专题02 数列的通项公式必考八类求法（举一反三专项训练）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题02 数列的通项公式必考八类求法（举一反三专项训练） 【人教A版】 【类型1 观察法】 2 【类型2 由an与Sn的关系求通项】 3 【类型3 累加法】 4 【类型4 累乘法】 5 【类型5 构造法】 5 【类型6 由等差数列的通项公式求数列通项】 6 【类型7 由等比数列的通项公式求数列通项】 7 【类型8 双数列的通项问题】 7 知识点1 数列的通项公式 1．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 2．数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. (2)对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. ③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{an}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1 (n≥2)(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用等式来表示. 知识点2 数列的通项公式的常见求法 1．观察法： 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项. 2．定义法： 已知数列的通项公式的类型，对于含参的通项公式，根据数列的定义结合已知条件，求出通项公式中的参数，从而得到此数列的通项. 3．公式法： 由an与Sn的关系求通项： (1)已知Sn求an的常用方法是利用转化为关于an的关系式，再求通项公式. (2) Sn与an关系问题的求解思路 方向1：利用an= Sn -Sn-1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn-1的关系式，再求解. 方向2：利用Sn -Sn-1= an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解. 4．累加法： 形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项. 5．累乘法： 形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项. 6．构造法： ①形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键. ②形如an+1=pan+qn+c的数列，引入参数x，y，构造新的等比数列{}. ③形如an+1=pan+qn的数列，两边同除以qn+1，构造新的数列{}. ④倒数法：形如(A,B,C为不为0的常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解. 7．等差数列的通项公式法： (1)如果给定的数列是等差数列，求出首项和公差，直接利用等差数列的通项公式求解； (2)如果给定的数列可以构造出等差数列，先求出构造的等差数列的通项公式，在通过递推关系式进行变形转化，得到所求数列的通项公式. 8．等比数列的通项公式法： (1)如果给定的数列是等比数列，求出首项和公比，直接利用等比数列的通项公式求解； (2)如果给定的数列可以构造出等比数列，先求出构造的等比数列的通项公式，在通过递推关系式进行变形转化，得到所求数列的通项公式. 【类型1 观察法】 1．（24-25高二上·山东烟台·期末）若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·贵州黔西·期末）数列，，，，，…的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）数列的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·甘肃陇南·期中）已知数列的前4项分别为，，，，则数列的一个通项公式可以为 ． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）写出下面各数列的一个通项公式． (1)； (2)6，66，666，6666，…； (3)； (4)． 【类型2 由an与Sn的关系求通项】 6．（2025·四川·三模）已知数列满足，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·广东江门·期末）已知数列的前项和，则这个数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·天津宁河·期末）若数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，则 . 10．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知数列的首项为1，其前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式. (2)证明：. 【类型3 累加法】 11．（24-25高二上·山东枣庄·阶段练习）已知数列满足，，则（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·全国·课堂例题）在数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·宁夏吴忠·期末）在数列中，，则 . 15．（24-25高二下·广东广州·期末）已知数列的首项为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求满足条件的最大整数． 【类型4 累乘法】 16．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知数列的项满足，而，则（     ） A． B． C． D． 17．（24-25高二上·重庆九龙坡·期末）已知，，则数列的通项公式是（　　） A．n B． C．2n D． 18．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高二上·甘肃·阶段练习）已知数列满足，，则数列的通项公式是 . 20．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知数列为等差数列，，，记的前n项和为，数列的首项，且． (1)求及； (2)求的通项公式． 【类型5 构造法】 21．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列的各项为正数，且，，则（   ） A． B． C． D． 22．（24-25高二下·山西晋中·阶段练习）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 23．（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段练习）已知，当时，，则的通项公式为 . 25．（25-26高三上·云南昆明·阶段练习）已知数列{}的首项 且满足 (1)求数列{}的通项公式； (2)求数列{}的前n项和Sn. 【类型6 由等差数列的通项公式求数列通项】 26．（2025高三·全国·专题练习）已知等差数列的公差为1，，则（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高二下·广东茂名·期中）已知为等差数列，为其前项和，若，则通项公式为（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 29．（2025高二·全国·专题练习）已知，，则数列的通项公式 ． 30．（25-26高二上·甘肃陇南·阶段练习）记为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值． 【类型7 由等比数列的通项公式求数列通项】 31．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高二下·山西太原·期中）已知等比数列中，，且，，成等差数列，则（   ） A． B． C． D． 33．（24-25高二上·全国·课后作业）在正项数列中，，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 34．（25-26高三上·江苏·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，，则数列的通项公式为 ． 35．（2025·湖北孝感·模拟预测）已知正项数列满足：. (1)证明是等比数列，并求通项； (2)若，求数列的前项和的表达式. 【类型8 双数列的通项问题】 36．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段练习）已知数列的前n项和为，且满足，数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 37．（25-26高三上·黑龙江·期中）已知数列满足，；数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式． (2)求数列的通项公式． (3)设数列满足，若中的三项（）成等差数列，证明：． 38．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，数列的前n项和，，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求的前项和； 39．（25-26高三上·广东湛江·阶段练习）已知等差数列满足，，数列满足，，. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)求数列的前项和. 40．（25-26高三上·天津滨海新·阶段练习）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项. (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数，设求数列的前项和. (3)若对于恒成立，求实数的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 数列的通项公式必考八类求法（举一反三专项训练） 【人教A版】 【类型1 观察法】 3 【类型2 由an与Sn的关系求通项】 5 【类型3 累加法】 7 【类型4 累乘法】 10 【类型5 构造法】 12 【类型6 由等差数列的通项公式求数列通项】 15 【类型7 由等比数列的通项公式求数列通项】 17 【类型8 双数列的通项问题】 20 知识点1 数列的通项公式 1．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 2．数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. (2)对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. ③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{an}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1 (n≥2)(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用等式来表示. 知识点2 数列的通项公式的常见求法 1．观察法： 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项. 2．定义法： 已知数列的通项公式的类型，对于含参的通项公式，根据数列的定义结合已知条件，求出通项公式中的参数，从而得到此数列的通项. 3．公式法： 由an与Sn的关系求通项： (1)已知Sn求an的常用方法是利用转化为关于an的关系式，再求通项公式. (2) Sn与an关系问题的求解思路 方向1：利用an= Sn -Sn-1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn-1的关系式，再求解. 方向2：利用Sn -Sn-1= an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解. 4．累加法： 形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项. 5．累乘法： 形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项. 6．构造法： ①形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键. ②形如an+1=pan+qn+c的数列，引入参数x，y，构造新的等比数列{}. ③形如an+1=pan+qn的数列，两边同除以qn+1，构造新的数列{}. ④倒数法：形如(A,B,C为不为0的常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解. 7．等差数列的通项公式法： (1)如果给定的数列是等差数列，求出首项和公差，直接利用等差数列的通项公式求解； (2)如果给定的数列可以构造出等差数列，先求出构造的等差数列的通项公式，在通过递推关系式进行变形转化，得到所求数列的通项公式. 8．等比数列的通项公式法： (1)如果给定的数列是等比数列，求出首项和公比，直接利用等比数列的通项公式求解； (2)如果给定的数列可以构造出等比数列，先求出构造的等比数列的通项公式，在通过递推关系式进行变形转化，得到所求数列的通项公式. 【类型1 观察法】 1．（24-25高二上·山东烟台·期末）若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据数列前项的规律，分别分析数列的符号规律和数值规律，进而得出数列的通项公式. 【解答过程】观察数列的前项，可以发现奇数项为正，偶数项为负. 根据当为偶数时结果为，当为奇数时结果为；当为奇数时结果为，当为偶数时结果为，可知该数列的符号规律可以用来表示. 分母依次为3,5,7,9，得该数列分母的通项公式为. 结合上述对符号规律和数值规律的分析，可知该数列的通项公式为. 故选：A. 2．（24-25高二上·贵州黔西·期末）数列，，，，，…的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由前5项的共同属性写出一个通项公式. 【解答过程】数列前5项均为分数，其分子是从1开始的正奇数，分母比对应分子多2， 则第项的分子为，对应的分母为， 所以. 故选：B. 3．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）数列的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合通项公式，逐项验证即可得. 【解答过程】对A：，不符，故A错误； 对B：，不符，故B错误； 对C：，不符，故C错误； 对D：、、 、，符合要求，故D正确； 故选：D. 4．（25-26高二上·甘肃陇南·期中）已知数列的前4项分别为，，，，则数列的一个通项公式可以为 ． 【答案】 【解题思路】分别观察分子和分母的规律可得通项. 【解答过程】由前四项可知，其分子为奇数， 其分母后一项是前一项的二倍， 所以数列的通项公式为. 故答案为：. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）写出下面各数列的一个通项公式． (1)； (2)6，66，666，6666，…； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）分析分子分母的关系结合分母特点写出通项公式； （2）分析数值的组成形式，得出规律，由此可写出通项公式； （3）根据奇偶项、分子、分母的规律写出通项公式； （4）分别考虑分子分母的通项公式，由此可得结果. 【解答过程】（1）这个数列前5项中，每一项的分子比分母少1，且分母依次为， 所以它的一个通项公式为． （2）这个数列的前4项可写为，， 所以它的一个通项公式为． （3）这个数列的奇数项为负，偶数项为正，前6项的绝对值可看作分母依次为， 分子依次为， 所以它的一个通项公式为. （4）将数列变形为对于分子可得分子的通项公式为， 对于分母联想到数列可得分母的通项公式为， 所以原数列的一个通项公式为． 【类型2 由an与Sn的关系求通项】 6．（2025·四川·三模）已知数列满足，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题中等式，可得，再结合时，可得. 【解答过程】当时，有，所以， 当时，由，， 两式相减得， 此时，，也满足， 所以的通项公式为. 故选：B. 7．（24-25高二上·广东江门·期末）已知数列的前项和，则这个数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】已知和求通项公式：进行计算. 【解答过程】当时， 当时， 故选：C. 8．（24-25高二上·天津宁河·期末）若数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用关系求通项公式. 【解答过程】当，则， 而，显然不满足上式，所以. 故选：D. 9．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，则 . 【答案】 【解题思路】根据与的关系求解可得. 【解答过程】当时，； 当时，. 综上，. 故答案为：. 10．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知数列的首项为1，其前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式. (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）首先根据时，利用公式，得到关于数列的递推关系式，再通过构造证明数列是等差数列，即可求通项公式； （2）根据（1）的结果，将通项放缩为，，再相消求和. 【解答过程】（1），① 当时，，② ①-②，得， 两边同时除以，得. 当时，. ， ，解得， 此时，也满足， 数列是以为首项，1为公差的等差数列， ，即. （2）证明：当时，， 当时，， ， 【类型3 累加法】 11．（24-25高二上·山东枣庄·阶段练习）已知数列满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由，利用累加法可求通项公式. 【解答过程】由题意可得， 所以，，…，， 上式累加可得 ， 又，所以. 故选：B. 12．（24-25高二上·全国·课堂例题）在数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由，可以采用累加法进行求解. 【解答过程】由，则 ， ， ， ， … ， 以上各式累加得． 所以． 因为也适合上式， 所以． 故选：B. 13．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】对同时除以可得，再由累加法求解即可得出答案. 【解答过程】若，则，则， 这与矛盾，所以， 对同时除以， 所以，则，， ……，， 上面的式子相加可得： ， 所以，所以， 故选：D. 14．（24-25高二上·宁夏吴忠·期末）在数列中，，则 . 【答案】 【解题思路】根据给定条件，利用累加法求出通项公式. 【解答过程】在数列中，， 当时， ，而满足上式， 所以. 故答案为：. 15．（24-25高二下·广东广州·期末）已知数列的首项为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求满足条件的最大整数． 【答案】(1) (2)8 【解题思路】（1）利用累加法可求得数列的通项公式； （2）根据，可求得，进而解不等式可求解. 【解答过程】（1）当时，， 将以上等式两边分别累加，可得， ， 当时，也符合上式．． （2）， ， ， ， ， 的最大值为8. 【类型4 累乘法】 16．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知数列的项满足，而，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用累乘法可数列的通项公式. 【解答过程】由已知，即 则时，，，，，，， 等式左右分别相乘可得， 又，适合上式， 所以， 故选：B. 17．（24-25高二上·重庆九龙坡·期末）已知，，则数列的通项公式是（　　） A．n B． C．2n D． 【答案】C 【解题思路】根据题意可得，再利用累乘法计算可得； 【解答过程】解：由，得， 即， 则，，，…，， 由累乘法可得，因为，所以， 故选：C． 18．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用累乘法即可求得. 【解答过程】因为， 所以， 上述各式相乘得， 因为，所以， 经检验，满足， 所以. 故选：D. 19．（25-26高二上·甘肃·阶段练习）已知数列满足，，则数列的通项公式是 . 【答案】 【解题思路】根据题意可得，再利用累乘法求解． 【解答过程】，，即， ， 满足上式，所以. 故答案为：． 20．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知数列为等差数列，，，记的前n项和为，数列的首项，且． (1)求及； (2)求的通项公式． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式可得答案； （2）先求出，累乘可求答案. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为，则，； 又，所以，所以， 所以，． （2）因为，所以， ， 以上各式相乘可得， 因为， 所以. 【类型5 构造法】 21．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列的各项为正数，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知等式变形得出，结合题意得出，，可知数列为常数列，由此可求得数列的通项公式. 【解答过程】因为数列的各项为正数，且，， 故当时，， 由题意可知，对任意的，，则，所以，， 则有，所以，数列为常数列， 故，所以. 故选：A. 22．（24-25高二下·山西晋中·阶段练习）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用构造法可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式可得结果. 【解答过程】∵， ∴，即， ∴数列是以为首项，以为公比的等比数列， ∴， ∴. 故选：A. 23．（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】给两边同时加一个数，构造成等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解的通项公式即可. 【解答过程】设，即， 所以，解得， 所以， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以． 故选：C. 24．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段练习）已知，当时，，则的通项公式为 . 【答案】 【解题思路】由题意设，展开后对照已知列方程组求出，再结合等比数列的通项公式，即可求得答案. 【解答过程】由于当时，①， 故设，即②， 由①，②对照可得，，解得， 即， 又，则是以3为首项，为公比的等比数列， 故，则 故答案为：. 25．（25-26高三上·云南昆明·阶段练习）已知数列{}的首项 且满足 (1)求数列{}的通项公式； (2)求数列{}的前n项和Sn. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先根据题干构造出是以为首项，为公比的等比数列，进而求出数列{}的通项公式； （2）由（1）可知数列{}的通项公式为等差乘等比，利用错位相减求出前n项和即可. 【解答过程】（1）由于，则， 化简得， 又，则是以为首项，为公比的等比数列， 得，所以． （2）由(1)得，，则，则 ，① ，② ①②，得：， ， ， ， ， 化简后得 ． 【类型6 由等差数列的通项公式求数列通项】 26．（2025高三·全国·专题练习）已知等差数列的公差为1，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据已知关系，应用等差数列的通项公式求基本量，再写出通项公式. 【解答过程】若数列公差为，因为，所以， 又，解得，所以. 故选：C. 27．（24-25高二下·广东茂名·期中）已知为等差数列，为其前项和，若，则通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用等差数列的通项公式以及前项和的基本量计算，分别求出首项和公差，即可得通项公式. 【解答过程】由题意，，解得， 设等差数列的公差为，则，解得， 所以数列的通项公式为. 故选：A. 28．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由等差数列通项公式可求. 【解答过程】数列中，，， 所以数列是首项，公差的等差数列， 所以. 故选：A. 29．（2025高二·全国·专题练习）已知，，则数列的通项公式 ． 【答案】 【解题思路】由可分别得到方程组和，从而得到，化简后得到，再验证，即可求解. 【解答过程】因为， 所以，， 两式相减得， 即， 即． 因为，所以． 因为，所以， 故是首项为、公差为4的等差数列，则 ． 故答案为：. 30．（25-26高二上·甘肃陇南·阶段练习）记为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值． 【答案】(1) (2)，的最小值为 【解题思路】（1）根据等差数列性质可得，进而可得公差和通项公式； （2）根据等差数列求和公式求，再根据的符号分析最值. 【解答过程】（1）因为为等差数列的前项和，且，， 则，即，可得公差， 所以数列的通项公式为. （2）因为，则， 令，解得， 可知当时，；当时，； 所以的最小值为. 【类型7 由等比数列的通项公式求数列通项】 31．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】应用化简得出数列是等比数列，再应用等比数列通项公式计算求解. 【解答过程】因为，则， 当时，作差得，所以， 所以，所以，因为，当时，， 数列是以为首项以为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为. 故选：D. 32．（24-25高二下·山西太原·期中）已知等比数列中，，且，，成等差数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】应用等差中项的性质及等比数列的通项公式求得公比，进而写出通项公式. 【解答过程】由题设，若的公比为，则，， 所以 ，则. 故选：D. 33．（24-25高二上·全国·课后作业）在正项数列中，，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先证明数列为等比数列，再根据首项和公比求数列的通项公式. 【解答过程】因为，所以，即， 则数列是等比数列，公比为． 又因为，所以或（舍去）， 则数列的通项公式为． 故选：A. 34．（25-26高三上·江苏·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解题思路】先求得，当时，根据，可得，最后由等比数列的定义求解即可. 【解答过程】当时，则有，解得， 当时， 则有， 所以， 即， 所以， 所以数列是等比数列，其首项为，公比， 所以. 当时也符合，所以. 故答案为：. 35．（2025·湖北孝感·模拟预测）已知正项数列满足：. (1)证明是等比数列，并求通项； (2)若，求数列的前项和的表达式. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据递推关系即可证明等比数列，进而求得通项公式； （2）根据错位相减法直接求数列的前项和. 【解答过程】（1）由，得， 因为是正项数列，所以，即，又， 所以是公比为的等比数列，又，得， 所以，即. （2）由（1）知，所以. 所以， 即， ， 所以 ， 所以. 【类型8 双数列的通项问题】 36．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段练习）已知数列的前n项和为，且满足，数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）由，根据与关系求出；将看作数列的前项和，同理可求； （2）由错位相减法求和. 【解答过程】（1）对于数列，当时，，解得； 当时，，与原式作差可得（）， 所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以； 对于数列，当时，，解得， 时，， 与原式作差可得，因为，所以， 所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以． （2）由（1）可知， 所以， 所以， 两式作差可得， 所以． 37．（25-26高三上·黑龙江·期中）已知数列满足，；数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式． (2)求数列的通项公式． (3)设数列满足，若中的三项（）成等差数列，证明：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据给定的递推公式，分奇偶讨论，结合等比数列定义求出通项公式. （2）根据给定条件，利用变形，再构造常数列求出通项公式. （3）由（1）（2）的结论，利用反证法推理得证. 【解答过程】（1）数列中，，， 当时，，则，当时，，则， 因此数列均是公比为4的等比数列，， 所以数列的通项公式是. （2）在数列中，，当时，， 当时，，两式相减得，， 当时，， 即，因此当时，数列是常数列， ，整理得，显然满足上式， 所以数列的通项公式是. （3）由（1）（2）得，显然且数列是递增的， 由成等差数列，得， 假设，则，即，整理得， 设，则， 因此数列是单调递增数列，则，即与矛盾， 于是假设不成立，所以成立. 38．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，数列的前n项和，，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求的前项和； 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）由等差数列定义和等比数列通项公式可构造方程求得公比，进而得到，由等比数列通项公式可求得；利用可得到，利用累乘法可求得； （2）由（1）可得，进而整理得到，将相邻两项看作一组，采用分组求和的方式，分别根据等差数列求和公式和错位相减法求得两个部分的和，由此可得. 【解答过程】（1）设等比数列的公比为， ，，成等差数列，，即，，，解得：或（舍）； ，，即，解得：，； 当时，，整理可得：， ； 经检验，当时，满足， 综上所述：. （2）由（1）得：， ， 令，则其前项和； 令， 则其前项和， ， ，， . 39．（25-26高三上·广东湛江·阶段练习）已知等差数列满足，，数列满足，，. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) (3) 【解题思路】（1）利用等差数列的性质可求得首项与公差，可求得，由已知可得是等比数列.，计算可求得； （2）利用裂项相消法可求得数列的前项和； （3）利用错位相减法可求得数列的前项和. 【解答过程】（1）由，得. 因为，所以， 则公差为，所以， 所以. 因为，所以，则是等比数列. 设其公比为，因为，，所以，，则. （2）因为， 所以. （3）因为，所以， 所以， 两式相减得， 所以. 40．（25-26高三上·天津滨海新·阶段练习）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项. (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数，设求数列的前项和. (3)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) (3) 【解题思路】（1）利用及求出，再结合，是和的等比中项可求出； （2）利用错位相减法即可求出； （3）由题可得对于恒成立，令，当时，， 当时，单调递减，又，从而可得. 【解答过程】（1）由，，解得， 所以；则， 由是和的等比中项，则，解得， 又由，所以，所以. （2）由（1）可得， 则， ， 将两式相减得：， 化简得. （3）若对于恒成立， 即对于恒成立， 化简得对于恒成立，令， 则，当时，； 所以当时，， 所以当时，单调递减，当时，， 所以，所以. 故实数的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $