2.1直线的倾斜角与斜率讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦直线的倾斜角与斜率核心知识点，系统梳理倾斜角的定义及范围，通过正切函数建立倾斜角与斜率的关联，结合两点坐标推导斜率公式，进而探究方向向量与斜率的关系，最终归纳两条直线平行与垂直的判定条件，形成递进式学习支架。 以探究活动为载体，通过表格分析倾斜角与斜率的范围关系培养几何直观，例题从基础计算到范围判断（如线段AB与直线l的公共点问题）提升推理与运算能力，用符号语言表达直线关系强化数学语言应用。课中助力教师引导探究，课后变式练习帮助学生查漏补缺。

人教A版选择性必修一第二章《直线与圆的方程》学历案 2.1直线的倾斜角与斜率 【探究一：倾斜角与斜率】 1.直线的倾斜角：当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴________与直线________之间所成角叫做直线的倾斜角。当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0o 直线倾斜角范围：_______________ 确定一条直线的几何要素：直线上的一个________以及它的_________ 2.倾斜角与直线上两点坐标的关系：已知直线l的倾斜角与直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),(x1≠x2)的坐标关系如下：_____________________ 3.直线的斜率：我们把一条直线的倾斜角的____________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示.即k=_____________ 画出正切函数在的图像并填写下列表格： 图示 倾斜角（范围） 斜率（范围） 倾斜角与斜率相关结论： (1)所有的直线都有__________,但并不是所有直线都有_________,当直线的倾斜角是_____时，直线的斜率不存在. (2)当直线的倾斜角满足时，斜率____0，且倾斜角越大，斜率越_____. 当直线的倾斜角满足时，斜率____0，且倾斜角越大，斜率越_____. (3)熟记范围内的特殊角的正切值. 倾斜角 斜率 4.直线的方向向量与斜率的关系： 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的一个方向向量为__________________, 特别地,当x1≠x2时,也是直线的方向向量,所以当直线的斜率k存在时,直线的一个方向向量为____________;若直线的一个方向向量为(x,y)(x≠0)时,直线的斜率k=_____________ 例1(计算直线的倾斜角与斜率)：判断下列直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α. (1)经过A(2，3)，B(4，5)； (2)经过C(－2，3)，D(2，－1)； (3)经过P(－3，1)，Q(－3，10)； (4)直线l的一个方向向量为； (5)直线l的一个方向向量为. 变式1:若A(2，－3)，B(4,3)，C(5，k)三点在同一条直线上，则实数k＝________. 例2(倾斜角与斜率的范围判断)：已知两点A(－3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点. (1)求直线l的倾斜角α的取值范围; (2)求直线l的斜率k的取值范围. 变式1：完成下列填空 变式2：已知两点，直线与直线AB相交，则直线的斜率的取值范围为__________________ 例3(型取值范围问题)：点在函数的图像上，当时，求的取值范围. 变式1：已知实数满足，求的取值范围. 变式2：若点在以为顶点的的内部运动（不包含边界），则的取值范围为_____________ 【探究二：两条直线平行与垂直的判定】 1.两条不重合直线平行的判定：l1∥l2⇔____________________________（若未说明不重合，需检验是否重合） 2.两条直线垂直的判定：l1⊥l2⇔______________________________________________________ 例1(概念判断)：设直线，的斜率分别为、，下列命题正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例2(平行与垂直的判定)： (1)根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系： ①l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)； ②l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2)； ③l1经过点E(0，1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3，4)，H(2，3)． (2)已知A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)，试判断△ABC的形状 (3) 已知直线l1的斜率为a，，求直线l2的斜率. 变式1:已知直线l1过点A(1,2),其方向向量为a1=(k,2),直线l2过点B(2,1),其方向向量为a2=,若l1∥l2,则k=(　　) A. -2　　B.1　　C.-2或1　　D.0或2 变式2:已知直线l1的一个方向向量为(b,a),直线l2的一个方向向量为(1-a,2),其中a,b为正数,若l1⊥l2,则3a+2b的最小值为　　　　.  变式3：已知两点A(2,0),B(3,4),直线l过点B,交y轴于点C(0,y),O是坐标原点,如果O,A,B,C四点共圆,那么y的值是(　　) A.19　　B.　　C.5　　D.4 例3(平行与垂直在几何中的应用)： 已知点A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状． 变式1:已知点A(1,0)，B(3,1)，C(2，－1)，求点D的坐标，使四边形ABCD是菱形． 变式2:已知点A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，且四边形ABCD为直角梯形，求点D的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $