6.1反比例函数 (教学设计）数学北师大版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦反比例函数概念及解析式确定，通过压强与受力面积、电流与电阻等生活实例导入，衔接一次函数、正比例函数旧知，搭建知识迁移支架，引导学生从变量关系中抽象函数模型。 亮点在于以生活实例驱动概念建构，通过电压电流、高铁行程等问题链引导观察归纳，渗透抽象能力与模型意识。采用待定系数法解决表格及实际问题，强化推理意识，助力学生掌握建模方法，为教师提供兼具情境性与逻辑性的教学方案。

6.1反比例函数 教学设计 1.教学内容 本课以北师大版九年级上册第六章“反比例函数”第一节为主要内容，重点通过实例（如压强与受力面积、电流与电阻、速度与时间等）揭示反比例函数 y= 的定义及应用。教学旨在帮助学生理解反比例模型的特点，培养用函数表达实际问题的意识和能力。 2.内容解析 在已有“一次函数”“正比例函数”认知基础上，本节从具体情境出发，引导学生观察变量积为常数、商为常数时的对应关系，进而归纳出反比例函数的概念及其多种表达形式。通过简单建模练习，学生能将实际情境中的相关量转化为反比例函数，体会此模型的普遍性。 1.教学目标 •理解并掌握反比例函数的概念。 •从实际问题中抽象出反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式。 2.目标解析 • 通过观察现实情境与表达式，掌握反比例函数的定义与自变量取值范围，形成函数概念迁移能力。 • 通过待定系数法等方法，理解并熟练确定反比例函数解析式，解决简单建模问题，提升数学应用能力。 3.重点难点 • 教学重点：反比例函数概念及形式掌握。 • 教学难点：从实际问题中提炼并求出反比例函数解析式。 学生已具备一次函数、正比例函数等基础，对函数与方程建模方法较熟悉。但在认识变量积为常数的反比例关系时，易混淆与正比例、一次函数的区别。需通过实例对比与演练，引导学生深化对函数概念的理解并掌握建模技巧。 创设情景，引入新课 问题情境： 1.章节导读 教师提问：当人和木板对地面的压力一定时，随着木板面积的变化，人和木板对地面的压强将如何变化？亮度可调节的台灯，当电压一定时，怎样通过调节电阻来控制电流的变化从而改变灯光的明暗？……这其中的数量关系具有怎样的共同特征？ 教师引入：本章将研究反比例函数．与一次函数一样，反比例函数也是描述很多现实问题中变量之间关系的重要数学模型． 2.知识回顾 ① 函数的定义是什么？ 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有______的值与其对应，那么我们就说x是_______，y是x的_______. ②我们学过哪些函数？ 一次函数： 一般地，形如_______的函数叫做一次函数.当b=0 时，一次函数y=kx就叫做_______函数. 学生回答：①唯一确定；自变量；函数.②y=kx+b(k,b是常数，k≠0)；正比例 3.情景引入 亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻来控制电流的变化实现．因为当电流 I 较小时，灯光较暗；反之，当电流 I 较大时，灯光较亮. 教师提问：你知道电流 I、电阻 R、电压 U 之间满足怎样的关系式吗？ 学生思考并讨论：电流 I、电阻 R、电压 U 之间满足关系式 U = IR． 【设计意图】通过情境和旧知识的回顾，帮助学生唤起对函数概念及一次函数特点的记忆，为接下来认识反比例函数做好铺垫。同时结合生活情境（如台灯、电流）激发学生的好奇心，让他们意识到数学与生活的紧密联系，明确学习方向并产生探究新知识的动机。 探究点1：反比例函数的定义 1.新知探究： 问题1：关系式U = IR 中，当 U =220 V 时， （1）你能用含有 R 的代数式表示 I 吗？ （2）利用写出的关系式完成下表： 当 R 越来越大时，I 怎样变化？当 R 越来越小呢？ （3）变量 I 是 R 的函数吗？为什么？ 解：（1） （2） （3）变量 I 是 R 的函数，根据函数的定义，对于R的每一个确定的值，I都有唯一确定的值与其对应，因此 I 是 R 的函数. 问题2：京沪高速铁路全长约为 1 318 km， 列车沿京沪高速铁路从上海驶往北京，列车行完全程所需要的时间 t（h）与行驶的平均速度 v（km/h）之间有怎样的关系？变量 t 是 v 的函数吗？为什么？ 解： 变量 t 是 v 的函数. 根据函数的定义，对于v的每一个确定的值，t都有唯一确定的值与其对应，因此 t 是 v 的函数. 教师提问：你还能举出类似的实例吗？与同伴进行交流. 2.举例分析 ①某住宅小区要种植一块面积为1 000的矩形草坪，草坪的长y(单位:m)随宽x (单位:m)的变化而变化. 解：y=. ②一个三角形的面积为15c，三角形的底 y (单位:cm)随高 h (单位:cm)的变化而变化. 解：因为 yh=15 所以 y=. 3.新知探究 上述问题中我们得到四个函数关系式： ；；y=；y= 教师提问：观察上面的函数关系式，它们形式上有什么的共同点? 学生思考并讨论:它们都具有y=的形式，其中k是非零常数。 4.新知归纳 反比例函数的定义: 一般地，如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=（k为常数， k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数. 教师提问：思考：反比例函数y=(k为常数，k≠0) 的自变量 x 的取值范围是什么？ 学生思考并讨论：因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是 x≠0. 5.想一想 教师提问：反比例函数除了可以用y=(k为常数，k≠0) 的形式表示，还有没有其他表达方式？ 学生思考并讨论： 反比例函数的其他表达方式： xy=k(k为常数，k≠0) y=k(k为常数，k≠0) 6.练一练 在下列函数表达式中，哪些函数表示y是x的反比例函数？ 解：（2）（3）（4）（6）（7）（8）表示y是x的反比例函数. 7.方法归纳 反比例函数的判断方法: 判断一个函数是否是反比例函数，关键看它能否写成y＝（k是常数，k≠0）或xy＝k（k≠0）或y=k（k≠0）这样的形式，即两个变量的积是不是一个非零常数.如果两个变量的积是一个不为0的常数，则这两个变量就成反比例关系；否则便不成反比例关系. 【设计意图】该环节围绕反比例函数定义，从电压电流、高铁行程等实际情境出发，通过问题探究、实例分析引导学生抽象出函数共同形式，归纳定义、三种表达形式及自变量取值范围，结合练一练明确判断方法，既衔接旧知（函数定义）、构建完整知识体系，又锻炼学生观察归纳能力，借助生活实例激发学习兴趣，为后续性质学习铺垫。 探究点2：建立简单的反比例函数模型 1.做一做 ①一个矩形的面积为 20 ，相邻的两条边长分别为 x cm 和 y cm，那么变量 y 是变量 x 的函数吗？是反比例函数吗？为什么？ 解：变量 y 是变量 x 的函数，且是反比例函数. 理由：根据矩形面积公式， xy=20， 即y=, 根据反比例函数的定义可得 y 是 x 的反比例函数. ②某村有耕地 346.2 ，人口数量 n 逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积 m（ /人）是全村人口数 n 的函数吗？是反比例函数吗？ 为什么？ 解：该村人均占有耕地面积 m 是全村人口数 n 的函数,且是反比例函数. 理由：根据题意，得 m=, 根据反比例函数的定义可得 m 是 n 的反比例函数. ③y 是 x 的反比例函数，下表给出了 x 与 y 的一些值. （1）写出这个反比例函数的表达式； （2）根据函数表达式完成上表． 解：(1)∵y 是 x 的反比例函数，∴设y＝（k≠0）， 从表格中可知，当x=-1时，y=2， 将其代入y＝中，可得2=，解得k=-2, ∴设y＝−. (2)如下表所示. 2.新知归纳 待定系数法求反比例函数解析式： 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： ①设：设出含有待定系数的反比例函数解析式，例如y＝（k≠0）； ②代：将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程； ③解：方程，求出待定系数； ④写：出反比例函数解析式. 3.想一想 教师提问：上述问题中，自变量能取哪些值？ 学生思考并讨论：在问题1中，因为矩形的边长不能为0或负数，所以自变量x﹥0. 在问题2中，因为n是指全村人口数，所以自变量n为正整数. 在问题3中，因为y＝−，所以自变量x≠0. 教师总结：注意:反比例函数的自变量取值范围是全体非零实数，但在解决实际问题的过程中，自变量的取值范围要根据实际情况来确定.解题过程中应该注意对题意的正确理解. 4.练一练 用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系： ①平行四边形的面积是35，它的一边长l随这边上的高h的变化而变化； ②某小区绿地总面积是400 ,该小区的人均绿地面积数y随人口数x的变化而变化. 解：（1）l=(h>0）；（2） y=(x>0）. 5.典例分析 例1 若函数是反比例函数，求 k的值，并写出该反比例函数的解析式. 解：因为是反比例函数， 所以4－=0，k－2≠0 解得 k =－2. 所以该反比例函数的解析式为 例2 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x=2时，y=6. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 x=4 时，求 y 的值. 解：（1）设y＝（k≠0） 因为当 x=2时，y=6，所以6= 解得 k =12. 所以 y= (2)把 x=4 代入y＝，得 y＝=3. 【设计意图】该环节通过矩形面积、人均耕地等实际问题及表格信息，引导学生判断反比例函数、运用待定系数法求解析式，结合实例明确实际情境中自变量的取值范围，再通过练一练和典例巩固知识，既强化反比例函数定义的应用，又培养学生建模能力与实际问题解决能力，为后续深入学习反比例函数性质筑牢基础。 1. 生活中有许多反比例函数的例子，在下面的实例中，x 和 y 成反比例函数关系的有 ( ) ① x人共饮水10 kg，平均每人饮水 y kg；②底面半径为 x m，高为 y m的圆柱形水桶的体积为10 m3；③用铁丝做一个圆，铁丝的长为 x cm，做成圆的半径为 y cm；④在水龙头前放满一桶水，出水的速度为 x，放满一桶水的时间 y. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 解：B 2. 下列函数中，y是x的反比例函数的是 ( ) A. y=− B. y=− C. y= D.y=1− 解：A 3.若函数y=是反比例函数，则m的值为（ ） A.-1 B.1 C.2或-2 D.-1或1 解：B 4.反比例函数y=(k≠0),若x=时,y=4,则k等于(　　) A.         B.4           C.4        D. 解：C 5.已知函数y=是反比例函数，则 k 必须满足_______ . 解：k≠2 且 k≠－1 6.当m=_______时，y=是反比例函数. 解：±1 7.写出下列各题中两个相关量之间的函数关系式，并指出函数的类别. (1)商场推出分期付款购电脑活动，每台电脑12 000元，首付4 000元，以后每月付y元，x个月全部付清，则y与x的关系式为______，是______函数. (2)某种灯泡的使用寿命为1 000小时，它的使用天数y与平均每天使用的小时数x之间的关系式为______，是______函数. (3)设三角形的底边、底边上的高、面积分别为a，h，S. 当a＝10时，S与h的关系式为______，是______函数； 当S＝18时，a与h的关系式为______，是______函数. 解：(1)y=，反比例；(2)y=，反比例；(3)S＝5h，正比例；a=，反比例。 8.已知一个长方体水箱的体积为1000立方厘米，它的长是y厘米（y>25），宽是25厘米，高是x厘米. （1）写出用高表示长的函数关系式； （2）写出自变量x的取值范围. 解：（1）根据题意，可得y＝， 化简，得 y＝； （2）根据题意可知自变量x的取值范围为0＜x＜. 9. 已知 y 与 x+1 成反比例，并且当 x = 3 时，y = 4. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 x = 7 时，求 y 的值． 解：(1) 设 ，因为当 x = 3 时，y =4 ， 所以有，解得 k =16，因此. (2) 当 x = 7 时， 【设计意图】以上内容是在学生初步掌握了反比例函数概念与解析式求法后，对基础练习进行归纳与巩固。利用“巩固练习”中的多元化题型，循序渐进地加深理解、培养解题技能、发展数学应用意识。 主板书 6.1反比例函数 探究点1 反比例函数的定义 探究点 2 建立简单的反比例函数模型 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 1. 必做题：习题6.1第1-3题。 2. 探究性作业：习题6.1第4题。 学科网（北京）股份有限公司 $