专题01 数列的综合应用大题（35题）（举一反三专项训练）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题01 数列的综合应用大题（35题）（举一反三专项训练） 【人教A版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 等差、等比数列的综合问题 1．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列是等差数列，数列是公比大于0的等比数列．且． (1)求和的通项公式； (2)记数列的前项和为，求． 2．（24-25高二下·广东江门·期末）已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，， (1)求数列，的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 3．（25-26高二上·浙江绍兴·阶段练习）已知等差数列中，，等比数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前n项的和. 4．（24-25高二下·北京平谷·期中）记为等差数列的前项和，数列为正项等比数列，已知，，， (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和 5．（24-25高二下·山东东营·期末）已知等差数列满足公差，，.等比数列的首项，公比为3. (1)求数列，的通项公式； (2)数列的前n项和为，记数列的前n项和为，求. 题型二 数列的求和 6．（25-26高三上·湖南·阶段练习）记数列的前n项和为，已知 ，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 7．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列为等差数列，公差，的部分项恰为等比数列，若． (1)求； (2)设数列满足：，求数列的前n项和． 8．（25-26高三上·四川成都·阶段练习）等比数列中，，且数列单调递增. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 9．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 10．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知数列满足：，，数列为单调递增的等比数列，，且，，成等差数列. (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 题型三 数列中的不等式恒成立、有解问题 11．（25-26高三上·江苏苏州·开学考试）已知数列的前项为，且.正项等比数列的首项为1，为其前项和，且. (1)求，； (2)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值. 12．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知数列的前n项和满足. (1)求的通项公式； (2)设数列满足，记数列前n项和为，若存在使得成立，求λ的取值范围. 13．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列和满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 14．（24-25高二上·浙江舟山·期末）数列满足：． (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围． 15．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知数列的前项和满足． (1)求的通项公式； (2)设数列满足，记数列的前项和为，若存在使得成立，求的取值范围． 题型四 数列中的不等式证明问题 16．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：． 17．（25-26高二上·全国·单元测试）已知数列满足 ．记（）． (1)计算，并证明数列为等比数列； (2)设，且数列的前项和为，求证：． 18．（2025·湖北·一模）已知数列的首项为，前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)求满足的的最小值； (3)已知，记数列的前项和为，求证：. 19．（24-25高二上·重庆·期中）已知为等差数列，其公差为，前项和为，为等比数列，其公比为，前项和为，若，，，． (1)求公差和； (2)记，证明：． 20．（24-25高二上·湖南永州·期末）在数列，中，，，，， (1)求数列，的通项公式； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：． 题型五 数列的实际应用问题 21．（24-25高二上·上海·期中）某产品具有一定的时效性．在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件．若做广告宣传，广告费为千元时比广告费为千元时多卖出件，其中，． (1)求销售量关于广告费用n的函数关系式； (2)当，时，厂家应生产多少件这种产品且广告宣传费用为多少元时才能使利润最大.（利润＝总获利－广告费，并假设厂家生产的产品全部销售完．） 22．（24-25高二上·山东烟台·阶段练习）甲、乙两企业，2019年的销售量均为p(2019年为第一年)，根据市场分析和预测，甲企业前n年的总销量为，乙企业第年的销售量比前一年的销售量多． (1)求甲、乙两企业第n年的销售量的表达式； (2)根据甲、乙两企业所在地的市场规律，如果某企业的年销售量不足另一企业的年销售量的，则该企业将被另一企业收购，试判断，哪一企业将被收购？这个情形将在哪一年出现？试说明理由． 23．（24-25高三下·上海·阶段练习）治理垃圾是S市改善环境的重要举措．去年S市产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的． (1)写出S市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数的表达式； (2)设为从今年开始n年内的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由． 24．（24-25高二上·浙江金华·期末）在一次招聘会上，两家公司开出的工资标准分别为：公司A：第一年月工资3000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元：公司B：第一年月工资3720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增，设某人年初想从这两家公司中选择一家去工作． (1)若此人选择在一家公司连续工作年，第年的月工资是分别为多少？ (2)若此人选择在一家公司连续工作10年，则从哪家公司得到的报酬较多？（）． 25．（24-25高二上·全国·课后作业）“绿水青山就是金山银山．”我国某西部地区进行沙漠治理，已知该地区有土地万平方千米，其中是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第年绿洲面积为万平方千米． (1)求与的关系； (2)判断是不是等比数列，并说明理由； (3)至少经过几年，绿洲面积可超过？ 题型六 数列与其他知识的交汇问题 26．（2025·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 27．（2025高三·全国·专题练习）已知在中，角的对边分别为，向量，，. (1)求角C的大小; (2)若成等差数列，且，求c. 28．（24-25高三上·山东·期中）已知数列，满足且点在函数的图像上，且． (1)证明：是等比数列．并求． (2)令，设的前项和，证明． 29．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆，直线与交于点，过椭圆上一点（非顶点）作的切线与直线和分别交于点. (1)若，求取得最小值时椭圆的标准方程； (2)若椭圆的右顶点为，直线与轴交于点，直线与直线交于点，直线，，的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列. 30．（24-25高二下·江西·期末）在数列中，是和的等差中项，且集合为单元素集合． (1)求． (2)已知数列为等比数列，． （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）若，证明： 题型七 数列新定义问题 31．（2025·江苏·模拟预测）若数列满足，则称为“阶跃数列”. (1)若，判断是否为“阶跃数列”； (2)在“阶跃数列”中，若，求实数的取值范围； (3)记“阶跃数列”的前项和为，证明：数列是“阶跃数列”. 32．（24-25高二下·四川广元·期中）若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数． (1)证明：数列是“平方递推数列”； (2)设，数列的前项和为 ①求； ②若恒成立，求实数的最大值． 33．（24-25高三上·云南·阶段练习）对于数列，若存在正整数，使得对任意的，都有（为常数），则称数列从第项起为 “等差比数列”. (1)已知数列满足，试判断数列是否为 “等差比数列”，若是，求出的值；若不是，请说明理由. (2)若数列从第项起为 “等差比数列”，，，求数列的通项公式. (3)在（2）的条件下，设数列的前项和为，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围. 34．（2025·广东肇庆·一模）对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列，再令，则数列是数列的二阶和数列，以此类推，可得数列的阶和数列． (1)若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求； (2)若，求的二阶和数列的前项和； (3)若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数的最大值，以及取最大值时的公差． 35．（24-25高二上·云南昆明·期末）对于，若数列满足，则称这个数列为“数列”． (1)已知数列1，，2m是“数列”，求实数m的取值范围． (2)是否存在首项为的等差数列为“数列”，且其前项和使得恒成立？若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由． (3)已知各项均为正整数的等比数列是“数列”，数列不是“数列”，若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数列的综合应用大题（35题）（举一反三专项训练） 【人教A版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 等差、等比数列的综合问题 1．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列是等差数列，数列是公比大于0的等比数列．且． (1)求和的通项公式； (2)记数列的前项和为，求． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，根据题意建立方程组，求解即可. （2）先将绝对值数列分类讨论拆分，再求和即可. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且． 依题意得，解得，则或． 又因为，所以，解得，故，． （2）由上问得，则， 令，解得，此时， 令，解得，此时， 则前项和为， 第6到第16项和为， 则. 2．（24-25高二下·广东江门·期末）已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，， (1)求数列，的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）计算出公比、公差即可求解； （2）由裂项相消法即可求解. 【解答过程】（1）设公比为，公差为， 所以，解得，所以， 所以，所以，解得， 所以； （2）因为， 所以数列的前n项和. 3．（25-26高二上·浙江绍兴·阶段练习）已知等差数列中，，等比数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前n项的和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据等差和等比数列基本量的计算即可求解， （2）对分奇偶，结合分组求和，利用等差数列以及等比数列求和公式即可求解. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由， 得，所以， 从而， 所以，所以. （2），故， 当为偶数时， ， 当为奇数时，， 综上可得. 4．（24-25高二下·北京平谷·期中）记为等差数列的前项和，数列为正项等比数列，已知，，， (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意可得，求解可得的通项公式；由等比数列可得，求解可得的通项公式； （2）利用分组求和法可求得. 【解答过程】（1）设数列的首项为，公差为，设数列的首项为，公比为， 由，，可得，解得， 所以，即数列的通项公式为， 因为，由得，解得， 所以，所以数列的通项公式为； （2）由（1）可知，， . 5．（24-25高二下·山东东营·期末）已知等差数列满足公差，，.等比数列的首项，公比为3. (1)求数列，的通项公式； (2)数列的前n项和为，记数列的前n项和为，求. 【答案】(1)，. (2). 【解题思路】（1）根据等差数列性质得到方程组，求出，，求出公差和首项，得到通项公式，并根据等比数列通项公式求出； （2）计算出，利用错位相减法求和，得到答案. 【解答过程】（1）为等差数列，故， 因为，，所以， 整理得，解得或， 当时，，当时，， 因为，所以，，故， 此时，所以， 因为等比数列的首项，公比为3，得. （2）由题，， ， ， 两式相减得 ， 故. 题型二 数列的求和 6．（25-26高三上·湖南·阶段练习）记数列的前n项和为，已知 ，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由化简条件可得数列是公差为3的等差数列，利用等差数列通项公式求解即可. （2）利用分组求和裂项相消求和即可. 【解答过程】（1）由已知，，即，即，所以数列是公差为3的等差数列 因为，则 因为，所以的通项公式是. （2）因为，则 因为，则 所以. 7．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列为等差数列，公差，的部分项恰为等比数列，若． (1)求； (2)设数列满足：，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设等差数列的首项为，进而根据得，此时可得，，进而得； （2）结合（1）得，进而根据错位相减法求解即可. 【解答过程】（1）解：根据题意，设等差数列的首项为， 因为的部分项恰为等比数列，且， 所以成等比数列，即， 所以，整理得， 所以，， 所以， 所以的部分项构成的等比数列的首项为，公比为， 所以，其通项公式为， 又因为，所以， 因为，所以 （2）解：因为由（1）得， 所以 所以， ， 两式相减得：， 所以，. 8．（25-26高三上·四川成都·阶段练习）等比数列中，，且数列单调递增. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用等比数列的定义与性质列方程计算即可； （2）利用裂项相消法求和即可. 【解答过程】（1）设等比数列的公比为q， 由题意得，解得， 因为单调递增，所以，                       所以的通项公式为， 即； （2）因为，所以，                                            记，则，                            所以， 即， 综上所述. 9．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据题意，当时，可得，两式相减，求得，再由，得到，即可求得数列的通项公式. （2）由（1）得，结合指数幂的运算法则，即可求得的值；. （3）由（2）知，结合倒序相加法，即可求解. 【解答过程】（1）由数列满足：， 当时，可得， 两式相减，可得，所以， 当，可得，所以，适合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由数列满足， 则 . （3）由（2）知， 可得， 则， 两式相加可得，所以. 10．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知数列满足：，，数列为单调递增的等比数列，，且，，成等差数列. (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2). 【解题思路】（1）根据等差数列的定义写出的通项公式，由等差中项的性质有，应用等比数列的通项公式求公比，进而确定的通项公式； （2）应用分组求和，结合等差、等比前n项和公式求. 【解答过程】（1）因为，又， 故是以为首项，2为公差的等差数列， 所以， 又，，成等差数列，故， 设的公比为，其中，则，解得或 当时，，此时，为递增数列，满足要求， 当时，，此时，为递减数列，舍去， 综上，，； （2）由（1）， . 题型三 数列中的不等式恒成立、有解问题 11．（25-26高三上·江苏苏州·开学考试）已知数列的前项为，且.正项等比数列的首项为1，为其前项和，且. (1)求，； (2)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）根据与的关系求解，结合等比数列的求和公式及题设分，两种情况求解； （2）转化问题为对任意的恒成立，进而利用不等式组求得的最小值，即可求解. 【解答过程】（1）由， 当时，， 当时，，满足上式，所以. 由，正项等比数列的首项为1， 当公比时，，，不满足； 当公比，且时，，解得，此时. 综上所述，. （2）由，，则， 即对任意的恒成立， 当时，， 当时，设数列在第项取得最小值， 则，解得， 而，则，此时取得最小值， 由于，即， 则实数的最大值为. 12．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知数列的前n项和满足. (1)求的通项公式； (2)设数列满足，记数列前n项和为，若存在使得成立，求λ的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据与的关系，结合等比数列的定义与通项公式即可得解； （2）利用（1）中结论，结合错位相减法求得，再将问题转化为能成立问题，进而求得不等式右式的最大值，从而得解. 【解答过程】（1）因为，当时，，得， 当，时，，， 两式相减，得，即， 而，则，， 所以是以1为首项，公比的等比数列， 故； （2）， 所以， ， 两式相减，得 ， 所以， 由，得，， 即存在使成立， 因为随着增大，在减小， 所以当时，， 故求的取值范围是. 13．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列和满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）通过的关系作差，得到，即可求解； （2）由（1），同除，得到，构造等比数列，得到，即可求解； （3）问题转换成恒成立，判断单调性，即可求解. 【解答过程】（1）由， 可得：， 两式相减可得：，， 可得：，又， 所以， 即， （2）由（1）， 两端同除，可得， 所以，又， 所以是首项为，公比为的等比数列， 即， 可得：，， 所以； （3）由（1）（2） 即为：， 即对任意的，恒成立， 由， 因为，， 所以， 即当时，单调递减， 所以当时，取得最大值， 所以， 则的取值范围是. 14．（24-25高二上·浙江舟山·期末）数列满足：． (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）根据的关系，即可作差求解， （2）利用裂项相消法求解，根据单调性可得，进而根据求解即可. 【解答过程】（1）令 又① ② 由①②得到 即：， 经检验，也成立，故数列的通项公式 （2） 因为是单调递增数列，且 若恒成立，则，解得或， 实数的取值范围为或． 15．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知数列的前项和满足． (1)求的通项公式； (2)设数列满足，记数列的前项和为，若存在使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据与的关系，结合等比数列的定义、通项公式进行求解即可； （2）利用错位相减法，结合一次函数的单调性进行求解即可. 【解答过程】（1），当时，， 当，时，，， 两式相减得： 为非零定值，而， 即是以1为首项，公比的等比数列，所以； （2）， 所以， ， 两式相减： ， 由得，， 即存在使成立， 随着增大，在减小， 当时，， 故求的取值范围是． 题型四 数列中的不等式证明问题 16．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）根据已知得到，应用等比数列的定义判断证明即可； （2）由（1）得到数列的通项公式，利用分组求和、等比数列前n项和公式求和； （3）由（2）得到数列的通项公式，对进行放缩得，应用裂项相消法证明结论. 【解答过程】（1）由题可得，，所以， 又，则，则， 故数列是首项为2，公比为2的等比数列； （2）由（1）知，所以， 所以. （3）由（2），则， 所以． 令，则， 的前项和为； 令，则， 的前项和为， 所以， 因为，所以，当时等号成立， 而，所以. 17．（25-26高二上·全国·单元测试）已知数列满足 ．记（）． (1)计算，并证明数列为等比数列； (2)设，且数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)，，证明见解析； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）根据题设递推关系求，并得到 ，结合等比数列的定义即可证； （2）由（1）得，则，进而可得 即可证. 【解答过程】（1）由题设， ， ，且， 数列是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）知，则， ． . 18．（2025·湖北·一模）已知数列的首项为，前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)求满足的的最小值； (3)已知，记数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)最小值为 (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据退一相减法可得，再结合累加法可得通项公式； （2）由通项公式代入不等式，可得的范围，即可得解； （3）利用裂项相消法可求和，再结合不等性质可得证. 【解答过程】（1）由已知， 则， 即，则，，，， 等式左右分别相加可得， 则； （2）由（1）得，且， 即， 化简可得， 又，即， 所以满足的的最小值为； （3）依题意得，， 则， 又，所以， 所以， 即. 19．（24-25高二上·重庆·期中）已知为等差数列，其公差为，前项和为，为等比数列，其公比为，前项和为，若，，，． (1)求公差和； (2)记，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）分析可得，由此可得，利用等比数列的求和公式可求出的值，即可得出的值，计算出的值，根据可得出关于的方程，即可解出的值； （2）利用裂项相消法求出数列的前项和，即可证得结论成立. 【解答过程】（1）因为为等差数列，其公差为，前项和为，则， 又因为，，则， 因为，即，可得，解得，故， 所以，，则，可得. 综上所述，. （2）由（1）可得， 所以，， 因此， . 20．（24-25高二上·湖南永州·期末）在数列，中，，，，， (1)求数列，的通项公式； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）由已知可得，所以数列是等差数列，可得的通项公式，由，可得数列是等比数列，即可求解的通项公式； （2）由已知可得，令，可得，所以可得，分为偶数和为奇数分别求解即可； （3）利用放缩法可得，再根据等比数列的前项和公式即可求解. 【解答过程】（1）因为，， 所以数列是首项为2，公差为3的等差数列， 所以，所以， 由，可得， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，所以； （2）由，得到， 令，则， 当时，，得到， 当时，，所以，又， 当为偶数时，，得到， 当为奇数时，，得到， 所以； （3） ， 所以，所以， ，故得证. 题型五 数列的实际应用问题 21．（24-25高二上·上海·期中）某产品具有一定的时效性．在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件．若做广告宣传，广告费为千元时比广告费为千元时多卖出件，其中，． (1)求销售量关于广告费用n的函数关系式； (2)当，时，厂家应生产多少件这种产品且广告宣传费用为多少元时才能使利润最大.（利润＝总获利－广告费，并假设厂家生产的产品全部销售完．） 【答案】(1). (2)7875件，5000元. 【解题思路】（1）根据题意，不做广告时销售量，随后广告费为千元时比广告费为千元时多卖出件，即时比时多卖件，，时又比时多卖件，即，以此类推可得的表达式. （2）设利润为，由（1）可表示出利润与n的关系式，再根据关系式分析当最大时n的取值为多少. 【解答过程】（1）由题意得，， 因为广告费为千元时比广告费为千元时多卖出件， 所以，… 于是可得 ， 由等比数列求和可得， ， 所以. （2）由（1）可得，设利润为， 则， 所以当，时， ， 若要使最大，则，代入可得， 故，此时， 所以商家应生产7875件产品且广告费用为5000元时利润最大. 22．（24-25高二上·山东烟台·阶段练习）甲、乙两企业，2019年的销售量均为p(2019年为第一年)，根据市场分析和预测，甲企业前n年的总销量为，乙企业第年的销售量比前一年的销售量多． (1)求甲、乙两企业第n年的销售量的表达式； (2)根据甲、乙两企业所在地的市场规律，如果某企业的年销售量不足另一企业的年销售量的，则该企业将被另一企业收购，试判断，哪一企业将被收购？这个情形将在哪一年出现？试说明理由． 【答案】(1)； (2)第2029年时，乙企业被甲企业收购，理由见详解 【解题思路】（1）设甲、乙两企业第n年的销售量分别为，根据前n项和与通项之间的关系求，利用累加法求； （2）分析可知：甲企业不可能被乙企业收购，令，整理可得，分析求解即可. 【解答过程】（1）设甲、乙两企业第n年的销售量分别为，数列的前n项和为， 则， 当时，则， 且不满足上式，则； 又因为当时，， 则 ， 且满足上式，所以. （2）因为，即时不合题意； 当时，可知， 即恒成立，可知甲企业不可能被乙企业收购， 令，即， 显然，整理可得， 因为，则， 可知：当时，不等式不成立； 当时，，即不等式不成立； 当时，，即不等式不成立； 当时，不等式成立； 综上所述：当时，等式成立， 所以第2029年时，乙企业被甲企业收购. 23．（24-25高三下·上海·阶段练习）治理垃圾是S市改善环境的重要举措．去年S市产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的． (1)写出S市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数的表达式； (2)设为从今年开始n年内的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由． 【答案】(1) (2)有效，理由见详解 【解题思路】（1）分别求出当时和时的通项公式，即可得到年垃圾排放量的表达式； （2）先根据，利用作差法，可证明数列为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势 【解答过程】（1）设治理年后，S市的年垃圾排放量构成数列. 当时，是首项为，公差为的等差数列， 所以； 当时，数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以， 所以，治理年后，S市的年垃圾排放量的表达式为 （2）设为数列的前项和， 则． 由于 由（1）知， 时，，所以为递减数列， 时，，所以为递减数列， 且， 所以为递减数列， 于是 因此， 所以数列为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，故认为现有的治理措施是有效的. 24．（24-25高二上·浙江金华·期末）在一次招聘会上，两家公司开出的工资标准分别为：公司A：第一年月工资3000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元：公司B：第一年月工资3720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增，设某人年初想从这两家公司中选择一家去工作． (1)若此人选择在一家公司连续工作年，第年的月工资是分别为多少？ (2)若此人选择在一家公司连续工作10年，则从哪家公司得到的报酬较多？（）． 【答案】(1)公司：（元）；公司：（元） (2)从公司得到的报酬较多 【解题思路】（1）根据所给条件分布求出在公司、第年的月工资； （2）分别利用等差数列、等比数列求和公式求出总报酬，即可判断. 【解答过程】（1）选择在公司连续工作年，第一年月工资元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加元, 则他第年的月工资是：（元）； 选择在公司连续工作年，第一年月工资元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增． 则他第年的月工资（元）． （2）若此人选择在一家公司连续工作10年，则在公司、公司得到的报酬分别为： 公司A： （元）． 公司B：（元）， 因为，故从公司得到的报酬较多. 25．（24-25高二上·全国·课后作业）“绿水青山就是金山银山．”我国某西部地区进行沙漠治理，已知该地区有土地万平方千米，其中是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第年绿洲面积为万平方千米． (1)求与的关系； (2)判断是不是等比数列，并说明理由； (3)至少经过几年，绿洲面积可超过？ 【答案】(1) (2)是等比数列，理由见解析 (3)至少经过年 【解题思路】（1）根据题意可得出，化简可得与的关系； （2）利用待定系数法结合等比数列的定义可得结论； （3）求出数列的通项公式，然后解不等式，即可得出结论. 【解答过程】（1）由题意时， ， 所以，. （2）数列是等比数列．理由如下： 由（1）得， 设，可得，所以，，可得， 所以，，且， 因此，数列是首项为，公比为的等比数列． （3）由（2）可知，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，，即． 令，得， 两边取常用对数，得， 所以， ，所以，， 所以，至少经过年，绿洲面积可超过． 题型六 数列与其他知识的交汇问题 26．（2025·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 【答案】(1) (2)1012 【解题思路】（1）由题意得，再利用可求出， （2）先求得，，然后利用倒序相加法可求得结果. 【解答过程】（1）因为点均在函数的图象上， 所以， 当时，，即， 当时， ， 因为满足上式， 所以； （2）因为， 所以， 因为，所以， 所以 ①， 又 ②， ①+②，得， 所以. 27．（2025高三·全国·专题练习）已知在中，角的对边分别为，向量，，. (1)求角C的大小; (2)若成等差数列，且，求c. 【答案】(1)； (2)6. 【解题思路】（1）由已知、向量数量积坐标表示及和角正弦公式得，再由二倍角正弦公式化简，即可得； （2）根据等差数列的性质、正弦边角关系得，再由向量减法法则及数量积的定义得，最后应用余弦定理求边长. 【解答过程】（1）由题设，又， 在中，，则， 所以，故. （2）由成等差数列，可得，则， 因为，所以，即，所以. 由余弦定理，得， 所以，所以. 28．（24-25高三上·山东·期中）已知数列，满足且点在函数的图像上，且． (1)证明：是等比数列．并求． (2)令，设的前项和，证明． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【解题思路】（1）先求出，从而求得，即，从而求解. （2）由（1）得，求出，从而求解. 【解答过程】（1）因为在函数上， 所以：，又， 所以：，即：， 且，可知， 两边取以为底的对数，， 又，， 所以：是首项为，公比为的等比数列． 所以：， 所以：. （2）因为，， 所以：， 则：，得：， 又因为：， ， 即证：. 29．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆，直线与交于点，过椭圆上一点（非顶点）作的切线与直线和分别交于点. (1)若，求取得最小值时椭圆的标准方程； (2)若椭圆的右顶点为，直线与轴交于点，直线与直线交于点，直线，，的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）利用基本不等式求取得最小值时的值，求出椭圆的标准方程， （2）设出直线的方程，根据直线与椭圆相切求出点的坐标，求出斜率之间的关系，根据的横坐标得到，利用直线的斜率公式及等差数列的定义得出结论. 【解答过程】（1）由于在椭圆上，所以， 由，得， 当且仅当，即时，取得最小值. 故取得最小值时椭圆的标准方程为. （2）根据不是椭圆的顶点可知直线的斜率存在且不为0，    设直线为，所以，. 由，得 由于直线与椭圆相切，所以， 即，得， 所以（*）式可化为，即，得，故. 由题，得，所以， 故直线的方程为， 令，得，故. 所以， 所以直线的方程为， 令，得， 所以.易知， 由于，所以. 设，故，，， 故， 故成等差数列. 30．（24-25高二下·江西·期末）在数列中，是和的等差中项，且集合为单元素集合． (1)求． (2)已知数列为等比数列，． （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）若，证明： 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解题思路】（1）根据条件，利用等差中项的性质及一元二次不等式的解法，即可求解； （2）（i）根据条件建立方程，结合（1）中结果，联立求解出，即可求解；（ii）根据（i）得，裂项相消，即可求解. 【解答过程】（1）因为是和的等差中项，所以，即①， 又因为集合为单元素集合，即只有一个解， 所以，得到②， 由①②知． （2）（i）数列的前项为，又由（1）知，所以，即. 又由（1）可知，所以，即， 解得或，因为，所以，则， 则数列的公比为， 所以数列是以1为首项，为公比的等比数列， 则，得到． （ⅱ）证明：因为， 所以， 又，所以，故命题得证． 题型七 数列新定义问题 31．（2025·江苏·模拟预测）若数列满足，则称为“阶跃数列”. (1)若，判断是否为“阶跃数列”； (2)在“阶跃数列”中，若，求实数的取值范围； (3)记“阶跃数列”的前项和为，证明：数列是“阶跃数列”. 【答案】(1)为“阶跃数列”； (2). (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据“阶跃数列”的定义，证明即可； （2）根据“阶跃数列”的定义可得恒成立，令，利用数列单调性求出的最大值即可； （3）先根据“阶跃数列”的定义，结合放缩法、累加法证明，再证明即可. 【解答过程】（1）令，则， 所以，即，所以为“阶跃数列”； （2）令， 则， 又为“阶跃数列”，所以， 所以，即， 令，则，所以为递减数列， 所以当时，取到最大值1，所以. （3）因为为“阶跃数列”，所以，即， 所以 所以. 当时，， 整理得， 所以，即； 当时， 所以对，即数列是“阶跃数列”. 32．（24-25高二下·四川广元·期中）若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数． (1)证明：数列是“平方递推数列”； (2)设，数列的前项和为 ①求； ②若恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【解题思路】（1）结合数列新定义，利用完全平方公式直接证明即可； （2）①由（1）数列是“平方递推数列”，即可求得，进而得到，然后利用错位相减法，求解数列的前项和即可；②由①代入不等式，则将不等式转化为恒成立，结合基本不等式即可求出结果. 【解答过程】（1）由题知，， 即， 当时，， 所以， 所以数列是“平方递推数列”. （2）①由（1）知，数列是“平方递推数列”，且， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 两式相减得， ， 则， 当时，，符合上式， 当时，，符合上式， 所以. ②由①知，， 则， 所以恒成立， 可得恒成立， 即，即， 令，则， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以，即实数的最大值为. 33．（24-25高三上·云南·阶段练习）对于数列，若存在正整数，使得对任意的，都有（为常数），则称数列从第项起为 “等差比数列”. (1)已知数列满足，试判断数列是否为 “等差比数列”，若是，求出的值；若不是，请说明理由. (2)若数列从第项起为 “等差比数列”，，，求数列的通项公式. (3)在（2）的条件下，设数列的前项和为，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)是， (2)（） (3) 【解题思路】（1）根据“等差比数列”定义计算求解； （2）应用“等差比数列”定义，可判断为等差数列，故可求通项； （3）应用等差数列前n项和公式计算求参即可. 【解答过程】（1）已知，则，. 所以数列是 “等差比数列”，. （2）因为数列从第项起为 “等差比数列”，所以时，. 所以，故， 整理得到：，故， 所以为常数列，故， 而，故即，故， 故，故为等差数列，其首项为，公差为， 故. （3），由得，即对任意的成立. 因为的最小值为，所以，即实数的取值范围是. 34．（2025·广东肇庆·一模）对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列，再令，则数列是数列的二阶和数列，以此类推，可得数列的阶和数列． (1)若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求； (2)若，求的二阶和数列的前项和； (3)若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数的最大值，以及取最大值时的公差． 【答案】(1) (2) (3)的最大值是，公差为 【解题思路】（1）根据一阶和数列的定义可计算出，，的值，根据二阶和数列的定义计算出，的值，由的二阶和数列是等比数列可得公比，从而得到，，的值，再由定义可求出的值. （2）根据定义可得的通项公式，进而求得的前项和公式. （3）由可得，从而可得公差，结合条件可得正整数的最大值. 【解答过程】（1）由题意得，，，， ∴，， 设数列的二阶和数列的公比为，则， ∴，，， ∴，，， ∴，，． （2）设的二阶和数列的前项和为， 由题意得，，， 由得数列是以为首项，为公差的等差数列， ∴. （3）∵， ∴，故． 设数列的公差为，则， ∴，得， ∵反比例函数在上为增函数， ∴由得，，故， ∵， ∴，故， ∴的最大值是，由得公差. 35．（24-25高二上·云南昆明·期末）对于，若数列满足，则称这个数列为“数列”． (1)已知数列1，，2m是“数列”，求实数m的取值范围． (2)是否存在首项为的等差数列为“数列”，且其前项和使得恒成立？若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由． (3)已知各项均为正整数的等比数列是“数列”，数列不是“数列”，若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)答案见解析 【解题思路】（1）根据题意得到，且，再解不等式组即可； （2）首先假设存在等差数列符合要求，从而得到成立，再分类讨论和的情况，即可得到答案. （3）首先设数列的公比为q，则，根据题意得到，从而得到为最小项，再利用“数列”的定义得到，或，，再分类讨论即可得到答案. 【解答过程】（1）由题意得，且，解得， 所以实数m的取值范围是． （2）不存在．理由：假设存在等差数列符合要求，设公差为d，则， 由得． 由题意，得对均成立，即． 当时，； 当时，恒成立， 因为，所以，与矛盾， 所以这样的等差数列不存在． （3）设数列的公比为q，则． 因为的每一项均为正整数，且， 所以在中，为最小项. 同理，中，为最小项. 由为“数列”，只需，即． 又因为不是“数列”，且为最小项， 所以，即． 由数列的每一项均为正整数，可得， 所以或． 当时，，则． 令，则， 又， 所以为递增数列，即， 因为， 所以对于任意的，都有，即数列为“数列”． 当时，，则． 因为，所以数列不是“数列”． 综上所述，当时，，数列为“数列”； 当时，，数列不是“数列”． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $