（篇五）几何模型篇·风筝模型和蝴蝶模型【五大考点】-2025-2026学年五年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 2025-2026学年五年级数学上册典型例题系列「2025秋」 几何模型篇·风筝模型和蝴蝶模型【五大考点】 专题名称 几何模型篇·风筝模型和蝴蝶模型 专题内容 本专题以风筝模型和蝴蝶模型为主。 评价体系 基础：；迁移：；综合：；多维度：；重难点： 讲解建议 几何模型篇是用来专门总结小学数学几何模型的特别篇章，其中大多数涉及奥数思维拓展内容，综合性极强，难度极大，因此，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解考点考题。 考点数量 五大考点 【考点一】风筝模型（任意四边形模型）问题一：基础应用 3 【考点二】风筝模型（任意四边形模型）问题二：进阶应用 4 【考点三】风筝模型（任意四边形模型）问题三：拓展应用 6 【考点四】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题一：基本应用 7 【考点五】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题二：添加辅助线构建蝴蝶模型 10 【考点一】风筝模型（任意四边形模型）问题一：基础应用 方法点拨 1. 风筝模型（任意四边形模型）。 对于任意四边形，连接它的两条对角线，这个四边形就被分成了4个三角形，由于形似一个风筝，所以被称为“风筝模型”。 2. 解题方法。 通过等高模型的推论，我们可以在风筝模型中得出一个结论，即对面三角形相乘，乘积相等，。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积是5，三角形DOC的面积是4，三角形AOB的面积是15，求三角形BOC的面积是多少？ 解析：4×15÷5=12。 【对应练习】 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积6.92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ 解析： 根据风筝模型求得平方千米，公园四边形的面积是平方千米，所以人工湖的面积是平方千米。 【考点二】风筝模型（任意四边形模型）问题二：进阶应用 方法点拨 解题方法。 通过等高模型的推论，我们可以在风筝模型中得出一个结论，即对面三角形相乘，乘积相等，。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了四个小三角形，其中两个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷，求四个三角形中最大的一个的面积。 解析： △ABE和△ADE的高相等，所以它们的面积之比是底之比，且它们的面积和是：52-6-7=39公顷。 △ABE的面积：39÷（6+7）×6=18（公顷） △ADE的面积：39÷（6+7）×7=21（公顷） 因此△ADE的面积最大。 【对应练习】 如图的四边形土地的总面积是18公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形土地，其中2个小三角形土地的面积分别是8公顷和4公顷。那么最大的一个三角形土地的面积是多少公顷？ 【答案】8公顷 【分析】三角形BOC和三角形DOC是等高不等底的两个三角形，所以这两个三角形的面积比就等于这两个三角形底的比。即OB∶OD＝8∶4＝2∶1。同理三角形AOB和三角形AOD也是等高不同底的两个三角形，则三角形AOB的面积∶三角形AOD＝OB∶OD＝2∶1。且这两个三角形的和＝四边形的面积－三角形BOC面积－三角形DOC面积，按比例分配求出另外两个小三角形的面积，对比四个三角形的面积，找出最大的三角形面积。 【详解】三角形AOB和三角形AOD面积和：18－8－4＝6（公顷） 三角形AOB面积：6×＝4（公顷） 三角形AOD面积：6×＝2（公顷） 8＞4＞2 答：最大的一个三角形土地的面积是8公顷。 【对应练习】 如图，四边形被分成四个三角形，四边形的面积是42平方厘米，其中两个小三角形的面积分别是3平方厘米和4平方厘米，那么最大的一个三角形的面积是多少平方厘米？ 【答案】20平方厘米 【分析】和等高，所以DE∶EB＝∶＝3∶4。同理和等高，所以∶＝DE∶EB＝3∶4。先用四边形面积减去两个小三角形的面积得到和的面积和，再根据∶＝3∶4，那么和分别是把面积和平均分成3＋4＝7份中的3份和4份，求出一份的面积再乘最大的份数即可找出最大的三角形面积。 【详解】因为，并且和等高，所以DE∶EB＝∶＝3∶4。 因为和等高，所以∶＝DE∶EB＝3∶4。 因为＋＝42－3－4＝35（平方厘米） 所以（平方厘米） ＝35－15＝20（平方厘米） 因为3＜4＜15＜20，所以最大的一个三角形的面积是20平方厘米。 答：最大的一个三角形的面积是20平方厘米。 【点睛】本题考查对三角形高的认识、三角形面积的灵活计算及按比分配问题。 【考点三】风筝模型（任意四边形模型）问题三：拓展应用 方法点拨 解题方法。 通过等高模型的推论，我们可以在风筝模型中得出一个结论，即对面三角形相乘，乘积相等，。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 图中四边形ABCD的对角线AC和BD交于O点，如果三角形ABD的面积是30平方厘米，三角形ABC的面积是48平方厘米，三角形BCD的面积是50平方厘米。请问：三角形BOC的面积是多少？ 解析： 设△BOC、△AOB、△AOD、△COD的面积分别为、、、,因为:=CO:OA，:=CO:OA，所以(+):(+)=CO:OA，即 。 【对应练习】 如下图，四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O点，已知AO＝1，并且，那么OC的长是多少？（单位：厘米） 解析：AO:OC=，所以OC=1÷3×5=（厘米）。 【考点四】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题一：基本应用 方法点拨 1. 蝴蝶模型（梯形蝶形定理）。 蝴蝶模型其实是特殊的风筝模型，由于是在梯形中连接的两条对角线，因此被分成三角形中的左右两个形似蝴蝶的翅膀，所以被称为“蝴蝶模型”。 2. 解题方法。 （1）梯形两翼相等，即：； （2）； （3）梯形S的对应份数为。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 如图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC、BD交于O，已知△AOB与△BOC的面积分别为25平方厘米与40平方厘米，那么梯形ABCD的面积是多少平方厘米？ 解析：AO:OC==25:40=5:8，所以△COD的面积是：40÷5×8=64（平方厘米）。 【对应练习1】 如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC，BD交于O，已知△AOB与△BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是多少平方厘米？ 解析：△AOD的面积与△BOC的面积相等为35平方厘米，AO:OC=25:35=5:7，△COD的面积是：35÷5×7=49（平方厘米），因此梯形ABCD的面积是25+35+35+49=144（平方厘米）。 【对应练习2】 如图：梯形ABCD中，已知三角形CDO面积是12平方厘米，且BO＝2DO，梯形ABCD的面积是( )平方厘米。 【答案】54 【分析】三角形BCO和三角形CDO等高，BO＝2DO，三角形BCO是三角形CDO面积的2倍；三角形ABO和三角形ADO等高，三角形ABO是三角形ADO面积的2倍，三角形ABO的面积＝三角形CDO的面积，据此求出梯形ABCD中4个小三角形的面积和即可。 【详解】12×2＋12×2＋12÷2 ＝24＋24＋6 ＝54（平方厘米） 【点睛】关键是掌握三角形面积求法，等高，底是2倍关系的两个三角形，面积也是2倍关系。 【对应练习3】 如下图，在梯形ABCD中，三角形ABE的面积等于30平方厘米，BD＝4ED，梯形ABCD的面积是多少平方厘米？ 【答案】160平方厘米 【分析】因为三角形ABD与三角形ACD同底等高，所以三角形ABD与三角形ACD的面积相等，同时减去三角形ADE，三角形ABE与三角形CDE的面积相等，都等于30平方厘米；因为三角形ABE与三角形ADE同高，BD＝4ED，即BE＝3ED，三角形的面积＝底×高÷2，所以三角形ADE的面积是30÷3＝10（平方厘米），三角形ACD的面积是10＋30＝40（平方厘米）；因为三角形CDE与三角形BCE同高，BD＝4ED，所以三角形BCE的面积是30×3＝90（平方厘米）；此时梯形分成的四个小三角形的面积都已经分别求出，把四个小三角形的面积相加，30＋10＋30＋90＝160（平方厘米）就是梯形的面积；据此解答。 【详解】因为三角形ABE与三角形CDE的面积相等，所以三角形CDE的面积是30平方厘米 因为BD＝4ED，即BE＝3ED，所以三角形ADE的面积是：30÷3＝10（平方厘米） 三角形BCE的面积是：30×3＝90（平方厘米） 梯形ABCD的面积是：30＋30＋10＋90＝160（平方厘米） 答：梯形ABCD的面积是160平方厘米。 【点睛】注意可以运用图形的特点，分割转化成其他的图形，巧妙求出面积；本题把梯形转化成三角形，运用三角形的面积与底和高的关系求出梯形的面积。 【考点五】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题二：添加辅助线构建蝴蝶模型 方法点拨 解题方法。 （1）梯形两翼相等，即：； （2）； （3）梯形S的对应份数为。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 如图所示，已知正方形ABCD的边长是12厘米，E是CD边上的中点，连接对角线AC，交BE于点O，则△AOB的面积是多少平方厘米？ 解析： 梯形ABCE的面积=正方形的面积-△ADE的面积=12×12-12×6÷2=108（平方厘米），梯形共被分了(6+12)²份，△AOB的面积占了12²份，所以它的面积是：108÷18²×12²=48（平方厘米）。 【对应练习1】 如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，△DEF的面积是4cm²，△CED的面积6cm²。问：三角形BEC的面积是多少平方厘米？ 解析：连接BF，△BEF的面积与△CDE的面积相等为6平方厘米，FE:EC=4:6=2:3，所以△BEC的面积是：6÷2×3=9（平方厘米）。 【对应练习2】 如图，已知长方形ABCD的面积为120平方厘米，且AE∶ED＝1∶2，那么S阴＝( )平方厘米。 【答案】44 【分析】长方形对边平行，可以作为梯形的上、下底，不妨连接BE.得到梯形BCDE，上底与下底之比为2∶3，然后使用蝴蝶定理。 【详解】连接BE，如下图标记面积。 阴影四边形ABFE的面积为120×＝ 44（平方厘米）。 所以，S阴＝44平方厘米。 【点睛】如果一个图形本身不是一个梯形，要善于在平行四边形，特别是长方形和正方形中构造出梯形，然后利用蝴蝶定理解题。 【对应练习3】 如图，长方形被、分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形的面积为多少平方厘米． 【答案】9平方厘米 【详解】 连接、．四边形为梯形，所以， 又根据蝴蝶定理，， 所以． 所以(平方厘米)，(平方厘米)． 那么长方形的面积为平方厘米． 四边形的面积为(平方厘米)． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇 1.典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2.三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3.单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4.素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 第1页共10页 多学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年五年级数学上册典型例题系列「2025秋] 几何模型篇•风筝模型和蝴蝶模型【五大考点】 第一篇章 专题解读篇 ⑧自专题名称 几何模型篇·风筝模型和蝴蝶模型 知专题内容 本专题以风筝模型和蝴蝶模型为主。 @评价体系 基础：★：迁移：★★：综合：★★★：多维度：★★★★；重难点：★★★★★ 旦讲解建议 几何模型篇是用来专门总结小学数学几何模型的特别篇章，其中大多数涉及奥 数思维拓展内容，综合性极强，难度极大，因此，建议根据学生实际掌握情况 和总体水平，选择性讲解考点考题。 回考点数量 五大考点 第二篇章 考点导航篇 原【考点一】风筝模型（任意四边形模型）问题一：基础应用3 原【考点二】风筝模型（任意四边形模型）问题二：进阶应用4 只【考点三】风筝模型（任意四功形模型）问题三：拓展应用5 貝【考点四】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题一：基本应用…。 .7 只【考点五】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题二：添加辅助线构建瑚蝶模型… 9 第2页共10页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 第三篇章 典型例题篇 原【考点一】风筝模型（任意四边形模型）问题一：基础应用 职方法点拨 1.风筝模型（任意四边形模型）。 对于任意四边形，连接它的两条对角线，这个四边形就被分成了4个三角形， 由于形似一个风筝，所以被称为“风筝模型”。 A B 0 S3 S2 D 2.解题方法。 通过等高模型的推论，我们可以在风筝模型中得出一个结论，即对面三角形 相乘，乘积相等，S1S3=S2×S4。 目考察形式 计算、应用 蜀动态评价 ★★★★★ 吕【典型例题】 如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积是5，三角形DOC的面 积是4，三角形AOB的面积是15，求三角形BOC的面积是多少？ C D 0 B 第3页共10页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习】 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD,被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1 平方千米，△B0C面积为2平方千米，△C0D的面积为3平方千米，公园由陆地面积6.92平 方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ 冥【考点二】风筝模型（任意四边形模型）问题二：进阶应用 方法点拨 解题方法。 通过等高模型的推论，我们可以在风筝模型中得出一个结论，即对面三角形 相乘，乘积相等，S1×S3=S2×S4。 目考察形式 计算、应用 過动态评价 ★★★★★ 吕【典型例题】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了四个小三角形，其中两个小三 角形的面积分别是6公顷和7公顷，求四个三角形中最大的一个的面积。 B 6 第4页共10页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 0【对应练习1】 如图的四边形土地的总面积是18公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形土地，其中2个 小三角形土地的面积分别是8公顷和4公顷。那么最大的一个三角形土地的面积是多少公顷？ 8 B 即【对应练习2】 如图，四边形ABCD被分成四个三角形，四边形ABCD的面积是42平方厘米，其中两个小三角 形的面积分别是3平方厘米和4平方厘米，那么最大的一个三角形的面积是多少平方厘米？ D 原【考点三】风筝模型（任意四边形模型）问题三：拓展应用 方法点拨 解题方法。 通过等高模型的推论，我们可以在风筝模型中得出一个结论，即对面三角形 相乘，乘积相等，S1S3=S2×S4。 目考察形式 计算、应用 蜀动态评价 ★★★★★ 第5页共10页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 吕【典型例题】 图中四边形ABCD的对角线AC和BD交于O点，如果三角形ABD的面积是30平方厘米， 三角形ABC的面积是48平方厘米，三角形BCD的面积是50平方厘米。请问：三角形BOC 的面积是多少？ B 0 肥【对应练习】 如下图，四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O点，已知AO=1,并且S△AD:S△D=3:5, 那么OC的长是多少？（单位：厘米） D 第6页共10页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 原【考点四】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题一：基本应用 冥方法点拨 1.蝴蝶棋型（梯形蝶形定理）。 蝴蝶模型其实是特殊的风筝模型，由于是在梯形中连接的两条对角线，因此 被分成三角形中的左右两个形似蝴蝶的翅膀，所以被称为蝴蝶模型”。 A D S3 B b 2.解题方法。 (1)梯形两翼相等，即：S2=S4: (2)SS3:S2:S4=a2:b2:ab:ab; (3)梯形S的对应份数为(a+b。 且考察形式 计算、应用 過动态评价 ★★★★★ 吕【典型例题】 如图，梯形ABCD的AB平行于CD,对角线AC、BD交于O,已知△AOB与△BOC的面积 分别为25平方厘米与40平方厘米，那么梯形ABCD的面积是多少平方厘米？ B 25 40 0 D 第7页共10页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 0【对应练习1】 如下图，梯形ABCD的AB平行于CD,对角线AC,BD交于O,已知△AOB与△BOC的面 积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是多少平方厘米？ 25 35 肥【对应练习2】 如图：梯形ABCD中，已知三角形CDO面积是12平方厘米，且BO=2DO,梯形ABCD的 面积是( )平方厘米。 D B 肥【对应练习3】 如下图，在梯形ABCD中，三角形ABE的面积等于30平方厘米，BD=4ED,梯形ABCD的 面积是多少平方厘米？ 第8页共10页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 貝【考点五】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题二： 添加辅助线构建蝴蝶模型 冥方法点拨 解题方法。 (1)梯形两翼相等，即：S2=S4: (2)S:S3:S2:S4=a2:b2:ab:ab; (3)梯形S的对应份数为(a+b。 目考察形式 计算、应用 蜀动态评价 ★★★★★ 吕【典型例题】 如图所示，己知正方形ABCD的边长是12厘米，E是CD边上的中点，连接对角线AC,交 BE于点O,则△AOB的面积是多少平方厘米？ 0 0 B 肥【对应练习1】 如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，△DEF的面积是4cm,△CED的面积6cm。 问：三角形BEC的面积是多少平方厘米？ D 4 6 E B 第9页共10页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 0【对应练习2】 如图，已知长方形ABCD的面积为120平方厘米，且AE:ED=1:2,那么S阳=( 平方厘米。 