专题1.3 三角函数的应用（3大考点+8大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学北师大版九年级下册

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.3三角函数的应用 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01方向角 知识点02仰角与俯角 知识清单 知识点03坡度坡角 题型01方向角问题 题型02仰角俯角问题 三角函数的应用 题型03坡度坡角问题 题型04实物建模问题 题型精讲 题型05物理实验问题 题型06方案设计问题 题型07临界值问题 题型08其它问题 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解仰角、俯角、方位角等实际情境中的概念，能准确识别并标注。 教学目标 2.能将测量、航海等实际问题转化为直角三角形模型，运用三角函数求解未知量。 3.体会数学与生活的联系，提升数学建模能力和应用意识，增强问题解决能力。 1.重点 (1)熟练掌握三角函数的边角关系，能根据实际问题选择合适的关系式计算。 教学重难点 (2)核心是将实际问题抽象为直角三角形模型，明确已知条件与所求量的关联。 2.难点 1/26 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)复杂情境中难以准确作辅助线构造直角三角形，或无法理清图形中的边角对应关 系。 (2)灵活处理含多个直角三角形的综合问题，突破实际情境解读与模型转化的障碍。 知识清单 知识点01方向角 方向角的概念：是指采用某坐标轴方向作为标准方向所确定的方位角。 北 D八30 50 西 东 80 459 【即学即练1】 1.(24-25九年级上广东阳江阶段练习)如图，一艘军舰在A处测得小岛P位于南偏东60°方向，向正东航 行40海里后到达B处，此时测得小岛P位于南偏西75°方向，则小岛P离观测点A的距离是()海里 B 60 75 A,20V2 B.20V5-20 C.20V5 D.20W5-202 2.（2025九年级上·全国·专题练习)如下图，CD是一座东西走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路1上由南 向北行驶，在A处测得桥头C在北偏东30°方向上，继续行驶500m后到达B处，测得桥头D在北偏东45° 方向上，已知大桥CD长300m,求桥头C到公路1的距离（结果保留根号）. 北 个→东 459 30 知识点02仰角与俯角 仰角：在竖直面内的水平线与向上递升线段之间的角度（朝上看时，视线与水平面夹角为俯角）。 俯角：在竖直面内的水平线与向下递降线段之间的角度（朝下看时，视线与水平面夹角为俯角）。也指从测 2/26 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 量员的仪器到照准点所观测到的地平线以下的垂直角。另外，视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平 面内，视线与水平线所成的角也叫俯角。俯角范围0°到180°。 铅 →视线 仰角 水平线 俯角 、视线 【即学即练2】 1,(24-25九年级下.宁夏吴忠·期中)哈尔滨龙塔坐落于经济技术开发区，在钢结构塔中位居亚洲第一，世 界第二，在塔上有一个室外观光平台A可以欣赏的哈尔滨市的全景，室外观光平台中央位置A距离塔顶P 约146米，一名同学站在C处观察A点的仰角为45°，观察P点的仰角为60.5°，则龙塔PB的高度 为 _,（已知：tan60.5°≈1.77，cos60.5°≈0.492，sin60.5°≈0.870)（精确到1米） B 2.(2025.宁夏银川一模)如图，大楼高30m,附近有一座塔BC,某人在楼底A处测得塔顶的仰角为60°， 爬到楼顶D处测得塔顶的仰角为30°，求塔高BC及大楼与塔之间的距离AC(结果精确到0.01，参考数 据：V3≈1.732，√2≈1.414) B 如图，大楼AD高30m,远处有一塔BC,某人在楼底A处测得塔J顶的仰角为45°， A 爬到楼顶D测 知识点03坡度坡角 1.坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度1的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一 般用i表示，常写成l:m的形式. 2.坡面与水平面的夹角a叫做坡角，坡度i与坡角a之间的关系：h/1=tama. 3.在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正 3/26 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题， 【即学即练3】 1.(2025·上海宝山模拟预测)有一斜坡的坡度12：5，斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜 坡的长度为米， 2.(2025河北邯郸·三模)如图，甲在楼房上的点N处测得斜坡1的坡底点A的俯角为60°，乙在楼房顶端 点M处测得斜坡1上的点B处的俯角为45°，AP=10m,AB=8m,点B到地面的距离为4m. M 45 609 B A P m (1)求斜坡1的坡角∠BAC的度数； (2)求点M与点N的高度差. 题型精讲 题型01方向角问题 【典例1】(2025·湖南长沙模拟预测)如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏 东30°方向上，若AB=2N5千米，则点P到直线AB距离PC为() 北 309 60° A A,3千米 B.5千米 C.2千米 D.1千米 【变式1】(24-25九年级上·黑龙江绥化期末)如图，海中有个小岛A,一艘轮船由西向东航行，在点B处 测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北 偏西60°方向，求轮船航行的路程BD为海里 4/26 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 →东 459 60° B D 【变式2】(24-25八年级下·陕西咸阳·期中)如图所示，某船在A处观测海岛B在北偏东60°方向，该船沿 正东方向航行到C处，在C处观测海岛B在北偏东30°方向，又沿正东方向继续航行到D处，在D处观测 海岛B在北偏西30°方向，当轮船到达C处时恰好与海岛B相距20海里，请你求出C处和D处之间的距 离CD. B 60 D →东 【变式3】(24-25九年级下·黑龙江大庆·期中)如图，一艘轮船位于灯塔P北偏东37°方向与灯塔距离为 2003海里的A处，它沿正南方向航行4小时后，到达位于灯塔P北偏东60°方向的B处， 北 →东 D (I)求此时轮船所在B处与灯塔P的距离， (2)求轮船航行的速度为多少海里/小时. (参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，结果保留根号) 题型02仰角俯角问题 【典例2】(2024九年级下·湖南·专题练习)如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角x为30°，看这栋 楼底部C的俯角阝为60°，无人机与楼的水平距离为30m,则这栋楼的高度为() 4.60v3m B.503m C.40v3m D.30v3m 5/26 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1】(2025·内蒙古模拟预测)在呼和浩特东郊开阔的平川上，一座灰白色的宝塔拔地凌空，直刺云天， 大有“一柱擎天”之势，这便是驰名塞外的万部华严经塔，因其白色，所以俗称“白塔”，某数学小组测量白塔 的高度，如图，他们选取的测量点A与塔的底部B在同一水平线上.已知塔顶为高14米的塔刹，在A处测 得塔顶D的仰角为52°，塔刹底部C的仰角为43.5°，则塔BD的高约为 m,(结果精确到0.lm,参考 数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28，sin43.5°≈0.69，cos43.5°≈0.73，tan43.5°≈0.95) B 图1 图2 【变式2】(2025·甘肃定西·模拟预测)山西是我国的古建筑之乡，有地上文物看山西的美誉.图1是位于山 西大同的应县木塔.如图2，小方站在点C处操纵无人机到与C水平距离为10米的D处，无人机在D处 测得小方所在位置的俯角为60°，木塔顶部点B的仰角为40°，已知无人机与木塔的水平距离为60米，点 A,B,C,D在同一平面上，求应县木塔AB的高度，（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77， tan40°=0.84，V3≈1.73） B 60° 图1 图2 【变式3】(2025陕西咸阳·二模)随着2025年第九届丝博会的热度，“丝绸之路”再度成为全球热点，位于 西安市玉祥门外盘道中心岛的张骞塑像也引来很多外地游客参观.某数学兴趣小组计划进行测量该塑像高 度的实践活动，测量示意图如图所示，小刚将无人机（无人机的高度忽略不计）放在塑像正前方的地面A 处，测得塑像顶部C的仰角为45°，随后操作无人机竖直向上升高13.8m到点B处，测得塑像顶部C的俯角 为22°，已知点A,B,C与塑像底部D在同一平面内，且AB,CD均垂直于地面AD,求该塑像的高度 CD,(结果保留一位小数.参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40) 6/26 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B5122° 45 D 题型03 坡度坡角问题 【典例3】(25-26九年级上山东淄博阶段练习)河堤横断面如图所示，斜坡AB的坡度=1：5，AB=6m, 则BC的长是 B C 【变式1】(24-25九年级上·四川巴中·期中)某水坝的坡比为1：√3，坡长为20米，则该水坝的高度为() A.40米 B.20V5米 C.20米 D.10米 【变式2】(24-25九年级上·山东聊城期中)自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多， 为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造，如图2所示，改造前的斜坡AB=200 米，坡度为1：V3;斜坡AB改造为斜坡CD,斜坡CD=260米，其坡度为1：3，求斜坡AB下降的高度 AC.(结果保留根号) D B 图1 图2 【变式3】(2025河北唐山·三模)如图，已知山坡AB的坡度为1=1：2.4，山坡BC的坡度为=1：0.75，山 坡CD的坡角∠D=30°，已知点B到水平面AD的距离为l00m,山坡CD的长为1000m,某登山队沿山坡 AB-BC上山后，再沿山坡CD下山， D (I)求山顶点C到水平面AD的距离； (2)求山坡AB-BC的长. 题型04实物建模问题 7/26 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例4】(24-25九年级上·河南平顶山期末)图1是某品牌实物投影仪，图2是它的示意图，折线B-A-O 表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O,点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时， 投影探头CD始终垂直于水平桌面OE,经测量：AO=6cm,CD=8cm,AB=50cm,BC=55cm,(参考数据： sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77) 70 图1 图2 图3 (1)如图2，∠ABC=70°，BC∥OE. ①填空：∠BAO=_°；②投影探头的端点D到桌面OE的距离为_cm, (2)如图3，将(1)中的BC向下旋转，当∠ABC=30°时，求投影探头的端点D到桌面OE的距离. 【变式1】(2025江苏盐城中考真题)一种遮阳伞如图，遮阳伞支架AB垂直于地面BC,D在AB上， AD=0.6m,D、E、F三点共线，DF=3DE=3AE,.当太阳光线与DF垂直时，它与地面的夹角正好为 60°，则DF落在地面上的投影GH=m, 60 B G HC 图(1) 图(2) 【变式2】(2025河北唐山二模)如图，学习桌是学习辅助的一种工具，桌子高度可升降调节、桌面可自由 倾斜，桌面收起时可以近似的看作与地面平行，其中图1、图2是桌面水平和倾斜放置的实物，图3是桌面 倾斜放置的示意图，其中AO表示学习桌桌面的宽，BC、CO表示学习桌的支架，此时桌面AO=60厘米， 桌面调整角度∠B4O=37°.（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8） 图1 图2 图3 (I)直接写出AB= 厘米： (2)求出此时B到AO的距离； 8/26 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)若CO⊥AB,BC=8V3,直接写出∠BCO的度数. 【变式3】(2025九年级宁夏专题练习)按照中央、省市关于城市燃气管网专项治理工作的部署和安排， 我市正在进行城镇燃气管网老化更新改造工程.图1是改造现场一辆伸缩臂高空作业车的实物图，图2是 其工作示意图（点A,B,C,D,E,F,G,H都在同一平面内） B C E HD 图1 图2 如图2，伸缩臂高空作业车CD固定不动，转轴BC固定不动，转动点B离地面EG的高度BH为3.4m,起 重臂AB长为6.1m,∠ABH=125°，楼高FG为14.4m,操作平台A在FG上. (结果精确到0.lm,参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70) (1)求此时操作平台A离地面的高度AG; (2)若起重臂AB可以绕点B上下转动，且长度可伸缩，最长可伸长为13m,则操作平台A能到达楼顶F吗？ 为什么？ 题型05物理实验问题 【典例5】(2025河南一模)帆船是一种古老的水上交通工具，己有5000多年的历史.它主要依靠自然风 力航行.如图是帆船逆风航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠DB4为65°，帆与 航行方向的夹角∠DBE为25°，风对帆的作用力F为500N.根据物理知识，F可以分解为两个力F与耳， 其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力耳又可以分解为两个力与∫，∫与航行方向垂直，被舵的 阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力.在物理学上常用线段的长度表示力的大小， 若F=AB=500,求推动帆船前行的动力f的值，（精确到0.1N,参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77， tan40°≈0.84，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14) 9/26 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 逆风行驶 风向 船航行方向 F 帆 E F B G 【变式1】(2024福建泉州模拟预测)我们在物理学科中学过光线从空气射入并水中会发生折射现象（如 图1).为了观察光线的折射现象，设计了如图2所示的实验，利用激光笔MN发射一束红光，容器中不装 水时，光斑恰好落在B处，加水至EF处，光斑左移至C处.图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形， 测得入射角∠PDG=x,折射角∠CDH=B,BF=m,则光斑移动的距离BC的长为，（用含，阝， m的代数式表示) 入射角 M 上法线 介质 折射角才、 图1 图2 图3 【变式2】(2024湖南一模)小华同学在家看电视的时候因误触遥控器导致换台，但遥控器并没有对准电 视.小华想起物理课上学习过的光的反射，并猜想是遥控器的红外线信号在墙壁等其他光滑的地方发生反 射然后被信号传感器接收导致换台，小华在好奇心驱使下验证了自己的设想，如图所示，CD为竖直的平面 镜(CD足够长)，AB的长度为信号传感器可接收信号的水平宽度，AB⊥CD,小华坐在距离AB距离为d 的点H,然后小华用遥控器水平对着平面镜CD持续按按钮，发现当x≤∠DQH≤B时电视可以换台（假设 红外线在Q点反射)，求信号传感器可接收信号的水平范围AB,(结果含x,阝，d) A D B D H 【变式3】(2025江西宜春·三模)【学科综合】我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中时会发生折射 10/26 专题1.3 三角函数的应用 教学目标 1. 理解仰角、俯角、方位角等实际情境中的概念，能准确识别并标注。 2. 能将测量、航海等实际问题转化为直角三角形模型，运用三角函数求解未知量。 3. 体会数学与生活的联系，提升数学建模能力和应用意识，增强问题解决能力。 教学重难点 1.重点 （1）熟练掌握三角函数的边角关系，能根据实际问题选择合适的关系式计算。 （2）核心是将实际问题抽象为直角三角形模型，明确已知条件与所求量的关联。 2.难点 （1）复杂情境中难以准确作辅助线构造直角三角形，或无法理清图形中的边角对应关系。 （2）灵活处理含多个直角三角形的综合问题，突破实际情境解读与模型转化的障碍。 知识点01 方向角 方向角的概念：是指采用某坐标轴方向作为标准方向所确定的方位角。 【即学即练1】 1．（24-25九年级上·广东阳江·阶段练习）如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（ ）海里 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，含角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．过点作，交的延长线于，由题意可知，由含的直角三角形的性质可得出海里，再通过角度的计算得出，通过等角对等边可得出海里，根据余弦的定义求出，最后根据线段的和差关系可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于， 则， 由题意可知：，海里， ∴海里，， ∵， ∴， ∴, ∴海里， ∵， ∴海里， ∴海里， 故选：B． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）如下图，是一座东西走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由南向北行驶，在处测得桥头在北偏东方向上，继续行驶500m后到达处，测得桥头在北偏东方向上．已知大桥长300m，求桥头到公路的距离（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 延长交直线于，设米，根据题意得，，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：如图，延长交直线于点，则．设． 在中，， ， 在Rt中， ， 又， 解得， 故桥头到公路的距离为． 知识点02 仰角与俯角 仰角：在竖直面内的水平线与向上递升线段之间的角度（朝上看时，视线与水平面夹角为俯角）。 俯角：在竖直面内的水平线与向下递降线段之间的角度（朝下看时，视线与水平面夹角为俯角）。也指从测量员的仪器到照准点所观测到的地平线以下的垂直角。另外，视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角也叫俯角。俯角范围0°到180°。 【即学即练2】 1．（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）哈尔滨龙塔坐落于经济技术开发区，在钢结构塔中位居亚洲第一，世界第二，在塔上有一个室外观光平台A可以欣赏的哈尔滨市的全景，室外观光平台中央位置A距离塔顶 P约146米，一名同学站在C处观察 A点的仰角为，观察P点的仰角为，则龙塔 的高度为 ．（已知：）（精确到1米） 【答案】336米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数，是解题的关键，设，分别解，求出的长，根据线段的和差关系，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，，设， 在中，， 在中，， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴； 故答案为：336 2．（2025·宁夏银川·一模）如图，大楼高，附近有一座塔，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为，爬到楼顶处测得塔顶的仰角为，求塔高及大楼与塔之间的距离（结果精确到，参考数据：） 如图，大楼高，远处有一塔，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为，爬到楼顶D测 【答案】塔高为45米，大楼与塔之间的距离为25.98米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是通过构建直角三角形，利用三角函数关系列方程求解． 设塔高为，通过借助仰角构造直角三角形，利用正切函数关系建立方程求解塔高及楼与塔之间的距离，用到数形结合思想与方程思想． 【详解】设塔高为． 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解，得， 这时，（ 答：塔高为45米，大楼与塔之间的距离约是25.98米． 知识点03 坡度坡角 1. 坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式． 2.坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系：i=h/l=tanα． 3.在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 【即学即练3】 1．（2025·上海宝山·模拟预测）有一斜坡的坡度i=12∶5，斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为 米． 【答案】2.6 【分析】本题主要考查了对坡度的理解，坡度通常定义为垂直高度与水平距离的比值． 题目中给出的坡度i=12∶5，表示垂直高度与水平距离的比例为，已知最高点到地面的距离为2.4米，需先求出水平距离，再利用勾股定理求斜边长． 【详解】设水平距离为米，斜边长为米， 根据题意可得：， ， ． 故答案是2.6． 2．（2025·河北邯郸·三模）如图，甲在楼房上的点N处测得斜坡l的坡底点A的俯角为，乙在楼房顶端点M处测得斜坡l上的点B处的俯角为，，，点B到地面的距离为 (1)求斜坡l的坡角的度数； (2)求点M与点N的高度差． 【答案】(1) (2)点M与点N的高度差为 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角函数（正弦、正切）的应用及解直角三角形的知识点，关键在于通过作辅助线构造直角三角形，利用已知条件和三角函数关系计算未知量，特别是正确识别和应用俯角、坡角等概念，以及灵活运用三角函数解决实际问题的能力． （1）通过作辅助线构造直角三角形，利用已知的点B到地面距离和长度，根据三角函数正弦值求出的度数； （2）先分别求出和的长度，再通过两者相减得到点M与点N的高度差． 【详解】（1）解：过B作于E， 在中， ，， ， ， ， 答：斜坡l的坡角的度数为； （2）过点B作于F，则，， ， ， ，， ， ， ， 答：点M与点N的高度差为． 题型01 方向角问题 【典例1】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 【答案】A 【分析】本题主要利用方向角、三角形外角性质、等角对等边的性质以及正弦函数的定义来求解，准确计算是解题的关键． 根据题意可得到，，再根据三角形外角性质得到，利用等角对等边得到，再利用正弦值求解即可． 【详解】由题意得：，，， 是的一个外角， ， ， ， 在中，（千米）． 点到直线的距离为千米． 故选：． 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西方向，求轮船航行的路程为 海里． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值． 过点A作，根据方位角及三角函数即可求解． 【详解】解：如图，过点A作， 依题意可得， ∴是等腰直角三角形，（海里）， ∴（海里）， 在中，， ∴ （海里）， ∴（海里）， 故答案为： ． 【变式2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图所示，某船在A处观测海岛B在北偏东方向，该船沿正东方向航行到C处，在C处观测海岛B在北偏东方向，又沿正东方向继续航行到D处，在D处观测海岛B在北偏西方向，当轮船到达C处时恰好与海岛B相距20海里，请你求出C处和D处之间的距离CD． 【答案】海里 【分析】本题主要考查了方位角问题，等角对等边，三角形的外角定理，等边三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 先根据方位求出相关角的度数，根据等角对等边得出相等的边，再判定为等边三角形，根据相等的边进行求解即可． 【详解】解：在A处观测海岛B在北偏东方向， ， 在C处观测海岛B在北偏东方向， ， 由三角形外角的性质定理得，， ， 在D处观测海岛B在北偏西方向， ， 由三角形的内角和得，， 为等边三角形， （海里）， （海里）． 【变式3】（24-25九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，一艘轮船位于灯塔北偏东方向与灯塔距离为海里的处，它沿正南方向航行小时后，到达位于灯塔北偏东方向的处．    (1)求此时轮船所在处与灯塔的距离． (2)求轮船航行的速度为多少海里/小时． （参考数据：，，，结果保留根号） 【答案】(1)此时轮船所在处与灯塔的距离是海里 (2)轮船的航行的速度为海里/小时 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握 三角函数的定义是解题的关键； （1）过点作的延长线于点，解，，即可求解； （2）解，，分别求得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：过点作的延长线于点， 由题意，知，，海里， 在中，， 海里， 在中，， 海里， 答：此时轮船所在处与灯塔的距离是240海里．    （2）在中，， 海里， 在中，， 海里， 海里， 轮船的航行的速度为：海里/小时， 答：轮船的航行的速度为海里/小时． 题型02 仰角俯角问题 【典例2】（2024九年级下·湖南·专题练习）如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键． 过点A作于点D，则，分别在和中，利用锐角三角函数求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点D，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：C 【变式1】（2025·内蒙古·模拟预测）在呼和浩特东郊开阔的平川上，一座灰白色的宝塔拔地凌空，直刺云天，大有“一柱擎天”之势，这便是驰名塞外的万部华严经塔，因其白色，所以俗称“白塔”．某数学小组测量白塔的高度，如图，他们选取的测量点A与塔的底部B在同一水平线上．已知塔顶为高14米的塔刹，在A处测得塔顶D的仰角为，塔刹底部C的仰角为，则塔的高约为 ．（结果精确到．参考数据：，，，，，）    【答案】54.3 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角、俯角问题，熟练掌握知识点，准确理解题意是解题的关键． 先根据正切的定义表示出，，再根据求出，进而求解即可． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴米， 故答案为：54.3． 【变式2】（2025·甘肃定西·模拟预测）山西是我国的古建筑之乡，有地上文物看山西的美誉．图1是位于山西大同的应县木塔．如图2，小方站在点C处操纵无人机到与C水平距离为10米的D处，无人机在D处测得小方所在位置的俯角为，木塔顶部点B的仰角为，已知无人机与木塔的水平距离为60米，点A，B，C，D在同一平面上，求应县木塔的高度．（参考数据，，，） 【答案】应县木塔的高度为米 【分析】过点D作于点E，交的延长线于点F．根据仰角，俯角计算即可． 本题考查了仰角，俯角的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过点D作于点E，交的延长线于点F． 根据题意得四边形是矩形，． 在中，， ∵， ∴（米）， ∵， ∴，， ∴（米）， ∴（米）． 答：应县木塔的高度为米． 【变式3】（2025·陕西咸阳·二模）随着2025年第九届丝博会的热度，“丝绸之路”再度成为全球热点，位于西安市玉祥门外盘道中心岛的张骞塑像也引来很多外地游客参观．某数学兴趣小组计划进行测量该塑像高度的实践活动，测量示意图如图所示，小刚将无人机（无人机的高度忽略不计）放在塑像正前方的地面A处，测得塑像顶部C的仰角为，随后操作无人机竖直向上升高到点B处，测得塑像顶部C的俯角为，已知点A，B，C与塑像底部D在同一平面内，且，均垂直于地面，求该塑像的高度．（结果保留一位小数．参考数据：，，） 【答案】 【分析】过点作，垂足为，证明四边形为正方形，在中，利用即可列出方程进行求解．本题主要考查解三角形的应用． 【详解】如图，过点作，垂足为， ，，， 四边形是矩形． ， ， 四边形为正方形， ． 从点测得点的俯角为， ∴根据平行直线的性质可知， ， 在中，， 解得， 该塑像的高度约为． 题型03 坡度坡角问题 【典例3】（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）河堤横断面如图所示，斜坡AB的坡度，，则的长是 【答案】 【分析】本题考查了坡度的定义、锐角三角函数（正切函数）的应用以及直角三角形中角的性质，解题的关键是理解坡度与直角三角形两直角边的比例关系，将坡度转化为正切值求出锐角角度，再利用特殊角的直角三角形性质计算直角边长度． 中，斜坡的坡度，求出，由直角三角形的性质即可得出答案 【详解】解：中，斜坡的坡度， ∴， ∵， 【变式1】（24-25九年级上·四川巴中·期中）某水坝的坡比为，坡长为20米，则该水坝的高度为（   ） A．40米 B．米 C．20米 D．10米 【答案】D 【分析】此题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，不仅要熟悉解直角三角形的知识，还要熟悉勾股定理．依据题意画出示意图，由题意得坡比为，即，，，设，则，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：依据题意画出示意图： 由题意得坡比为，即，，， 设，则， 在中，， 即， 解得（负值已舍去）， 即该水坝的高度为10米， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·山东聊城·期中）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；斜坡改造为斜坡，斜坡米，其坡度为．求斜坡下降的高度．（结果保留根号） 【答案】斜坡下降的高度为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，的直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握掌握解直角三角形的应用是解题关键． 根据坡度与坡角的关系得到，利用的直角三角形的性质求得米，再根据坡度的概念，设米，则米，利用勾股定理构建一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：改造前，斜坡坡度， ， ， （米）， 改造后，斜坡坡度， ， 设米，则米， 在中，，且米， ，解得：， 米， 米， 斜坡下降的高度为米． 【变式3】（2025·河北唐山·三模）如图，已知山坡的坡度为，山坡的坡度为，山坡的坡角，已知点B到水平面的距离为，山坡的长为．某登山队沿山坡上山后，再沿山坡下山． (1)求山顶点C到水平面的距离； (2)求山坡的长． 【答案】(1)山顶点C到水平面的距离为 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把数值代入，进行计算得山顶点C到水平面的距离； （2）先证明四边形是矩形．得，结合，得，运用勾股定理得，同理得，即可作答． 【详解】（1）解：过点C作，垂足为F． 在中， ∵，，， ∴． 答：山顶点C到水平面的距离为． （2）解：过点B作，，垂足分别为H、E． ∴ ∴四边形是矩形． ∴，， 在中， ∵的坡度为， ∴． ∴． 在中， ∵山坡的坡度为， ∴． ∴． ∴山坡的长为：． 答：山坡的长为． 题型04 实物建模问题 【典例4】（24-25九年级上·河南平顶山·期末）图1是某品牌实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点O，点B为旋转点，可转动，当绕点B顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：．（参考数据：） (1)如图2，，． ①填空： °；②投影探头的端点D到桌面的距离为 ． (2)如图3，将（1）中的向下旋转，当时，求投影探头的端点D到桌面的距离． 【答案】(1)①160；②45； (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，矩形的性质和判定， 对于（1），过点B作交于点F，过点A作，交于点G，根据平行线的性质得，可知；再根据，求出，最后根据点D到桌面的距离是得出答案； 对于（2），如图所示，延长交于点H，作，与延长线相交于点M，作，则四边形是矩形，先求出，进而求出，再求出，最后根据得出答案． 【详解】（1）解：如图所示， 过点B作交于点F，过点A作，交于点G， ∵， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴点D到桌面的距离是； 故答案为：①160；②45； （2）解：如图所示，延长交于点H，过点B作，与延长线相交于点M，过A作于点F，则四边形是矩形， 由题意得，， ， ， ， 在中，， ， ， ∴投影探头的端点D到桌面的距离为． 【变式1】（2025·江苏盐城·中考真题）一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质、解直角三角形，解题时要熟练掌握并能灵活运用勾股定理是关键． 依据题意，作于，于，则，然后求出，故，从而得到，可得，再证明四边形是矩形，故，最后在中，进而可得，故计算可以得解． 【详解】解：由题意，作于，于， ． ， ． ． ， ． ． ∵． ， ． ． ． ， 四边形是矩形． ． 在中， ， ． 故答案为：． 【变式2】（2025·河北唐山·二模）如图，学习桌是学习辅助的一种工具，桌子高度可升降调节、桌面可自由倾斜．桌面收起时可以近似的看作与地面平行，其中图1、图2是桌面水平和倾斜放置的实物，图3是桌面倾斜放置的示意图，其中表示学习桌桌面的宽，、表示学习桌的支架，此时桌面厘米，桌面调整角度．（参考数据：，） (1)直接写出________厘米： (2)求出此时B到的距离； (3)若，，直接写出的度数． 【答案】(1)60 (2)36厘米 (3) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键： （1）根据题意，桌面收起时，点与点重合，可知，即可得出结果； （2）作，解，求出的长即可； （3）延长交于点，解，求出的长，进而求出的长，解，求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】（1）解：由题意，可知：厘米； 故答案为：60； （2）作于点， 在中，， ∴； 答：此时B到的距离为厘米； （3）延长交于点，则：， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（2025九年级·宁夏·专题练习）按照中央、省市关于城市燃气管网专项治理工作的部署和安排，我市正在进行城镇燃气管网老化更新改造工程．图1是改造现场一辆伸缩臂高空作业车的实物图，图2是其工作示意图（点A，B，C，D，E，F，G，H都在同一平面内）． 如图2，伸缩臂高空作业车固定不动，转轴固定不动，转动点B离地面的高度为，起重臂长为，，楼高为，操作平台A在上． （结果精确到，参考数据：，，） (1)求此时操作平台A离地面的高度； (2)若起重臂可以绕点B上下转动，且长度可伸缩，最长可伸长为，则操作平台A能到达楼顶F吗？为什么？ 【答案】(1)操作平台离地面的高度约为 (2)能，理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键． （1）如图：过点作，垂足为点，则四边形为矩形，，，，进而得到，再解直角三角形可得，然后根据线段的和差即可解答； （2）如图：连接，由题意可知，，最长为，再解直角三角形可得，即，再根据勾股定理可得，则即可判断． 【详解】（1）解：如图：过点作，垂足为点，则四边形为矩形，，，， ，，， ， 在中，， ， ． 答：操作平台A离地面的高度约为． （2）解：能，理由如下： 如图：连接，由题意可知，，最长为， 在中，， ， ， 在中，根据勾股定理得：，   ， ，   操作平台能到达楼顶． 题型05 物理实验问题 【典例5】（2025·河南·一模）帆船是一种古老的水上交通工具，已有5000多年的历史．它主要依靠自然风力航行．如图是帆船逆风航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．根据物理知识，可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力又可以分解为两个力与，与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，若，求推动帆船前行的动力的值．（精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，先运算得出，再结合代入数值计算得，再运算得出，结合，代入数值计算得，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵夹角为，帆与航行方向的夹角为， ∴， ∵与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力以分解为两个力与， ∴，， ∴ 则， 解得， 则，， ∴， 解得． 【变式1】（2024·福建泉州·模拟预测）我们在物理学科中学过：光线从空气射入并水中会发生折射现象（如图1）．为了观察光线的折射现象，设计了如图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在处，加水至处，光斑左移至处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，测得入射角，折射角，，则光斑移动的距离的长为 ．（用含，，的代数式表示） 【答案】 【分析】延长交于，利用三角函数解答即可．本题考查了列代数式的知识，掌握三角函数的性质是解题关键． 【详解】解：延长交于． ， ， ， ， ． 故答案为： 【变式2】（2024·湖南·一模）小华同学在家看电视的时候因误触遥控器导致换台，但遥控器并没有对准电视．小华想起物理课上学习过的光的反射，并猜想是遥控器的红外线信号在墙壁等其他光滑的地方发生反射然后被信号传感器接收导致换台，小华在好奇心驱使下验证了自己的设想．如图所示，为竖直的平面镜（足够长），的长度为信号传感器可接收信号的水平宽度，，小华坐在距离距离为d的点H，然后小华用遥控器水平对着平面镜持续按按钮，发现当时电视可以换台（假设红外线在Q点反射），求信号传感器可接收信号的水平范围．（结果含）    【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，先读懂题意，得，再结合图形，运用数形结合思路，进行列式，化简得，可作答． 【详解】解：设信号接收点为P，延长到点G且，过点G作垂直，垂足为E． 由题意，， 当为时，点P与A重合，． 当为时，点P与B重合，． 所以． 其中可以写成， 可以写成．    【变式3】（2025·江西宜春·三模）【学科综合】我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中时会发生折射现象，如图1，我们把称为水的折射率（其中代表入射角，代表折射角），法线与界面垂直． 【观察实验】为了观察光线的折射现象，实验小组设计了图2所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块C，但该物块不在细管所在的直线上，图3是实验的示意图，四边形为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得，入射角的度数是，点P，D，B恰好共线． (1)求的长度； (2)若，求水的折射率n．（参考数据；，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系以及“折射率”的定义是解题的关键． （）如图，过点D作，垂足为点G，证明四边形是矩形，可得，，结合．由，据此即可求解； （）求解，，可得，结合，进一步即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点D作，垂足为点G， 结合题意可得：四边形是矩形， ∴，， ∵入射角的度数是， ∴． ∴在中，， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 由（1）得， ∴， ∴折射率， ∴水的折射率n约为． 题型06 方案设计问题 【典例6】（2025·河南驻马店·三模）民桥位于河南省信阳市浉河区，横贯浉河，是信阳重要交通枢纽，也是河南省唯一的一座独塔斜拉式桥梁．某数学兴趣小组进行测量民桥主塔高度的实践活动，淇淇、萍萍两位同学分别制定了不同的测量方案，并完成了实地测量，测量方案与数据如下表： 课题 测量民桥主塔高度 测量方案 淇淇的方案 萍萍的方案 测量示意图 测量数据 说明 民桥主塔的高为，所有点在同一竖直平面内，图中，测角仪垂直于水平地面，测角仪的高度． 请任选一种方案计算民桥主塔高度．（结果精确到1m．参考数据：，） 【答案】民桥主塔高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质；理解题意，正确求解是关键． 选淇淇的方案：延长交于点，则四边形为矩形，；设，在中，得，在中利用正切函数求得，由建立方程即可求解： 选萍萍的方案：设交于G，则得四边形和四边形是矩形，得，；设，在中，得，在中利用正切函数求得，由建立方程即可求解： 【详解】解：选淇淇的方案： 如图，延长交于点， 由题意知，，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴； 设， 在中，， ； 在中，， ； ， ， 即， 解得； ． 选萍萍的方案： 如图，设交于G， ∵， ∴四边形和四边形是平行四边形， ∵， 即， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，； 设， 在中，， ∴， ∴； 在中，， ∴ ∴； ∵， ∴， 解得：， 答：民桥主塔高度为． 【变式1】（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校国旗杆高度的实践活动： 活动主题：测量学校国旗杆的高度； 测量方案：沿着国旗杆底部点向西走米到达点米，用测角器测得此时国旗杆顶端的仰角；测角器高度忽略不计 测量示意图： 请你根据兴趣小组的测量方案及数据求国旗杆的高度．（结果保留根号） 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意可得，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长即可求解，理解三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 在中，，米， 米， ∴国旗杆的高度为米． 【变式2】（2025·宁夏银川·三模）宁夏红寺堡风能资源丰富，风力发电发展迅速．在风力发电机组中，“风电塔筒”的高度是一个重要的设计参数．某校数学兴趣小组利用无人机测量风电塔筒的高度（如图2），具体测量方案如下：先将无人机垂直上升至距水平地面的点，测得风电塔筒顶端的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点，测得风电塔筒底端的俯角为，则风电塔筒的高度约为 ． （结果精确到，参考数据：，） 【答案】109 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 延长交的延长线于点E，在中，根据，得出为等腰直角三角形，说明，在中根据，，进而求出结果即可． 【详解】解：延长交的延长线于点E，则，． 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ， 在中，，， ， ， 故答案为：109． 【变式3】（2024·山西·模拟预测）百团大战纪念碑（主碑）坐落于山西省阳泉市狮脑山主峰上，雄伟壮观，形如一把锋利的刺刀．某校项目学习小组的同学把“测量百团大战纪念碑（主碑）的高度”作为项目学习课题，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告：    项目课题 测量百团大战纪念碑（主碑）的高度 驱动问题 你如何用所学知识测量百团大战纪念碑（主碑）的高度？ 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 人员分工 测量组：×××    记录组：××× 测量方案 方案一：   说明：如图1，线段表示百团大战纪念碑（主碑），测量角度的仪器，测点，与点B在同一条水平直线上，且测得.，，，点，，，，，，在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上 方案二：   说明：如图，线段表示百团大战纪念碑（主碑），测量角度的仪器，测得的长度和的度数，点，，，，在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上，点，在同一条直线上 方案论证 计算结果 交流展示 项目反思 请根据活动报告，完成下面的问题： (1)根据方案一所测数据，计算百团大战纪念碑（主碑）的高度，（结果精确到；参考数据：，） (2)根据方案二的测量过程，项目学习小组最终选择方案一进行测量和计算，请你说明他们这样选择的理由． 【答案】(1)百团大战纪念碑主碑的高度约为； (2)纪念碑底部无法到达．（答案不唯一） 【分析】本题考查了解直角三角形——仰角俯角问题，矩形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）延长交于点，则四边形和四边形都是矩形，所以，，，然后求出的长，再在中求出的长即可求解； （）答案不唯一，合理即可； 【详解】（1）解：如解，延长交于点， 则四边形和四边形都是矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：百团大战纪念碑主碑的高度约为； （2）解：理由：纪念碑底部无法到达．（答案不唯一） 题型07 临界值问题 【典例7】（2024·湖南长沙·模拟预测）长沙作为“工程机械之都”拥有5家全球工程机械50强企业，近些年长沙制造的工程机械在国内国际市场亮点频频．如图是某款起重机工作示意图，起重臂是可伸缩的（），且起重臂可绕支点A转动，张角为，支点A距离地面的高度为． (1)当起重臂长度为，张角为时，求起重臂外端点C距离地面的高度； (2)若起重臂外端点C连接的钢绳（含挂钩）的长固定为，起重臂的长度为．在此条件下，请问该起重机能将重物举到离地面高度的楼顶吗？（参考数据：） 【答案】(1)起重臂外端点C距离地面的高度为 (2)该起重机能将重物举到离地面高度的楼顶 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点A作，垂足为G，根据题意可得：，从而可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）过点A作，垂足为H，根据题意可：，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，比较即可解答． 【详解】（1）解：过点A作，垂足为G， 由题意得：， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴起重臂外端点C距离地面的高度为； （2）解：该起重机能将重物举到离地面高度的楼顶， 理由：如图：过点A作，垂足为H， 由题意得：， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴该起重机能将重物举到离地面高度的楼顶． 【变式1】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）春节期间，某老师邀约好友一起在江边垂钓，如图，河堤的坡度为，长为米，钓竿与水平线的夹角是，其长为6米，若钓竿与钓鱼线的夹角也是，则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为（   ） A． B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】延长交延长线于点E，过点A作于点F，则，利用正切的概念求出，判断为等边三角形，求出，计算即可． 【详解】解：如图，延长交延长线于点E，过点A作于点F，则， ∵河堤的坡度为， ∴， ∴设， ∵米， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴ ，， ∵， ∴是等边三角形， ∵米， ∴米， ∴米， 即浮漂D与河堤下端B之间的距离为米． 故选：B． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 【变式2】（2025·江苏·二模）随着科技的进步，人工智能得到了巨大的发展．如图是一款机械臂机器人，基座与地面垂直，基座米，大臂米，小臂米，大臂与水平线的张角为，小臂与大臂的张角为，其中（图中点线在同一个平面内）． (1)经过实验发现，当取最大值，且点、、三点共线时（如图2），抓手距离地面高度最大，则抓手距离地面的最大高度是 米．（结果保留根号） (2)设抓手到直线的水平距离为． ①当时，求的值． ②当时，则的最大值为 米（结果保留两位小数，参考数据：，）． 【答案】(1)米 (2)①；②2 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。 （1）利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）过点C作交延长线为E，过点D作交延长线为F， 求出，解得到（米），解得到（米），据此求出的长即可得到答案； ②如图所示，过点D作交延长线于E，设交于H，根据，可推出当时，有最大值，即此时有，则可求出，，即r的最大值为2． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得米， ∴米 ∴机械臂机器人抓手距离地面的最大高度为米； （2）解：①如图，过点C作交延长线为E，过点D作交延长线为F， ∴， 由题意得：， ∴， 在中，米，， ∴（米）， ∵， ∴， 在中，米，， ∴（米）， ∴（米）， ∴； ②如图所示，过点D作交延长线于E，设交于H， ∵， ∴当点E和点H重合，且最小时，有最大值， ∴当时，有最大值，即此时有， ∴此时，， ∴， ∴， ∴r的最大值为2． 【变式3】（2025·上海宝山·模拟预测）图1是某商场入口处摆放的“楼层导购图”展板．图2是其横断面的示意图． 信息1：经过测量得到：，，，．（底座的高度忽略不计） 信息2：P为顾客看展板时眼睛所在的位置，，垂足在的延长线上，当视线与展板垂直时，称点为“最佳观察点”． (1)求：展板最低点B到地面的距离； (2)如果，当点为“最佳观测点”时，求点到的距离．（参考数据：） 【答案】(1)展板最低点到地面的距离为； (2)当点为“最佳观测点”时，求点到的距离为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数定义，作出辅助线． （1）过作于，过点作于，作于，解直角三角形求出，，最后求出结果即可； （2）过点作于点，作于点，设，则，根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：如图2，过作于，过点作于，作于， 在中，，， ， ， ， 又， ， ， ， 在中，， ， 答：展板最低点到地面的距离为； （2）如图，过点作于点，作于点， 由（1）知，， ， ，， ， ， ， 设， ， ，，， ， 在中，， ， ， 答：当点为“最佳观测点”时，求点到的距离为． 题型08 其它问题 【典例8】（2025·福建厦门·模拟预测）月球车工作时所需的电能都是由太阳能电池板提供的．当太阳光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多，某一时刻太阳光的照射角度如图所示，如果要使此时接收的太阳光能最多，那么应将太阳光板绕支点顺时针旋转的最小角度为 ． 【答案】#55度 【分析】本题考查了平行线性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据题意，画出图形，由平行线的性质得到，进而求出的度数即可． 【详解】解：如图，将太阳光板绕支点P顺时针旋转到位置时，太阳光， ， ， （两直线平行，同位角相等）， ， ， 即应将太阳光板绕支点P顺时针旋转的最小角度为， 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·山东烟台·期末）图1为《天工开物》记载的用于舂chōng捣谷物的工具——“碓duì”的结构简图，图2为其平面示意图，已知于点，与水平线相交于点，．若分米，分米，，求点到水平线的距离的长． 【答案】点C到水平线l的距离的长为dm 【分析】 本题考查了勾股定理，解三角形及利用三角形等面积法求解，作出辅助线是解题关键．延长交于点，连接，根据题意及解三角形确定，，再由等面积法即可求解． 【详解】解：延长交于点，连接， 在中，，， ，， ， ， ， ， 答：点到水平线的距离的长为． 【变式2】（2024九年级下·山西·专题练习）圭表（如图1）是我国古代的一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，已知该市冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，已知表高（即的长）为，，三点共线，求圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 【答案】圭面上冬至线与夏至线之间的长约为． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴圭面上冬至线与夏至线之间的长约为． 【变式1】（2025·河北沧州·模拟预测）【发现】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯，截面的示意图如图所示，一楼和二楼地面平行（即点与点所在的直线与平行），层高为，坡角． （）要使身高的嘉淇爸爸（竖直站立）乘坐自动扶梯时不碰头，则之间的距离要大于多少米？ 【探究】该商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：段（上坡段自动扶梯）、段（水平平台，即）、段（上坡楼梯），如图中虚线所示．段和段的坡度相同，为保障安全其坡度不能超过，商场希望尽可能延长平台的长度，以方便顾客休息． （）求出平台的最大长度（结果保留小数点后一位）． （参考数据：取，取，取） 【答案】（）米；（） 【分析】（）过点作交于点，由平行线的性质可得，进而由即可求解； （）延长交于点，可得四边形为平行四边形，得到，由坡度的定义可得米，解可得米，再根据线段的和差关系即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，平行四边形的判定和性质，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：（）解：如图，连接，过点作交于点，则， ， ， ， （米）， 答：，之间的距离要大于米； （）解：如图，延长交于点， ∵段和段的坡度相同， ∴， ∴ 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵段和段的坡度， （米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：平台的最大长度约为米． 一、单选题 1．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图所示是一个左右两侧不等长的跷跷板，跷板长为4米，支柱垂直地面．如图①，当的一端接触地面时，与地面的夹角的正弦值为；如图②，当的另一端接触地面时，与地面的夹角的正弦值为，则支柱的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了三角函数的应用． 根据正弦值得到，，进而根据跷跷板长为4米，计算即可． 【详解】解：在中，， ， 同理可得：， 米， ， 解得：米， 故选：C． 2．（2025九年级·全国·专题练习）如图所示的是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯射出的光线与地面的夹角分别为和．该大灯照亮地面的宽度为2.1 m，则该大灯距地面的高度约为（参考数据：，，，）（   ） A．1.0m B．1.5m C．2.0m D．2.5m 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，由锐角三角函数的定义得出，，再利用，即可求得． 【详解】解：过点作，垂足为， 根据题意，得，， ∴，即， ∴， 故选：B ． 3．（2025·四川南充·模拟预测）如图，有一个圆柱形容器(容器内壁厚度忽略不计)，里面放了一些溶液．容器高为，底面直径为，现将溶液倒入另一容器中，当圆柱形容器倾斜到液面与器壁呈角时才能倒出(此时液面与地面水平)，则此时容器最高处距离地面的高度是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；过点作于，交于，过点作于，得出四边形是矩形，解， ，分别求得，，即可求解． 【详解】解：如图是容器倾斜时的截面图， 过点A作于，交于，过点作于， 四边形是矩形， ．由题意得，则． 在中，，则， ． 在中，，， ， 则容器最高处距离地面的高度是＋ ． 故选：A． 4．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，一座正四棱锥金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为的正方形，且每一个侧面与地面成角，则金字塔原来高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．根据底部是边长为的正方形求出的长，再由锐角三角函数的定义求出的长即可． 【详解】解：如图， ∵底部是边长为的正方形， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5．（24-25九年级上·四川资阳·期末）圭表是度量日影长度的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面且刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”，如图是小明根据所在城市设计的圭表示意图，其中冬至时正午阳光入射角，夏至时正午阳光入射角．已知“表”高，则“圭”上所刻冬至线与夏至线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键． 分别解和，求出和的长度，然后利用线段的和差关系求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题 6．（2025·云南昆明·三模）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为，，堤坝高，则迎水坡面的长度为 ． 【答案】20 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据正弦定义可得答案． 【详解】解：由题意，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：20． 7．（2025九年级·全国·专题练习）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得点A，B均在点C的北偏东方向上，沿正东方向行走至观测点D，测得点A在点D的正北方向，点B在点D的北偏西方向上，则A，B两点间的距离约为 m（参考数据：）． 【答案】96 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据题意可得：，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：由题意，得， ． 在中，． 在中，． 两点间的距离约为m． 故答案为：． 8．（2025九年级·全国·专题练习）图①是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”．如图②，“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，，是太阳光线，，，点，，，在同一条直线上．经测量，，，，则“大碗”的高度的长为 （结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点，根据题意可得四边形是矩形，得到，进而得到四边形为矩形，得到，．根据从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：延长交于点，如图． ，，， 四边形是矩形． 四边形为矩形， ， 四边形为矩形， ，． ， ， ， ， ， ． 故“大碗”的高度的长约为． 故答案为：． 9．（2025九年级·全国·专题练习）图①是小强在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图②是小强锻炼时上半身由位置运动到与底面垂直的位置时的示意图．已知，，则，两点间的距离约为 （结果精确到，参考数据：，）． 【答案】 【分析】本题主要考查了含有角的直角三角形的特征、勾股定理，熟练掌握含有角的直角三角形的特征，添加适当的辅助线构造直角三角形，是解题的关键． 作交的延长线于，则，m，根据含有角的直角三角形的特征可得m，再由勾股定理可以得到m，最后通过勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示，作交的延长线于， 则，m， ∴m， 由勾股定理可得m， ∴m， 由勾股定理得m． 故答案为：． 10．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图2，是某款台灯（图1）的示意图，处于水平位置的横杆可以绕着点转动．当分别转到，的位置时，测得，，的高度差，，的水平距离，，若该台灯底座高度，则点到桌面的距离为 ． 【答案】27 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质，解一元二次方程，难度较大，综合性较强，正确地作出辅助线是解题的关键． 过点M作于P，过点N作于Q，由题意得四边形是矩形，四边形是矩形，，根据矩形的性质得到，，，，根据全等三角形的性质得到，，设，则，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：过点M作于P，过点N作于Q， 由题意得，四边形是矩形，四边形是矩形，， ∴，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设 则 故， 在中，， ∴， 整理得 则 解得或（舍去）， ∴ ∴点O到桌面的距离为 故答案为：27． 三、解答题 11．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图①是一款手机支架，当手机支架打开时如图②所示，其中，，，求的长．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确构造直角三角形进行求解． 过点作于点，可得是等腰直角三角形，再解求出，再由求解． 【详解】解：过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 答：的长为． 12．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）小海和小亮两人相约一起去参观革命烈士纪念馆．已知小海家B在小亮家A的北偏西方向上，．两人到达革命烈士纪念馆C处后，发现小亮家A在革命烈士纪念馆C的南偏西方向上，小海家B在革命烈士纪念馆C的南偏西方向上．求小亮家A到革命烈士纪念馆C的距离．（结果保留1位小数；参考数据：） 【答案】小亮家A到革命烈士纪念馆C的距离约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是作辅助线构建直角三角形，解直角三角形求解． 过点作，先解求出，再解求出，最后由即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为. 由题意，得， . 在中，， ∴， . 在中，， ∴. 答：小亮家A到革命烈士纪念馆C的距离约为． 13．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图所示的是某小区门口的门禁识别设备的结构示意图，摄像头可以绕连接点O进行上下旋转．摄像头部分，点O为旋转中心，，绕点O上下旋转过程中，支撑杆垂直于水平地面，不小于，（结果保留一位小数，参考数据：）． (1)当时，求摄像头处点A到支撑杆的距离； (2)当摄像头处点A旋转至最低点时，求摄像头处点B到地面的距离． 【答案】(1)摄像头处点A到支撑杆的距离约为 (2)摄像头处点B到地面的距离约为 【分析】（1）如图，过点A作，先求解，再利用的正弦值求解； （2）过点B作垂直于地面于点G，过点O作于点H．可得，进而求得，从而求得，再利用锐角三角函数值，可求出长度，最后求的长度． 【详解】（1）解：如图①，过点A作． ，O为的中点， ． ， ． 故摄像头处点A到支撑杆的距离约为． （2）解：如图②，过点B作垂直于地面于点G，过点O作于点H． 根据题意可知，点A旋转至最低点时，． ． ， ， ， ． ． 故摄像头处点B到地面的距离约为． 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，作出适当的辅助线构建矩形与直角三角形是解本题的关键． 14．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，处位于处正北方向7千米处，处位于处的正东方向，处位于处南偏东方向6千米处，处在处的东北方向．（参考数据：，） (1)求与之间的距离（结果保留小数点后一位）； (2)甲，乙两人相约跑步，甲从处出发，沿某方向匀速直线运动，乙从处出发，沿正南方向匀速直线运动．甲的速度是乙的速度的1.5倍，两人同时出发，在上某处相遇．当两人相遇时，乙一共跑了多少千米？（结果保留小数点后一位） 【答案】(1)千米 (2)3.5千米 【分析】（1）如图所示，过点D作于点E，过点C作于点F，解直角三角形求出，，然后求出，证明出四边形是矩形，得到，证明出是等腰直角三角形，得到，进而求解即可； （2）如图所示，设甲，乙两人在点G处相遇，根据题意得到，设，则，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图所示，过点D作于点E，过点C作于点F， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形 ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴（千米）； （2）如图所示，设甲，乙两人在点G处相遇， ∵甲的速度是乙的速度的1.5倍，两人同时出发， ∴甲的路程是乙的路程的1.5倍， ∴ 设，则 由（1）得，， ∴， ∵ ∴ ∴ 解得（负值舍去）． ∴当两人相遇时，乙一共跑了3.5千米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键． 15．（2025九年级·江西·专题练习）舞狮文化源远流长，其中舞狮（如图①）是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，是传承中国传统文化的重要载体．如图②，在舞狮表演中，梅花桩AB，CD，EF均垂直于地面，且B，D，F三点在一条直线上．测得，且AB桩与EF桩的高度差为，两桩的距离BF为． (1)舞狮人从点A跳跃到点C，随后再跳跃到点E，所成的角_________． (2)求桩AB与桩CD之间的距离BD的长（结果保留根号） 【答案】(1) (2)桩AB与桩CD之间的距离BD的长约为 【分析】本题主要考查仰角与俯角，解直角三角形的运用，理解并掌握解直角三角形的计算是解题的关键． （1）过点作交于点，交于点，根据直角三角形的两个锐角互余，求出，再根据平角为即可求解； （2）四边形和四边形均是矩形，设，则，由三角函数算出，，根据求解即可． 【详解】（1）解：过点作交于点，交于点，如图， ∵ ∴ 又∵， ∴ 故答案为：． （2）解：∵四边形和四边形均是矩形， ． 设， ， 在中， ． 同理，在中，， ， 解得， ， 桩与桩之间的距离的长约为． 16．（2025·吉林四平·模拟预测）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小明同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧的示意图，已知试管，试管倾斜角为． (1)试管口与铁杆的水平距离的长度为________（结果用含非特殊角的三角函数表示） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点在一条直线上），测得：，求线段的长度．（结果精确到）（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）先求出的长，再由余弦的定义可得，据此求解即可； （2）求出的长，延长交于点，则四边形是矩形，可求出的长，进而求出的长，再证明是等腰直角三角形，求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故答案为：； （2）解：在中，∵，即， ， 由（1）得， 延长交于点，则四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， 答：求线段的长度约为． 17．（2025·山东泰安·一模）如图，从A地到D地规划修建一条东西方向的笔直公路，勘测人员发现公路要穿过一座山，施工队原计划从B处开凿隧道通到C处，已知A，B，C，D四点在同一直线上，在C处的正南方取一观测点E，观测到点E在点B的南偏东方向上，观测点E到点B的距离为．（参考数据：，，，最后结果保留整数） (1)求隧道两端间的距离； (2)原计划从B向C开挖，为了加快施工进度，实际从B，C两端同时相向施工，结果工作效率比原计划提高了，比原计划提前5天完工．问原计划单向开挖每天挖多少m？ 【答案】(1)间的距离为 (2)原计划单向开挖每天挖 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用．熟练掌握解直角三角形的应用，分式方程的应用是解题的关键． （1）由题意知，，，，则，根据，求解作答即可； （2）设原计划单向开挖每天挖，则相向施工时每天挖，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，，，， ∴， ∴， ∴间的距离为； （2）解：设原计划单向开挖每天挖，则相向施工时每天挖， 依题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， ∴原计划单向开挖每天挖． 18．（2025九年级·全国·专题练习）图①是一款多功能折叠椅，图②是其打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度）．支架相交于点，支架可绕点旋转，支架可绕点旋转，同时支架的端点可在椅面上左右滑动，为桌面的支撑臂．为桌面的托杆，点分别固定在桌面和支撑臂上，两托杆可以绕连接点转动．现折叠椅为完全打开状态，已知与地面平行，，，，，． (1)求两支架底端，之间的距离． (2)已知将折叠椅完全打开成桌子时，桌面的倾斜角（桌面与水平方向的夹角，在水平方向上方）为，支架与椅面的夹角为，求此时桌面左上角顶点到地面的距离（参考数据：，，，，，）． 【答案】(1)两支架底端之间的距离为54cm (2)此时桌面左上角顶点到地面的距离约为69cm 【分析】本题主要考查解直角三角形的知识，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键． （1）先求出的长度，然后证明，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可求解； （2）如图，过点作于点，过点作，过点作交于点．在中，可求出的长度，在中，可求出的长度，接着根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：， ． ， ， ， ， ． 故两支架底端之间的距离为54cm． （2）解：如图，过点作于点，过点作，过点作交于点． ， ， 在中，． ， 在中，， 桌面左上角顶点到地面的距离． 故此时桌面左上角顶点到地面的距离约为． 19．（24-25九年级下·全国·单元测试）图①是一台实物投影仪，图②是其侧面的抽象示意图，是支架的一部分，垂直于水平地面，投影仪可绕点A转动．投影光线与投影仪近似在同一直线上，且光斑E位于屏幕的正中心．经测量，，点F到水平地面的距离为． (1)若点D，F在同一水平线上，且两点之间的距离为，，求： ①与水平地面的夹角； ②光斑E到水平地面的距离． (2)在（1）的状态下，将投影仪后移，转动，使得投影光线的光斑仍在点E处．请判断投影仪与水平地面的夹角如何改变． （参考数据：） 【答案】(1)①；②光斑E到水平地面的距离为． (2)投影仪与水平地面的夹角减小了约． 【分析】（1）①如图①，延长交水平地面于点K，则，通过三角函数即可得到与水平地面的夹角约为；②如图①，连接并延长交于点，先证明四边形是矩形，可求出、的长度，然后证明，通过相似三角形的性质可求出的长度，最后根据线段的和差关系即可求出光斑到水平地面的距离； （2）平移、调整投影仪前，平移、调整投影仪后，过点A作于点M，过点F作于点N，根据的正切值可求出其度数，即可判断投影仪与水平地面的夹角的改变． 【详解】（1）解：①如图①，延长交水平地面于点K，则， ， ， 与水平地面的夹角约为． ②如图①，连接并延长交于点． 由题意可知，， ，四边形是矩形， ， ． 由题意可知，， ， ，即， ． ， 光斑E到水平地面的距离为． （2）解：平移、调整投影仪前，如图①． 在中，， ． 平移、调整投影仪后，如图②，过点作于点，过点作于点，则． 易知四边形是矩形，． ， ， ． ， 投影仪与水平地面的夹角减小了约． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，矩形的判定与性质，解答本题的关键是添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 20．（2025九年级·山东青岛·专题练习）九年级数学兴趣小组想知道河对岸的两棵古树A、B之间的距离，小明同学制定了如下方案，请你帮助小明解决法案中的问题． 方案名称 测量河对岸的古树、之间的距离 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图，在河的对岸有两棵古树、，在这岸与平行的直线上取两点、． 测量数据 【步骤一】利用皮尺测量，两点间的距离，测得； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得，． 解决问题 河对岸的两棵古树、之间的距离是多少？（结果精确到） （参考数据：，，，，，，，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形在实际问题中的应用，通过做垂线构造直角三角形，并掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．过点作，垂足为，过点作，垂足为，设米，首先在中，由直角三角形中的正切函数，可求得，然后在中，由等量关系，建立方程，可解得，接着在中，可求得，最后由即可得解． 【详解】如图，连接，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 设米， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 解得， ， ， ，， ， 又， 四边形为平行四边形， ，， 在中，， ， ， ， ， ，即两棵古树、之间的距离大约是米． 21．（2025·湖南·模拟预测）2025年春晚的机器人舞蹈《秧》展示了科技与文化的完美融合，机器人通过高精度技术实现精准动作，并与人类舞者默契配合，吸引了全球关注．某科技兴趣小组对此有着浓厚的兴趣，决定对机器人的动作进行研究，制作出一部动画作品． 活动主题 机器人舞蹈动画制作 活动流程 如图1，小组成员分别收集了一些春晚机器人舞蹈的视频，对其动作进行逐帧分解，利用测量所得的相关数据，对机器人进行初步建模，之后利用动画软件进行制作． 分解动作模型抽象    数据测量模型建立 机器人建模模型图形绘制可抽象为如图2所示，腰部平行于水平面，上半身腰部，大腿与腰部夹角，与小腿夹角，足部与水平面夹角，，，，，所有点均在同一平面内． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题．（参考数据：，，，，，，） (1)过机器人腰部点C作垂直于水平面于点L，求机器人膝盖点F到机器人腰部点C的水平距离； (2)求机器人脖子点A到水平面的距离．（结果保留一位小数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握三角函数的定义是解题的关键． （1）由平行线的性质得，用三角函数解即可； （2）过点H作交的延长线于点N，交于点M，得矩形，利用三角函数解，，，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ， 在中， ，， ， 即机器人膝盖点F到机器人腰部点C的水平距离为； （2）解：如图，过点H作交的延长线于点N，交于点M，   ，，， 四边形是矩形， ， ，， ， 在中， ，， ， 在中， ，， ， 在中， ，， ， ， ， 即点A到水平面的距离为． 22．（2025·江苏淮安·中考真题）综合与实践 【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题感知】（1）①在图（1）、图（2）中，点到地面的距离是 米； ②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分 米．（参考数据：，，） 【问题探究】（2）如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围． 【问题解决】（3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点顺时针旋转一定角度（点到地面的距离保持不变），使得与雨线垂直，如图（3）所示，试问：小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出的最小值；如果不可以，请说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）可以，的最小值为． 【分析】本题主要考查实际情景中的数学问题，涉及解直角三角形，平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线构建直角三角形进行求解． （1）①根据题意，直接求线段长即可；②利用平行线的性质，两直线平行同位角相等，再借助直接三角形求解； （2）延长交于点，先求出相关角，再利用，接着可得，延长交于点，过作交于，为保证头部不被淋湿，即，建立不等式求解即可； （3）设小丽将手臂水平前伸了米时，身体恰好不会被淋湿，计算出此时的值，再判断此时头部是否被淋湿即可． 【详解】解：（1）①由题意知，米，米， 米， 即点到地面的距离是米， 故答案为：； ②米，点为中点， 米， ， ， ， ， 在中，米， 米， 故答案为：； （2）如图，延长交于点， 则， 米， ， ， ， ， 在中，米， ， 即， 延长交于点，过作交于， 则（米），，， 为使头部不被淋湿， 所以， 解得，又， 所以； ； （3）设小丽将手臂水平前伸了米时，身体恰好不会被淋湿，如图， 延长交于点，过作交于， 延长交于，过作交于， 则，，， ， 所以在中，，， 在中，， 所以， 在中，， 又， 所以此时头部不会被淋湿， 综上，可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿，的最小值为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $