第01讲 线段、射线和直线（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版新教材）

第01讲 线段、射线和直线 知识点1：直线、射线与线段的概念 知识点2：线段的性质 注意：直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸；线段不能 延伸，所以直线与射线不可测量长度，只有线段可以测量 基本事实 1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线 2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短 【题型一 直线、射线与线段】 【典例1】下列几何图形与相应语言描述相符的是（   ） A．如图1，线段经过点 B．如图2，射线的端点是点 C．如图3，直线与直线相交于点 D．如图4，射线和线段有交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线，射线和线段有关的概念辨析，根据射线，线段，直线的概念对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A、点C在线段的延长线上，即线段不经过点，原说法错误，不符合题意； B、射线的端点是点，原说法错误，不符合题意； C、直线与直线相交于点P，原说法正确，符合题意； D、射线和线段没有交点，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式1】如图，下列表述不正确的是（   ） A．线段和射线都是直线的一部分 B．点在直线上 C．直线和直线相交于点 D．直线不经过点 【答案】B 【分析】本题考查了线段、直线、射线，熟练掌握线段、直线、射线之间的关系是解题关键．根据线段、直线、射线之间的关系逐项判断即可得． 【详解】解：A、线段和射线都是直线的一部分，则此项正确，不符合题意； B、点不在直线上，则此项不正确，符合题意； C、直线和直线相交于点，则此项正确，不符合题意； D、直线不经过点，则此项正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2】如图，下列语句正确的是（   ） A．是直线的一个端点 B．射线和射线是同一条射线 C．点在射线上 D．点在直线上 【答案】D 【分析】本题考查了线段、射线以及直线的定义，以及点与线的位置关系，理解三线的延伸性是理解三个概念的关键． 根据射线、直线以及线段的定义即可作出判断． 【详解】解：A、点是线段的一个端点，直线没有端点，故不符合题意； B、射线和射线的端点不同，不是同一条射线，故不符合题意； C、点不在射线上，故不符合题意； D、点在直线上，符合题意； 故选：D 【变式3】如图，对于图中直线的描述，正确的是（    ） A．图中有直线 B．图中有直线 C．直线与直线交于点O D．直线与直线m交于点O 【答案】D 【分析】本题考查的是直线的表述方法，直线与直线的交点的含义，根据直线的表示方法逐一判断即可． 【详解】解：图中有直线，直线，直线，直线， 直线与直线交于点O，直线与直线m交于点O， ∴A，B，C错误，不符合题意；D正确，符合题意； 故选：D． 【题型二 两点确定一条直线】 【典例2】如图，建筑工人在砌墙时，经常用细线绳在墙的两端之间拉一条直的参照线，这样做的依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点间距离的概念 D．以上都不是 【答案】B 【分析】由两点确定一条直线可直接得出答案． 此题主要考查了两点确定一条直线，理解题意是解题关键． 【详解】解：建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，这样做蕴含的数学原理是：两点确定一条直线． 故选：B． 【变式1】如图，固定窗帘架只需固定其中的两点，这样做的根据是（   ） A．两点之间，直线最短 B．两点之间，射线最短 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】D 【分析】本题考查了直线的性质，熟记两点确定一条直线是解题的关键． 固定窗帘架只需固定其中的两点，这样做的根据是两点确定一条直线，即可得到答案． 【详解】解：固定窗帘架只需固定其中的两点，这样做的根据是两点确定一条直线， 故选：D． 【变式2】在下列现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了两点之间线段最短、两点确定一条直线等知识点，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：木匠弹墨线 、打靶瞄准、拉绳插秧均是利用两点确定一条直线； 弯曲公路改直是利用两点之间线段最短； 故选： C． 【变式3】墨斗是中国传统木工行业中画直线的常用工具．如图，木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．其中的道理是（   ） A．直线最短 B．两点之间的距离 C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】D 【分析】本题考查了直线的性质，解题的关键是掌握直线的性质． 根据直线的性质：两点确定一条直线可得答案． 【详解】解：木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．这其中包含的数学道理是两点确定一条直线， 故选：D． 