E A D F 肥【对应练习3】 如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那 么余下的四边形OBC的面积为多少平方厘米. F D 第10页共10页多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇 1.典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2.三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3.单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4.素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 第1页共13页 多学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年五年级数学上册典型例题系列「2025秋] 几何模型篇•风筝模型和蝴蝶模型【五大考点】 第一篇章 专题解读篇 ⑧自专题名称 几何模型篇·风筝模型和蝴蝶模型 知专题内容 本专题以风筝模型和蝴蝶模型为主。 @评价体系 基础：★：迁移：★★：综合：★★★：多维度：★★★★；重难点：★★★★★ 旦讲解建议 几何模型篇是用来专门总结小学数学几何模型的特别篇章，其中大多数涉及奥 数思维拓展内容，综合性极强，难度极大，因此，建议根据学生实际掌握情况 和总体水平，选择性讲解考点考题。 回考点数量 五大考点 第二篇章 考点导航篇 原【考点一】风筝模型（任意四边形模型）问题一：基础应用3 原【考点二】风筝模型（任意四边形模型）问题二：进阶应用4 只【考点三】风筝模型（任意四功形模型）问题三：拓展应用6 貝【考点四】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题一：基本应用…。 .7 只【考点五】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题二：添加辅助线构建蝴蝶模型…0 第2页共13页 品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 第三篇章 典型例题篇 貝【考点一】风筝模型（任意四边形模型）问题一：基础应用 职方法点拨 1. 风筝模型（任意四边形模型）。 对于任意四边形，连接它的两条对角线，这个四边形就被分成了4个三角形， 由于形似一个风筝，所以被称为“风筝模型”。 A B 0 S3 S2 D 2.解题方法。 通过等高模型的推论，我们可以在风筝模型中得出一个结论，即对面三角形 相乘，乘积相等，S1S3=S2×S4。 目考察形式 计算、应用 蜀动态评价 ★★★★★ 吕【典型例题】 如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积是5，三角形DOC的面 积是4，三角形AOB的面积是15，求三角形BOC的面积是多少？ D B A 解析：4×15÷5=12。 肥【对应练习】 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD,被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1 平方千米，△BOC面积为2平方千米，△C0D的面积为3平方千米，公园由陆地面积6.92平 方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ 第3页共13页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 解析： 根据风筝模型求得S40=3×1÷2=1.5平方千米，公园四边形ABCD的面积是1+2+3+1.5=7.5平 方千米，所以人工湖的面积是7.5-6.92=0.58平方千米。 原【考点二】风筝模型（任意四边形模型）问题二：进阶应用 兵职方法点拨 解题方法。 通过等高模型的推论，我们可以在风筝模型中得出一个结论，即对面三角形 相乘，乘积相等，S1S3=S2×S4。 目考察形式 计算、应用 蜀动态评价 ★★★★★ 吕【典型例题】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了四个小三角形，其中两个小三 角形的面积分别是6公顷和7公顷，求四个三角形中最大的一个的面积。 B D 解析： △ABE和△ADE的高相等，所以它们的面积之比是底之比，且它们的面积和是：52-6-7=39 公顷。 △ABE的面积：39：(6+7)×6=18（公顷） △ADE的面积：39：(6+7)×7=21（公顷） 因此△ADE的面积最大。 即【对应练习】 第4页共13页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 如图的四边形土地的总面积是18公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形土地，其中2个 小三角形土地的面积分别是8公顷和4公顷。那么最大的一个三角形土地的面积是多少公顷？ A 8 【答案】8公顷 【分析】三角形BOC和三角形DOC是等高不等底的两个三角形，所以这两个三角形的面积 比就等于这两个三角形底的比。即OB:OD=8:4=2:1。同理三角形AOB和三角形AOD 也是等高不同底的两个三角形，则三角形AOB的面积：三角形AOD=OB:OD=2:1。且这 两个三角形的和=四边形的面积一三角形BOC面积一三角形DOC面积，按比例分配求出 外两个小三角形的面积，对比四个三角形的面积，找出最大的三角形面积。 【详解】三角形AOB和三角形AOD面积和：18-8-4=6（公顷） OB:OD=8:4=2:1 三角形A0B面积：6是1=4（公顷） 1 三角形AOD面积：6x2本1=2（公顷） 8>4>2 答：最大的一个三角形土地的面积是8公顷。 肥【对应练习】 如图，四边形ABCD被分成四个三角形，四边形ABCD的面积是42平方厘米，其中两个小三角 形的面积分别是3平方厘米和4平方厘米，那么最大的一个三角形的面积是多少平方厘米？ B 【答案】20平方厘米 【分析】△DEC和△CEB等高，所以DE:EB=SDgc:ScB=3:4。同理△AED和△AEB等高，所 以SAsD:S。AB=DE:EB=3:4。先用四边形面积减去两个小三角形的面积得到△AED和AAEB 第5页共13页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 的面积和，再根据Ss:S4B=3:4,那么Ss和S4分别是把面积和平均分成3十4=7份中 的3份和4份，求出一份的面积再乘最大的份数即可找出最大的三角形面积。 【详解】因为S=,ah,并且aDEC和△CEB等高，所以DE:EB=Ssc:Scs=3:4。 因为△AED和△AEB等高，所以SAD:S4sB=DE:EB=3:4。 因为S.sD十S。4m=42一3一4=35（平方厘米） 所以s=35÷(3+4)×3=35÷7×3=15(平方厘米) S4=35-15=20(平方厘米) 因为3<4<15<20，所以最大的一个三角形的面积是20平方厘米。 答：最大的一个三角形的面积是20平方厘米。 【点睛】本题考查对三角形高的认识、三角形面积的灵活计算及按比分配问题。 原【考点三】风筝模型（任意四边形模型）问题三：拓展应用 方法点拨 解题方法。 通过等高模型的推论，我们可以在风筝模型中得出一个结论，即对面三角形 相乘，乘积相等，S1S3=S2×S4。 目考察形式 计算、应用 過动态评价 ★★★★★ 吕【典型例题】 图中四边形ABCD的对角线AC和BD交于O点，如果三角形ABD的面积是30平方厘米， 三角形ABC的面积是48平方厘米，三角形BCD的面积是50平方厘米。请问：三角形BOC 的面积是多少？ B 解析： 设△BOC、△AOB、△AOD、△COD的面积分别为S1、S,、S,、S4,因为S1:S,CO:OA, 第6页共13页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 S4:S,COOA,所以(S+S4)(S2+S3=C0:OA,即SAcD:SAABD=CO:OA=50:30 =5:3。 肥《对应练习】 如下图，四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O点，已知AO=1,并且S△4D:S△sD=3:5, 那么OC的长是多少？（单位：厘米） 解析：A0:0C-SAA0:Sac8D=3:5,所以0C=13×5= 5 (厘米)。 貝【考点四】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题一：基本应用 冥方法点拨 1.蝴蝶模型（梯形蝶形定理）。 蝴蝶模型其实是特殊的风筝模型，由于是在梯形中连接的两条对角线，因此 被分成三角形中的左右两个形似蝴蝶的翅膀，所以被称为蝴蝶模型”。 A a D S S S S3 B b 2.解题方法。 (1)梯形两翼相等，即：S,=S4; (2):S3:S2:S4=a2:b2:ab:ab; (3)梯形S的对应份数为(a+b。 且考察形式 计算、应用 蜀动态评价 ★★★★★ 吕【典型例题】 第7页共13页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 如图，梯形ABCD的AB平行于CD,对角线AC、BD交于O,已知△AOB与△BOC的面积 分别为25平方厘米与40平方厘米，那么梯形ABCD的面积是多少平方厘米？ A B 25 40 D 解析：A0:OC=S408:S△oc=25:40-5:8,所以△C0D的面积是：40-5×8-64（平方厘米）。 肥【对应练习1】 如下图，梯形ABCD的AB平行于CD,对角线AC,BD交于O,已知△AOB与△BOC的面 积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是多少平方厘米？ 25 D C 解析：△AOD的面积与△B0C的面积相等为35平方厘米，AO:OC-25:35=5:7,△C0D的面 积是：35÷5×7=49（平方厘米），因此梯形ABCD的面积是25+35+35+49=144（平方厘米）。 肥【对应练习2】 如图：梯形ABCD中，已知三角形CDO面积是12平方厘米，且BO=2DO,梯形ABCD的 面积是( )平方厘米。 D B 【答案】54 【分析】三角形BCO和三角形CDO等高，BO=2DO,三角形BCO是三角形CDO面积的2 第8页共13页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 倍：三角形ABO和三角形ADO等高，三角形ABO是三角形ADO面积的2倍，三角形ABO 的面积=三角形CDO的面积，据此求出梯形ABCD中4个小三角形的面积和即可。 【详解】12×2+12×2+12÷2 =24+24+6 =54(平方厘米) 【点睛】关键是掌握三角形面积求法，等高，底是2倍关系的两个三角形，面积也是2倍关系。 即【对应练习3】 如下图，在梯形ABCD中，三角形ABE的面积等于30平方厘米，BD=4ED,梯形ABCD的 面积是多少平方厘米？ 【答案】160平方厘米 【分析】因为三角形ABD与三角形ACD同底等高，所以三角形ABD与三角形ACD的面积 相等，同时减去三角形ADE,三角形ABE与三角形CDE的面积相等，都等于30平方厘米： 因为三角形ABE与三角形ADE同高，BD=4ED,即BE=3ED,三角形的面积=底×高2， 所以三角形ADE的面积是30÷3=10（平方厘米），三角形ACD的面积是10十+30=40（平方 厘米)；因为三角形CDE与三角形BCE同高，BD=4ED,所以三角形BCE的面积是30×3 =90(平方厘米)：此时梯形分成的四个小三角形的面积都已经分别求出，把四个小三角形的 面积相加，30+10+30+90=160（平方厘米）就是梯形的面积：据此解答。 【详解】因为三角形ABE与三角形CDE的面积相等，所以三角形CDE的面积是30平方厘米 因为BD=4ED,即BE=3ED,所以三角形ADE的面积是：30：3=10（平方厘米） 三角形BCE的面积是：30×3=90（平方厘米） 梯形ABCD的面积是：30+30+10+90=160（平方厘米） 答：梯形ABCD的面积是160平方厘米。 【点睛】注意可以运用图形的特点，分割转化成其他的图形，巧妙求出面积；本题把梯形转化 成三角形，运用三角形的面积与底和高的关系求出梯形的面积。 第9页共13页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 貝【考点五】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题二： 添加辅助线构建蝴蝶模型 冥方法点拨 解题方法。 (1)梯形两翼相等，即：S2=S4: (2)S:S3:S2:S4=a2:b2:ab:ab; (3)梯形S的对应份数为(a+b。 目考察形式 计算、应用 蜀动态评价 ★★★★★ 吕【典型例题】 如图所示，己知正方形ABCD的边长是12厘米，E是CD边上的中点，连接对角线AC,交 BE于点O,则△AOB的面积是多少平方厘米？ 0 B 解析： 梯形ABCE的面积=正方形的面积-△ADE的面积=12×12-12×6÷2=108（平方厘米），梯形共被 分了(6+12)份，△AOB的面积占了12份，所以它的面积是：108÷18×122=48（平方厘米）。 A D 肥【对应练习1】 如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，△DEF的面积是4cm,△CED的面积6cm。 问：三角形BEC的面积是多少平方厘米？ 第10页共13页 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 2025-2026学年五年级数学上册典型例题系列「2025秋」 几何模型篇·风筝模型和蝴蝶模型【五大考点】 专题名称 几何模型篇·风筝模型和蝴蝶模型 专题内容 本专题以风筝模型和蝴蝶模型为主。 评价体系 基础：；迁移：；综合：；多维度：；重难点： 讲解建议 几何模型篇是用来专门总结小学数学几何模型的特别篇章，其中大多数涉及奥数思维拓展内容，综合性极强，难度极大，因此，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解考点考题。 考点数量 五大考点 【考点一】风筝模型（任意四边形模型）问题一：基础应用 3 【考点二】风筝模型（任意四边形模型）问题二：进阶应用 4 【考点三】风筝模型（任意四边形模型）问题三：拓展应用 5 【考点四】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题一：基本应用 7 【考点五】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题二：添加辅助线构建蝴蝶模型 9 【考点一】风筝模型（任意四边形模型）问题一：基础应用 方法点拨 1. 风筝模型（任意四边形模型）。 对于任意四边形，连接它的两条对角线，这个四边形就被分成了4个三角形，由于形似一个风筝，所以被称为“风筝模型”。 2. 解题方法。 通过等高模型的推论，我们可以在风筝模型中得出一个结论，即对面三角形相乘，乘积相等，。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积是5，三角形DOC的面积是4，三角形AOB的面积是15，求三角形BOC的面积是多少？ 【对应练习】 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积6.92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ 【考点二】风筝模型（任意四边形模型）问题二：进阶应用 方法点拨 解题方法。 通过等高模型的推论，我们可以在风筝模型中得出一个结论，即对面三角形相乘，乘积相等，。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了四个小三角形，其中两个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷，求四个三角形中最大的一个的面积。 【对应练习1】 如图的四边形土地的总面积是18公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形土地，其中2个小三角形土地的面积分别是8公顷和4公顷。那么最大的一个三角形土地的面积是多少公顷？ 【对应练习2】 如图，四边形被分成四个三角形，四边形的面积是42平方厘米，其中两个小三角形的面积分别是3平方厘米和4平方厘米，那么最大的一个三角形的面积是多少平方厘米？ 【考点三】风筝模型（任意四边形模型）问题三：拓展应用 方法点拨 解题方法。 通过等高模型的推论，我们可以在风筝模型中得出一个结论，即对面三角形相乘，乘积相等，。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 图中四边形ABCD的对角线AC和BD交于O点，如果三角形ABD的面积是30平方厘米，三角形ABC的面积是48平方厘米，三角形BCD的面积是50平方厘米。请问：三角形BOC的面积是多少？ 【对应练习】 如下图，四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O点，已知AO＝1，并且，那么OC的长是多少？（单位：厘米） 【考点四】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题一：基本应用 方法点拨 1. 蝴蝶模型（梯形蝶形定理）。 蝴蝶模型其实是特殊的风筝模型，由于是在梯形中连接的两条对角线，因此被分成三角形中的左右两个形似蝴蝶的翅膀，所以被称为“蝴蝶模型”。 2. 解题方法。 （1）梯形两翼相等，即：； （2）； （3）梯形S的对应份数为。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 如图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC、BD交于O，已知△AOB与△BOC的面积分别为25平方厘米与40平方厘米，那么梯形ABCD的面积是多少平方厘米？ 【对应练习1】 如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC，BD交于O，已知△AOB与△BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是多少平方厘米？ 【对应练习2】 如图：梯形ABCD中，已知三角形CDO面积是12平方厘米，且BO＝2DO，梯形ABCD的面积是( )平方厘米。 【对应练习3】 如下图，在梯形ABCD中，三角形ABE的面积等于30平方厘米，BD＝4ED，梯形ABCD的面积是多少平方厘米？ 【考点五】蝴蝶模型（梯形蝶形定理）问题二：添加辅助线构建蝴蝶模型 方法点拨 解题方法。 （1）梯形两翼相等，即：； （2）； （3）梯形S的对应份数为。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 如图所示，已知正方形ABCD的边长是12厘米，E是CD边上的中点，连接对角线AC，交BE于点O，则△AOB的面积是多少平方厘米？ 【对应练习1】 如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，△DEF的面积是4cm²，△CED的面积6cm²。问：三角形BEC的面积是多少平方厘米？ 【对应练习2】 如图，已知长方形ABCD的面积为120平方厘米，且AE∶ED＝1∶2，那么S阴＝( )平方厘米。 【对应练习3】 如图，长方形被、分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形的面积为多少平方厘米． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $