3.1.1椭圆及其标准方程 过关检测-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.1椭圆及其标准方程过关检测卷 （2025-2026学年第一学期高二数学选择性必修第一册第三章（2019）人教A版） 一、单选题 1．一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆（）的左焦点为，则 A． B． C． D． 3．若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．已知动点满足（为大于零的常数）﹐则动点的轨迹是（    ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．直线 5．已知椭圆的一个焦点为，点是椭圆上的一个动点，的最小值为，且存在点，使得（点为坐标原点）为正三角形，则椭圆的焦距为（   ） A． B． C． D． 6．已知为椭圆的左右焦点，，点在椭圆上，是椭圆上的动点，则的最大值为（    ） A．4 B． C．5 D． 二、多选题 7．已知椭圆以坐标轴为对称轴，经过点，且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程可以是（    ） A． B． C． D． 8．已知是椭圆上一点，，为其左右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．点纵坐标为 B． C．的周长为 D．的内切圆半径为 三、填空题 9．一动圆过定点，且与定圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是 ． 10．已知F1，F2是椭圆=1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2=45°，则△AF1F2的面积为 ，此时|AF2|= . 四、解答题 11．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)、，； (2)、焦点坐标为，，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10； (3)、焦点在x轴上，，且经过点； (4)、，且经过点. 12．已知点，，动点满足直线AM与BM的斜率之积为．记M的轨迹为曲线C，求C的方程，并说明C是什么曲线． 13．如图所示，已知是椭圆的两个焦点．    (1)求椭圆的焦点坐标； (2)过作直线与椭圆交于两点，试求的周长． 14．已知点､分别是椭圆C：）的左､右焦点，点P在椭圆C上，当∠PF1F2=时，面积达到最大，且最大值为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线l：与椭圆C交于A､B两点，求面积的最大值. 解析： 一、单选题 1．一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 答案：B 分析：利用椭圆的定义求解即可. 解析：椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，故，且，故， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B 2．已知椭圆（）的左焦点为，则 A． B． C． D． 答案：C 解析：根据焦点坐标可知焦点在轴，所以，，，又因为，解得，故选C. 3．若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 答案：B 分析：根据椭圆的标准方程得到方程组，解得答案. 解析：方程表示椭圆，则，解得. 故选：B 4．已知动点满足（为大于零的常数）﹐则动点的轨迹是（    ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．直线 答案：C 分析：根据题意，结合椭圆的定义即可得到结果. 解析：的几何意义为点与点间的距离， 同理的几何意义为点与点间的距离， 且 又由为大于零的常数，可知， 当且仅当，即时取等， 故， 即动点到点与到点的距离之和为定值，且大于，所以动点的轨迹为椭圆， 故选：C. 5．已知椭圆的一个焦点为，点是椭圆上的一个动点，的最小值为，且存在点，使得（点为坐标原点）为正三角形，则椭圆的焦距为（   ） A． B． C． D． 答案：D 分析：不妨设为椭圆的右焦点，为椭圆的左焦点，连接，利用椭圆的定义，以及的最小值，列方程组可得椭圆的焦距． 解析：不妨设为椭圆的右焦点，为椭圆的左焦点，连接 因为为等边三角形，所以，所以是直角三角形，所以．因为，所以．因为的最小值为，所以，所以，椭圆的焦距为 。 故选：D 6．已知为椭圆的左右焦点，，点在椭圆上，是椭圆上的动点，则的最大值为（    ） A．4 B． C．5 D． 答案：B 分析：由题意可求椭圆的标准方程，设，求出的表达式，结合二次函数的最值，即可求得答案. 解析：由题意可知，则，， 点在椭圆上，则，结合， 解得，故， 设，则， 则 ， 当且仅当时，取最大值， 即的最大值为， 故选：B 二、多选题 7．已知椭圆以坐标轴为对称轴，经过点，且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程可以是（    ） A． B． C． D． 答案：BC 分析：分椭圆焦点在轴上和焦点在轴上两种情况，结合椭圆的几何性质求解即可. 解析：当椭圆的焦点在轴上时，已知椭圆过点，故， 因为长轴长是短轴长的2倍，所以，即， 所以椭圆的方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，已知椭圆过点，故， 因为长轴长是短轴长的2倍，所以，即， 所以椭圆的方程为． 综上所述，椭圆的方程为或． 故选：BC． 8．已知是椭圆上一点，，为其左右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．点纵坐标为 B． C．的周长为 D．的内切圆半径为 答案：CD 分析：设，利用以及椭圆方程可求出点坐标，即可判断A；求出，，利用韦达定理可判断B；根据椭圆的定义可判断C；根据内切圆半径和面积的关系，可判断D. 解析：由已知，不妨设， 则 ，故A错； ，得，， ， ， ， ，故B错； 由椭圆定义，的周长，故C正确； 设的内切圆半径为，，，故D正确； 故选：CD. 点睛：本题考查椭圆的定义，针对焦点三角形的计算要熟练，考查学生计算能力，是中档题. 三、填空题 9．一动圆过定点，且与定圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是 ． 答案：． 分析：由两圆内切得出圆心距为半径之差，结合动圆过点，从而得，知轨迹为椭圆，根据椭圆的标准方程可得结论． 解析：圆的方程化为标准形式为，圆心，其半径为6． 设动圆圆心的坐标为， 半径为， 由题意，又，所以，即，所以由椭圆的定义知，的轨迹是以为焦点，线段的中点为中心的椭圆．设椭圆的方程为，则，所以所求圆心的轨迹方程是． 故答案为：． 点睛：本题考查求动点轨迹方程，解题关键是掌握椭圆的定义，根据两圆内切得出动圆圆心轨迹是椭圆，由椭圆标准方程得出结论． 10．已知F1，F2是椭圆=1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2=45°，则△AF1F2的面积为 ，此时|AF2|= . 答案： 分析：由条件可得，设 则，根据余弦定理可求出，进而求出三角形面积，和的值. 解析：由，知 .所以，所以 设 则 .因为∠AF1F2 = 45°，所以，解得 所以 故答案为： ； 点睛：本题考查了椭圆的简单性质，着重考查了考查椭圆的定义与a,b,c之间关系式的应用，考查三角形的面积公式，属于中档题. 四、解答题 11．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)、，； (2)、焦点坐标为，，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10； (3)、焦点在x轴上，，且经过点； (4)、，且经过点. 分析：(1)直接联立方程组，求出、的值，再利用椭圆的基本性质求出的值，然后分别讨论焦点所在的坐标轴，直接写出标准方程即可； (2)由椭圆的定义，直接写出、的值，并可判断焦点所在坐标轴，再利用椭圆的基本性质求出的值，即可直接写出椭圆的标准方程； (3)由题意，设出椭圆的标准方程，再把点代入求解即可； (4)由题意结合椭圆的性质，可列出、的关系式，再设出椭圆的标准方程，然后把点代入求解即可. 解析：（1）由题意，联立，解得： ， 则由椭圆的性质得：， 所以当椭圆的焦点落在轴上时，椭圆的标准方程为：； 当椭圆的焦点落在轴上时，椭圆的标准方程为：， 故椭圆的标准方程为：或. （2）由题意可得，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为，即， 又椭圆的两个焦点坐标为，，则，且焦点落在轴上， 所以由椭圆的性质得：，故椭圆的标准方程为：. （3）因为椭圆的焦点在轴上，且，所以可设椭圆的标准方程为， 又因为椭圆经过点，所以，解得：， 故椭圆的标准方程为：. （4）因为，由椭圆的性质得，则， 所以可设椭圆的标准方程为或 又因为椭圆经过点，所以或，解得：或， 所以，当时，椭圆的焦点落在轴上，此时椭圆的标准方程为：； 当时，椭圆的焦点落在轴上，此时椭圆的标准方程为：， 故椭圆的标准方程为：或. 12．已知点，，动点满足直线AM与BM的斜率之积为．记M的轨迹为曲线C，求C的方程，并说明C是什么曲线． 分析：根据题意可得，化简即可得出M的轨迹，并根据方程可知C是什么曲线． 解析：由题可得，即，化简得，，所以C的方程为，C是长轴长为，短轴长为的椭圆（除去长轴两个端点）． 13．如图所示，已知是椭圆的两个焦点．    (1)求椭圆的焦点坐标； (2)过作直线与椭圆交于两点，试求的周长． 分析：（1）根据椭圆的标准方程计算即可；（2）由椭圆的定义计算即可. 解析：（1）设焦距为，由得， 所以椭圆的焦点坐标为． （2）设椭圆长轴长，则易得， 又的周长为, 由椭圆的定义可知，故. 14．已知点､分别是椭圆C：）的左､右焦点，点P在椭圆C上，当∠PF1F2=时，面积达到最大，且最大值为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线l：与椭圆C交于A､B两点，求面积的最大值. 分析：（1）根据焦点三角形的性质可求出，从而可得标准方程, （2）联立直线方程和椭圆方程，消元后利用公式表示三角形面积，从而可求面积的最大值. 解析：（1）△PF1F2面积达到最大时为椭圆的上顶点或下顶点， 而此时∠PF1F2=，故面积最大时为等边三角形， 故，因面积的最大值为，故，故， 故椭圆的标准方程为：. （2）设，则由可得， 此时恒成立. 而， 到的距离为, 故的面积， 令，设，则， 故在上为增函数，故即的最大值为3,即面积的最大值是3. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $