6.2 反比例函数的图象与性质（第2课时）(教学设计）数学北师大版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦反比例函数的图象性质与k的几何意义，通过回顾反比例函数图象组成、象限分布及对称性，结合作图观察共同特征，搭建从一次函数基础到反比例函数增减规律探究的学习支架。 以探究式教学为主线，通过观察k>0/k<0时的图象归纳增减性，结合取点作垂线围矩形推导k的几何意义，培养学生数学眼光与推理意识。分层练习覆盖性质判断、面积计算等，助力教师实施差异化教学，提升学生抽象能力与几何直观。

6.2 反比例函数的图象与性质 （第2课时）教学设计 1.教学内容 本节选自北师大版九年级上册第六章“反比例函数”第2课时，重点研究函数 y =的图象及性质，并在此基础上探讨 k 的几何意义及综合运用。 2.内容解析 反比例函数的图象由两支双曲线组成：当 k>0 时图象位于第一、三象限并随 x 增大而 y 减小；当 k<0 时图象位于第二、四象限并随 x 增大而 y 增大。系数 k 还关联坐标图形面积计算，难点在于综合反比例函数与一次函数求解。 1.教学目标 •掌握反比例函数的图象和性质。 •能够初步应用反比例函数的图象和性质解题。 •理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中。 •能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题。 2.目标解析 • 通过绘制图象与观察，理解反比例函数在不同象限的分布与增减性。 • 结合几何作图，掌握矩形面积恒定与 k 的关系，并在解题中灵活运用。 • 利用函数方程组，熟悉反比例函数与一次函数综合运用的方法。 3.重点难点 • 教学重点：反比例函数图象的增减规律及 k 的面积意义。 • 教学难点：综合运用函数性质与几何思想，解决反比例函数与一次函数的交点及相关面积问题。 学生已掌握一次函数、正比例函数的基础，对函数图象的形状与增减性有初步了解，但对 k 的几何意义认识不足，需通过实例理解。在探究反比例函数与一次函数综合应用时，可能对建立方程组和几何转化存在困难，需要适当的示范和引导。 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾： ①反比例函数 y ＝的图象是由__________组成的. 当 k ＞0时，两支曲线分别位于__________象限内； 当 k ＜0时，两支曲线分别位于__________象限内. 解：两支曲线；第一、三；第二、四. 注：这两支曲线通常称为双曲线. ②反比例函数图象的对称性： 反比例函数图象______(是、不是)中心对称图形，如果是，对称中心为______；反比例函数图象 (是、不是)轴对称图形，如果是，对称轴为______. 解：是；坐标原点；是；直线 y ＝ x 和直线 y ＝－ x . 2.情景引入 教师提问：画出反比例函数y=,y=,y=的图象. 学生思考并讨论： 教师提问：你能发现它们共同的特征吗？ 【设计意图】通过简单回顾和作图，引导学生聚焦于“反比例函数图象与性质”的核心问题，并在图象和对称性问题上产生思考，为深入探究反比例函数的规律性奠定基础。 探究点1：反比例函数的性质 1.问题引入： 观察反比例函数y=,y=,y=的图象，回答下列问题： （1）函数图象分别位于哪几个象限内？ 解：它们的函数图象都分别位于第一、三象限内． （2）在每一个象限内，随着 x 值的增大，y 的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？ 解：在每一个象限内，y 的值随着x值的增大而减小． 因为三个函数的k值都大于0，x增大时，减小，即y的值减小. 从三个函数的图象也可以看出，在每一个象限内，图象从左到右是下降的，因此y 的值随着 x 值的增大而减小. 2.议一议 考察当 k = -2，-4，-6 时，反比例函数 y =的图象（如图），它们有哪些共同特征？ （1）函数图象分别位于哪几个象限内？ 解：它们的k都小于0，函数图象的两支曲线分别位于第二、四象限． （2）在每一象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的？ 解：在每一象限内，y的值随着x值的增大而增大. 思考:反比例函数的增减性由什么决定？ 3.知识归纳 反比例函数图象的增减性： 反比例函数 y =的图象所在的象限和增减性由k的正负决定： (1)当k＞0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小； (2)当k＜0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大． 4.练一练 ①下列函数：①y=； ②y=； ③y=−； ④y=−中 （1）图象位于二、四象限的有______； （2）在第二象限内，y 随 x 的增大而增大的有______； （3）在第一象限内，y 随 x 的增大而减小的有______． 解：③ ④； ③ ④； ① ②. ② 已知反比例函数y =的图象过点(-2,-3)，函数图象上有两点A(2,)，B(5,) ,C(-8,) ,则与、的大小关系为 ( ) A.> > B.< < C. > > D.不能确定 解：已知反比例函数过点（-2，-3），所以可知k > 0 ,可判断 >0， > 0， ＜ 0. 由概念可知,当k >0时，在每个象限内，y随x的增大而减小，所以 >>0>.所以选C. 【注意】反比例函数的增减性不是连续的，都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号. 【设计意图】通过作图观察与例题应用，让学生认识反比例函数在不同象限的分布特点和增减规律。以此培养学生对函数图象特征的辨析能力，为后续综合应用打下扎实基础。 探究点2：反比例函数解析式中k的几何意义 1.想一想 ①在反比例函数y=的图象上分别取点P，Q向x轴、y轴作垂线，围成的矩形面积分别为，的矩形，填写表格： y= 的值 的值 与的关系 猜想与k的关系 P（2,2）Q（4,1） 解： y= 的值 的值 与的关系 猜想与k的关系 P（2,2）Q（4,1） 4 4 = ==k ②在反比例函数y=−的图象上分别取点P，Q向x轴、y轴作垂线，围成的矩形面积分别为，的矩形，填写表格： y=- 的值 的值 与的关系 猜想与k的关系 P（-2,2） Q（-4,1） 解： y=- 的值 的值 与的关系 猜想与k的关系 P（-2,2） Q（-4,1） 4 4 = ==-k ③在一个任意一个反比例函数y=的图象上任取两点P，Q.过点P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为；过点Q分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为． 与有什么关系？为什么？ 解：==|k|. 设P的坐标为(a,b)，Q的坐标为(m,n). ∵=PA∙PB=|a|∙|b|=ab=|k|. =QD∙QC=|m|∙|n|=mn=|k|. ∴==|k|. 2.知识归纳 反比例函数解析式中k的几何意义： 对于反比例函数 y =，点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA 垂直于 y 轴，作QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ的面积与 k 的关系是S矩形AOBQ=|k|. 推理：△QAO与△QBO的面积和k的关系是S△QAO=S△QBO=. 特别说明：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. 3.练一练 如图，在函数y ＝的图象上有三点A、B 、 C，过这三点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为 ，，，则（ ） A. >> B.<< C.== D.<< 解：C 4.典例分析 例1 如图，反比例函数y＝的图象的一支在第一象限. （1）求k的取值范围. 解：(1)∵反比例函数y＝ 的图象的一支在第一象限， ∴k－2＞0，解得k＞2. （2）在这个函数图象的某一支上任取两点A（，），B（，），如果－x2＞0，那么和有怎样的大小关系？ 解：∵k－2＞0， ∴反比例函数y＝ 在每一个象限内，y都随x的增大而减小. ∵－＞0， ∴＞， ∴＜. 例2 如图，反比例函数y＝ 的图象经过点A（4，m），AB⊥x轴，垂足为B，且△AOB的面积为2. （1） 求k和m的值. 解：（1） ∵ 点A在反比例函数y＝ 的图象上，AB⊥x轴，垂足为B，△AOB的面积为2， ∴ 易得k＝4. ∴ 反比例函数的表达式为y＝ . ∵ 点A（4，m）在反比例函数y＝ 的图象上， ∴ m＝ ＝1. （2） 若点C（n，t）也在反比例函数y＝ 的图象上，当－3≤n≤－1时，求t的取值范围. 解：（2） 对于y＝ ，当x＝－3时，y＝－ ；当x＝－1时，y＝－4. ∵ k＝4＞0， ∴ 当x＜0时，y随x的增大而减小. ∴ 当－3≤n≤－1时，t的取值范围是－4≤t≤－ . 【设计意图】本探究点强调对的面积几何意义理解，帮助学生在数形结合的情境中进一步稳固反比例函数的解析式特点，与坐标轴间的恒定面积关系，也为后续将“面积与其他函数”综合问题做好铺垫。 1．已知点（a，b）在函数y＝－ 的图象上，则下列说法中，错误的是（　　） A. 当x＜0时，y随x的增大而增大 B. 图象位于第二、四象限 C. 点（b，a）和点（－b，－a）都在该函数图象上 D. 当x＜－1时，y＜3 解：D． 2.反比例函数图象的一支如图，△POM的面积为2，则该函数的解析式是 (　 　) A.y= B.y= C.y=- D.y=- 解：D． 3.如果反比例函数y=的图象在所在的每个象限内y都是随着x的增大而减小,那么m的取值范围是 (　 　) A.m>　　　　 　B.m< C.m≤ D.m≥ 解：B. 4.点A(-3, ),B(-1,),C(2,)都在反比例函数y=−的图象上,则,,的大小关系是 (　 　) A.<< B.<< C.<< D.<< 解：C. 5.点 (2，) 和 (3，) 均在函数y＝−的图象上，则 ______ (填“＞”“＜”或“=”). 解：＜. 6.如图，点P是第二象限内的一点，且在反比例函数y＝的图象上，过点P作PA⊥x轴于点A，若△PAO的面积为5，则k的值为____. 解：－10. 7.已知反比例函数在每个象限内，y 随着 x 的增大而减小，则 m 的值为____． 解：3. 8.点A(，)，B(，)，C(，)都在反比例函数y＝−的图象上，若＜＜0＜，则，， 的大小关系是________． 解：＜＜. 9.已知反比例函数y＝的图象经过点 A (2，－4). (1) 求 k 的值； 解：(1)∵ 反比例函数y＝的图象经过点 A(2，－4)， ∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得-4＝， 解得 k = －8. (2) 点 B (1，－8) ，C (－3，5)是否在该函数的图象上？ 解：(2)由(1)得该反比例函数的解析式为y＝−. ∵将x=1代入上式得y＝−=-8，将x=-3代入上式得y＝−=≠5， ∴点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数的图象上. 10.如图,在平面直角坐标系中,将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位长度得到点A,过点A作y轴的平行线交反比例函数y＝的图象于点B,AB＝. （1） 求反比例函数的表达式. 解：（1） 由题意，得点B的坐标为(−2，) . 把B(−2，) 代入y＝ ，得k＝－2× ＝－3. ∴ 反比例函数的表达式为y＝－. （2） 若P（，），Q（，）是该反比例函数图象上的两点，且＜，＞，直接写出点P，Q分别位于哪个象限. 解：（2） 点P在第二象限，点Q在第四象限. 【设计意图】本部分练习题从基础到综合，涵盖了反比例函数图象位置与增减性判断、几何意义（矩形面积、三角形面积）及与一次函数简单结合的多种类型，使学生通过自主练习巩固知识点，培养分析与推理能力。教师可视课堂情况择题讲评，引导学生及时总结反思。 主板书 6.2 反比例函数的图象与性质 （第2课时） 探究点1 反比例函数的性质 探究点 2 反比例函数解析式中k的几何意义 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 1. 必做题：习题6.2第1-3题。 2. 探究性作业：习题6.2第4-5题。 学科网（北京）股份有限公司 $