【题型三 线段的应用】 【典例2】某列车往返于武汉站与南昌西站，途经鄂州、黄石北与庐山站，列车迷贤哥想收集该列车所有不同的车票（起点或终点不一样都算不同的车票），则他需要购买（   ）张车票 A．6 B．10 C．15 D．20 【答案】D 【分析】本题考查线段的计数问题，解题的关键在于将该问题抽象为几何问题解决．将不同站点的车票抽象为线段，再结合线段的计数方法和“起点或终点不一样都算不同的车票”求解，即可解题． 【详解】解：将不同站点的车票抽象为线段，如下图所示： 上图共有线段（条）， 因为起点或终点不一样都算不同的车票， 所以所有不同的车票有（张）， 故选：D． 【变式1】从杭州东站出发到金华南站的动车，中途要停靠诸暨站和义乌站，则铁路部门供旅客购买的火车票要准备（　　） A．12种 B．10种 C．6种 D．4种 【答案】A 【分析】一共有4个站，由一个站到其它3个站就需要3张不同的车票，由此可求出车票总数． 【详解】解：根据题意，一共有4个站，由一个站到其它3个站就需要3张不同的车票， ∴铁路部门供旅客购买的火车票要准备（种）， 故选：A． 【点睛】本题考查线段，解答的关键是理解题意，熟知两站之间有两种不同的车票，不能遗漏返程票． 【变式2】如图，在线段AD上有两点B，C，则图中共有_____条线段，若在车站A、D之间的线路中再设两个站点B、C，则应该共印刷_____种车票． A．3， 3 B．3， 6 C．6， 6 D．6， 12 【答案】D 【分析】从左到右的顺序依次确定线段，车票有方向性，是线段条数的2倍. 【详解】从A开始的线段有AB，AC，AD三条；从B开始的线段有BC，BD二条； 从C开始的线段有CD一条；所以共有6条线段； 车票从A到B和从B到A是不同的，所以车票数恰好是线段条数的2倍，所以需要12种车票， 故选D. 【点睛】本题考查了线段的定义，数线段，以及线段与生活中的车票的关系，熟练数线段，理解车票数是线段数的2倍是解题的关键. 【变式3】兰州市某公交线路上共设6个车站，则在这条线路上往返行车需要设计车票价有（    ） A．25种 B．15种 C．30种 D．21种 【答案】C 【分析】此题考查了线段之间的总条数，解题的关键是往返车票需要两种车票．根据线段之间的总条数计算即可． 【详解】解：如图所示，兰州市某公交线路上共设6个车站，可看作六个点， 则线段的总条数是， 因为要有往返车票，即两点之间是两种车票，所以应设计（种）． 故选：C． 【题型四 作图-直线射线和线段】 【典例4】如图，已知平面上不共线的三点A，B，C，请按如下要求尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)画直线，射线，线段； (2)在射线上作一点D，使得； (3)比较大小： ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了直线、射线、线段的概念与尺规作图方法，以及“两点之间，线段最短”的运用，解题的关键是明确直线、射线、线段的不同延伸特性，掌握“作一条线段等于已知两条线段和”的尺规作图步骤，并能运用“两点之间，线段最短”来比较线段大小． （1）根据直线（无端点、向两端无限延伸）、射线（有一个端点、向一端无限延伸）、线段（有两个端点、不延伸）的定义，用尺规分别画出直线、射线、线段； （2）先以为圆心、长为半径画弧确定等长线段，再在射线上从 出发，先截取长，再接着截取长，最终确定点； （3）利用“两点之间，线段最短”，结合，比较与的大小． 【详解】（1）解：如图所示．   （2）解：如图，点即为所求．   （3）解： ∵、、三点不共线， ∴、、可构成；   根据三角形三边关系，得；   又∵， ∴． 故答案为：． 【变式1】如图，在平面内有、、三点．按下列步骤作图： （1）画直线、线段、射线； （2）取线段的中点D，连接； （3）延长线段到，使． 【答案】见详解 【分析】如图，直线，线段，射线即为所求； 如图，线段即为所求； 如图，线段即为所求． 【详解】如图所示 【点睛】本题考查作图，根据直线、射线、线段的定义等知识，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键． 【变式2】如图．已知四点A，B，C，D．读下列语句，并分别画出图形．（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (1)画直线，射线，线段； (2)延长至点E，使； (3)连接，在线段上取点P，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查的是画直线，射线，线段，两点之间线段最短的含义，熟练的画图是解本题的关键； （1）根据直线，射线和线段的定义画图即可； （2）延长，以点C为圆心为半径画弧交射线于一点，然后以这点为圆心，为半径交射线于点E，即为所求； （3）根据两点之间线段最短求解即可． 【详解】（1）如图所示，直线，射线，线段即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）如图所示，点P即为所求． 【变式3】如图，在同一平面内有三点A，B，C．请按下面要求尺规作图，不写画法，保留作图痕迹． (1)画射线，画线段； (2)连接，并在线段上作线段，使； (3)连接，根据得到的图形，判断______．（填“”，“”，“”） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了线段、射线的定义，尺规画线段，两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握相关定义． （1）根据射线、线段的定义画图即可； （2）连接，以点A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点D， 则即为所求； （3）根据两点之间线段最短，得出答案即可． 【详解】（1）解：如图，射线、线段即为所求． （2）解：如图，连接，以点A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点D， 则即为所求． （3）解：根据两点之间线段最短可知，． 故答案为：． （1）两点之间的线段中，线段最短，简称：两点间线段最短。 （2） 基本概念 ①两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。 ② 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点 （3）双中点模型： C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则 【题型五 两点间线段最短】 【典例5】如图，从A地到B地，有四条路可走，那么最短的路是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题可根据线段的性质“两点之间，线段最短”来判断从地到地的最短路径．本题主要考查了线段的性质，熟练掌握“两点之间，线段最短”是解题的关键． 【详解】解：∵两点之间，线段最短，在从地到地的四条路中，路径②是线段， ∴最短的路是②． 故选：B． 【变式1】如图，把一段弯曲的河道改直可以缩短航程，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．两点之间，线段最短 B．经过两点有且只有一条直线 C．经过一点有无数条直线 D．两直线相交有且只有一个交点 【答案】A 【分析】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质并应用是解题关键．根据线段的性质，可得答案． 【详解】解：把弯曲的河道改直，能够缩短航程，理由是：两点之间线段最短， 故选：A． 【变式2】如图，小李同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（   ） A．两点之间，直线最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点之间，线段最短 D．经过两点有且仅有一条直线 【答案】C 【分析】本题考查了线段的性质，能够正确的理解题意是解答本题的关键，属于基础知识，比较简单．根据“用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小”得到线段的长小于点A绕点C到B的长度，从而确定答案． 【详解】解：如图： 用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小， ∴线段的长小于点A绕点C到B的长度， ∴能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短， 故选C． 【变式3】毛泽东主席在《水调歌头•游泳》中写道“一桥飞架南北，天堑变通途”．正如创下了四项“世界之最”的临猗黄河大桥，采用步履式顶推技术在空中‘穿针引线’，建成后，运城通往西安的车程将缩短至2小时．用所学数学知识解释这一现象恰当的是（    ） A．过一点可以画多条直线 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．连接两点之间线段的长度是两点之间的距离 【答案】C 【分析】本题考查了线段的性质，明确两点之间线段最短是解题关键，根据两点之间线段最短解答本题即可． 【详解】解：用数学知识解释这一现象产生的原因：两点之间线段最短． 故选：C． 【题型六 两点间距离】 【典例6】已知点是直线上一点，且点是线段的中点．若，，请根据题意画出示意图，并求线段的长度． 【答案】图见解析，或 【分析】本题考查的知识点是两点间的距离、线段中点的有关计算、线段的和与差，解题关键是理解线段的和差关系． 分两种情况解答：点在中间；点在延长线上，画出图形后根据线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解：第一种情况：如图所示，点在中间，        图 ，， ， 是线段的中点， ， ； 第二种情况：如图所示，点在延长线上，      图 ，， ， 是线段的中点， ， ． 综上，线段的长度为或． 【变式1】已知A、B、C三点在同一条直线上，如果线段，，那么A、C两点间的距离为（  ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和与差，掌握两点间的距离，线段的和差计算是解题的关键． 根据题意，分两种情况画出图形分析：①当点C在点B的左侧时；②当点C在点B的右侧时．根据两点间的距离，线段的和差计算解答即可． 【详解】解：分两种情况： ①如图所示，当点C在点B的左侧时， ，， ； ②如图所示，当点C在点B的右侧时， ，， ； 综上所述，A、C两点间的距离为或． 故选：C． 【变式2】若点，，在同一条直线上，如果线段，线段，那么，两点之间距离是 ． 【答案】或 【分析】本题考查两点间距离，分析两种情况求解：点可能在线段上，也可能在线段的延长线上，进而即可求解．根据题意画出图形是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 【详解】解：若点在线段上，如图， ∵，， ∴； 若点在线段的延长线上，如图， ∵，， ∴， 综上所述，，两点之间距离是或． 故答案为：或． 【变式3】已知A，B，C三点在同一条直线上，且，．若点D是线段的中点，则线段 cm． 【答案】11或5 【分析】根据题意，分两种情况画出图形．①点C在点B的右侧时；②点C在点B的左侧时．根据线段的和差计算，线段的中点定义，两点间的距离进行计算即可得出答案． 本题考查了线段的和差，两点间的距离，线段的中点定义，掌握线段的和差计算，线段的中点定义，两点间的距离是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： ①如图所示，点C在点B的右侧时， ∵，， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴； ②如图所示，点C在点B的左侧时， ∵，， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴， 综上所述，线段的长为5或11． 【题型七 线段的简单计算】 【典例7】如图，A、B、C、D四点在一条直线上，根据图形填空： (1)图中共有线段_______条； (2)若C是的中点，，，求线段的长． 【答案】(1)6； (2)12cm． 【分析】本题考查线段的和差和中点有关的计算，熟练掌握线段和差倍分的计算是解题的关键． （1）根据线段定义数出线段即可； （2）根据图形，由线段和差和线段中点求解即可． 【详解】（1）解：图中线段有，共6条线段， 故答案为：6； （2）解：∵C是中点， ∴， ∵， 又∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【变式1】如图，点在线段上，点是线段的中点．若，，则的长是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查线段中点和差关系，掌握其相关知识点是解题的关键． 根据题意得，结合即可求得． 【详解】解：∵点是线段的中点，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：7． 【变式2】如图，，是线段的三等分点，是的中点，若，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，由是的中点得出，再结合，是线段的三等分点计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是的中点，， ∴， ∵，是线段的三等分点， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，，是线段上一点，为线段上一点，为的中点，． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段的中点的定义，线段的和差； （1）由线段中点的定义得，由可求的长，由即可求解； （2）由线段中点的定义得，由可求的长，可设，，由即可求解； 理解线段中点的定义：“若点是线段的中点，则有．”，能用已知线段的和差表示所求线段是解题的关键． 【详解】（1）解：因为为的中点，， 所以， 所以 ， 所以 ； 故的长为． （2）解：因为为的中点，， 所以， 所以 ， 因为， 所以可设，， 因为， 所以， 解得：， 所以； 故的长为． 【题型八 “双中点”模型】 【典例8】如图，点C是线段上一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点 (1)如果，求的长 (2)如果，求的长 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段中点的性质及线段的和差计算，解题的关键是利用中点性质将线段长度进行转化，结合已知条件通过和差关系求解． （1）主要关键步骤：由M是中点得求出长度；再由与的差求出长度；最后由N是中点得求出长度． （2）主要关键步骤：由M、N分别是、中点得、；根据推出，进而求出长度． 【详解】（1）解：∵点M是线段的中点， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵点N是线段的中点 ∴ （2）∵点M是线段的中点，点N是线段的中点 ∴ ∵ ∴ 【变式1】如图，为线段上任一点，点、分别是、的中点．若，，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查了线段中点的定义，与线段中点有关的计算，熟练掌握相关知识点是解题的关键. 根据题意得到，继而求出，根据线段中点的定义得出. 【详解】解：点，分别是线段，的中点， ，， ， ， . 【变式2】如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点． (1)______； (2)求的长度； (3)若在直线上，且，求的长度． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了线段中点，两点之间的距离，解题的关键是正确识别图形，找出线段之间的数量关系． （1）根据题意得出，计算即可； （2）先求出，再计算即可； （3）分点在点左侧或右侧两种情况计算即可． 【详解】（1）解： ，是的中点， ， （2）解：，是的中点， ， ； （3）解：，， 当点在点左侧时， ； 当点在点右侧时， ． 【变式3】如图，点A，B，C，D四点在同一条直线上，并且．    (1)若，求的长； (2)若，点M是的中点，点N是的中点，并且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查线段及其中点的有关计算，理解线段中点的意义是正确计算的关键． （1）根据等式的性质，得出答案 （2）设，则，根据中点的定义得到，根据题意列方程解题即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）设， ∵， ∴， ∵M是的中点， ∴，    ∵， ∴， ∵N是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 一、单选题 1．关于如图所示的图形所表示的含义，下列说法中，正确的是（   ） A．延长射线 B．延长线段 C．反向延长线段 D．反向延长线段 【答案】C 【分析】本题考查了对射线、线段的理解． 【详解】解：A、延长线段，所以A选项说法错误，不符合题意； B、延长线段，或反向延长线段，所以B选项错误，不符合题意； C、反向延长线段，所以C选项正确，符合题意； D、反向延长线段，所以选项错误，不符合题意． 故选：C ． 2．如图，秦岭钟南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】本题考查线段的性质，根据两点之间，线段最短，进行判断即可． 【详解】解：由题意，路程缩短的原因是两点之间，线段最短； 故选C． 3．如图，以，，，为端点组成的线段共有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】B 【分析】本题考查了线段的定义及数量，关键是通过对图形的分析准确的数出线段的数量．根据线段的定义，找出以，，，为端点的所有线段． 【详解】解：以为端点的线段有共条， 以为端点的线段有共条， 以为端点的线段有共条， ， 故选：B． 4．如图，点C在线段的延长线上，，点D是线段的中点，，则的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段中点的定义、线段的和差． 先求出的长，再根据中点的定义求出的长，最后根据即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴． 故选：D． 5．如图，点B在直线上，点M、N分别是线段的中点，点B在线段上，，则线段的长度为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，由题意得：，求出； 【详解】解：由题意得：， ∴， 故选：B 6．一列火车往返甲、丙两地，中间要停靠乙、丁两地，铁路局要制定（   ）种火车票． A．4 B．6 C．8 D． 【答案】D 【分析】本题考查线段计数问题，掌握相关知识是解决问题的关键．本题相当于一条直线上共4个点，因为火车往返于甲、丙两地，所以计算线段条数的2倍即为所求． 【详解】解：如图，共有条线段， ∵火车往返于甲、丙两地， ∴共需种车票． 故选：D． 7．如图，已知点C是上一点，，，若点D、E分别为的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查线段的和差和线段中点的定义，解题的关键是根据题意，求出，根据、分别是的中点，则，，根据，即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵、分别是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题 8．如图，是线段上一点，为的中点，且，，若点在直线上，且，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查线段的和差关系，根据题意，点E的位置关系有两种情况：①点E在点A左侧；②点E在点A右侧；在不同情况下，作出图形，数形结合，表示出线段之间的和差关系，代值求解即可得到答案，读懂题意，准确分类，作出图形，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：∵点在直线上， ∴点E的位置关系有两种情况：①点E在点A左侧；②点E在点A右侧； 当点E在点A左侧时，如图， ∵，， ∴； 当点E在点A右侧时， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴点E在C右侧，则， ∴； 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 三、解答题 9．如下图，在同一平面内有四个点． (1)作射线． (2)作直线与射线相交于点． (3)分别连接． (4)我们容易判断出线段与的数量关系是________，理由是________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)  两点之间，线段最短 【分析】本题主要考查了作图—基本作图，射线，直线，线段，角，熟记相关概念和线段的性质是解题的关键． （1）以点为端点，连接并延长，射线即为所求； （2）连接并向两边延长，与射线交于点； （3）连接点和点，连接点和点； （4）根据两点之间，线段最短进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：连接并向两边延长，与射线交于点； （3）解：如图，连接点和点，连接点和点； （4）解：我们容易判断出线段与的数量关系是：，理由是：两点之间，线段最短， 故答案为：，两点之间，线段最短． 10．如图，已知线段，，点M是的中点． (1)求线段的长； (2)在线段上取一点N，使得，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，熟练掌握线段中点的定义是解题的关键． （1）根据线段的和差得到，根据线段中点定义得到； （2）由，得到，根据点M是的中点，求得，于是得到． 【详解】（1）解：，， ， 点M是的中点， ； （2）解：， ， 点M是的中点， ， ． 11．如图，B、C、D依次为线段AE上的三个点．已知，，． (1)求的长； (2)求图中所有线段长度的和． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了线段的和与差，关键是分析出线段间的关系． （1）分析出占整条线段的比例求出长度； （2）列出以A、C、D、B、E这5个点为端点的所有线段，然后根据整合为已知两线段的长求解． 【详解】（1）解：， ． ， ． ． （2）解：由（1）知．图中共有10条线段，分别为，，，，，，，，，，它们的长度之和为： ． 12．如图所示，点C是线段上的一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． (1)如果，，求的长； (2)如果，求长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查线段的和差，线段中点的计算； （1）先根据点是线段的中点得出，再由求出的长，根据点是线段的中点即可得出的长； （2）根据中点可知，，由即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点是线段的中点，， ∴． ∵， ∴． ∵点是线段的中点， ∴； （2）解：∵点是线段的中点，点是线段的中点，， ∴，， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 线段、射线和直线 知识点1：直线、射线与线段的概念 知识点2：线段的性质 注意：直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸；线段不能 延伸，所以直线与射线不可测量长度，只有线段可以测量 基本事实 1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线 2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短 【题型一 直线、射线与线段】 【典例1】下列几何图形与相应语言描述相符的是（   ） A．如图1，线段经过点 B．如图2，射线的端点是点 C．如图3，直线与直线相交于点 D．如图4，射线和线段有交点 【变式1】如图，下列表述不正确的是（   ） A．线段和射线都是直线的一部分 B．点在直线上 C．直线和直线相交于点 D．直线不经过点 【变式2】如图，下列语句正确的是（   ） A．是直线的一个端点 B．射线和射线是同一条射线 C．点在射线上 D．点在直线上 【变式3】如图，对于图中直线的描述，正确的是（    ） A．图中有直线 B．图中有直线 C．直线与直线交于点O D．直线与直线m交于点O 【题型二 两点确定一条直线】 【典例2】如图，建筑工人在砌墙时，经常用细线绳在墙的两端之间拉一条直的参照线，这样做的依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点间距离的概念 D．以上都不是 【变式1】如图，固定窗帘架只需固定其中的两点，这样做的根据是（   ） A．两点之间，直线最短 B．两点之间，射线最短 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 【变式2】在下列现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】墨斗是中国传统木工行业中画直线的常用工具．如图，木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．其中的道理是（   ） A．直线最短 B．两点之间的距离 C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线 【题型三 线段的应用】 【典例2】某列车往返于武汉站与南昌西站，途经鄂州、黄石北与庐山站，列车迷贤哥想收集该列车所有不同的车票（起点或终点不一样都算不同的车票），则他需要购买（   ）张车票 A．6 B．10 C．15 D．20 【变式1】从杭州东站出发到金华南站的动车，中途要停靠诸暨站和义乌站，则铁路部门供旅客购买的火车票要准备（　　） A．12种 B．10种 C．6种 D．4种 【变式2】如图，在线段AD上有两点B，C，则图中共有_____条线段，若在车站A、D之间的线路中再设两个站点B、C，则应该共印刷_____种车票． A．3， 3 B．3， 6 C．6， 6 D．6， 12 【变式3】兰州市某公交线路上共设6个车站，则在这条线路上往返行车需要设计车票价有（    ） A．25种 B．15种 C．30种 D．21种 【题型四 作图-直线射线和线段】 【典例4】如图，已知平面上不共线的三点A，B，C，请按如下要求尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)画直线，射线，线段； (2)在射线上作一点D，使得； (3)比较大小： ． 【变式1】如图，在平面内有、、三点．按下列步骤作图： （1）画直线、线段、射线； （2）取线段的中点D，连接； （3）延长线段到，使． 【变式2】如图．已知四点A，B，C，D．读下列语句，并分别画出图形．（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (1)画直线，射线，线段； (2)延长至点E，使； (3)连接，在线段上取点P，使的值最小． 【变式3】如图，在同一平面内有三点A，B，C．请按下面要求尺规作图，不写画法，保留作图痕迹． (1)画射线，画线段； (2)连接，并在线段上作线段，使； (3)连接，根据得到的图形，判断______．（填“”，“”，“”） （1）两点之间的线段中，线段最短，简称：两点间线段最短。 （2） 基本概念 ①两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。 ② 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点 （3）双中点模型： C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则 【题型五 两点间线段最短】 【典例5】如图，从A地到B地，有四条路可走，那么最短的路是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式1】如图，把一段弯曲的河道改直可以缩短航程，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．两点之间，线段最短 B．经过两点有且只有一条直线 C．经过一点有无数条直线 D．两直线相交有且只有一个交点 【变式2】如图，小李同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（   ） A．两点之间，直线最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点之间，线段最短 D．经过两点有且仅有一条直线 【变式3】毛泽东主席在《水调歌头•游泳》中写道“一桥飞架南北，天堑变通途”．正如创下了四项“世界之最”的临猗黄河大桥，采用步履式顶推技术在空中‘穿针引线’，建成后，运城通往西安的车程将缩短至2小时．用所学数学知识解释这一现象恰当的是（    ） A．过一点可以画多条直线 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．连接两点之间线段的长度是两点之间的距离 【题型六 两点间距离】 【典例6】已知点是直线上一点，且点是线段的中点．若，，请根据题意画出示意图，并求线段的长度． 【变式1】已知A、B、C三点在同一条直线上，如果线段，，那么A、C两点间的距离为（  ） A． B． C．或 D．不能确定 【变式2】若点，，在同一条直线上，如果线段，线段，那么，两点之间距离是 ． 【变式3】已知A，B，C三点在同一条直线上，且，．若点D是线段的中点，则线段 cm． 【题型七 线段的简单计算】 【典例7】如图，A、B、C、D四点在一条直线上，根据图形填空： (1)图中共有线段_______条； (2)若C是的中点，，，求线段的长． 【变式1】如图，点在线段上，点是线段的中点．若，，则的长是 ． 【变式2】如图，，是线段的三等分点，是的中点，若，则 ． 【变式3】如图，，是线段上一点，为线段上一点，为的中点，． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【题型八 “双中点”模型】 【典例8】如图，点C是线段上一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点 (1)如果，求的长 (2)如果，求的长 【变式1】如图，为线段上任一点，点、分别是、的中点．若，，求线段的长． 【变式2】如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点． (1)______； (2)求的长度； (3)若在直线上，且，求的长度． 【变式3】如图，点A，B，C，D四点在同一条直线上，并且．    (1)若，求的长； (2)若，点M是的中点，点N是的中点，并且，求的长． 一、单选题 1．关于如图所示的图形所表示的含义，下列说法中，正确的是（   ） A．延长射线 B．延长线段 C．反向延长线段 D．反向延长线段 2．如图，秦岭钟南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 3．如图，以，，，为端点组成的线段共有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 4．如图，点C在线段的延长线上，，点D是线段的中点，，则的长度是（　　） A． B． C． D． 5．如图，点B在直线上，点M、N分别是线段的中点，点B在线段上，，则线段的长度为（   ） A．5 B． C． D． 6．一列火车往返甲、丙两地，中间要停靠乙、丁两地，铁路局要制定（   ）种火车票． A．4 B．6 C．8 D． 7．如图，已知点C是上一点，，，若点D、E分别为的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，是线段上一点，为的中点，且，，若点在直线上，且，则的长为 ． 三、解答题 9．如下图，在同一平面内有四个点． (1)作射线． (2)作直线与射线相交于点． (3)分别连接． (4)我们容易判断出线段与的数量关系是________，理由是________． 10．如图，已知线段，，点M是的中点． (1)求线段的长； (2)在线段上取一点N，使得，求线段的长． 11．如图，B、C、D依次为线段AE上的三个点．已知，，． (1)求的长； (2)求图中所有线段长度的和． 12．如图所示，点C是线段上的一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． (1)如果，，求的长； (2)如果，求长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $