（篇四）几何模型篇·等高模型【六大考点】-2025-2026学年五年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇 1.典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2.三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3.单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4.素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 第1页共12页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年五年级数学上册典型例题系列「2025秋] 几何模型篇•等高模型【六大考点】 第一篇章 专题解读篇 ⑧自专题名称 几何模型篇·等高模型 知专题内容 本专题以等高模型为主，其中包括六种典型问题。 @评价体系 基础：★：迁移：★★：综合：★★★：多维度：★★★★；重难点：★★★★★ 旦讲解建议 几何模型篇是用来专门总结小学数学几何模型的特别篇章，其中大多数涉及奥 数思维拓展内容，综合性极强，难度极大，因此，建议根据学生实际掌握情况 和总体水平，选择性讲解考点考题。 回考点数量 六大考点 第二篇章 考点导航篇 原【考点-】等高模型问题-：基础应用3 原【考点二】等高模型问题二：进阶应用4 只【考点三】等高模型问题三：利用中点构建多个等高模型（中点）5 具【考点四】等高模型问题四：利用三等分点构建多个等高模型（三等分点）.7 冥【考点五】等高模型问题五：多个等高模型的应用（多次等分） … .9 只【考点六】等高模型问题六：等高模型在分割图形中的应用… .11 第2页共12页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 第三篇章 典型例题篇 原【考点一】等高模型问题一：基础应用 职方法点拨 1. 等高棋型。 两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等， 因此，这个模型被称为等高模型”。 2.解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现： 三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 (1)等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 (2)若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 (3)若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 例：如图，如果DC=2BD,则三角形ADC的面积等于三角形ABD的2倍。 B D E 目考察形式 计算、应用 ③动态评价 ★★★★★ 吕【典型例题】 如图，BD长I2厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线长，三角形ABC底边BC边上 的高AE长9厘米。 (1)求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？ (2)求三角形ABC的面积是三角形ADC面积的多少倍？ 第3页共12页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 L 肥【对应练习】 如图，求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的几倍？三角形ABC的面积是三角形ADC 面积的几倍？ D 原【考点二】等高模型问题二：进阶应用 冥方法点拨 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现： 三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 (1)等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 (2)若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 (3)若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 目考察形式 计算、应用 過动态评价 ★★★★★ 侣【典型例题】 第4页共12页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 如图，在△ABC中，CD=2BD,SAABD=20cm2,求S△ABC。 B D C 肥《对应练习】 如图，在△ABC中，AD=2cm,CD=3cm,已知SAABD=12cm2,求S△ABC。 原【考点三】等高模型问题三：利用中点构建多个等高模型（中点） 方法点拨 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现： 三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 (1)等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 (2)若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 (3)若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 目考察形式 计算、应用 蜀动态评价 ★★★★★ 第5页共12页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 吕【典型例题】 如图，在△ABC中，BD-CD,AE-CE,已知SAABC=12cm2,求SADEC D 0【对应练习1】 如图，在△ABC中，BD=CD,AE=CE,已知SAABC-8cm2,求S△ADE 肥【对应练习2】 如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，已知SABDE=8c2, 求S△ABC 4 D 第6页共12页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习3】 如图，在△ABC中，BD-CD,DE⊥AB,BE-DE,AB=9cm,SAABC-=36cm2, 求SAADE. E D 原【考点四】等高模型问题四：利用三等分点构建多个等高模型（三等分点） 兵方法点拨 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高-2，从这个公式我们可以发现： 三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 (1)等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 (2)若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 (3)若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 目考察形式 计算、应用 過动态评价 ★★★★★ 吕【典型例题】 如图，在△ABC中，AD=CD,AE=3BE,己知SAABC=-144cm2,求SBDE. 第7页共12页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 0【对应练习1】 如图，在△ABC中，AD=CD,BE=3AE,已知SABDE=24cm2,求SAABC E D C 肥【对应练习2】 如图，在△ABC中，AD:CD=3:1,AE:BE=3:1,已知SAABC=48cm2,求SABDE D 肥【对应练习3】 如图，在△ABC中，CD=2BD,CE=3AE,已知S△ADE-6c2,求SAABC. 第8页共12页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 原【考点五】等高模型问题五：多个等高模型的应用（多次等分） 冥方法点拨 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现： 三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 (1)等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 (2)若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 (3)若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 目考察形式 计算、应用 蜀动态评价 ★★★★★ 吕【典型例题】 已知三角形ABC的面积为60平方厘米，D为BC中点，AE=2ED,F为EC的四等分点中靠 近C的一点，那么阴影三角形AEF的面积是多少平方厘米？ 肥《对应练习1】 将任意一个三角形的面积四等分，你有几种方法？ 第9页共12页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 0【对应练习2】 将任意一个三角形的面积五等分，你能找到两种方法吗？请你在下面图(1)、(2)中试试。 还有第三种、第四种方法吗！如果有，可以在图(2)旁边画画看。 (2 即【对应练习3】 如图，在三角形ABC中，D是边AB的中点，可知AD=BD,则三角形BCD与三角形ACD 的面积相等。 图① 图② 图③ (I)如图①，在三角形ABC中，D、E分别是AB和AC两边的中点。已知三角形ADE的面积 是2cm?,则三角形ABC的面积是( )cm2。 (2)如图②，在三角形ABC中，把AB边三等分、AC边四等分。已知三角形ADE的面积是2cm2, 则三角形ABC的面积是( )cn2。 (3)如图③，在平行四边形ABCD中，把AB边五等分、AD边六等分。已知平行四边形ABCD 的面积是15cm2,则三角形AEF的面积是( )cm2。 第10页共12页 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 2025-2026学年五年级数学上册典型例题系列「2025秋」 几何模型篇·等高模型【六大考点】 专题名称 几何模型篇·等高模型 专题内容 本专题以等高模型为主，其中包括六种典型问题。 评价体系 基础：；迁移：；综合：；多维度：；重难点： 讲解建议 几何模型篇是用来专门总结小学数学几何模型的特别篇章，其中大多数涉及奥数思维拓展内容，综合性极强，难度极大，因此，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解考点考题。 考点数量 六大考点 【考点一】等高模型问题一：基础应用 3 【考点二】等高模型问题二：进阶应用 4 【考点三】等高模型问题三：利用中点构建多个等高模型（中点） 5 【考点四】等高模型问题四：利用三等分点构建多个等高模型（三等分点） 7 【考点五】等高模型问题五：多个等高模型的应用（多次等分） 9 【考点六】等高模型问题六：等高模型在分割图形中的应用 11 【考点一】等高模型问题一：基础应用 方法点拨 1. 等高模型。 两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等，因此，这个模型被称为“等高模型”。 2. 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 例：如图，如果DC＝2BD，则三角形ADC的面积等于三角形ABD的2倍。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线长，三角形ABC底边BC边上的高AE长9厘米。 （1）求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？ （2）求三角形ABC的面积是三角形ADC面积的多少倍？ 【对应练习】 如图，求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的几倍？三角形ABC的面积是三角形ADC面积的几倍？ 【考点二】等高模型问题二：进阶应用 方法点拨 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 如图，在△ABC中，CD=2BD，S△ABD=20cm2，求S△ABC。 【对应练习】 如图，在△ABC中，AD=2cm，CD=3cm，已知S△ABD=12cm2，求S△ABC。 【考点三】等高模型问题三：利用中点构建多个等高模型（中点） 方法点拨 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 如图，在△ABC中，BD=CD，AE=CE，已知S△ABC=12cm2，求S△DEC 【对应练习1】 如图，在△ABC中，BD=CD，AE=CE，已知S△ABC=8cm2，求S△ADE 【对应练习2】 如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，已知S△BDE=8cm2， 求S△ABC. 【对应练习3】 如图，在△ABC中，BD=CD，DE⊥AB，BE=DE，AB=9cm，S△ABC=36cm2， 求S△ADE. 【考点四】等高模型问题四：利用三等分点构建多个等高模型（三等分点） 方法点拨 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 如图，在△ABC中，AD=CD，AE=3BE，已知S△ABC=144cm2，求S△BDE. 【对应练习1】 如图，在△ABC中，AD=CD，BE=3AE，已知S△BDE=24cm2，求S△ABC. 【对应练习2】 如图，在△ABC中，AD:CD=3:1，AE:BE=3:1，已知S△ABC=48cm2，求S△BDE. 【对应练习3】 如图，在△ABC中，CD=2BD，CE=3AE，已知S△ADE=6cm2，求S△ABC. 【考点五】等高模型问题五：多个等高模型的应用（多次等分） 方法点拨 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 已知三角形ABC的面积为60平方厘米，D为BC中点，AE＝2ED，F为EC的四等分点中靠近C的一点，那么阴影三角形AEF的面积是多少平方厘米？ 【对应练习1】 将任意一个三角形的面积四等分，你有几种方法？ 【对应练习2】 将任意一个三角形的面积五等分，你能找到两种方法吗？请你在下面图（1）、（2）中试试。还有第三种、第四种方法吗！如果有，可以在图（2）旁边画画看。 【对应练习3】 如图，在三角形ABC中，D是边AB的中点，可知AD＝BD，则三角形BCD与三角形ACD的面积相等。 (1)如图①，在三角形ABC中，D、E分别是AB和AC两边的中点。已知三角形ADE的面积是2cm2，则三角形ABC的面积是( )cm2。 (2)如图②，在三角形ABC中，把AB边三等分、AC边四等分。已知三角形ADE的面积是2cm2，则三角形ABC的面积是( )cm2。 (3)如图③，在平行四边形ABCD中，把AB边五等分、AD边六等分。已知平行四边形ABCD的面积是15cm2，则三角形AEF的面积是( )cm2。 【考点六】等高模型问题六：等高模型在分割图形中的应用 方法点拨 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 如图，在△ABC中，已知AB=12cm，AC=15cm，用折线把△ABC分割成面积相等的6个三角形，求出AG+AH。 【对应练习1】 如图，在△ABC中，AB=BC=12cm，用折线把△ABC分割成4个面积相等4小三角形，求BE+BF。 【对应练习2】 如图，在△ABC的边长都是24cm，用折线把△ABC分割成4个面积相等4小三角形，求BE+AF。 【对应练习3】 如图，在△ABC中，已知AB=BC=60cm，用折线把△ABC分成面积相等的5个三角形，求出BF+BG。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 2025-2026学年五年级数学上册典型例题系列「2025秋」 几何模型篇·等高模型【六大考点】 专题名称 几何模型篇·等高模型 专题内容 本专题以等高模型为主，其中包括六种典型问题。 评价体系 基础：；迁移：；综合：；多维度：；重难点： 讲解建议 几何模型篇是用来专门总结小学数学几何模型的特别篇章，其中大多数涉及奥数思维拓展内容，综合性极强，难度极大，因此，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解考点考题。 考点数量 六大考点 【考点一】等高模型问题一：基础应用 3 【考点二】等高模型问题二：进阶应用 5 【考点三】等高模型问题三：利用中点构建多个等高模型（中点） 6 【考点四】等高模型问题四：利用三等分点构建多个等高模型（三等分点） 8 【考点五】等高模型问题五：多个等高模型的应用（多次等分） 9 【考点六】等高模型问题六：等高模型在分割图形中的应用 14 【考点一】等高模型问题一：基础应用 方法点拨 1. 等高模型。 两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等，因此，这个模型被称为“等高模型”。 2. 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 例：如图，如果DC＝2BD，则三角形ADC的面积等于三角形ABD的2倍。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线长，三角形ABC底边BC边上的高AE长9厘米。 （1）求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？ （2）求三角形ABC的面积是三角形ADC面积的多少倍？ 解析： BD的长度是CD的3倍，而对于△ABD与△ADC高相等，所以△ABD的面积是△ADC的3倍。同理BC的长度是CD的4倍，所以△ABC的面积是△ADC的4倍。 【对应练习】 如图，求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的几倍？三角形ABC的面积是三角形ADC面积的几倍？ 解析： BD是CD的3倍。所以S△ABD=3S△ADC； BC是CD的4倍。所以S△ABC=4S△ADC 【考点二】等高模型问题二：进阶应用 方法点拨 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 如图，在△ABC中，CD=2BD，S△ABD=20cm2，求S△ABC。 解析：S△ABC=20×（1+2）=6（cm2） 【对应练习】 如图，在△ABC中，AD=2cm，CD=3cm，已知S△ABD=12cm2，求S△ABC。 解析：S△ABC=12÷2×（2+3）=30（cm2） 【考点三】等高模型问题三：利用中点构建多个等高模型（中点） 方法点拨 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 如图，在△ABC中，BD=CD，AE=CE，已知S△ABC=12cm2，求S△DEC 解析：S△CDE=12÷2÷2=3（cm2） 【对应练习1】 如图，在△ABC中，BD=CD，AE=CE，已知S△ABC=8cm2，求S△ADE 解析：S△ADE=8÷2÷2=2（cm2） 【对应练习2】 如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，已知S△BDE=8cm2， 求S△ABC. 解析：S△ACD=8×2×2=32（cm2） 【对应练习3】 如图，在△ABC中，BD=CD，DE⊥AB，BE=DE，AB=9cm，S△ABC=36cm2， 求S△ADE. 解析： S△ABD=36÷2=18（cm2） BE=DE=18×2÷9=4（cm） S△ADE=（9-4）×4÷2=10（cm2） 【考点四】等高模型问题四：利用三等分点构建多个等高模型（三等分点） 方法点拨 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 如图，在△ABC中，AD=CD，AE=3BE，已知S△ABC=144cm2，求S△BDE. 解析：S△BDE=144÷2÷（1+3）=18（cm2） 【对应练习1】 如图，在△ABC中，AD=CD，BE=3AE，已知S△BDE=24cm2，求S△ABC. 解析：S△ABC=24÷3×（1+3）×2=64（cm2） 【对应练习2】 如图，在△ABC中，AD:CD=3:1，AE:BE=3:1，已知S△ABC=48cm2，求S△BDE. 解析：S△BDE=48÷（1+3）×3÷（1+3）=9（cm2） 【对应练习3】 如图，在△ABC中，CD=2BD，CE=3AE，已知S△ADE=6cm2，求S△ABC. 解析：S△ABC=6×（1+3）÷2×（1+2）=36（cm2） 【考点五】等高模型问题五：多个等高模型的应用（多次等分） 方法点拨 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 已知三角形ABC的面积为60平方厘米，D为BC中点，AE＝2ED，F为EC的四等分点中靠近C的一点，那么阴影三角形AEF的面积是多少平方厘米？ 【答案】15平方厘米 【分析】三角形ABC和三角形ACD的高是相等的，且D是BC的中点，因此CD＝BC，所以三角形ACD的面积等于三角形ABC面积的；又因为三角形ACD和三角形ACE的高相等，且AE＝2ED，所以AE＝AD，因此三角形ACE的面积等于三角形ACD面积的；三角形ACE和三角形AEF的高相等，且F为EC的四等分点中靠近C的一点，因此EF＝CE，所以阴影三角形AEF的面积等于三角形ACE面积的，据此解答。 【详解】由分析得： 三角形ACD的面积：（平方厘米） 三角形ACE的面积：（平方厘米） 三角形AEF的面积：（平方厘米） 答：阴影三角形AEF的面积是15平方厘米。 【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，两个三角形的高相同时，一个三角形的底是另一个三角形底的几分之几，这个三角形的面积就是另一个三角形面积的几分之几。 【对应练习1】 将任意一个三角形的面积四等分，你有几种方法？ 【答案】 【详解】试题分析：将任意一条边四等分，利用等底等高的三角形面积相等可以解决；还可以利用线段的中点去做． 解：如图 方法1：在已知△ABC的任意一边（假设BC边）上取三个四等分点D，E，F，顺次连接AD，AE，AF，这样就将△ABC分成了面积相等的四个小三角形，如上面第一幅图． 方法2：在已知△ABC的任意一边（假设BC边）上取三个四等分点D，E，F，用实线连接AD，AE（或AD，AF或AE，AF），用虚线连接AF（或AE或AD），然后在AF（或AE或AD）上取中点G，用实线连GE，GC（或GD，GF或GB，GE），这样△ABC中的实线将其分成了四个面积相等的图形，如上面第二幅图． 点评：此题主要考查：①等底等高的三角形的面积相等；②等量加等量和相等． 【对应练习2】 将任意一个三角形的面积五等分，你能找到两种方法吗？请你在下面图（1）、（2）中试试。还有第三种、第四种方法吗！如果有，可以在图（2）旁边画画看。 【答案】见详解 【分析】利用等底等高的三角形面积相等，可以将三角形的一条边或三角形上的其他连线五等分，再与相对的顶点相连即可。 【详解】由分析可知，如图所示： 【点睛】此题主要考查等底等高的三角形面积相等。 【对应练习3】 如图，在三角形ABC中，D是边AB的中点，可知AD＝BD，则三角形BCD与三角形ACD的面积相等。 (1)如图①，在三角形ABC中，D、E分别是AB和AC两边的中点。已知三角形ADE的面积是2cm2，则三角形ABC的面积是( )cm2。 (2)如图②，在三角形ABC中，把AB边三等分、AC边四等分。已知三角形ADE的面积是2cm2，则三角形ABC的面积是( )cm2。 (3)如图③，在平行四边形ABCD中，把AB边五等分、AD边六等分。已知平行四边形ABCD的面积是15cm2，则三角形AEF的面积是( )cm2。 【答案】(1)8 (2)24 (3)0.25 【分析】（1）根据题意，推理出因为E是AC边的中点，所以三角形ADE的面积等于三角形CDE的面积。又因为D是AB边的中点，所以三角形BCD与三角形ACD的面积相等。那么用三角形ADE的面积乘2，先求出三角形ACD的面积。再将三角形ACD的面积乘2，即可求出三角形ABC的面积； （2）同理（1）可推出，把AC边四等分，那么三角形ADE的面积是三角形ACD面积的四分之一。把AB边三等分，那么三角形ACD是三角形ABC的三分之一。据此，将三角形ADE的面积先乘4，求出三角形ACD的面积。再将三角形ACD的面积乘3，求出三角形ABC的面积； （3）将平行四边形的面积除以2，先求出三角形ABD的面积。再将三角形ABD面积除以5，求出三角形ADE的面积。最后再将三角形ADE的面积除以6，即可求出三角形AEF的面积。 【详解】（1）2×2×2 ＝4×2 ＝8（cm2） 所以，此时三角形ABC的面积是8cm2。 （2）2×4×3 ＝8×3 ＝24（cm2） 所以，此时三角形ABC的面积是24cm2。 （3）15÷2÷5÷6 ＝7.5÷5÷6 ＝1.5÷6 ＝0.25（cm2） 所以，此时三角形AEF的面积是0.25cm2。 【点睛】本题考查了三角形的面积，解答本题的关键是理解题干中的理论，应用新方法去求三角形的面积。 【考点六】等高模型问题六：等高模型在分割图形中的应用 方法点拨 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 如图，在△ABC中，已知AB=12cm，AC=15cm，用折线把△ABC分割成面积相等的6个三角形，求出AG+AH。 解析： BD=12÷6=2（cm） AD=12-2=10（cm） CE=15÷5=3（cm） AE=15-3=12（cm） DF=10÷4=2.5（cm） AF=10-2.5=7.5（cm） GE=12÷3=4（cm） AG=12-4=8（cm） AH=FH=7.5÷2=3.75（cm） AG+AH=8+3.75=11.75（cm） 【对应练习1】 如图，在△ABC中，AB=BC=12cm，用折线把△ABC分割成4个面积相等4小三角形，求BE+BF。 解析： BD=12÷4×3=9（cm） BE=12÷3×2=8（cm） BF=9÷2=4.5（cm） BE+BF=8+4.5=12.5（cm） 【对应练习2】 如图，在△ABC的边长都是24cm，用折线把△ABC分割成4个面积相等4小三角形，求BE+AF。 解析： AD=24÷4=6（cm） BD=24÷4×3=18（cm） BE=24÷3×2=16（cm） DF=18÷2=9（cm） AF=6+9=15（cm） BE+AF=16+15=31（cm） 【对应练习3】 如图，在△ABC中，已知AB=BC=60cm，用折线把△ABC分成面积相等的5个三角形，求出BF+BG。 解析： BD=（cm） BE=（cm） BF= （cm） BG= （cm） BF+BG=32+22.5=54.5（cm） 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇 1.典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2.三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3.单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4.素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 第1页共16页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年五年级数学上册典型例题系列「2025秋] 几何模型篇•等高模型【六大考点】 第一篇章 专题解读篇 ⑧自专题名称 几何模型篇·等高模型 知专题内容 本专题以等高模型为主，其中包括六种典型问题。 @评价体系 基础：★：迁移：★★：综合：★★★：多维度：★★★★；重难点：★★★★★ 旦讲解建议 几何模型篇是用来专门总结小学数学几何模型的特别篇章，其中大多数涉及奥 数思维拓展内容，综合性极强，难度极大，因此，建议根据学生实际掌握情况 和总体水平，选择性讲解考点考题。 回考点数量 六大考点 第二篇章 考点导航篇 原【考点-】等高模型问题-：基础应用3 原【考点二】等高模型问题二：进阶应用5 只【考点三】等高模型问题三：利用中点构建多个等高模型（中点）6 具【考点四】等高模型问题四：利用三等分点构建多个等高模型（三等分点）8 冥【考点五】等高模型问题五：多个等高模型的应用（多次等分） 只【考点六】等高模型问题六：等高模型在分割图形中的应用…。 .14 第2页共16页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 第三篇章 典型例题篇 原【考点一】等高模型问题一：基础应用 职方法点拨 1. 等高棋型。 两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等， 因此，这个模型被称为等高模型”。 2.解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现： 三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 (1)等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 (2)若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 (3)若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 例：如图，如果DC=2BD,则三角形ADC的面积等于三角形ABD的2倍。 B D E 目考察形式 计算、应用 ③动态评价 ★★★★★ 吕【典型例题】 如图，BD长I2厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线长，三角形ABC底边BC边上 的高AE长9厘米。 (1)求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？ (2)求三角形ABC的面积是三角形ADC面积的多少倍？ 第3页共16页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 解析： BD的长度是CD的3倍，而对于△ABD与△ADC高相等，所以△ABD的面积是△ADC的3 倍。同理BC的长度是CD的4倍，所以△ABC的面积是△ADC的4倍。 肥【对应练习】 如图，求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的几倍？三角形ABC的面积是三角形ADC 面积的几倍？ B 6 解析： BD是CD的3倍。所以S△ABD=3S△ADC: BC是CD的4倍。所以S△ABC-4S△ADC 第4页共16页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 原【考点二】等高模型问题二：进阶应用 冥方法点拨 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高：2，从这个公式我们可以发现： 三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 (1)等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 (2)若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 (3)若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 目考察形式 计算、应用 蜀动态评价 ★★★★★ 吕【典型例题】 如图，在△ABC中，CD=2BD,SAABD=20cm2,求S△ABC。 B D C 解析：SAABC-20×(1+2)=6(cm2) 肥【对应练习】 如图，在△ABC中，AD=2cm,CD=3cm,己知SAABD-=12cm2,求S△ABC。 D B C 解析：SABc=12÷2×(2+3)=30(cm2) 第5页共16页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 原【考点三】等高模型问题三：利用中点构建多个等高模型（中点） 冥方法点拨 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现： 三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 (1)等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 (2)若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 (3)若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 目考察形式 计算、应用 蜀动态评价 ★★★★★ 吕【典型例题】 如图，在△ABC中，BD=CD,AE-CE,已知SAABC=-l2cm2,求SADEC D 解析：SACDE-=12-2÷2=3(cm2) 职【对应练习1】 如图，在△ABC中，BD=CD,AECE,已知SAABC=8cm2,求SAADE D 解析：SADE8÷2÷2=2(cm2) 肥【对应练习2】 第6页共16页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，已知S△BDE=8cm, 求S△ABC. B D C 解析：SAcD=8×2×2=32(cm2) 即【对应练习3】 如图，在△ABC中，BD=CD,DE⊥AB,BE=DE,AB=9cm,SAABC-=36cn2, 求SAADE. B D C 解析： S△ABD=36÷2=18(cn2) BE=DE=18×2÷9=4(cm) S△ADE=(9-4)×4÷2=10(cm2) 第7页共16页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 原【考点四】等高模型问题四：利用三等分点构建多个等高模型（三等分点） 冥方法点拨 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现： 三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 (1)等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 (2)若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 (3)若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 目考察形式 计算、应用 蜀动态评价 ★★★★★ 吕【典型例题】 如图，在△ABC中，AD=CD,AE=3BE,己知SAABC=-144cm2,求SBDE. C 解析：SBDE144:2(1+3)=18(cm2) 肥【对应练习1】 如图，在△ABC中，AD=CD,BE=3AE,己知SABDE=24cm2,求S△ABC D 解析：S△ABc=24÷3×(1+3)×2=64(cm2) 第8页共16页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 0【对应练习2】 如图，在△ABC中，AD:CD=3:1,AE:BE=3:1,已知SAABC=48cm2,求SABDE y D B C 解析：SBDE=48÷(1+3)×3÷(1+3)9(cm2) 肥【对应练习3】 如图，在△ABC中，CD=2BD,CE=3AE,已知SAADE=6cm2,求SAABC. 解析：SAABC--6×(1+3)÷2×(1+2)=36(cm2) 具【考点五】等高模型问题五：多个等高模型的应用（多次等分） 冥方法点拨 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现： 三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 (1)等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 (2)若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 (3)若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍， 那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 目考察形式 计算、应用 過动态评价 ★★★★★ 第9页共16页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 吕【典型例题】 已知三角形ABC的面积为60平方厘米，D为BC中点，AE=2ED,F为EC的四等分点中靠 近C的一点，那么阴影三角形AEF的面积是多少平方厘米？ D 【答案】15平方厘米 【分析】三角形ABC和三角形ACD的高是相等的，且D是BC的中点，因此CD=BC,所 以三角形ACD的面积等于三角形ABC面积的，：又因为三角形ACD和三角形ACE的高相 等，且AE=2ED,所以AE=AD,因此三角形ACE的面积等于三角形ACD面积的子：三 角形ACE和三角形AP的高相等，且P为EC的四等分点中靠近C的一点，因此EP=CE, 所以阴影三角形AEF的面积等于三角形ACE面积的子，据此解答。 【详解】由分析得： 三角形ACD的面积： ×60=30（平方厘米） 2 三角形ACE的面积： 2×30=20(平方厘米) 三角形AEF的面积：三×20=15（平方厘米） 答：阴影三角形AEF的面积是15平方厘米。 【点晴】本题考查三角形面积公式的应用，两个三角形的高相同时，一个三角形的底是另一个 三角形底的几分之几，这个三角形的面积就是另一个三角形面积的几分之几。 肥【对应练习1】 将任意一个三角形的面积四等分，你有几种方法？ 第10页共16页