5.1投影（第1课时）（教学设计）数学北师大版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦投影与中心投影概念，通过生活中影子现象（如窗框、皮影）创设情境，引导学生从日常认知出发，经问题讨论建立数学概念联系，搭建从具象到抽象的学习支架。 此资料亮点在于融合数学眼光、思维与语言，通过手电筒照射实验让学生观察影子变化，抽象出中心投影定义，培养空间观念；结合典例分析归纳“近短远长”特点，提升应用意识。为教师提供清晰探究脉络与分层习题，助力学生夯实基础，发展数学素养。

5.1 投影 第一课时 教学设计 1.教学内容 本课为北师大版九年级上册第五章《投影与视图》第1课时“投影”。本节聚焦投影与中心投影基本概念，探讨影子与物体的对应关系，利用中心投影性质作图与解题。 2.内容解析 通过观察、实验与讨论，让学生理解投影面的作用及“光源—物体—影子”三者在中心投影中的直线关系，培养他们对灯光下影子长短变化的量化认识，进而掌握应用方法。 1.教学目标 •了解投影和中心投影的含义，体会灯光下物体影子的生活应用。 •能根据灯光辨别物体影子，初步进行中心投影条件下物体与投影的转化。 2.目标解析 •强调概念形成及与实际生活的联结。 •突出实验观察与实践操作，通过归纳抽象，提升空间想象与应用能力。 3.重点难点 •教学重点：投影及中心投影概念。 •教学难点：实现点光源位置的确定与影子作图的准确转化。 学生对影子的日常认知丰富，但缺乏数学化分析。通过直观实验演示与讨论，可降低抽象难度，帮助学生深刻理解投影本质，突破确定光源位置和作图的难点 创设情景，引入新课 问题情境： 教师演示：影子是我们司空见惯的，但你知道数学中是如何描述它们的吗？从某一角度看物体，将所见物体的轮廓形状图用平面图形画出来，这其实就是“视图”．蒙古包可以看成怎样的几何体？你能画出它的视图吗？ 学生思考并讨论：稍作思考并回应，谈谈对影子的直观感受． 教师提问：在日常生活中，我们可以看到各种各样的影子．你能说一下，下面的物体的影子是怎么形成的吗？ 学生思考并讨论：太阳光照射在窗框、长椅等物体上时，会在墙壁或地面上留下影子；而皮影和手影都是在灯光照射下形成的影子． 【设计意图】通过呈现生活中的常见影子，引导学生回忆与影子相关的日常经验，激发他们的兴趣，为后续投影概念及中心投影的学习做好铺垫。 探究点1：投影的概念 1.新知探究 教师提问：请同学们思考，你知道物体与影子有什么关系吗？ 学生思考并讨论：物体在日光或灯光的照射下，会在地面、墙壁等处形成影子，影子与物体的形状有密切的关系． 教师提问：物体和它的影子如此密切，在数学中影子是物体的什么呢？ 2.交流讨论，共同总结得： 物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象．影子所在的平面称为投影面 3.习题练习 下列现象不属于投影的是( ) A. 皮影 B. 素描画 C. 手影 D. 树影 解：B 【设计意图】通过辨析生活实例，学生对“投影”这一概念形成初步认识，进而懂得“投影面”“光源”等要素，为后续的“中心投影”或其他投影形式的学习埋下伏笔。 探究点 2：中心投影的概念 1.做一做： 取一些长短不等的小棒及三角形、矩形纸片，用手电筒去照射这些小棒和纸片. 教师提问：固定手电筒，改变小棒或纸片的摆放位置和方向，它们的影子分别发生了什么变化？ 学生思考并讨论：影子的形状、大小、方向都会随小棒或纸片的摆放变化而改变。 教师提问：固定小棒和纸片，改变手电筒的摆放位置和方向，它们的影子发生了什么变化？ 学生思考并讨论：手电筒（光源）的位置和照射方向改变时，小棒和纸片的影子会在大小、方向、形状上发生明显变化。 2.知识精讲 手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影．点到直线的距离转化成点与点(垂足)的距离． 3.习题练习 下列光线形成的投影不是中心投影的是( ) A. 太阳光线 B. 台灯的光线 C. 手电筒的光线 D. 路灯的光线 解：A. 【设计意图】结合操作体验进行知识精讲，将手电筒、路灯等具体光源的光线特征提炼为“从一个点发出”，自然引出中心投影的定义，实现从具象到抽象的过渡，帮助学生精准理解概念本质。 探究点3：中心投影的性质 1.典例分析 例 确定图中路灯灯泡所在的位置. 解：如图所示，过一根木杆的顶端及其影子的顶端画一条直线，再过另一根木杆的顶端及其影子的顶端画一条直线，两线相交于点O．点O就是路灯灯泡所在的位置． 2.新知归纳 中心投影的性质： 同一时刻，点光源、物体上的点及其影子上的对应点在同一直线上. 中心投影寻找光源的方法： 分别在每个物体上选2个顶点，找到它们影子的对应顶点，连接每组 “物体顶点与影子顶点” 形成光线直线，两条直线的交点即为光源. 【设计意图】通过具象的典例解析，帮助学生建立“由影子倒推光源位置”的思维逻辑，实现对中心投影性质从“理解”到“应用”的转化，提升其几何作图与问题解决能力。 探究点4：中心投影的特点 1.议一议 如图 ，一个广场中央有一盏路灯． 教师提问：高矮相同的两个人在这盏路灯下的影子一定一样长吗？如果不一定，那么什么情况下他们的影子一样长？ 学生思考并讨论：不一定一样长,只有在距离路灯的距离相等时候影子才会一样长. 教师提问：高矮不同的两个人在这盏路灯下的影子有可能一样长吗？请实际试一试，并与同伴交流. 学生思考并讨论：身高不同的两人，只要高个子离路灯更近，矮个子离路灯更远，通过调整两者到路灯的距离，就能让他们的影子长度相等。 2.知识归纳 中心投影的特点： 在灯光下，垂直于地面的物体离点光源距离近时，影子短，离光源远时影子长. 3.练一练 如图,晚上小亮在路灯下散步,在小亮由A处径直走到B处这一过程中,他在地上的影子( ) A.逐渐变短 B.先变短后变长 C.先变长后变短 D.逐渐变长 解：B 4.典例分析 例 同一时刻，两根木棒的影子如图，请画出图中另一根木棒的影子. 解：如图所示，NH就是所求另一根木棒的影子. 【设计意图】基于讨论结果进行知识归纳，将具象的现象提炼为“近短远长”的核心特点，实现从实践感知到理论总结的升华，帮助学生精准把握中心投影的本质规律。 1.下面属于中心投影的是 ( ) A. 太阳光下的树影 B. 皮影戏 C. 月光下房屋的影子 D. 海上日出 解：B． 2.晚上，人在马路上走过一盏路灯的过程中，其影子长度的变化情况是( ) A. 先变短后变长 B. 先变长后变短 C. 逐渐变短 D. 逐渐变长 解：A. 3．如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面形成阴影的示意图．已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面 1 米．若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（　　） A.0.36π平方米 B.0.81π平方米 C.3.24π平方米 D.2π平方米 解：B． 4．灯光下的两根小木棒A和B，它们竖直放置时的影长分别为lA和lB.若lA＞lB，则它们的高度hA和hB满足(　 　) A. hA ＞ hB B. hA ＜ hB C. hA ≥ hB D. 无法确定 解：D. 5.身高相同的甲、乙两人分别距同一路灯2米、3米，路灯亮时，甲的影子比乙的影子______. 解：短 6.小军晚上到广场去玩，他发现有两人的影子一个向东，一个向西，于是他肯定地说：“广场上的大灯泡一定位于两人_________”． 解：中间 7.小玲和小芳两人身高相同，两人站在灯光下的不同位置，已知小玲的影子比小芳的影子长，则可以判定小芳离灯光较______.（填“远”或“近”） . 解：近 8.确定图中路灯灯泡所在的位置. 解：过一根木杆的顶端作一条直线，再过另一根木杆的顶端作一条直线，两直线交于一点O.点O就是路灯灯泡所在的位置. 9.确定图中路灯灯泡的位置，并画出小赵在灯光下的影子． 解：如图 【设计意图】本部分从基础题入手，帮助学生进一步夯实对于投影和中心投影概念的理解与应用，包括识别投影、比较影子长短、确定光源位置、作图等技能。所选试题难度适中，既能巩固所学知识，又能增强学生的动手实践与思维转化能力。 主板书 5.1投影 探究点1 投影的概念 探究点2 中心投影的概念 探究点3 中心投影的性质 探究点4 中心投影的特点 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 1. 必做题：习题5.1第1-2题。 2. 探究性作业：习题5.1第3题。 学科网（北京）股份有限公司 $