第二章 二次函数（单元测试·基础卷）数学北师大版九年级下册

2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二章 二次函数·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各项中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的定义：形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．利用二次函数定义进行解答即可． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不合题意； B、是二次函数，故此选项合题意； C、不是二次函数，故此选项不符合题意； D、不是二次函数，故此选项不合题意； 故选：B． 2．抛物线与y轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与y轴的交点问题，求得时的y值即可求解． 【详解】解：对于，当， ∴抛物线与y轴的交点坐标是， 故选：D． 3．若过点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，将点代入得出，再整体代入，即可求解． 【详解】已知抛物线过点，将点坐标代入方程： 当时，，代入得： 整理得： ∴ 故选：A． 4．若点、在二次函数的图象上，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数开口向下，对称轴为，顶点为最大值点，当 时，函数单调递减，由，可得且，因此 ． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为，顶点为， ∴当 时，， ∵，且函数在时单调递减， ∴， 又∵且， ∴且， ∴． 故选：C． 5．抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，根据二次函数平移规律：左加右减，上加下减，即可得出平移后解析式． 【详解】解：抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线解析式为，即， 故选：B． 6．已知开口向下的抛物线经过坐标原点，那么a等于（    ） A． B．1 C． D．2或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象性质．将代入抛物线解析式，再结合抛物线开口方向即可得到a的值． 【详解】解：∵过， ∴， 又∵抛物线开口向下， ∴， ∴， 故选：C． 7．下列关于抛物线的说法错误的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．顶点坐标为 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，先将抛物线解析式化为顶点式，进而确定开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性，逐一判断选项． 【详解】解：将抛物线配方得：， 因此顶点坐标为，对称轴为直线，二次项系数，开口向上． 选项A：开口向上，正确． 选项B：对称轴为，正确． 选项C：当时，抛物线在对称轴右侧，因开口向上，随的增大而增大，而非减小，错误． 选项D：顶点坐标为，正确． 综上，错误的选项是C． 故选C． 8．图1是形状为抛物线的某拱形门建筑．如图2，若取拱形门地面上两点A，B的连线为x轴，可以近似地用函数表示（单位：m）．则拱形门底部的宽度大约是（   ） A．95m B．190m C．235m D．285m 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，令，则，求解得到坐标，即可得出答案，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：令，则， 解得：， ∴， ∴， 故选：B． 9．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象的综合，熟练掌握二次函数与一次函数的图象特征是解题关键．先根据抛物线的开口向上可得，再根据对称轴可得，然后根据一次函数的图象特征即可得． 【详解】解：∵二次函数图象的开口向上， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：D． 10．如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则，其中结论正确的是（　　） A．①② B．②③④ C．②④ D．①③④． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．①由抛物线的开口方向、对称轴及与y轴交点的位置，可得出、、，进而即可得出，结论①错误；②由抛物线的对称轴为直线，可得出，结论②正确；③由抛物线的对称性结合当时，可得出当，进而可得出，结论③错误；④找出两点离对称轴的距离，比较后结合函数图象可得出，结论④正确．综上即可得出结论． 【详解】解：①∵抛物线开口向下，对称轴为直线，与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴，结论①错误； ②抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，结论②正确； ③∵抛物线的对称轴为直线，当时， ∴当时， ∴，结论③错误； ④，， ∵抛物线的对称轴为直线，，抛物线开口向下， ∴，结论④正确． 综上所述：正确的结论有②④． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知二次函数，当时，的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了平方差公式，二次根式的运算，解题的关键是掌握平方差公式． 利用平方差公式化简函数表达式，再代入x的值计算． 【详解】解：由二次函数，根据平方差公式，得， 当时，， 故答案为：6． 12．已知抛物线与轴只有一个公共点，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键在于明确交点个数与判别式的关系． 抛物线与x轴只有一个公共点，即对应的一元二次方程有两个相等的实数根，判别式为零． 【详解】令，得方程， 由于抛物线与x轴只有一个公共点， 因此方程有两个相等的实数根， 判别式， 解得． 故答案为：2． 13．已知二次函数，当时，函数的最大值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的对称性，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴是直线，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴离对称轴越远，y值越大， ∵， ∴当时，y取得最小值， 当时， 当时，． ∴函数最大值为 0， 故答案为：0． 14．如图，抛物线与直线相交于点和点，点，的横坐标分别为和，则当时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据抛物线图像在直线图像上方部分对应的范围即为，从而求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点，的横坐标分别为和， ∴根据图像可知当时，的取值范围为， 故答案为：． 15．一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、矩形的性质及二次函数的最值求解，解题的关键是通过设未知数，利用几何关系建立矩形面积的二次函数表达式，再根据二次函数“开口向下时顶点处取最大值”的性质计算最大面积． 设矩形一边长为未知数（如），利用等腰直角三角形的性质及矩形对边相等的特点，得出也为等腰直角三角形，进而用未知数表示出矩形另一边长（如）；根据矩形面积公式列出面积与未知数的二次函数关系式，通过二次函数顶点坐标公式或配方法求出最大值． 【详解】解：设矩形中，（）．   ∵ ，， ∴ 是等腰直角三角形．   ∵ 四边形是矩形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，又是等腰直角三角形， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ . 则. 矩形面积 ∵ 二次函数中，，图象开口向下， 当时，取最大值．   最大值. 故答案为：． 16．已知二次函数，在自变量x的值满足的情况下，对应的函数值y的最大值是，则h的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键． 由解析式可知该函数在时取得最大值，时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；根据时，函数的最大值为，可分如下三种情况：①若，时，取得最大值；②若，当时，取得最大值，分别列出关于的方程求解，若，当时，取得最大值1，，与题意不符合，此情形应舍去． 【详解】解：∵当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴①若，时，取得最大值， 可得：， 解得：（舍）或； ②若，当时，取得最大值， 可得：， 解得：或（舍）， 若，当时，取得最大值1，，与题意不符合，此情形应舍去， 综上，的值为或， 故答案为：或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知二次函数． (1)求该函数图象的对称轴、及顶点坐标； (2)当为何值时，随的增大而增大． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)当时，随的增大而增大 【分析】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用配方法化为顶点式，再根据二次函数的性质进行解答即可； （2）根据对称轴的开口方向朝下，在对称轴的左侧，y随x增大而增大，在对称轴的右侧，y随x增大而减小进行解答即可． 【详解】（1）解：， 该函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：， 抛物线的开口向下， 当时，随的增大而增大． 18．已知二次函数的与的部分对应值如表： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 0 ．．． (1)求这个二次函数表达式； (2)判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在函数的图象上 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质． （1）将和代入计算即可； （2）当时，判断是否等于即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点和， ， 解得 ； （2）解：点在函数的图象上． 理由：当时，， 点在函数的图象上． 19．已知抛物线与轴的交点为，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标，并在平面直角坐标系中画出抛物线； (3)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)它的顶点坐标为；图见解析 (3)． 【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次函数的图象成为解答本题的关键． （1）利用待定系数法求得二次函数的解析式，再运用配方法将原解析式化为顶点式即可； （2）根据（1）所得的顶点式，利用五点作图法直接画出图象即可； （3）根据函数图象确定当时对应的y的取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：； ∴它的顶点坐标为； 列表如下： x 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 图象如图所示： ； （3）解：当时，的最大值为4， 由图象可得，当时，． 20．如图某农场要建一个矩形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长)，另外三边由长的栅栏围成．设矩形空地中，垂直于墙的边，面积为(如图)． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)若矩形空地的面积为，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了列二次函数关系式，一元二次方程的应用． （1）根据矩形的面积公式计算即可； （2）构建方程即可解决问题，注意检验是否符合题意． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵墙长， ∴， 即， 解得， ∴与之间的函数关系式为，自变量的取值范围为． （2）解：由题意：， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； ∴的值为． 21．已知抛物线（，为常数）． (1)如图，若抛物线的顶点坐标为，求，的值． (2)将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线．若抛物线与的交点坐标为，求抛物线的函数表达式． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用顶点式可将抛物线变成，可求得值； （2）根据平移性质，得到抛物线，将交点代入两个抛物线解析式，解方程得值，可求解析式． 【详解】（1）解：抛物线（，为常数）的顶点坐标为， ，， 解得，． （2）解：将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线； 将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线． 由，得． 抛物线与的交点坐标为， ，解得． 把代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用待定系数法求解析式． 22．某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量的部分对应数据如表： 销售单价（元） 60 65 70 日销售量（件） 200 150 100 (1)根据以上信息，求关于的函数关系式； (2)已知销售单价为60元时，日销售利润为2000元.［注：日销售利润日销售量（销售单价-成本单价）] ①求该商品的成本单价是多少元； ②求该商品的销售单价为68元时的日销售利润； ③求该商品的销售单价为多少元时，其日销售利润有最大值，日销售利润的最大值为多少元． 【答案】(1) (2)①50元；②2160元；③当销售单价为65元时，日销售利润有最大值，最大值为2250元 【分析】本题考查了求一次函数解析式，求二次函数解析式，抛物线的图象和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）先设y关于x的函数关系式为，然后用待定系数法求出一次函数解析式； （2）①设该产品的成本单价是元，根据题意可列方程求解即可； ②根据题意得．代入计算即可； ③将②中函数关系式根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设日销售量（件）与销售单价（元）之间满足的一次函数表达式为， 把代入得， 解得， 一次函数表达式为； （2）解：①设该产品的成本单价是元，根据题意， 得， 解得， 该商品的成本单价是50元； ②根据题意，得． 当时，（元）； ③， 抛物线开口向下， 当时，有最大值，最大值为2250， 答：当销售单价为65元时，日销售利润有最大值，最大值为2250元. 23．【综合与实践】某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，喷出的水柱形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为米，与湖面的垂直高度为米．下面的表中记录了与的五组数据： （米） 0 1 2 3 4 （米） (1)在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示与函数关系的图象； (2)若水柱最高点距离湖面的高度为米，则______，并求与函数表达式； (3)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米，已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)米，见解析 【分析】本题属于二次函数的应用，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型． （1）建立坐标系，描点．用平滑的曲线连接即可； （2）根据函数图象可知水柱最高点距离湖面的高度为米，即，设函数表达式为，先由图1得到函数顶点为，再将代入计算即可； （3）根据二次函数图象解析式设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可. 【详解】（1）解：以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图1所示： （2）解：由图1，可得函数顶点为， 水柱最高点距离湖面的高度为米， ， 根据图象可设二次函数的解析式为：， 将代入， 解得， 抛物线的解析式为：； 故答案为：，； （3）解：设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：， ∵已知游船顶棚宽度为3米，抛物线对称轴为直线， ∴顶棚交抛物线轴于， ∵顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米， ∴此时纵坐标的值不小于， ， 解得， 水管高度至少向上调节米， （米）， 公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到约米才能符合要求． 24．如图，在中，，，，如果点由点出发沿方向向点匀速运动，同时点由点出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为，连接，设运动时间为（），解答下列问题： (1)用含的代数式表示 ， ； (2)设的面积为，当为何值时，取得最大值，的最大值是多少？ (3)如图，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形是菱形时，求的值． 【答案】(1)，； (2)秒，最大值为平方厘米； (3)秒． 【分析】（）由勾股定理求出，再根据题意即可列出代数式； （）过点作于，可证得，得到，由三角形面积可得，根据二次函数性质即可求解； （）连接，交相交于点，当四边形为菱形时，可得，，由得到，进而得到，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵点由点出发沿方向向点匀速运动，同时点由点出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为， ∴，， 故答案为：，； （2）解：如图，过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴的面积， ∴当时，取最大值，最大值是； （3）解：如图，连接，交相交于点，当四边形为菱形时，垂直平分，即，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∵， ∴当四边形是菱形时，的值为． 【点睛】本题考查了列代数式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值，菱形的性质等知识，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键． 25．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于A，D两点．点P为直线上方抛物线上的一点（不与A、D重合），连接． (1)求抛物线的解析式和点D的坐标； (2)请求出四边形的面积的最大值； (3)点Q是直线上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．涉及抛物线与坐标轴的交点坐标，二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解一次函数解析式，二次函数与面积的问题，二次函数与特殊三角形问题等知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；再联立即可求出点D的坐标； （2）根据面积一定，知需令得的面积最大即可，过点P作轴的垂线交于点K，设点，则，求出，由，列出关于p的关系式，利用二次函数的性质即可求解； （3）利用（1）中二次函数解析式求出点C的坐标，设，分和两种情况，利用两点间距离公式建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：抛物线（）与x轴交于，两点， 则， 解得， 抛物线的解析式为：； 联立，则， 解得或， 当时，， ； （2）为定值，且， 当的面积最大时，四边形的面积最大， 过点P作轴的垂线交于点K， 设点，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 此时， 四边形的面积的最大值为； （3）解：抛物线的解析式为：， 令，则， ， 设， ，，， 是以为腰的等腰三角形， 当时，即， ， 解得：或（舍去）； ； 当时，即， ， 解得：或， 或； 综上，是以为腰的等腰三角形时，点Q的坐标为或或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二章 二次函数·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各项中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．抛物线与y轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．若过点，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．若点、在二次函数的图象上，且，则（  ） A． B． C． D． 5．抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 6．已知开口向下的抛物线经过坐标原点，那么a等于（    ） A． B．1 C． D．2或 7．下列关于抛物线的说法错误的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．顶点坐标为 8．图1是形状为抛物线的某拱形门建筑．如图2，若取拱形门地面上两点A，B的连线为x轴，可以近似地用函数表示（单位：m）．则拱形门底部的宽度大约是（   ） A．95m B．190m C．235m D．285m 9．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A．B．C． D． 10．如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则，其中结论正确的是（　　） A．①② B．②③④ C．②④ D．①③④． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知二次函数，当时，的值为 ． 12．已知抛物线与轴只有一个公共点，则 ． 13．已知二次函数，当时，函数的最大值是 ． 14．如图，抛物线与直线相交于点和点，点，的横坐标分别为和，则当时，的取值范围为 ． 15．一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为 ． 16．已知二次函数，在自变量x的值满足的情况下，对应的函数值y的最大值是，则h的值为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知二次函数． (1)求该函数图象的对称轴、及顶点坐标； (2)当为何值时，随的增大而增大． 18．已知二次函数的与的部分对应值如表： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 0 ．．． (1)求这个二次函数表达式； (2)判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． 19．已知抛物线与轴的交点为，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标，并在平面直角坐标系中画出抛物线； (3)当时，直接写出的取值范围． 20．如图某农场要建一个矩形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长)，另外三边由长的栅栏围成．设矩形空地中，垂直于墙的边，面积为(如图)． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)若矩形空地的面积为，求的值． 21．已知抛物线（，为常数）． (1)如图，若抛物线的顶点坐标为，求，的值． (2)将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线．若抛物线与的交点坐标为，求抛物线的函数表达式． 22．某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量的部分对应数据如表： 销售单价（元） 60 65 70 日销售量（件） 200 150 100 (1)根据以上信息，求关于的函数关系式； (2)已知销售单价为60元时，日销售利润为2000元.［注：日销售利润日销售量（销售单价-成本单价）] ①求该商品的成本单价是多少元； ②求该商品的销售单价为68元时的日销售利润； ③求该商品的销售单价为多少元时，其日销售利润有最大值，日销售利润的最大值为多少元． 23．【综合与实践】某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，喷出的水柱形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为米，与湖面的垂直高度为米．下面的表中记录了与的五组数据： （米） 0 1 2 3 4 （米） (1)在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示与函数关系的图象； (2)若水柱最高点距离湖面的高度为米，则______，并求与函数表达式； (3)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米，已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）． 24．如图，在中，，，，如果点由点出发沿方向向点匀速运动，同时点由点出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为，连接，设运动时间为（），解答下列问题： (1)用含的代数式表示 ， ； (2)设的面积为，当为何值时，取得最大值，的最大值是多少？ (3)如图，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形是菱形时，求的值． 25．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于A，D两点．点P为直线上方抛物线上的一点（不与A、D重合），连接． (1)求抛物线的解析式和点D的坐标； (2)请求出四边形的面积的最大值； (3)点Q是直线上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二章 二次函数·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各项中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．抛物线与y轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．若过点，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．若点、在二次函数的图象上，且，则（  ） A． B． C． D． 5．抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 6．已知开口向下的抛物线经过坐标原点，那么a等于（    ） A． B．1 C． D．2或 7．下列关于抛物线的说法错误的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．顶点坐标为 8．图1是形状为抛物线的某拱形门建筑．如图2，若取拱形门地面上两点A，B的连线为x轴，可以近似地用函数表示（单位：m）．则拱形门底部的宽度大约是（   ） A．95m B．190m C．235m D．285m 9．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A．B．C． D． 10．如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则，其中结论正确的是（　　） A．①② B．②③④ C．②④ D．①③④． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知二次函数，当时，的值为 ． 12．已知抛物线与轴只有一个公共点，则 ． 13．已知二次函数，当时，函数的最大值是 ． 14．如图，抛物线与直线相交于点和点，点，的横坐标分别为和，则当时，的取值范围为 ． 15．一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为 ． 16．已知二次函数，在自变量x的值满足的情况下，对应的函数值y的最大值是，则h的值为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知二次函数． (1)求该函数图象的对称轴、及顶点坐标； (2)当为何值时，随的增大而增大． 18．已知二次函数的与的部分对应值如表： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 0 ．．． (1)求这个二次函数表达式； (2)判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． 19．已知抛物线与轴的交点为，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标，并在平面直角坐标系中画出抛物线； (3)当时，直接写出的取值范围． 20．如图某农场要建一个矩形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长)，另外三边由长的栅栏围成．设矩形空地中，垂直于墙的边，面积为(如图)． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)若矩形空地的面积为，求的值． 21．已知抛物线（，为常数）． (1)如图，若抛物线的顶点坐标为，求，的值． (2)将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线．若抛物线与的交点坐标为，求抛物线的函数表达式． 22．某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量的部分对应数据如表： 销售单价（元） 60 65 70 日销售量（件） 200 150 100 (1)根据以上信息，求关于的函数关系式； (2)已知销售单价为60元时，日销售利润为2000元.［注：日销售利润日销售量（销售单价-成本单价）] ①求该商品的成本单价是多少元； ②求该商品的销售单价为68元时的日销售利润； ③求该商品的销售单价为多少元时，其日销售利润有最大值，日销售利润的最大值为多少元． 23．【综合与实践】某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，喷出的水柱形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为米，与湖面的垂直高度为米．下面的表中记录了与的五组数据： （米） 0 1 2 3 4 （米） (1)在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示与函数关系的图象； (2)若水柱最高点距离湖面的高度为米，则______，并求与函数表达式； (3)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米，已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）． 24．如图，在中，，，，如果点由点出发沿方向向点匀速运动，同时点由点出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为，连接，设运动时间为（），解答下列问题： (1)用含的代数式表示 ， ； (2)设的面积为，当为何值时，取得最大值，的最大值是多少？ (3)如图，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形是菱形时，求的值． 25．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于A，D两点．点P为直线上方抛物线上的一点（不与A、D重合），连接． (1)求抛物线的解析式和点D的坐标； (2)请求出四边形的面积的最大值； (3)点Q是直线上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二章 二次函数·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A C B C C B D C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．6 12．2 13．0 14． 15．16 16．或 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解：， 该函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为；..........3分 （2）解：， 抛物线的开口向下， 当时，随的增大而增大．..........6分 18． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点和， ， 解得 ；..........3分 （2）解：点在函数的图象上． 理由：当时，， 点在函数的图象上．..........6分 19． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， ∴二次函数的解析式为；..........2分 （2）解：； ∴它的顶点坐标为； 列表如下： x 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 图象如图所示： ；..........4分 （3）解：当时，的最大值为4， 由图象可得，当时，．..........6分 20． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵墙长， ∴， 即， 解得， ∴与之间的函数关系式为，自变量的取值范围为．..........3分 （2）解：由题意：， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； ∴的值为．..........6分 21． 【详解】（1）解：抛物线（，为常数）的顶点坐标为， ，， 解得，．..........2分 （2）解：将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线； 将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线． 由，得． 抛物线与的交点坐标为， ，解得． 把代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为．..........8分 22． 【详解】（1）解：设日销售量（件）与销售单价（元）之间满足的一次函数表达式为， 把代入得， 解得， 一次函数表达式为；..........3分 （2）解：①设该产品的成本单价是元，根据题意， 得， 解得， 该商品的成本单价是50元； ..........5分 ②根据题意，得． 当时，（元）； ③， 抛物线开口向下， 当时，有最大值，最大值为2250， 答：当销售单价为65元时，日销售利润有最大值，最大值为2250元...........8分 23． 【详解】（1）解：以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图1所示： ..........2分 （2）解：由图1，可得函数顶点为， 水柱最高点距离湖面的高度为米， ， 根据图象可设二次函数的解析式为：， 将代入， 解得， 抛物线的解析式为：； 故答案为：，；..........5分 （3）解：设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：， ∵已知游船顶棚宽度为3米，抛物线对称轴为直线， ∴顶棚交抛物线轴于， ∵顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米， ∴此时纵坐标的值不小于， ， 解得， 水管高度至少向上调节米， （米）， 公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到约米才能符合要求．..........8分 24． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵点由点出发沿方向向点匀速运动，同时点由点出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为， ∴，， 故答案为：，；..........4分 （2）解：如图，过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴的面积， ∴当时，取最大值，最大值是；..........8分 （3）解：如图，连接，交相交于点，当四边形为菱形时，垂直平分，即，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∵， ∴当四边形是菱形时，的值为．..........12分 25． 【详解】（1）解：抛物线（）与x轴交于，两点， 则， 解得， 抛物线的解析式为：； 联立，则， 解得或， 当时，， ；..........4分 （2）为定值，且， 当的面积最大时，四边形的面积最大， 过点P作轴的垂线交于点K， 设点，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 此时， 四边形的面积的最大值为；..........8分 （3）解：抛物线的解析式为：， 令，则， ， 设， ，，， 是以为腰的等腰三角形， 当时，即， ， 解得：或（舍去）； ； 当时，即， ， 解得：或， 或； 综上，是以为腰的等腰三角形时，点Q的坐标为或或．..........12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $