1.4.1 一元二次函数-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦一元二次函数，系统覆盖图象变换、性质、解析式求法及闭区间最值等核心内容，通过情境问题与思考导入，联系平移、配方等旧知，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合直观想象（如图象平移实例分析）与逻辑推理（如分类讨论闭区间最值），设置体验题、分层训练（如轴变区间定例题），培养数学思维与表达，助力学生深化理解，教师可分层教学提升效率。

第一章　预备知识 §4　一元二次函数与一元二次不等式 4.1　一元二次函数 学习任务 核心素养 1．掌握一元二次函数的图象及图象变换．(重点) 2．会求一元二次函数的最值及相关问题．(重点、难点) 1．通过学习一元二次函数的图象，培养直观想象素养． 2．借助一元二次函数性质的应用，培养逻辑推理素养． 4.1　一元二次函数 1．函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)中，a，h，k分别对该函数的图象起了什么作用？ 2．如何确定函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象开口方向、对称轴、顶点坐标、函数值的变化趋势和最值？ 必备知识·情境导学探新知 4.1　一元二次函数 知识点　一元二次函数 1．抛物线 通常把一元二次函数的图象叫作抛物线． 2．一元二次函数的图象变换 一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移_____个单位长度，再向上(或向下)平移_____个单位长度而得到． |h|　 |k|　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 3．一元二次函数的性质   函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) a>0 a<0 图象     课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数   函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) a>0 a<0 性质 抛物线开口向上，并向上无限延伸 抛物线开口向下，并向下无限延伸 对称轴是x＝______；顶点坐标是 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数   函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) a>0 a<0 性质 在区间上y随x的增大而减小，在区间上y随x的增大而增大 在区间上y随x的增大而增大，在区间上y随x的增大而减小 抛物线有最低点，当x＝－时，y有最小值，ymin＝ 抛物线有最高点，当x＝－时，y有最大值，ymax＝_______ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 思考(1)如何把一元二次函数的一般式化成顶点式？ (2)①能否仅通过平移函数y＝x2的图象得到y＝的图象？ ②一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的参数a对其图象的开口大小与方向有什么影响？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 [提示]　(1)y＝ax2＋bx＋c＝a＋c ＝＋c ＝a－＋c ＝a＋． (2)①不能，平移只改变图象的位置，不改变其形状，而二者形状不同． ②当a>0时，图象开口向上，a值越大，开口越小； 当a<0时，图象开口向下，a值越大，开口越大． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 体验1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数y＝2x2与y＝－2x2的图象开口大小相同，开口方向相反． (　　) (2)函数y＝2(x－1)2＋1的图象可由函数y＝2x2的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到． (　　) (3)函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在上y随x的增大而增大． (　　) (4)函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x＝－处取得最大值． (　　) √　 √　 ×　 ×　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 体验2．若函数y＝x2＋2(2a－1)x＋2在区间(－∞，7]上y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是(　　) A．{－3} 　 B．(－3，＋∞) C．(－∞，－3] 　 D．[－3，＋∞) √ C　[由在区间(－∞，7]上函数值y随自变量x的增大而减小，可知－(2a－1)≥7，所以a≤－3．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 体验3．函数y＝x2－1的最小值是________． －1　[ y＝x2－1≥－1，所以函数的最小值为－1．] －1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 体验4．函数y＝x2＋2x＋3的图象可由y＝x2＋x的图象向左移________单位长度，再向上平移________个单位长度得到． 　　[ y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，y＝x2＋x＝－，将y＝x2＋x的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度即得到y＝x2＋2x＋3的图象．] 　 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 关键能力·合作探究释疑难 类型1　二次函数的图象及应用 【例1】　【链接教材P34例1】 在同一坐标系中作出下列函数的图象． (1)y＝x2；(2)y＝x2－2；(3)y＝2x2－4x． 并分析如何由y＝x2的图象变换成 y＝2x2－4x的图象． 4.1　一元二次函数 [解]　列表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 y＝x2 9 4 1 0 1 4 9 y＝x2－2 7 2 －1 －2 －1 2 7 y＝2x2－4x 30 16 6 0 －2 0 6 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 描点、连线即得相应函数的图象，如图所示． 由图象可知由y＝x2到y＝2x2－4x的变化过程如下． 法一：先把y＝x2的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2的图象，然后把y＝(x－1)2的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2(x－1)2的图象，最后把y＝2(x－1)2的图象向下平移2个单位长度便可得到y＝2x2－4x的图象． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 法二：先把y＝x2的图象向下平移1个单位长度得到y＝x2－1的图象，然后再把y＝x2－1的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2－1的图象，最后把y＝(x－1)2－1的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，便可得到y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的图象． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 【教材原题·P34例1】 例1　已知一元二次函数y＝x2＋2x＋5． (1)指出它的图象可以由函数y＝x2的图象经过怎样的变换而得到； (2)指出它的图象的对称轴，试述函数值的变化趋势及函数的最大值或最小值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 [解]　(1)配方，得y＝x2＋2x＋5 ＝(x2＋4x)＋5 ＝(x2＋4x＋4－4)＋5 ＝(x＋2)2＋3． 所以函数y＝x2＋2x＋5的图象可以由函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度而得到． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 (2)由(1)可知：该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝－2；在区间(－∞，－2]上，函数值y随自变量x的增大而减小，在区间[－2，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而增大；函数在x＝－2处取得最小值3，即ymin＝3． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 反思领悟　任意一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)都可转化为y＝a(x－h)2＋k的形式，都可由y＝ax2图象经过适当的平移得到，具体平移方法如图所示： 上述平移规律为：“h正右移，h负左移”；“k正上移，k负下移”． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 [跟进训练] 1．如何把y＝2x2－4x的图象变换成y＝x2的图象？ [解]　y＝2x2－4x＝2(x－1)2－2， 故可先把y＝2x2－4x的图象向上平移2个单位长度得到y＝2(x－1)2的图象， 然后再把y＝2(x－1)2的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x2的图象， 最后把y＝2x2的图象纵坐标变为原来的，便可得到y＝x2的图象． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 类型2　一元二次函数图象的应用 【例2】　已知二次函数y＝3x2－2x－1． (1)求其顶点坐标； (2)判断其在区间(－1，0)上是递增的还是递减的； (3) 当x取何值时，y＝0? 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 [解]　(1)配方得y＝3x2－2x－1＝3－， 所以其顶点坐标为． (2)由于该函数在区间上是递减的，且⊆，所以该函数在区间上也是递减的． (3)y＝0，即3x2－2x－1＝0， 解得x＝1或x＝－， 所以，当x＝1或x＝－时，y＝0． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 反思领悟　观察图象主要是把握其本质特征：开口方向决定a的符号，在y轴上的交点决定c的符号(值)，对称轴的位置决定－的符号，另外还要注意函数与x轴的交点、函数值的变化趋势等． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 [跟进训练] 2．如图是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点 A(－3，0)，对称轴为x＝－1．给出下面四个结论： ①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b． 其中正确的是(　　) A．②④ 　 B．①④ C．②③ 　 D．①③ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 B　[因为图象与x轴交于两点， 所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确； 对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误； 结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误； 由对称轴为x＝－1知，b＝2a．又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，④正确．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 类型3　一元二次函数解析式的求法 【例3】　已知一元二次函数的最大值是8，且当x＝2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝－1．求此一元二次函数的解析式． [解]　法一(利用一般式)： 设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由题意得解得 ∴所求一元二次函数的解析式为y＝－4x2＋4x＋7． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 法二(利用顶点式)： 设 y＝a(x－m)2＋n． ∵当x＝2时，y＝－1，且x＝－1时，y＝－1， ∴抛物线的对称轴为x＝＝． ∴m＝．又根据题意知函数有最大值8，∴n＝8． ∴y＝a＋8． 又抛物线过点(2，－1)，∴a＋8＝－1，解得a＝－4， ∴y＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 反思领悟　求一元二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，选用解析式的形式，利用待定系数法求解． (1)若已知条件是图象上的三个点，则设所求一元二次函数为一般式y＝ax2＋bx＋c，a，b，c为常数，a≠0的形式． (2)若已知一元二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求一元二次函数为顶点式y＝a(x－h)2＋k(其中顶点(h，k)，a为常数，a≠0)． (3)若已知一元二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，则设所求一元二次函数为两根式y＝a(x－x1)(x－x2)(a为常数，且a≠0)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 [跟进训练] 3．根据下列条件，求一元二次函数的解析式： (1)图象过点(1，1)，(0，2)，(3，5)； (2)图象顶点为(1，2)，并且过点(0，4)； (3)图象过点(2，0)，(4，0)，(0，3)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 [解]　(1)设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由题设知⇒ ∴函数解析式为y＝x2－2x＋2． (2)设所求函数解析式为y＝a(x－1)2＋2(a≠0)． 整理得y＝ax2－2ax＋a＋2，∴a＋2＝4，∴a＝2． ∴函数解析式为y＝2x2－4x＋4． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 (3)设所求函数解析式为y＝a(x－2)(x－4)(a≠0)， 整理得y＝ax2－6ax＋8a， ∴8a＝3，∴a＝． ∴函数解析式为y＝(x－2)(x－4)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 类型4　一元二次函数在闭区间上的最值问题 角度1　轴定区间定 【例4】　求一元二次函数y＝－x2＋4x－2在区间[0，3]上的最大值和最小值． [解]　函数y＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2是定义在区间[0，3]上的一元二次函数，其对称轴方程是x＝2，顶点坐标为(2，2)，且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在[0，3]上， 如图所示．在区间[0，3]上， 函数y在x＝2处取得最大值，即ymax＝2；函数y在x＝0 处取得最小值，即ymin＝－2． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 角度2　轴定区间变 【例5】　如果函数y＝(x－1)2＋1定义在区间[t，t＋1]上，求函数的最小值． [解]　函数y＝(x－1)2＋1，其对称轴方程为x＝1，顶点坐标为(1，1)，图象开口向上． 如图①所示，若顶点横坐标在区间[t，t＋1]左侧时，有t>1，此时，当x＝t时，函数取得最小值，ymin＝(t－1)2＋1． 如图②所示，若顶点横坐标在区间[t，t＋1]上时，有t≤1≤t＋1，即0≤t≤1．当x＝1时，函数取得最小值，ymin＝1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 如图③所示，若顶点横坐标在区间[t，t＋1]右侧时，有t＋1<1，即t<0．当x＝t＋1时，函数取得最小值，ymin＝t2＋1． 综上可知，ymin＝ 图①　 　图②　　 　图③ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 角度3　轴变区间定 【例6】　求函数y＝－x(x－a)在[－1，1]上的最大值． [解]　函数y＝－x(x－a)＝－＋图象的对称轴方程为x＝，应分<－1，－1≤≤1，>1，即a<－2，－2≤a≤2和a>2这三种情形讨论． (1)当a<－2时，函数大致图象如图①所示，由图可知ymax＝－a－1； (2)当－2≤a≤2时，函数大致图象如图②所示，由图可知ymax＝； 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 (3)当a>2时，函数大致图象如图③所示，由图可知ymax＝a－1． ∴ymax＝ 图①　　　 图②　　　 图③ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 反思领悟　求一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)在[m，n]上的最值的步骤： (1)配方，找对称轴． (2)判断对称轴与区间的关系． (3)求最值．若对称轴在区间外，则一元二次函数在[m，n]的端点处取得最值；若对称轴在区间内，则在对称轴取得最小值，最大值在[m，n]端点处取得． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 [跟进训练] 4．当x≥0，y≥0，且x＋2y＝1，那么2x＋3y2的最小值为______． 　[由x≥0，y≥0，x＝1－2y≥0，知0≤y≤， 令t＝2x＋3y2＝3y2－4y＋2，∴t＝3＋． 其在上，函数值t随自变量y的增大而减小，当y＝时，t取到最小值，tmin＝．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 学习效果·课堂评估夯基础 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)y＝ax2＋bx＋c是二次函数． (　　) (2)函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R的图象一定与y轴相交． (　　) (3)二次函数y＝2x2与y＝2(x＋1)2的图象形状相同，位置不同． (　　) (4)把函数y＝x2图象上的每一点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到函数y＝2x2的图象． (　　) ×　 √　 √　 ×　 4.1　一元二次函数 2．函数y＝－(x－1)2＋4的图象的顶点坐标是(　　) A．(－1，4) 　 B．(－1，－4) C．(1，－4) 　 D．(1，4) √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 3．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是(　　) √ D　[∵a>b>c，且a＋b＋c＝0，∴a>0，c<0．] A　　　　B　　　　　C　　　　D 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 4．若抛物线y＝x2－(m－2)x＋m＋3的顶点在y轴上，则m的值为________． 2　[因为抛物线y＝x2－(m－2)x＋m＋3的顶点在y轴上，所以顶点横坐标－＝＝0，故m＝2．] 2　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 5．已知某二次函数的图象与x轴交于点A(－2，0)，点B(1，0)，且过点C(2，4)，则该二次函数的表达式为______________． 　y＝x2＋x－2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 课时分层作业(十)　一元二次函数 一、选择题 1．如何平移抛物线 y＝2x2可得到抛物线 y＝2(x－4)2－1(　　) A．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 46 D　[要得到y＝2(x－4)2－1的图象，只需将y＝2x2的图象向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．二次函数 y＝a2x2－4x＋1有最小值－1，则a的值为(　　) A． 　 B．－ C．± 　 D．±2 √ C　[由题意＝－1，∴a2＝2，∴a＝±．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 48 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 3．函数y＝4－x(x－2)的顶点坐标和对称轴方程分别是(　　) A．(2，4)，x＝2 　 B．(1，5)，x＝1 C．(5，1)，x＝1 　 D．(1，5)，x＝5 √ B　[y＝4－x(x－2)＝－x2＋2x＋4＝－(x－1)2＋5，∴函数图象的顶点坐标为(1，5)，对称轴方程为x＝1．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 49 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4．设abc＞0，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是　(　　) A　　 　　B　 　 　C　 　 　D D　[由ACD知，c＜0，∵abc＞0，∴ab＜0，∴对称轴x＝－＞0，知A，C错误，D符合要求；由B知c＞0，∴ab＞0，∴x＝－＜0，B错误．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 50 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 5．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(　　) A．45.606万元 　 B．45.56万元 C．45.6万元 　 D．45.51万元 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 51 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 C　[设公司获得的利润为y万元，在甲地销售了x辆，则在乙地销售了(15－x)辆． 则y＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(0≤x≤15，x∈N)， 此二次函数的对称轴为直线x＝10.2， ∴当x＝10时，y有最大值45.6万元．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 52 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．函数y＝－x2＋4x＋6的最大值是________． 10　[＋10， 当x＝2时，y取得最大值10．] 10　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 53 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象与x轴两交点之间的距离为________． 4　[设二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象与x轴两交点的坐标分别为， 则x1＋x2＝2，x1x2＝－1， 所以＝4．] 4　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 54 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．若y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则b＝________． 6　[由题意知a＋2＝－2， 即a＝－4， 又1－a＝b－1，得b＝6．] 6　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 55 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴相交于点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，顶点M到x轴的距离为2，求此函数的解析式． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 56 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　法一：将A(－3，0)，代入函数y＝ax2＋bx＋c中， 有9a－3b＋c＝0，① 由对称轴为x＝－1，得－＝－1，② 顶点M到x轴的距离为|a－b＋c－0|＝2，③ 联立①②③解得或 所以此函数的解析式为y＝x2＋x－或y＝x2－x＋． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 57 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 法二：因为二次函数图象的对称轴是直线x＝－1，又顶点M到x轴的距离为2，所以顶点的坐标为(－1，2)或(－1，－2)， 故可得二次函数的解析式为y＝a(x＋1)2＋2或y＝a(x＋1)2－2． 因为图象过点A(－3，0)， 所以0＝a(－3＋1)2＋2或0＝a(－3＋1)2－2，解得a＝－或a＝． 故所求二次函数的解析式为y＝－(x＋1)2＋2＝－x2－x＋或y＝ (x＋1)2－2＝x2＋x－． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 58 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 法三：因为二次函数图象的对称轴为直线x＝－1， 又图象过点A(－3，0)，所以点A关于对称轴的对称点A′(1，0)也在图象上，所以可得二次函数的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)． 由题意得顶点坐标为(－1，2)或(－1，－2)， 分别代入上式， 解得a＝－或a＝． 故所求二次函数的解析式为y＝－(x＋3)(x－1)＝－x＋或y＝(x＋3)(x－1)＝x2＋x－． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 59 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．将二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，便得到函数y＝x2－2x＋1的图象，求a，b，c． [解]　∵函数y＝x2－2x＋1可变形为y＝(x－1)2， ∴抛物线y＝x2－2x＋1的顶点坐标为(1，0)． 根据题意把此抛物线反向平移，得到抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象，即把抛物线y＝x2－2x＋1向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度就可得到抛物线y＝ax2＋bx＋c，此时顶点(1，0)平移至(3，－3)处． ∴抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是(3，－3)． 即y＝(x－3)2－3＝x2－6x＋6， ∴a＝1，b＝－6，c＝6． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 60 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y＝bx2＋ax＋c(b≠0)的图象可能是下图中的(　　) A　　　 　B　　　 　C　　　　　D √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 61 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 12．函数y＝－x2－2ax(0≤x≤1)的最大值是a2，则实数a的取值范围是(　　) A．[0，1] 　 B．[0，2] C．[－2，0] 　 D．[－1，0] √ D　[y＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2． ∵函数在[0，1]上的最大值是a2， ∴0≤－a≤1， 即－1≤a≤0．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 62 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13．如果一元二次函数y＝x2－(a－1)x＋5在区间上y随x的增大而增大，则实数a的取值范围为____________． (－∞，2]　[∵函数y＝x2－(a－1)x＋5的对称轴为直线x＝且在区间上y随x的增大而增大， ∴≤，即a≤2．] (－∞，2]　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 63 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．已知函数y＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0，1]时有最大值2，则a的值为________． 2或－1　[y＝－(x－a)2＋a2－a＋1，当a>1时，ymax＝a；当0≤a≤1时，ymax＝a2－a＋1；当a<0时，ymax＝1－a．根据已知条件得或或解得a＝2或a＝－1．] 2或－1　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 64 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．是否存在实数a，使函数y＝x2－2ax＋a在区间[－1，1]上的取值范围为[－2，2]？若存在，求a的值；若不存在，说明理由． [解]　存在，理由如下，y＝x2－2ax＋a＝(x－a)2＋a－a2． 当a<－1时，函数在[－1，1]上y随x的增大而增大， ∴ 解得a＝－1(舍去)； 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 65 当－1≤a≤0时，解得a＝－1； 当0<a≤1时，a不存在； 当a>1时，函数在[－1，1]上y随x的增大而减小， ∴a不存在． 综上可知存在实数a，且a＝－1满足题意． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 4.1　一元二次函数 $