1.3.1 不等式的性质-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦“不等式的性质”，通过“比较实数大小、回顾等式性质”等情境问题导入，衔接初中等式知识，以作差法为核心支架，构建从实数大小比较到不等式性质推导的完整知识脉络。 其亮点在于结合逻辑推理与数学运算素养，通过例1作差法比较数式大小、例2性质证明等实例，培养学生推理能力与运算技能。分层作业与反思总结帮助学生掌握方法，教师可依托此资料提升教学系统性与效率。

第一章　预备知识 §3　不等式 3.1　不等式的性质 学习任务 核心素养 1．梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质．(重点) 2．能利用不等式的性质对不等式进行简单的变形．(重点、难点) 1．通过实数大小的比较及不等式性质的证明，培养逻辑推理素养． 2．借助不等式性质的应用，提升数学运算素养． 3.1　不等式的性质 1．如何比较两个实数的大小？ 2．等式的基本性质有哪些？ 3．不等式的基本性质有哪些？ 必备知识·情境导学探新知 3.1　不等式的性质 知识点1　实数a，b大小比较的基本事实 1．文字叙述 如果a－b是正数，那么a___b；如果a－b等于0，那么a___b；如果a－b是负数，那么a___b，反过来也成立． 2．符号表示 a－b>0⇔a___b；a－b＝0⇔a___b；a－b<0⇔a___b． >　 ＝　 <　 >　 ＝　 <  课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 思考1．(1)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种吗？ (2)p⇔q的含义是什么？ [提示]　(1)是． (2)p⇔q的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 体验1．当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为______________． m3>m2－m＋1　[m3－(m2－m＋1) ＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1) ＝(m－1)(m2＋1)． ∵m>1，∴(m－1)(m2＋1)>0．故m3＞m2－m＋1．] m3>m2－m＋1　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 知识点2　不等式的性质 性质1：如果a>b，且b>c，那么_____． 性质2：如果a>b，那么a＋c___b＋c． 性质3：(1)如果a>b，c>0，那么ac___bc； (2)如果a>b，c<0，那么ac___bc． 性质4：如果a>b，c>d，那么a＋c___b＋d． 性质5：(1)如果a>b>0，c>d>0，那么ac___bd； (2)如果a>b>0，c<d<0，那么ac___bd． 性质6：当a>b>0时，，其中n∈N＋，n≥2． a>c　 >　 >　 <　 >　 >　 <　 >  课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 思考2．(1)同向不等式相加与相乘的条件是一致的吗？ (2)若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗? [提示]　(1)不一致，同向不等式相乘时各项均为正数． (2)不一定，但当a>b>0，c>d >0时，一定成立． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 体验2．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　) A．a>b>－b>－a　　　 B．a>－b>－a>b C．a>－b>b>－a　　　 D．a>b>－a>－b √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 体验3．下列命题正确的是(　　) A．a>b，c≠0⇒ac2>bc2 B．a<b⇒< C．a>b且c<d⇒a＋c>b＋d D．a>b⇒a2>b2 体验4．若a>b>0，n>0，则 ____ ．(填“>”“<”或“＝”) √ <  课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 关键能力·合作探究释疑难 类型1　数式的大小比较 【例1】　【链接教材P25例1】 (1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小； (2)已知a>0，试比较a与的大小． 3.1　不等式的性质 [解]　(1)(x3－1)－(2x2－2x) ＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1) ＝(x－1)(x2－x＋1) ＝(x－1)． ∵x<1，∴x－1<0． 又>0， ∴(x－1)<0． 即x3－1<2x2－2x． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 (2)a－， ∵a>0，∴当a>1时，>0，有a>； 当a＝1时，＝0，有a＝； 当0<a<1时，<0，有a<． 综上，当a>1时，a>； 当a＝1时，a＝； 当0<a<1时，a<． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 【教材原题·P25例1】 例1　试比较(x＋1)(x＋5)与(x＋3)2的大小． [解]　因为(x＋1)(x＋5)－(x＋3)2 ＝(x2＋6x＋5)－(x2＋6x＋9) ＝－4＜0， 所以(x＋1)(x＋5)＜(x＋3)2． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 反思领悟　1．利用作差法比较大小的四个步骤 (1)作差：对要比较大小的两个式子作差． (2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形． (3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号． (4)作出结论． 注意：上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 2．作商法比较大小 如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1．方法图示如下： 依据 a>0，b>0 >1⇔a>b； ＝1⇔a＝b； <1⇔a<b a<0，b<0 >1⇔a<b； ＝1⇔a＝b； <1⇔a>b 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 应用范围 同号两数比较大小或分式、积、幂之间比较大小 步骤 (1)作商；(2)变形；(3)判断商值与1的大小；(4)下结论 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 [跟进训练] 1．若x∈R，y∈R，则(　　) A．x2＋y2>2xy－1 　 B．x2＋y2＝2xy－1 C．x2＋y2<2xy－1 　 D．x2＋y2≤2xy－1 √ A　[因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2>2xy－1，故选A．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 2．已知a，b为正实数，试比较与的大小． [解]　由于－＝＝， 再由a，b为正实数可得＞0，＞0，2≥0，可得≥0， 所以，当且仅当a＝b时，取等号． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 类型2　不等式的性质 【例2】　【链接教材P25例2，P26例3】 (1)对于实数x，y，z，下列结论正确的是(　　) A．若x＞y，则xz2＞yz2 B．若y＜z＜0，则＞ C．若x＜y＜0，则＜ D．若x＜y＜0，则x2＞xy＞y2 (2)若c>a>b>0，求证：>． √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 (1)D　[对于A，当z＝0时，xz2＝yz2，故A错误； 对于B，＞1，0＜＜1，因此，＜，故B错误； 对于C，当x＜y＜0时，＞，故C错误； 对于D，由x＜y＜0得，x2＞xy，xy＞y2， 因此x2＞xy＞y2，故D正确．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 (2)证明：因为a>b>0⇒－a<－b⇒c－a<c－b． 因为c>a，所以c－a>0． 所以0<c－a<c－b． 上式两边同乘， 得>>0． 又因为a>b>0，所以>． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 【教材原题·P25例2，P26例3】 例2　试证明：若0＜a＜b，m＞0，则＞． [证明]　． 因为a＜b，所以b－a＞0． 又b＞0，m＞0，故＞0． 因此＞． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 例3　(1)已知a＞b，ab＞0，求证：＜； (2)已知a＞b，c＜d，求证：a－c＞b－d． [证明]　(1)因为ab＞0，所以＞0． 又因为a＞b，所以由不等式的性质3，得a·＞b·，即＜． (2)因为c＜d，所以－c＞－d． 又因为a＞b，所以由不等式的性质4，得a＋(－c)＞b＋(－d)，即a－c＞b－d． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 反思领悟　1．利用不等式的性质判断正误的两种方法 (1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． (2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 2．利用不等式的性质证明不等式的注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 [跟进训练] 3．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是(　　) A．ab>bc 　 B．ac>bc C．ab>ac 　 D．a|b|>|b|c √ C　[因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，所以ab>ac．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 4．若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>． [证明]　∵c<d<0，∴－c>－d>0． 又a>b>0，∴a－c>b－d>0， 则(a－c)2>(b－d)2>0， 两边同乘， 得0<<． 又e<0， ∴>． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 类型3　不等式的性质的应用 【例3】　已知12＜a＜60，15＜b＜36，求a－b，的取值范围． [解]　∵15＜b＜36，∴－36＜－b＜－15． 又12＜a＜60，∴12－36＜a－b＜60－15． ∴－24＜a－b＜45． 又＜＜， ∴＜＜．∴＜＜4． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 [母题探究] 1．在例3的条件下，求的取值范围． [解]　∵12＜a＜60，15＜b＜36， ∴6<a<30，－12<－b<－5． ∴－6<b<25． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 2．若将本例中的条件改为“2≤a－b≤4，1≤a＋b≤2”，求2a－b的取值范围． [解]　设2a－b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即2a－b＝(m＋n)a＋(n－m)b． 于是解得 ∴2a－b＝． 又∵2≤a－b≤4，1≤a＋b≤2，∴≤7． 即≤2a－b≤7． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 反思领悟　求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用“若等式恒成立，则等式两边对应项系数相等”求出待定系数的取值，最后利用不等式的性质求出目标式的范围． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 [跟进训练] 5．已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范围． [解]　设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b， 解得λ1＝． 又－(a＋b)≤(a－2b)≤－， 所以－≤a＋3b≤1． 故a＋3b的取值范围为－≤a＋3b≤1． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 学习效果·课堂评估夯基础 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)不等式x≥2的含义是指x不小于2． (　　) (2)若a>b，则ac>bc． (　　) (3)当n∈N*时，若a>b，则an>bn． (　　) √　 ×　 ×　 3.1　不等式的性质 2．设P＝3x2－x＋1，Q＝2x2＋x则(　　) A．P≥Q 　 B．P≤Q C．P>Q 　 D．P<Q √ A　[因为P－Q＝x2－2x＋1＝≥0，所以P≥Q．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 3．若abcd<0，且a>0，b>c，d<0，则(　　) A．b<0，c<0 　 B．b>0，c>0 C．b>0，c<0 　 D．0<c<b或c<b<0 √ D　[由a>0，d<0，且abcd<0，知bc>0， 又∵b>c，∴0<c<b或c<b<0．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 4．已知A＝a2＋b2－4a＋2b＋5，则A与0的大小关系是________． A≥0　[] A≥0 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 5．若x＜y＜0，则(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小关系是____． >　[(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) ＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)． ∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0， ∴－2xy(x－y)＞0， ∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．] >　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 课时分层作业(八)　不等式的性质 一、选择题 1．限速40 km/h的路标，提示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是(　　) A．v<40 　 B．v≤40 C．v>40 　 D．v≥40 B　[不超过即小于或等于．] 39 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．已知a>b>c>0，若P＝，则(　　) A．P≥Q 　 B．P≤Q C．P >Q 　 D．P<Q √ D　[由a>b>c>0，得a－c>b－c>0，① >>0，② 两式相乘，得>．则P<Q．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 40 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 3．已知－1<α<0，1<β<2，则－β的范围为(　　) A． 　 B． C．(－1，0) 　 D．(－1，1) √ A　[<<0，－2<－β<－1， 同向不等式相加，得－<－β<－1．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 41 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4．已知a＝，则下列关系正确的是(　　) A．a＞b 　 B．a≤b C．a≥b 　 D．a＜b √ D　[， ∵＞＞0， ∴＜，即a＜b．故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 42 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 5．(多选)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是(　　) A．若a>b，c>d，则ac>bd B．若ab>0，bc－ad>0，则>0 C．若a>b，c>d，则a－d>b－c D．若a>b，c>d>0，则> √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 43 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 BC　[若a>0>b，0>c>d，则ac<bd，故A错误；若ab>0，bc－ad >0，则>0，化简得>0，故B正确；若c>d，则－d >－c，又a>b，则a－d >b－c，故C正确；若a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，则＝－1，故D错误．故选BC．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 44 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．(教材P25例2改编)b克糖水中有a克糖(b＞a＞0)，若再加入m克糖(m＞0)，则糖水更甜了，试根据这个事实写出一个不等式________． 　> 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 45 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．已知1＜a＜2，3＜b＜5，则的取值范围是__________． ＜＜　[∵3＜b＜5，∴＜＜． 又1＜a＜2， ∴＜＜．] ＜＜　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 46 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．设a＝2－，则a，b，c之间的大小关系为________． c>b>a　[<0，b＝－a>0，c＝>0， 由b－c＝3<0，得b<c． 所以c>b>a．] c>b>a　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 47 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．(源自人教A版教材)比较(x＋2)(x＋3)和(x＋1)·(x＋4)的大小． [解]　因为(x＋2)(x＋3)－(x＋1)(x＋4) ＝(x2＋5x＋6)－(x2＋5x＋4) ＝2>0， 所以(x＋2)(x＋3)>(x＋1)(x＋4)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 48 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．已知a＞0，b＞0，试比较M＝与N＝的大小． [解]　因为M－N＝ ＝ ＝＝(a－b) ＝－． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 49 因为a＞0，b＞0， 所以(1＋a)(1＋b)＞0，－(a－b)2≤0，得M－N≤0，当a＝b时，M＝N； 当a≠b时，M＜N． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．已知a＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＞b＞c 　 B．c＞a＞b C．c＞b＞a 　 D．b＞c＞a 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 51 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 D　[∵a2＝8＋， c2＝8＋， ∴b2＞c2＞a2， 又a＞0，b＞0，c＞0， ∴b＞c＞a．故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 52 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 12．有外表一样，质量不同的四个小球，它们的质量分别是a，b，c，d．已知a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，a＋c＜b，则这四个小球的质量由大到小的排列顺序是(　　) A．d＞b＞a＞c 　 B．b＞c＞d＞a C．d＞b＞c＞a 　 D．c＞a＞d＞b √ A　[由a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c得2a＋b＋d＞2c＋b＋d， 即2a＞2c，即a＞c．所以b＜d， 又a＋c＜b．∴a＜b，综上可得d＞b＞a＞c．故选A．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 53 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________． 3≤z≤8　[∵z＝－(x＋y)＋(x－y)， －2≤－(x＋y)≤(x－y)≤， ∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8， ∴z的取值范围是3≤z≤8．] 3≤z≤8 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 54 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y；②a＋x＞b＋y；③ax＞by；④x－b＞y－a；⑤＞这五个式子中，恒成立的不等式的序号是________． ②④　[若x＞y，a＞b，则－x＜－y， ∴a－y＞b－x． 若x＞y，a＞b，则－b＞－a， ∴x－b＞y－a， 若x＞y，a＞b，则推不出ax＞by． 若x＞y，a＞b，推不出＞． 综上，①③⑤错误，②④正确．] ②④ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 55 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．若a>b>0，c<d<0，|b|>|c|． (1)求证：b＋c>0． (2)求证：<． (3)在(2)中的不等式中，能否找到一个代数式，满足<所求式<？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 56 [解]　(1)证明：因为|b|>|c|，且b>0，c<0，所以b>－c，所以b＋c>0． (2)证明：因为c<d<0，所以－c>－d >0． 又a>b>0，所以由同向不等式的可加性可得a－c>b－d >0， 所以(a－c)2>(b－d)2>0， 所以0<<， ① 因为a>b＞0，0＞d >c，所以由同向不等式的可加性可得a＋d>b＋c，所以a＋d >b＋c>0， ② 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 所以由不等式同向同正可乘性， ①②相乘得<． (3)因为a＋d>b＋c>0，0<<，所以<<或<<．(只要写出其中一个即可) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.1　不等式的性质 $