中D卡片的概率是． 故答案为：． （2）解：列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中他抽取的两张卡片内容均为化学变化的结果有：，，共2种， ∴他抽取的两张卡片内容均为化学变化的概率为：． 考点05 统计与概率综合题 25．居民区内的“广场舞”引起媒体关注，小王想了解本小区居民对“广场舞”的看法，进行一次分四个层次的抽样调查（四个层次为：A．非常赞同；B．赞同但要有时间限制；C．无所谓；D．不赞同），并把调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：    (1)本次被抽查的居民人数是______人； (2)图中的度数是______度； (3)据了解，甲、乙、丙、丁四位居民投不赞同票，小王想从这四位居民中随机选择两位了解具体情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）利用B层次人数除以其所占百分比，即可解题； （2）结合条形统计图，利用乘以层次的人数所占比，即可解题； （3）记甲、乙、丙、丁四位居民分别为，根据题意画出树状图，进而得到总的情况数，以及恰好选中甲和乙的情况数，再结合概率公式求解，即可解题。 【详解】（1）解：（人）， 故答案为：； （2）解：结合条形统计图可知层次的扇形统计图要比层次的扇形统计图小， 所以， 故答案为：； （3）解：记甲、乙、丙、丁四位居民分别为， 根据题意画树状图如下： 由图可知，总共有种情况数，其中恰好选中甲和乙的情况有种， 恰好选中甲和乙的概率为． 26．央行推出数字货币，支付方式即将变革，调查结果晶示，目前支付方式有：A微信、B支付宝、Ｃ现金、D其他，调查组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图： 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)本次一共调查了多少名购买者？ (2)请补全条形统计图； (3)在扇形统计图中，D种支付方式所对应的圆心角为 度； (4)在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“现金”三种付款方式中选一种方式进行付款，请用树状图或列表法求出两人选择不同付款方式的概率． 【答案】(1)200名 (2)作图见解析 (3)72 (4) 【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图以及用列树状图法求概率，明确题意，灵活运用相关数据解题是关键． （1）根据C的人数和所占的百分比可以求得本次调查的购买者的人数； （2）根据统计图中的数据可以求得选择A和D的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （3）用乘以C种支付方式所占的百分比即可得出在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角的度数； （4）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合题意的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解：由条形统计图和扇形统计图得（名）， 答：本次一共调查了200名购买者． （2）解：A种支付方式的有：（人）， D种支付方式的有：（人）， 补全统计图如图所示： （3）解：D种支付方式所对应的圆心角为， 故答案为：72； （4）解：由题意可列树状图如下： 一共产生了9种等可能的结果， 由树状图可得其中两人选择不同付款方式的结果有6种， ∴两人选择不同付款方式的概率为． 27．国家航天局消息：神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功，某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图： (1)此次调查中接受调查的人数为______人，扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角为______； (2)补全条形统计图； (3)该校九年一班非常关注的学生有A、B、C、D四人，随机选取两人去参加学校即将举办的航天知识竞赛，请利用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到A、B两位同学的概率． 【答案】(1)50， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了树状图求概率及条形统计图和扇形统计图等知识． （1）由“关注”的人数除以所占百分比得出此次调查中接受调查的人数；用关注的人数所占百分比乘以即可得到“关注”对应扇形的圆心角的度数； （2）求出“非常关注”的人数，补全条形统计图即可； （3）列出表格，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A、B两位同学的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：（人）， ， 故答案为：50；； （2）解：“非常关注”的人数为：（人），补全条形统计图如下： （3）解：如表所示： A B C D A B C D 共有12种等可能结果，其中抽到A、B两位的结果有2种：，， ． 28．某中学开展“国庆70周年阅兵盛典观看情况”调查活动，随机调查了部分初中生观看阅兵盛典的收视情况，并将调查结果统计后绘制成如图1和图2所示的不完整统计图． (1)被调查初中生的人数为 人； (2)把条形统计图补充完整； (3)若该学校有学生1000人，请估计该校没观看阅兵盛典的学生人数？ (4)某班级3名同学都观看了阅兵盛典，1人完整看完，1人看一多半，一人看一少半，要从这3人中任选2人写观后感在班级交流，请用列表法或画树形图法求选出的2人恰好1人全看完，1人看一多半的概率． 【答案】(1) (2)见解析 (3)估计该校没观看阅兵盛典的学生人数为人 (4) 【分析】本题考查了扇形统计图与条形统计图信息关联，样本估计总体，画树状图法求概率； （1）由“看完整”的人数及其所占百分比可得被调查初中生的人数， （2）用总人数减去其它类型人数求得“看一多半”的人数，据此补全图形即可； （3）用总人数乘以样本中“没看”人数所占百分比可得； （4）设甲完整看完，乙看一多半，丙看一少半，根据画树状图法即可求得结果． 【详解】（1）解：被调查初中生的人数为：（人） 故答案为：． （2）“看一多半”的人数为：（人） 补全条形图如下： （3）（人） 答：估计该校没观看阅兵盛典的学生人数为人； （4）解：设甲完整看完，乙看一多半，丙看一少半 共有种等可能结果，其中恰好1人全看完，1人看一多半的有种， ∴恰好1人全看完，1人看一多半的概率为 29．某中学为合理安排体育活动，在全校喜欢乒乓球、排球、羽毛球、足球、篮球五种球类运动的500名学生中，随机抽取了若干名学生进行调查，了解学生最喜爱的一种球类运动，每人只能在这五种球类运动中选择一种．调查结果统计如下： 球类名称 乒乓球 排球 羽毛球 足球 篮球 人数 a 12 36 18 b 解答下列问题： (1)________，________； (2)试估计上述500名学生中最喜欢羽毛球运动的人数； (3)该学校将组织趣味运动会，九（1）班决定从3名喜欢乒乓球、1名喜欢羽毛球，1名喜欢篮球的5名学生中随机抽取2人作为班级代表参加活动，那么被抽到的2名同学都是喜欢乒乓球的概率是多少？请用树状图或列表法说明理由． 【答案】(1)30，24 (2)150人 (3)，列表见解析 【分析】（1）首先用喜欢排球的人数除以其所占的百分比即可求得样本容量；再用样本容量乘以乒乓球所占的百分比即可求得a，用样本容量减去其他求得b值； （2）用总人数乘以喜欢羽毛球的人所占的百分比即可； （3）设3名喜欢乒乓球、1名喜欢羽毛球，1名喜欢篮球的分别为红1，红2，红3，绿1，绿2，通过列表即可求出被抽到的2名同学都是喜欢乒乓球的概率． 本题考查了树状图法与列表法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】（1）解：∵喜欢排球的有12人，占样本的10%， ∴样本容量为； ∴（人）， （人）； 故答案为：； （2）解：（人）； （3）解：设3名喜欢乒乓球、1名喜欢羽毛球，1名喜欢篮球的分别为红1，红2，红3，绿1，绿2，列表如下： 红1 红2 红3 绿1 绿2 红1 （红1，红2） （红1，红3） （红1，绿1） （红1，绿2） 红2 （红2，红1） （红2，红3） （红2，绿1） （红2，绿2） 红3 （红3，红1） （红3，红2） （红3，绿1） （红3，绿2） 绿1 （绿1，红1） （绿1，红2） （绿1，红3） （绿1，绿2） 绿2 （绿2，红1） （绿2，红2） （绿2，红3） （绿2，绿1） ∵共20种等可能的结果，其中被抽到的2名同学都是喜欢乒乓球的有6种等可能情况， ∴概率为． 30．实施“双减”政策后，让同学们有了更多的时间来做自己喜欢的事．为了了解我市某区学生参与课外阅读的情况，某校“同悦读·共成长”兴趣小组对全区初中学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并对调查数据进行了统计，绘制成了两幅统计图．但统计图还没有绘制完成，绘制图形的同学就因参加重要比赛活动被抽调走了．如图所示，请根据统计图回答下列问题： (1)本次调查共抽取了 名学生，两幅统计图中的 ， ． (2)已知该区共有3600名初中学生，请你估计该区喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？ (3)全区将举办读书知识竞赛，“同悦读·共成长”兴趣小组计划从3名优秀成员（2男1女）中随机选送2人代表学校参赛，请用列表或画树状图的方法求被选送的两名参赛者为一男一女的概率． 【答案】(1)200，84，15 (2)1224人 (3) 【详解】（1）解：这次调查的学生人数为（人）； ， ，所以； 故答案为：200，84，15． （2）解：该区喜欢阅读“A”类图书的学生人数为：（人）． （3）解：画树状图如下： 由树状图可知，所有等可能的结果共有6种，其中一男一女的结果共有4种， 被选送的两名参赛者为一男一女的概率为． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $