专题 4.4 一次函数的应用（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年北师大版八年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题 4.3 一次函数的图象 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 一、新知引入： 1 （一）知识点一：用待定系数法求正比例函数的解析式 2 【题型1】用待定系数法求正比例函数的表达式 2 （二）知识点二：用待定系数法求一次函数的解析式 2 【题型2】用待定系数法求一次函数的表达式 3 （三）知识点三：一次函数与坐标轴交点坐标 3 【题型3】一次函数与坐标轴交点坐标 3 （四）知识点四：一次函数的实际应用 4 【题型4】分配方案问题 4 【题型5】最大利润问题 5 【题型6】行程问题 6 【题型7】梯度计价问题 7 【题型8】其他问题 8 【题型九】一次函数与几何综合 9 二．同步练习 10 【基础巩固（16题）】 10 【能力提升（16题）】 15 一.知识梳理与题型分类精析 一、新知引入： 【例题1】（23-24八年级上·全国·课前预习）物体沿一个斜坡下滑，它的速度v（m/s）与其下滑时间t（s）的关系如图所示． （1）写出v与t之间的关系式； （2）下滑3秒时物体的速度是多少？ 思考·交流 确定正比例函数的表达式需要几个条件? 答：确定正比例函数的表达式只需1个条件。 （一）知识点一：用待定系数法求正比例函数的解析式 1．正比例函数的定义式为，式中只有一个未知系数． 2．只要给出一组的对应值（或函数图像上一个点的坐标）就能代入解析式求出的值，进而确定正比例函数的表达式． 【题型1】用待定系数法求正比例函数的表达式 【例题2】（24-25八年级上·四川成都·期中）若正比例函数图象上一点到y轴与到x轴距离之比是，则此函数的解析式为 ． 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知正比例函数的图象经过点，，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·河南商丘·期中）若正比例函数图象经过点，则该图象上另一个点B的坐标可以为 ． 思考·交流 确定一次函数的表达式需要几个条件? 答：一次函数表达式为:,含有两个未知系数、因此需要2个条件（如两个点的坐标）才能确定表达式。但是还没有学习二元一次方程组之前，条件中往往可以已知、中的一个值． （二）知识点二：用待定系数法求一次函数的解析式 1．代入已知系数：写出，代入已知，得到仅含一个未知系数的表达式； 2．代入点的坐标：选取函数经过的一个点代入上一步的表达式； 3．解一元一次方程求未知系数：通过方程求出未知的； 4．写出解析式：将两个系数代入得到最终表达式。 【题型2】用待定系数法求一次函数的表达式 【例题2】（20-21八年级上·陕西咸阳·期末）已知一次函数（k为常数，且）的图象经过点. （1）求一次函数的表达式； （2）写出一次函数图象沿y轴向下平移3个单位后的图象对应的函数表达式. 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一次函数，当x增加3时，y减少2，则该一次函数的表达式是 ． 【变式2】（23-24七年级上·山东济宁·期末）已知一次函数的图像与直线平行，并且经过点，那么这个一次函数的解析式是 ． （三）知识点三：一次函数与坐标轴交点坐标 1．一次函数，中，则得到和轴交点坐标为； 2．一次函数，中，则得到和轴交点坐标为. 【题型3】一次函数与坐标轴交点坐标 【例题3】（24-25八年级下·广东云浮·期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A和点B． （1）求点A和点B的坐标； （2）若点C在y轴上且位于点B上方，的面积为6，求点C的坐标． 【变式1】（2025·陕西咸阳·二模）一个正比例函数的图象经过点和，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为 （   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，则的面积为 ． （四）知识点四：一次函数的实际应用 【题型4】分配方案问题 核心：围绕资源、任务分配，建立一次函数模型，结合实际约束（如整数、范围限制）分析可行或最优分配方案。 应用场景：人员调配、物资分配等，通过设变量、列函数式，结合取值范围求解。 【例题4】（25-26八年级上·全国·课后作业）某游泳馆夏季开展宣传营销活动，设计了以下两种套餐活动： 套餐一：每次收费10元，不收其他费用； 套餐二：交120元购买会员卡后，每次游泳收费m元． 设小明游泳次数为x，按照套餐一所需费用为（单位：元），按照套餐二所需费用为（单位：元），两函数图象如下图所示． （1）直接写出和关于x的函数表达式与m的值 （2）若小明暑假期间准备游泳的次数x满足，则他选择哪个套餐所需要的费用较少？ 【变式1】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）A城有肥料，B城有肥料．现要把这些肥料全部运往C，D两乡．从A城往C，D两乡运肥料的费用分别为元/t和元/t；从B城往C，D两乡运肥料的费用分别为元/t和元/t．现C乡需要肥料，D乡需要肥料， （1）设从A城调运x吨肥料到C乡（），补充完整下列表格 A地 B地 C地 x ② D地 ① ③ ①     ②     ③ （2）怎样调运，可使总运费最少？请写出具体方案及计算过程 【变式2】（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）“工欲善其事，必先利其器”．某校为开好劳动教育课准备购置一批劳动工具，学校与店主商量后，店主给出了以下两种购买方案（二选一）： 方案一劳动工具元件，运费元； 方案二劳动工具元件，免费送货上门． 若学校购买件劳动工具，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元． （1）请分别写出与之间的函数解析式； （2）请你为该学校选择合适的购买方案． 【题型5】最大利润问题 核心：构建利润的一次函数模型（利润 =（单价 - 成本）× 数量 + 固定项），利用一次函数增减性（由k符号决定）确定最大利润的自变量取值。 应用场景：商品销售、生产经营等，结合销量与价格的关联求最大利润。 【例题5】（2024九年级·陕西西安·专题练习）港务区苗木种植专业户老王承包了30亩地，分别种植柏树苗和松树苗，有关成本、销售额见下表： 种植种类 成本（万元/亩） 销售额（万元/亩） 柏树苗 2.4 3 松树苗 2 2.5 设种植柏树苗x亩，出售柏树苗和松树苗的总利润为y万元． （1）求y与x的函数表达式； （2）今年，他继续用这30亩地全部种柏树苗和松树苗，计划投入成本不超过70万元，若每亩的种植成本和销售额不变，他应如何安排种植才能获得最大收益？（收益＝销售额﹣成本） 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）某无人机配件销售公司有A和B两种配件，其进价和售价如表． 种类 A配件 B配件 进价（元件） a 80 售价（元件） 300 100 已知用12800元可购进A配件40件和B配件30件． （1）求的值； （2）若该无人机配件销售公司某次购进A种配件和B种配件共300件，并全部售出，且本次销售获得的总利润为y元，购进的A种配件为x件． （）请写出y与x之间的函数表达式；（利润售价－进价） （）根据市场销售分析，B种配件购进件数不低于A种配件的2倍，问怎样购进配件才能使本次销售获得的总利润最大？最大总利润是多少元？ 【变式2】（23-24八年级下·宁夏吴忠·期末）某商场计划用不超过1800元购进甲、乙两种不同品牌的水杯共50个，已知甲、乙两种品牌水杯的进价和售价如下表所示： 价格\品牌 甲品牌水杯 乙品牌水杯 进价（元/个） 40 30 售价（元/个） 50 35 设购进甲品牌水杯x个，两种品牌的水杯全部销售完后可获利y元． （1）写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）采用怎样的购进方案可以使获利最多，最多为多少? 【题型6】行程问题 核心：以路程、速度、时间为变量，建立一次函数表示物体运动轨迹（如距离 - 时间函数），分析相遇、追及、运动时间 / 路程等。 应用场景：两物体追及 / 相遇、单个物体匀速运动分析，通过函数解析式或图像求解关键量。 【例题6】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）甲、乙两车分别从相距360千米的、两地同时相向出发，甲车到达地，停留1小时后，返回地，返回时速度是原速的倍，乙车匀速从地驶往地．如图表示甲、乙两车距地的路程（千米）与两车行驶时间（小时）的函数关系． （1）乙车的速度是______千米/时，甲车返回时的速度是______千米/时； （2）求甲车从地返回地的过程中，与的函数解析式，写出自变量的取值范围； （3）出发多少小时后，行驶中的甲、乙两车相距260千米？请直接写出答案． 【变式1】（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）2025年9月3日，在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵中，某徒步方队从距离起点的位置开始，以的速度匀速前进，请直接写出该方队与起点的距离与时间之间的函数表达式，并求时该方队与起点的距离． 【变式2】（25-26八年级上·安徽·阶段练习）近些年来，我国自主研发的新能源汽车品牌呈现出迅猛的发展态势，2024年我国新能源汽车年销量为1200余万辆，小丽家购买了一辆新能源车，搭载100度电池包，五一期间，一家人开车到距家250千米的景点旅游，出发前，车辆电量显示，当行驶200千米时，发现电量显示为（假设行驶过程中汽车的耗电量是均匀的）． （1）求该车平均每千米的耗电量（度）； （2）写出剩余电量Q（度）与行驶路程x（千米）之间的关系式； （3）当电池显示低于时，车辆将自动报警，若往返途中不充电，他们能否在车辆报警前回到家？请说明理由． 【题型7】梯度计价问题 核心：针对分段计价场景（水、电、通讯费等），建立分段一次函数模型，根据用量 / 时长判断区间，计算费用或求解未知量。 应用场景：生活中的阶梯收费项目，明确不同区间计价规则后综合求解。 【例题7】（25-26八年级上·全国·期中）某市出租车收费标准为，两公里付起步价9元，超过两公里但是不超过八公里的路程每公里付2元，超过八公里的路程每公里付3元（不足一公里按照一公里计算，如2.3公里按照3公里收费），设出租车行驶路程为，应付车费为． （1）写出当为整数（）时，车费与行驶路程的函数关系式； （2）若小明要乘坐出租车去距家7.2公里的电影院看电影，应付给司机多少钱？ 【变式1】（2026·江西·模拟预测）新考法结合函数图象考查一次函数的应用学校计划在某体育用品专营店购买一些体育用品，该体育用品店有如下两种优惠方案： 方案一：办理一张成本价为10元的会员卡，所有商品按原价a折出售； 方案二：一次购买商品总额不超过b元时，按原价付款，超过b元时超过的部分享受七折优惠． 设需要购买的体育用品的原价总额为x元，按方案一购买需付款 元，按方案二购买需付款元，已知 关于x的函数图象如图所示． （1）a的值为 ，b 的值为 ． （2）若选择方案一购买更合算，求x的取值范围． （3）当选择方案一和方案二的实际付款金额相差20元时，求x的值． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）某收费自习室策划了A，B两种收费方式如下表： 收费方式 月使用费/元 包时自习室时间/h 超时费/（元/h） A 12 40 0.5 B m n 0.6 设每月使用自习室的时间为xh，方案A，B的收费金额分别为元．下图所示的是与x之间函数关系的图象． （1）请根据图象填空：_______，_______． （2）与之间的函数关系式为_______． （3）如果每月使用自习室的时间为60h，选择哪种收费方式合算？请说明理由． 【题型8】其他问题 核心：涵盖用料、生产效率等场景，提炼变量间一次函数关系，结合实际条件解决问题。 应用场景：材料使用优化、生产任务时间分析等，本质是建立并应用一次函数模型。 【例题8】（25-26八年级上·吉林·阶段练习）将长为的长方形白纸，按如图所示的方法黏合起来，黏合部分宽． （1）求5张白纸黏合后的长度． （2）设x张白纸黏合后的总长度为，写出y与x之间的函数关系式． （3）当黏合后的总长度为时，请问这是由几张白纸黏合而成的． 【变式1】（2025·四川广元·模拟预测）“双十一”期间，某网店开展了促销活动，购买原价超过300元的商品，超过300元的部分可享受打折优惠．如果购买的商品实际付款（元）与原价（元）之间的函数关系如图所示，则超过300元的部分可享受的打折优惠是（   ） A．打八折 B．打七折 C．打六折 D．打五折 【变式2】（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度（单位：）与滑行时间（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，则飞机在着陆后滑行 停下． 【题型九】一次函数与几何综合 核心：将一次函数与几何图形（直线、三角形等）结合，涉及函数交点坐标、图形面积 / 周长与函数的关系，或利用几何性质求函数解析式。 应用场景：求函数图像与坐标轴围成的图形面积，或已知几何条件求一次函数的k、b等。 【例题9】（25-26九年级上·天津·开学考试）如图1，一次函数的图象与坐标轴交于点平分交轴于点，垂足为D． （1）点的坐标为___________，点的坐标为___________； （2）点D的坐标为___________ （3）如图2，点是线段上的一点，点是线段上的一点，求的最小值． 【变式1】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，，，，动点从点出发，以每秒个单位长的速度向右移动，且经过点的直线：也随之移动，设移动时间为秒，若与线段有公共点，则的取值范围为 ． 二．同步练习 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·山东聊城·开学考试）年月日一个加油站号汽油的价格为元/升，下面图象（    ）能表示出王老师当天加油总价和数量之间的关系． A． B． C． 2．（25-26九年级上·天津红桥·阶段练习）如图，一农户要建一个矩形牛舍．牛舍的一边利用住房得的墙，另外三边用25长的建筑材料围成，为方便进出，在边上留一个1宽的门．若设的长为y，的长为x，则y与x之间的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·期中）如图，正方形放置在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，已知点的坐标分别为，当直线与线段有交点时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）某超市从批发市场购进若干千克西瓜销售，在销售了40千克之后，余下的每千克降价0.5元全部售完，西瓜售完后超市获利62元．销售金额（元）与售出西瓜的千克数（千克）之间的关系如图所示，下列结论正确的是（    ） A．降价后西瓜的单价为1.6元/千克 B．超市共购进了50千克西瓜 C．降价后超市获得的利润为16元 D．西瓜的进价为0.8元/千克 5．（24-25八年级下·全国·期末）如图①，在中，，点D是的中点，动点P从点C出发沿C→A→B运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图②，则的长为（    ） A．12 B． C． D．10 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知点的坐标为，点分别是某函数图象与轴、轴的交点，点是此图象上的一动点，设点的横坐标为的长为，且与之间满足关系：，则结论：①；②；③；④，正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①③ C．①②④ D．③④ 二、填空题 7．（2024·江苏淮安·中考真题）一辆轿车从A地驶向B地，设出发后，这辆轿车离B地的距离为．已知y与x之间的函数表达式为，则轿车从A地到达B地所用时间是 h． 8．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段练习）生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度与观察时间（天）的关系，画出如图所示的函数图象（轴），则该植物在第35天的高度为 cm． 9．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）西安市出租车价格是这样规定的：不超过3千米，付车费元，超过的部分按每千米2元收费．已知李老师乘出租车行驶了千米，付车费y元，则所付车费y（元）与出租车行驶的路程x（千米）之间的关系式为 ．（不要求写出自变量x的取值范围） 10．（23-24七年级上·福建福州·开学考试）甲和乙在一次赛跑中，路程与时间的关系如图所示，那么下列结论正确的是 ．（填序号）①甲比乙先出发；②甲比乙先到终点；③甲速是乙速的2倍；④甲、乙所行路程一样多． 11．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点 在轴正半轴上，点在轴正半轴上，，若直线与线段有公共点，则 的取值范围是 ． 12．（10-11八年级上·江苏·阶段练习）我国现行个人工资薪金税征收办法规定：月收入高于800元但不超过1300元的部分征收的所得税……如某人某月收入1160元，他应缴个人工资薪金所得税为（元） ①当月收入大于800元而又小于1300元时，写出应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式 ； ②某人某月收入为960元，他应缴所得税 元； ③如果某人本月缴所得税元，那么此人本月工资薪金是 元． 三、解答题 13．（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、． （1）求点A、B的坐标； （2）若点在轴上，且，求点的坐标． 14．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段练习）一台拖拉机在开始工作前，油箱中有油，开始工作后，每小时耗油． （1）写出油箱中的剩余油量与工作时间之间的函数关系式，并指出其中的自变量和函数． （2）工作后，油箱中的剩余油量为多少升？ 15．（24-25八年级上·全国·课后作业）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x次，所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题： （1）分别求出选择这两种卡消费时，所需费用、元关于入园次数x次的函数表达式； （2）当消费多少次时，甲、乙两种消费卡的费用相同？ （3）若进入生态体验园15次，采用哪种方式比较划算？ 16．（24-25九年级上·广东韶关·期中）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克．经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克，设每千克涨价元，销售量为千克． （1）求出与的函数关系； （2）当涨价多少元时，该商场每天获得的利润最大？最大利润为多少元？ 17．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）甲、乙两辆摩托车从相距的，两地相向而行，图中，分别表示甲、乙两辆摩托车离地的距离与行驶时间之间的函数关系．求： （1）请写出，的函数关系式． （2）何时甲摩托车离地的距离大于乙摩托车离地的距离？ 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·广西南宁·期末）根据下表中一次函数的自变量与函数值部分的对应值， 判断方程的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）西苑、竹林两个水站分别存水600吨、1400 吨，东区、西区分别用水1200吨、800吨，需要从西苑、竹林两个水站调运，由西苑水站到东、西两区的运费分别为6元/吨、5元/吨；由竹林水站到东、西两区的运费分别为9元/吨、6元/吨，则总运费最少需要多少元？（   ） A．13500 B．13600 C．13800 D．14000 3．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）某市出租车收费标准如下：起步价元（以内，包含），超出部分每千米加收元（不足按计算）．设乘坐出租车行驶（为正整数且）的费用为元，则关于的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川广元·模拟预测）“双十一”期间，某网店开展了促销活动，购买原价超过300元的商品，超过300元的部分可享受打折优惠．如果购买的商品实际付款（元）与原价（元）之间的函数关系如图所示，则超过300元的部分可享受的打折优惠是（   ） A．打八折 B．打七折 C．打六折 D．打五折 5．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图．在平面直角坐标系中，点，，，…和、、，…分别在直线和x轴上，，，，… 都是等腰直角三角形，其中，…为其直角顶点，如果点，那么的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，甲车到B地后立即返回A地，若两车行驶时速度保持不变，如图是两车离A地的距离y与所用时间x的函数关系图象．下列说法错误的是（    ） A．甲车从A地到B地时间为分钟 B．甲车速度是乙车速度的倍 C．甲车行驶路程是乙车的2倍 D．甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为分钟 二、填空题 7．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）在弹性限度内，一个弹簧秤的弹簧长度与所挂物体质量满足一次函数．若在该弹簧秤上挂物体A后弹簧的长度比挂上物体B后弹簧的长度大，则物体A比B重 ． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，．若是轴上一点，且的面积为5，则点的坐标为 ． 9．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）瓦房店市许屯镇拥有百余年的苹果生产历史，镇上的万亩苹果进入了成熟季．小李想在许屯镇某果园购买一些苹果，经了解该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购买15斤以上，超过15斤部分的苹果的价格打8折．设小李在该果园购买苹果x斤，付款金额为y元，则y与x之间的函数关系式为 ． 10．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，正方形（边分别与坐标轴平行）顶点A，C坐标分别为，．若直线与正方形有公共点，则的取值范围为 ． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）周末，小光一家人准备去体育中心，爸爸为了锻炼身体骑自行车以15的速度先从家出发，15后妈妈开车带着小光从家出发沿同一路线追赶，爸爸到达3后，妈妈带着小光赶到，如图是小光一家所走路程与爸爸的出发时间的函数关系图象，则在第25时，小光和爸爸相距 ． 12．（2025·山东淄博·模拟预测）如图，折线描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离与行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是 ． 汽车在行驶途中停留了小时； 汽车在整个行驶过程的平均速度是； 汽车共行驶了； 汽车出发离出发地． 三、解答题 13．（2023八年级上·全国·竞赛）如图，在一条平直公路的前方有一陡峭的山壁，一辆汽车正以恒定的速度沿着公路向山壁驶去． （1）若汽车的行驶速度是，在距离山壁处时汽车鸣笛一声，则经过多长时间后司机听到回声？ （2）某一时刻，汽车第一次鸣笛，经过再次鸣笛．若司机听到两次鸣笛的回声的时间间隔是，求汽车的行驶速度．（已知声音在空气中的传播速度是．） 14．（19-20八年级下·云南红河·期末）“一方有难，八方支援”，我州为支援武汉抗击新冠肺炎，准备将A县的蔬菜200吨和B县的蔬菜300吨运往武汉的C区和D区．现确定运往C区和D区的蔬菜分别是240吨和260吨．已知从A、B两县运蔬菜到C、D两区的运费（元/吨）如下表所示，设A县运往C区的蔬菜为x吨， A B C 20 15 D 25 24 （1）用含x的代数式填空：A县运往D区的蔬菜吨数为________，B县运往C区的蔬菜吨数为________，B县运往D区的蔬菜吨数为________． （2）用含x（吨）的代数式表示总运费W（元），并设计怎样调运可使总运费最少？ 15．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）某市自来水采用分段收费标准．设居民每月应交水费y（元），用水量x（立方米）． 用水量x（立方米） 应交水费y（元） 不超过12立方米 每立方米3.5元 超过12立方米 超过的部分每立方米4.5元 （1）求每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式； （2）若某户居民某月交水费78元，则该户居民用水多少立方米？ 16．（24-25九年级上·江苏南通·期中）我们知道，当一条直线与一个圆有两个公共点时，称这条直线与这个圆相交．类似的，我们定义：当一条直线与一个正方形有两个公共点时，称这条直线与这个正方形相交． 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点为、、、． （1）判断直线与正方形是否相交，并说明理由； （2）设d是点O到直线的距离，若直线与正方形相交，求d的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.3 一次函数的图象 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 一、新知引入： 1 （一）知识点一：用待定系数法求正比例函数的解析式 2 【题型1】用待定系数法求正比例函数的表达式 2 （二）知识点二：用待定系数法求一次函数的解析式 4 【题型2】用待定系数法求一次函数的表达式 4 （三）知识点三：一次函数与坐标轴交点坐标 6 【题型3】一次函数与坐标轴交点坐标 6 （四）知识点四：一次函数的实际应用 8 【题型4】分配方案问题 8 【题型5】最大利润问题 10 【题型6】行程问题 14 【题型7】梯度计价问题 16 【题型8】其他问题 19 【题型九】一次函数与几何综合 21 二．同步练习​ 25 【基础巩固（16题）】 25 【能力提升（16题）】 38 一.知识梳理与题型分类精析 一、新知引入： 【例题1】（23-24八年级上·全国·课前预习）物体沿一个斜坡下滑，它的速度v（m/s）与其下滑时间t（s）的关系如图所示． （1）写出v与t之间的关系式； （2）下滑3秒时物体的速度是多少？ 【答案】（1）v＝t；（2） m/s 解：（1）v＝． （2）当t＝3时，v＝×3＝．所以下滑3秒时物体的速度是 m/s． 【点拨】要求v与t之间的关系式，首先应观察图象，确定函数的类型，然后根据函数的类型设它对应的表达式，再把已知点的坐标代入表达式求出待定系数即可． 思考·交流 确定正比例函数的表达式需要几个条件? 答：确定正比例函数的表达式只需1个条件。 （一）知识点一：用待定系数法求正比例函数的解析式 1．正比例函数的定义式为，式中只有一个未知系数． 2．只要给出一组的对应值（或函数图像上一个点的坐标）就能代入解析式求出的值，进而确定正比例函数的表达式． 【题型1】用待定系数法求正比例函数的表达式 【例题2】（24-25八年级上·四川成都·期中）若正比例函数图象上一点到y轴与到x轴距离之比是，则此函数的解析式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查求正比例函数的解析式，设解析式为，设点的坐标为，根据点到坐标轴的距离之比为，即：，得到，即可得出结果． 解：设解析式为， ∵正比例函数图象上一点到y轴与到x轴距离之比是，设该点坐标为：， ∴， ∴， ∴， ∴解析式为或． 故答案为：或 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知正比例函数的图象经过点，，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正比例的图象与性质，涉及解一元一次方程等知识．根据题意，将代入并解方程求出，得到，把代入即可得到答案． 解：∵正比例函数的图象经过点， ， 解得， ∴ 把代入得到， ， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级下·河南商丘·期中）若正比例函数图象经过点，则该图象上另一个点B的坐标可以为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式以及利用正比例函数解析式求图象上点的坐标． 根据点的坐标利用待定系数法即可求出正比例函数解析式，再把代入，解之即可得出结论． 解：设正比例函数的表达式为， ∵正比例函数的图象经过点， ∴ ∴ 当时，得 ∴该图象上另一个点B的坐标可以为． 故答案是：（答案不唯一）． 思考·交流 确定一次函数的表达式需要几个条件? 答：一次函数表达式为:,含有两个未知系数、因此需要2个条件（如两个点的坐标）才能确定表达式。但是还没有学习二元一次方程组之前，条件中往往可以已知、中的一个值． （二）知识点二：用待定系数法求一次函数的解析式 1．正比例函数的定义式为，式中只有一个未知系数． 2．只要给出一组的对应值（或函数图像上一个点的坐标）就能代入解析式求出的值，进而确定正比例函数的表达式． 【题型2】用待定系数法求一次函数的表达式 【例题2】（20-21八年级上·陕西咸阳·期末）已知一次函数（k为常数，且）的图象经过点. （1）求一次函数的表达式； （2）写出一次函数图象沿y轴向下平移3个单位后的图象对应的函数表达式. 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了求一次函数的解析式及一次函数图象的平移规律，熟练掌握求一次函数的解析式及一次函数图象的平移规律是解题的关键． （1）将点的坐标代入计算即可； （2）根据一次函数图象的上下平移规律计算即可． 解：（1）解：一次函数（k为常数，且）的图象经过点， ∴， 解得， 即该一次函数的表达式为； （2）解：一次函数图象沿y轴向下平移3个单位后所得图象对应的函数表达式为． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一次函数，当x增加3时，y减少2，则该一次函数的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的表达式求解，利用一次函数的变化关系,结合已知条件列出关于k的方程，进而求出k的值,确定函数表达式. 解：已知一次函数,当x增加3时，即x变为，此时y减少2，则此时y的值为. 将代入函数可得,展开得到,移项可得. 又∵原函数为,所∴,两边抵消，得到. 解方程，可得. ∴该一次函数的表达式是. 故答案为: 【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，本题要注意利用一次函数的性质,列出方程组,求出k值． 【变式2】（23-24七年级上·山东济宁·期末）已知一次函数的图像与直线平行，并且经过点，那么这个一次函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线平行或相交的问题、待定系数法求函数的解析式，解题关键是根据两直线平行时函数解析式的关系求解．若直线和直线平行，则；若直线和直线相交，则交点坐标满足两函数的解析式．设直线的解析式为，根据两直线平行的问题得到，然后把点代入可计算出即可． 解：设直线的解析式为， ∵一次函数的图像与直线平行， ∴， ∴该一次函数解析式为， 把点代入，可得， 解得， 故该一次函数的解析式为． 故答案为：． （三）知识点三：一次函数与坐标轴交点坐标 1．一次函数，中，则得到和轴交点坐标为； 2．一次函数，中，则得到和轴交点坐标为. 【题型3】一次函数与坐标轴交点坐标 【例题3】（24-25八年级下·广东云浮·期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A和点B． （1）求点A和点B的坐标； （2）若点C在y轴上且位于点B上方，的面积为6，求点C的坐标． 【答案】（1）；；（2）． 【分析】本题考查一次函数的综合应用． （1）令，求出x的值，得到点A的坐标，令，求出y的值，得到点B的坐标； （2）利用三角形面积公式列式计算求解． 解：（1）解：当时，， ， 当时，，， ； （2）解：点在轴上，若的面积为6， ， ， ， ∵当点在点上方时， ∴． 【变式1】（2025·陕西咸阳·二模）一个正比例函数的图象经过点和，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数，一次函数与坐标轴的交点问题，设正比例函数解析式为，根据和得出，代入即可求解． 解：设正比例函数解析式为， 正比例函数的图象经过点和， ，， ， ， 一次函数， 令，解得， 一次函数的图象与x轴的交点坐标为， 故选A． 【变式2】（24-25八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数与坐标轴交点问题，先令，则，令，则，求出与坐标轴交于两点坐标，然后用面积公式即可求解，掌握坐标轴上点的坐标特征是解题关键． 解：由直线可得，令，则，令，则， ∴坐标轴交点为交于或， ∴，或，， ∴的面积为， 故答案为：． （四）知识点四：一次函数的实际应用 【题型4】分配方案问题 核心：围绕资源、任务分配，建立一次函数模型，结合实际约束（如整数、范围限制）分析可行或最优分配方案。 应用场景：人员调配、物资分配等，通过设变量、列函数式，结合取值范围求解。 【例题4】（25-26八年级上·全国·课后作业）某游泳馆夏季开展宣传营销活动，设计了以下两种套餐活动： 套餐一：每次收费10元，不收其他费用； 套餐二：交120元购买会员卡后，每次游泳收费m元． 设小明游泳次数为x，按照套餐一所需费用为（单位：元），按照套餐二所需费用为（单位：元），两函数图象如下图所示． （1）直接写出和关于x的函数表达式与m的值 （2）若小明暑假期间准备游泳的次数x满足，则他选择哪个套餐所需要的费用较少？ 【答案】（1），，m的值为4；（2）见分析 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出函数和关于的表达式，并写出的值； （2）先计算两者相等的情况，然后观察图象，即可写出选择哪个套餐所需要的费用较少． 解：（1）关于x的函数表达式为，关于x的函数表达式为，m的值为4． （2）令， 则， 解得． 由图可知，当时，套餐一所需的费用较少； 当时，两种套餐所需的费用相等； 当时，套餐二所需的费用较少． 【变式1】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）A城有肥料，B城有肥料．现要把这些肥料全部运往C，D两乡．从A城往C，D两乡运肥料的费用分别为元/t和元/t；从B城往C，D两乡运肥料的费用分别为元/t和元/t．现C乡需要肥料，D乡需要肥料， （1）设从A城调运x吨肥料到C乡（），补充完整下列表格 A地 B地 C地 x ② D地 ① ③ ①     ②     ③ （2）怎样调运，可使总运费最少？请写出具体方案及计算过程 【答案】（1）①；②；③；（2）从A城乡运往C乡吨，运往D乡0吨；从B城运往C乡吨，运往D乡吨，此时总运费最少为元 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格结合题意求解即可； （2）先求出运费关于的函数关系式，再由一次函数的性质分析求解． 解：（1）解：由题意得A地向D地调运，则乡还需要，则地调运到C地，则地剩余调运到D地， 故答案为：①；②；③； （2）解：设总运费为y元，由题意得： （）， ∵在函数中，， ∴y随x的增大而减小， ∴时，总运费y有最小值， 此时，，，， 答：从A城乡运往C乡吨，运往D乡0吨；从B城运往C乡吨，运往D乡吨，此时总运费最少，最小值为元． 【变式2】（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）“工欲善其事，必先利其器”．某校为开好劳动教育课准备购置一批劳动工具，学校与店主商量后，店主给出了以下两种购买方案（二选一）： 方案一劳动工具元件，运费元； 方案二劳动工具元件，免费送货上门． 若学校购买件劳动工具，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元． （1）请分别写出与之间的函数解析式； （2）请你为该学校选择合适的购买方案． 【答案】（1），；（2）当购买劳动工具少于件时，选择方案二；当购买劳动工具等于件时，两种方案均可；当购买劳动工具超过件时，选择方案一． 【分析】本题考查了一次函数的应用，读懂题意，列出函数关系式是解题的关键． （）根据题意列出函数关系式即可； （）令，即，解得，再分和进行分析即可． 解：（1）解：由题意得，； （2）解：令，即， 解得：； 令，即，解得：； 令，即，解得：； ∴当购买劳动工具少于件时，选择方案二； 当购买劳动工具等于件时，两种方案均可； 当购买劳动工具超过件时，选择方案一． 【题型5】最大利润问题 核心：构建利润的一次函数模型（利润 =（单价 - 成本）× 数量 + 固定项），利用一次函数增减性（由k符号决定）确定最大利润的自变量取值。 应用场景：商品销售、生产经营等，结合销量与价格的关联求最大利润。 【例题5】（2024九年级·陕西西安·专题练习）港务区苗木种植专业户老王承包了30亩地，分别种植柏树苗和松树苗，有关成本、销售额见下表： 种植种类 成本（万元/亩） 销售额（万元/亩） 柏树苗 2.4 3 松树苗 2 2.5 设种植柏树苗x亩，出售柏树苗和松树苗的总利润为y万元． （1）求y与x的函数表达式； （2）今年，他继续用这30亩地全部种柏树苗和松树苗，计划投入成本不超过70万元，若每亩的种植成本和销售额不变，他应如何安排种植才能获得最大收益？（收益＝销售额﹣成本） 【答案】（1）；（2）他应该种植25亩柏树苗，种植5亩松树苗才能获得最大收益 【分析】本题考查了一次函数的应用，表示出与总收益的函数关系式，找出题中等量关系并列出方程是解题的关键． （1）设种植柏树苗x亩，则种植松树苗亩，根据收益=销售额-成本列出函数解析式； （2）根据总成本列出不等式求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性解答即可． 解：（1）解：设种植柏树苗x亩，则种植松树苗亩， ， ∴y与x的函数表达式为； （2）解：根据题意得，， 解得：， 由（1）知，， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，获得最大收益． 答：他应该种植25亩柏树苗，种植5亩松树苗才能获得最大收益． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）某无人机配件销售公司有A和B两种配件，其进价和售价如表． 种类 A配件 B配件 进价（元件） a 80 售价（元件） 300 100 已知用12800元可购进A配件40件和B配件30件． （1）求的值； （2）若该无人机配件销售公司某次购进A种配件和B种配件共300件，并全部售出，且本次销售获得的总利润为y元，购进的A种配件为x件． （）请写出y与x之间的函数表达式；（利润售价－进价） （）根据市场销售分析，B种配件购进件数不低于A种配件的2倍，问怎样购进配件才能使本次销售获得的总利润最大？最大总利润是多少元？ 【答案】（1）a的值为260；（2）（）；（）购进A种配件100件、B种配件200件才能使本次销售获得的总利润最大，最大总利润是8000元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，正确理解题意，运用函数模型解题是关键． （1）根据题意列一元一次方程求解即可； （2）（）根据题意列出函数关系式即可； （）根据题意列不等式求出x的取值范围，再根据一次函数的性质求解即可． 解：（1）解：根据题意，得， 解得， 答：a的值为260． （2）解：（）根据题意，得， 所以y与x之间的函数表达式为； （）根据题意，得， 解得， 由（）知， 因为， 所以y随x的增大而增大， 因为， 所以当时，值最大，，（件）， 答：购进A种配件100件、B种配件200件才能使本次销售获得的总利润最大，最大总利润是8000元． 【变式2】（23-24八年级下·宁夏吴忠·期末）某商场计划用不超过1800元购进甲、乙两种不同品牌的水杯共50个，已知甲、乙两种品牌水杯的进价和售价如下表所示： 价格\品牌 甲品牌水杯 乙品牌水杯 进价（元/个） 40 30 售价（元/个） 50 35 设购进甲品牌水杯x个，两种品牌的水杯全部销售完后可获利y元． （1）写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）采用怎样的购进方案可以使获利最多，最多为多少? 【答案】（1）；且为整数；（2） 【分析】本题考查一次函数的实际应用，函数的区间最值问题，能够根据实际情况列出一次函数是解决本题的关键． （1）根据题意可知：总利润=甲品牌销售利润＋乙品牌销售利润，根据等量关系列出函数关系式即可； （2）根据计划用不超过1800元，计算出最多可购入的甲品牌数量，根据一次函数的增减性可计算出利润的最高值． 解：（1）解：由题意得； 与的函数关系式为:； 由题意得， 解得 ， ∴ 且为整数； （2）解：中， 随的增大而增大， 当时，y最大， 最大值为，此时， 当购进甲品牌30个，购进乙品牌20个时获利最多，最多为400元． 【题型6】行程问题 核心：以路程、速度、时间为变量，建立一次函数表示物体运动轨迹（如距离 - 时间函数），分析相遇、追及、运动时间 / 路程等。 应用场景：两物体追及 / 相遇、单个物体匀速运动分析，通过函数解析式或图像求解关键量。 【例题6】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）甲、乙两车分别从相距360千米的、两地同时相向出发，甲车到达地，停留1小时后，返回地，返回时速度是原速的倍，乙车匀速从地驶往地．如图表示甲、乙两车距地的路程（千米）与两车行驶时间（小时）的函数关系． （1）乙车的速度是______千米/时，甲车返回时的速度是______千米/时； （2）求甲车从地返回地的过程中，与的函数解析式，写出自变量的取值范围； （3）出发多少小时后，行驶中的甲、乙两车相距260千米？请直接写出答案． 【答案】（1）60，120；（2）；（3）或或 【分析】本题考查了实际问题的函数图像，一次函数的应用，一元一次方程的应用，看懂函数图象是解题的关键． （1）根据速度路程时间求解即可； （2）用返回时行驶的速度表示即可； （3）根据题意分3种情况讨论，分别列出算式或方程求解即可． 解：（1）解：根据题意得，乙车的速度是（千米/时）， 甲车从A地到B地的速度是（千米/时）， 甲车返回时的速度是（千米/时）； （2）解：根据题意得，， （小时）， ∴（小时）， ∴自变量的取值范围是； （3）解：当甲，乙相遇前，根据题意得，（小时）； 当4小时时，甲车到达B地， 当甲、乙两车甲，乙相遇后第一次相距260千米时，（小时）； 当甲返回时，， 解得（小时）， 综上所述，出发或或小时后，行驶中的甲、乙两车相距260千米． 【变式1】（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）2025年9月3日，在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵中，某徒步方队从距离起点的位置开始，以的速度匀速前进，请直接写出该方队与起点的距离与时间之间的函数表达式，并求时该方队与起点的距离． 【答案】， 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意可直接得出函数表达式，再把代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 解：由题意可知，， 当时，． 【变式2】（25-26八年级上·安徽·阶段练习）近些年来，我国自主研发的新能源汽车品牌呈现出迅猛的发展态势，2024年我国新能源汽车年销量为1200余万辆，小丽家购买了一辆新能源车，搭载100度电池包，五一期间，一家人开车到距家250千米的景点旅游，出发前，车辆电量显示，当行驶200千米时，发现电量显示为（假设行驶过程中汽车的耗电量是均匀的）． （1）求该车平均每千米的耗电量（度）； （2）写出剩余电量Q（度）与行驶路程x（千米）之间的关系式； （3）当电池显示低于时，车辆将自动报警，若往返途中不充电，他们能否在车辆报警前回到家？请说明理由． 【答案】（1）该车平均每千米的耗电量为度；（2）；（3）不能，理由见分析 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）用原电量百分比减去剩余电量百分比后乘以总电量除以行驶路程即可； （2）结合（1）即可求出关系式，用总电量除以每千米的耗电量求出最大行驶路程，即可求出自变量的取值范围； （3）求出往返后的剩余电量，与电池显示等于时的电量比较即可． 解：（1）解：（度）， 答：该车平均每千米的耗电量为度； （2）解：由（1）知平均每千米耗电量为度， ， （千米）， ， 即； （3）解：他们不能在车辆报警前回到家． 理由：一家人开车到距家250千米的景点旅游， 即往返共行驶500千米， 当千米时，（度）， （度）， 他们不能在车辆报警前回到家． 【题型7】梯度计价问题 核心：针对分段计价场景（水、电、通讯费等），建立分段一次函数模型，根据用量 / 时长判断区间，计算费用或求解未知量。 应用场景：生活中的阶梯收费项目，明确不同区间计价规则后综合求解。 【例题7】（25-26八年级上·全国·期中）某市出租车收费标准为，两公里付起步价9元，超过两公里但是不超过八公里的路程每公里付2元，超过八公里的路程每公里付3元（不足一公里按照一公里计算，如2.3公里按照3公里收费），设出租车行驶路程为，应付车费为． （1）写出当为整数（）时，车费与行驶路程的函数关系式； （2）若小明要乘坐出租车去距家7.2公里的电影院看电影，应付给司机多少钱？ 【答案】（1）（）；（2）21元． 【分析】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是根据不同的路程段确定车费的计算方式． （1）根据出租车收费标准，当（为整数）时，计算车费与行驶路程的函数关系式； （2）先根据不足一公里按一公里计算的规则确定行驶路程，再代入（1）中函数关系式计算车费． 解：（1）解：当（为整数）时，起步价9元，超过2公里的部分为公里，这部分每公里2元． 所以车费，化简可得， 答：车费与行驶路程的函数关系式（）； （2）解：因为不足一公里按照一公里计算，7.2公里按照8公里计算， 把代入中，可得（元）． 答：应付给司机21元． 【变式1】（2026·江西·模拟预测）新考法结合函数图象考查一次函数的应用学校计划在某体育用品专营店购买一些体育用品，该体育用品店有如下两种优惠方案： 方案一：办理一张成本价为10元的会员卡，所有商品按原价a折出售； 方案二：一次购买商品总额不超过b元时，按原价付款，超过b元时超过的部分享受七折优惠． 设需要购买的体育用品的原价总额为x元，按方案一购买需付款 元，按方案二购买需付款元，已知 关于x的函数图象如图所示． （1）a的值为 ，b 的值为 ． （2）若选择方案一购买更合算，求x的取值范围． （3）当选择方案一和方案二的实际付款金额相差20元时，求x的值． 【答案】（1）8，100；（2）；（3）400 【分析】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）由题意得，再结合图象将代入，得，即可求出a的值；观察函数图象结合题意即可得出b 的值； （2）结合函数图象，可知在上方的部分所对应的x的值即为所求，先得出，当时，，令，解得x的值，再结合函数图象可得答案； （3）当时，，结合题图可知，当时，不存在符合题意的x的值，当时，令，解方程即可． 解：（1）解：由题意知， 将代入，得， 解得， 由题图知， 故答案为：8，100； （2）解：由（1）知， 由题意知，当时，， 令， 解得，     结合题图知，当时，选择方案一购买更合算； （3）解：当时，，， ∴此时， 结合题图可知，当时，不存在符合题意的x的值， 当时，令， 解得， 答：当选择方案一和方案二的实际付款金额相差20元时，x的值为400． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）某收费自习室策划了A，B两种收费方式如下表： 收费方式 月使用费/元 包时自习室时间/h 超时费/（元/h） A 12 40 0.5 B m n 0.6 设每月使用自习室的时间为xh，方案A，B的收费金额分别为元．下图所示的是与x之间函数关系的图象． （1）请根据图象填空：_______，_______． （2）与之间的函数关系式为_______． （3）如果每月使用自习室的时间为60h，选择哪种收费方式合算？请说明理由． 【答案】（1）10；50；（2）；（3）选择种收费方式合算，见分析． 【分析】（1）根据表格和图象可以得到、的值，从而可以解答本题； （2）根据表格中的数据可以求得之间的函数关系式； （3）将分别代入和函数解析式，从而可以解答本题． 解：（1）解：由函数图象可知，，， 故答案为：，； （2）解：由图象知：超时费（元/h）； 当时，， 故答案为：； （3）解：当时，， ∵， ∴如果每月上网时间小时，选择B方式上网学习合算． 【点拨】本题考查了一次函数的应用，得到两种收费方式的关系式是解决本题的关键．注意较合算的收费的方式应通过具体值的代入得到结果． 【题型8】其他问题 核心：涵盖用料、生产效率等场景，提炼变量间一次函数关系，结合实际条件解决问题。 应用场景：材料使用优化、生产任务时间分析等，本质是建立并应用一次函数模型。 【例题8】（25-26八年级上·吉林·阶段练习）将长为的长方形白纸，按如图所示的方法黏合起来，黏合部分宽． （1）求5张白纸黏合后的长度． （2）设x张白纸黏合后的总长度为，写出y与x之间的函数关系式． （3）当黏合后的总长度为时，请问这是由几张白纸黏合而成的． 【答案】（1）5张白纸粘合后的长度是；（2）y与x之间的函数关系式为；（3）这是由张白纸黏合而成的． 【分析】此题考查函数关系式，函数值，解题关键在于根据题意列出方程． （1）根据图形列出算式，求出即可； （2）根据题意列出算式； （3）将代入求解即可． 解：（1）解：， 答：5张白纸粘合后的长度是； （2）解：由题意得； 答：y与x之间的函数关系式为； （3）解：当时，， 解得， 答：这是由张白纸黏合而成的． 【变式1】（2025·四川广元·模拟预测）“双十一”期间，某网店开展了促销活动，购买原价超过300元的商品，超过300元的部分可享受打折优惠．如果购买的商品实际付款（元）与原价（元）之间的函数关系如图所示，则超过300元的部分可享受的打折优惠是（   ） A．打八折 B．打七折 C．打六折 D．打五折 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键． 设超过300元的部分可享受的打折优惠打折，那么，然后代入，即可得出答案． 解：设超过300元的部分可享受的打折优惠打折，那么 代入，得 解得，即打八折， 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度（单位：）与滑行时间（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，则飞机在着陆后滑行 停下． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意是解题的关键． 先求出速度降为0时所用时间，再把此时求出的时间代入，即可求解． 解：当时，， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型九】一次函数与几何综合 核心：将一次函数与几何图形（直线、三角形等）结合，涉及函数交点坐标、图形面积 / 周长与函数的关系，或利用几何性质求函数解析式。 应用场景：求函数图像与坐标轴围成的图形面积，或已知几何条件求一次函数的k、b等。 【例题9】（25-26九年级上·天津·开学考试）如图1，一次函数的图象与坐标轴交于点平分交轴于点，垂足为D． （1）点的坐标为___________，点的坐标为___________； （2）点D的坐标为___________ （3）如图2，点是线段上的一点，点是线段上的一点，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）将，，分别代入求解即可； （2）通过角平分线的性质证明，通过勾股定理求出，及的长度，即可得到点坐标，再由，即可求出点的坐标； （3）由平分，可得，关于对称，即，由此可得到轴距离即为所求． 解：（1）解：将代入得， ； 将代入得， ； （2）解：由（1）可知：， 如图，    设长为，则， 平分，，， ， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ． 在中，，即， 解得， ， ； ， ，， ， 即， 解得， 将代入得， 解得， ． （3）解：如图，连接，    由（2）知：， 点，关于对称， ， ， ∴当三点共线，且轴时，的值最小， 即到轴距离为最小值， 由（2）知：， 的最小值为． 【点拨】本题考查一次函数的综合应用，三角形全等的判定与性质，对称的性质，解题关键是熟练掌握一次函数的性质，掌握角平分线的性质及求线段和最值的方法． 【变式1】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 由解析式求出点，点，再根据勾股定理即可得出的长，由折叠的性质，可求得与的长，，然后设，由在中，勾股定理，建立方程，解方程即可求出M的坐标． 解：令，可得，即，令时，，即， ∴， 由折叠的性质，得：， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，，，，动点从点出发，以每秒个单位长的速度向右移动，且经过点的直线：也随之移动，设移动时间为秒，若与线段有公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，分别求出直线经过点、点时的值，即可得到的取值范围，掌握一次函数的性质是解题的关键． 解：当直线过点时，， 解得：， ∴， 解得； 当直线过点时，， 解得：， ∴， 解得， 若与线段有公共点，的取值范围是：， 故答案为：． 二．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·山东聊城·开学考试）年月日一个加油站号汽油的价格为元/升，下面图象（    ）能表示出王老师当天加油总价和数量之间的关系． A． B． C． 【答案】B 【分析】本题主要考查正比例函数的图象特征，关键是理解当两个量成正比例时，它们的图象是经过原点的直线．当两个相关联的量的比值一定时，这两个量成正比例关系，其图象是一条经过原点的直线；这里汽油的单价是固定的，总价与数量的关系符合正比例关系． 解：∵汽油的单价为元/升，根据“总价单价数量”，单价是固定值， ∴总价和数量成正比例关系； ∵正比例关系的图象特征是一条从原点出发的直线， 选项A中总价不随数量变化，不符合； 选项B是从原点出发的直线，符合总价和数量的正比例关系； 选项C不是直线，不符合． 故选：B． 2．（25-26九年级上·天津红桥·阶段练习）如图，一农户要建一个矩形牛舍．牛舍的一边利用住房得的墙，另外三边用25长的建筑材料围成，为方便进出，在边上留一个1宽的门．若设的长为y，的长为x，则y与x之间的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列函数关系式，根据几何关系可得，从而得到答案． 解：根据题意得， ∴，即， 故选：C． 3．（25-26八年级上·全国·期中）如图，正方形放置在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，已知点的坐标分别为，当直线与线段有交点时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质及一次函数的应用，过点作轴于点，过点作轴于点，先证明，，得出点的坐标为，点的坐标为，代入直线表达式求出结论． 解：如答图，过点作轴于点，过点作轴于点， 因为四边形为正方形， 所以． 因为， 所以． 在和中，， 所以， 同理可证，得， 所以， 所以， 所以点的坐标为，点的坐标为． 将点和分别代入， 解得和， 所以当时，直线与线段有交点， 故选：B． 4．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）某超市从批发市场购进若干千克西瓜销售，在销售了40千克之后，余下的每千克降价0.5元全部售完，西瓜售完后超市获利62元．销售金额（元）与售出西瓜的千克数（千克）之间的关系如图所示，下列结论正确的是（    ） A．降价后西瓜的单价为1.6元/千克 B．超市共购进了50千克西瓜 C．降价后超市获得的利润为16元 D．西瓜的进价为0.8元/千克 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象及一次函数的应用，找出等量关系是关键． 先设售价为元，可得出函数解析式，把已知坐标代入解析式可得的值，根据余下的每千克降价0.5元全部售完，西瓜售完后超市获利62元．再根据图就能得出超市共购进了60千克西瓜, 西瓜的进价,以及降价后超市获得的利润为14元，即可作答． 解：设售价为元，根据题意可得出函数解析式 根据图可知销售40千克时，销售金额为80元， ∴ 解得：，即降价前的售价是每千克2元， ∵余下的每千克降价0.5元全部售完， ∴ 即降价后西瓜的单价为元/千克 故A选项不符合题意 结合函数图象得（千克） ∴（千克） ∴超市共购进了60千克西瓜 故B选项不符合题意； 设西瓜的进价为元/千克 则 ∴ ∴ ∴ 即西瓜的进价为0.8元/千克 故D选项符合题意； 则， ∴降价后超市获得的利润为14元 故C选项不符合题意； 故选D． 5．（24-25八年级下·全国·期末）如图①，在中，，点D是的中点，动点P从点C出发沿C→A→B运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图②，则的长为（    ） A．12 B． C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、勾股定理，读懂函数图象是解题关键． 结合图象求出，利用线段中点的性质得出，再结合图象得出，最后利用勾股定理即可求解． 解：结合图象②可知，点， 当时，， 此时，， ∵点D是的中点， ∴， 由图②可知，， 在中，由勾股定理得， ， 故选：B． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知点的坐标为，点分别是某函数图象与轴、轴的交点，点是此图象上的一动点，设点的横坐标为的长为，且与之间满足关系：，则结论：①；②；③；④，正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①③ C．①②④ D．③④ 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象识别，观察函数图象中点的关系以及函数解析式是解决本题的关键． 令求解y的值即可判断①；令求解y的值即可判断②；根据与点的坐标即可判断③；由勾股定理求解边长由此判断④． 解：∵与之间满足关系：， ∴令，解得， 此时点P与点A重合，即，故①正确； 令，解得， 此时点P与点B重合，即，故②正确； ∵点的坐标为， ∴， 又∵， ∴，故③正确； ∵，， 在中，，故④错误； ∴正确结论的序号是①②③． 故选：A． 二、填空题 7．（2024·江苏淮安·中考真题）一辆轿车从A地驶向B地，设出发后，这辆轿车离B地的距离为．已知y与x之间的函数表达式为，则轿车从A地到达B地所用时间是 h． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，求出时的的值即可． 解：由题意，当时，解得：； ∴轿车从A地到达B地所用时间是小时； 故答案为：． 8．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段练习）生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度与观察时间（天）的关系，画出如图所示的函数图象（轴），则该植物在第35天的高度为 cm． 【答案】13 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意；由图象得出该植物高度与观察时间（天）的函数关系式，然后问题可求解． 解：由图象可设直线的解析式为，则把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，则，解得：， ∴点， ∴当时，则， 故答案为：13． 9．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）西安市出租车价格是这样规定的：不超过3千米，付车费元，超过的部分按每千米2元收费．已知李老师乘出租车行驶了千米，付车费y元，则所付车费y（元）与出租车行驶的路程x（千米）之间的关系式为 ．（不要求写出自变量x的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意是解题的关键．根据题意列出关系式，再化简即可． 解：， 所付车费y（元）与出租车行驶的路程x（千米）之间的关系式为． 故答案为：． 10．（23-24七年级上·福建福州·开学考试）甲和乙在一次赛跑中，路程与时间的关系如图所示，那么下列结论正确的是 ．（填序号）①甲比乙先出发；②甲比乙先到终点；③甲速是乙速的2倍；④甲、乙所行路程一样多． 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查行程问题，从图中获取所需信息是解题的关键． 根据图示可知，甲乙是同时出发的，所以①错；因为甲到达终点用时，乙到达终点用时，（由题意知），所以甲比乙先到终点，乙用时是甲的2倍，所以甲的速度是乙的2倍，所以②、③对；有图示可知，甲乙所行路程一样多，所以④对． 解：根据图示可知，甲乙是同时出发的，所以①错； 因为甲到达终点用时，乙到达终点用时，（由题意知），所以甲比乙先到终点，乙用时是甲的2倍，所以甲的速度是乙的2倍，所以②、③对； 由图示可知，甲乙所行路程一样多，所以④对． 答：正确的结论为②③④． 故答案为：②③④． 11．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点 在轴正半轴上，点在轴正半轴上，，若直线与线段有公共点，则 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据直线可得，当时，，直线与轴交点为，从而可求出的取值范围，掌握一次函数的性质是解题的关键． 解：由直线可得，当时，， ∴直线与轴交点为， ∵点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，直线与线段有公共点， ∴的取值范围是， 故答案为：． 12．（10-11八年级上·江苏·阶段练习）我国现行个人工资薪金税征收办法规定：月收入高于800元但不超过1300元的部分征收的所得税……如某人某月收入1160元，他应缴个人工资薪金所得税为（元） ①当月收入大于800元而又小于1300元时，写出应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式 ； ②某人某月收入为960元，他应缴所得税 元； ③如果某人本月缴所得税元，那么此人本月工资薪金是 元． 【答案】 8 1184 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求函数值和自变量的值，解题的关键是求出一次函数解析式． ①根据所得税的计算方法，超过800元的部分乘以，即可写出函数解析式； ②把代入函数解析式即可求得； ③把代入函数解析式即可求得x的值即可． 解：①解：根据题意得：， 即应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式为：； 故答案为：； ②当时，， 即他应缴所得税8元； 故答案为：8； ③当时，， ∴， 当时，， 解得：， 即此人本月工资、薪金1184元． 故答案为：1184． 三、解答题 13．（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、． （1）求点A、B的坐标； （2）若点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）点的坐标为或 【分析】本题主要考查一次函数的性质及三角形面积，理解题意，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）根据在x轴上点的纵坐标为0，在y轴上点的横坐标为0求解即可； （2）设点的坐标为，根据三角形的面积公式求解即可． 解：（1）解：在轴上的点，其纵坐标． 把代入，可得， 解得， 所以． 在轴上的点，其横坐标． 把代入，可得， 所以． 所以； （2）设点的坐标为， ∵， ∴，，． ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或 ． 14．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段练习）一台拖拉机在开始工作前，油箱中有油，开始工作后，每小时耗油． （1）写出油箱中的剩余油量与工作时间之间的函数关系式，并指出其中的自变量和函数． （2）工作后，油箱中的剩余油量为多少升？ 【答案】（1），是自变量，是关于的函数；（2）工作后，油箱中的剩余油量为22升． 【分析】本题考查的是列函数关系，求解函数值，理解题意，列出正确的函数关系式是解本题的关键． （1）由剩余油量等于总油量减去消耗的油量可得答案； （2）把代入计算即可． 解：（1）解：由题意可得：； 其中是自变量，是关于的函数； （2）解：当时，， ∴工作后，油箱中的剩余油量为22升． 15．（24-25八年级上·全国·课后作业）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x次，所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题： （1）分别求出选择这两种卡消费时，所需费用、元关于入园次数x次的函数表达式； （2）当消费多少次时，甲、乙两种消费卡的费用相同？ （3）若进入生态体验园15次，采用哪种方式比较划算？ 【答案】（1），；（2）当消费10次时，选择两种消费卡的费用相同；（3）当进入生态体验园15次，采用乙方式比较划算 【分析】（1）利用待定系数法，根据图象上的点求出甲、乙两种卡费用关于入园次数的函数表达式； （2）通过联立两个函数表达式的方程，求解费用相同时的入园次数； （3）将入园次数代入两个函数表达式，比较费用大小确定划算的方式． 解：（1）解：甲卡：设，由图象过点，得，解得，所以； 乙卡：设，由图象过点，得，解得，所以． （2）解：联立和，得，解得，即消费10次时，两种卡费用相同． （3）解：当时，， 因为，所以采用乙卡比较划算． 【点拨】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数表达式，联立一次函数方程求交点，以及通过代入求值比较函数值大小是解题的关键． 16．（24-25九年级上·广东韶关·期中）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克．经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克，设每千克涨价元，销售量为千克． （1）求出与的函数关系； （2）当涨价多少元时，该商场每天获得的利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）；（2）当涨价7.5元时，该商场每天获得的利润最大，最大利润为1562.5元 【分析】本题主要考查了一次函数实际应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． （1）根据题意，列出函数关系式，即可求解； （2）设商场每天获得的利润为w元，根据题意列出函数关系式，利用二次函数的性质，即可求解． 解：（1）解：根据题意： ； （2）解：设商场每天获得的利润为w元，根据题意得： ∴当涨价7.5元时，该商场每天获得的利润最大，最大利润为1562.5元 ． 17．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）甲、乙两辆摩托车从相距的，两地相向而行，图中，分别表示甲、乙两辆摩托车离地的距离与行驶时间之间的函数关系．求： （1）请写出，的函数关系式． （2）何时甲摩托车离地的距离大于乙摩托车离地的距离？ 【答案】（1）的函数关系式为，的函数关系式为；（2）出发后甲摩托车离A地的距离大于乙摩托车离A地的距离． 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． （1）分别根据速度=路程÷时间求出甲、乙的速度，再由路程=速度×时间求出对应的函数关系式即可； （2）求出甲、乙相遇的时间，再根据图象可知何时甲摩托车离A地的距离大于乙摩托车离A地的距离即可． 解：（1）解：甲的速度为， 则， 乙的速度为，则， ∴的函数关系式为，的函数关系式为； （2）解：当甲、乙相遇时，得， 解得， 根据图象，出发后甲摩托车离A地的距离大于乙摩托车离A地的距离． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·广西南宁·期末）根据下表中一次函数的自变量与函数值部分的对应值， 判断方程的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，由表格可知，当时，；当时，，即可判断方程的一个解的取值范围，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 解：由表格可知，当时，；当时，， ∴方程的解必定在与之间，即， 故选：． 2．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）西苑、竹林两个水站分别存水600吨、1400 吨，东区、西区分别用水1200吨、800吨，需要从西苑、竹林两个水站调运，由西苑水站到东、西两区的运费分别为6元/吨、5元/吨；由竹林水站到东、西两区的运费分别为9元/吨、6元/吨，则总运费最少需要多少元？（   ） A．13500 B．13600 C．13800 D．14000 【答案】C 【分析】本题考查了函数的多变量问题，解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 可以先设西苑调运x吨水到东区，则西苑调运吨水到西区，竹林调运到东区吨，竹林调运到西区吨．从而列出总运费与x的关系式，进而求出最小值． 解：设西苑调运x吨水到东区，总运费为y元， 则，其中， 当时，y取最小值，最小值为：， 即总运费最少需要13800元， 故选：C． 3．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）某市出租车收费标准如下：起步价元（以内，包含），超出部分每千米加收元（不足按计算）．设乘坐出租车行驶（为正整数且）的费用为元，则关于的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 解：本题考查了一次函数的应用，根据出租车收费标准，建立费用与行驶里程的函数关系式即可，读懂题意，列出函数关系式是解题的关键． 【分析】解：当行驶里程（为正整数）时，费用由起步价和超出部分费用组成： 起步价：以内，包含为元， 超出部分：超出部分每千米加收元，超出里程为，费用为元， ∴关于的函数关系式是， 故选：． 4．（2025·四川广元·模拟预测）“双十一”期间，某网店开展了促销活动，购买原价超过300元的商品，超过300元的部分可享受打折优惠．如果购买的商品实际付款（元）与原价（元）之间的函数关系如图所示，则超过300元的部分可享受的打折优惠是（   ） A．打八折 B．打七折 C．打六折 D．打五折 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键． 设超过300元的部分可享受的打折优惠打折，那么，然后代入，即可得出答案． 解：设超过300元的部分可享受的打折优惠打折，那么 代入，得 解得，即打八折， 故选：A． 5．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图．在平面直角坐标系中，点，，，…和、、，…分别在直线和x轴上，，，，… 都是等腰直角三角形，其中，…为其直角顶点，如果点，那么的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解、等腰直角三角形的性质及数字规律探究，解题的关键是利用等腰直角三角形直角顶点的横坐标与纵坐标的关系（直角顶点横坐标减去纵坐标等于前一个B点的横坐标），结合一次函数解析式求出各的纵坐标，进而归纳出纵坐标的变化规律． 先将代入直线求，确定直线解析式；利用等腰直角三角形（直角顶点为）的性质，得的横坐标的横坐标（为的纵坐标），结合直线解析式列方程求、的纵坐标；归纳纵坐标的规律，计算的纵坐标． 解：∵ 点在直线上， ∴ ，解得， ∴ 直线解析式为 ∵ 是等腰直角三角形，为直角顶点， ∴ 的横坐标（为），验证成立，且的横坐标为，即 ∵ 是等腰直角三角形，为直角顶点， ∴ 的横坐标的横坐标，即 又∵ 在直线上， ∴ ， 化简得，解得. 同理，的横坐标为，的横坐标， 代入直线解析式得， 化简得，解得. 归纳规律：纵坐标，纵坐标，纵坐标， 故纵坐标. ∴ 的纵坐标. 故选：A． 6．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，甲车到B地后立即返回A地，若两车行驶时速度保持不变，如图是两车离A地的距离y与所用时间x的函数关系图象．下列说法错误的是（    ） A．甲车从A地到B地时间为分钟 B．甲车速度是乙车速度的倍 C．甲车行驶路程是乙车的2倍 D．甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为分钟 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键．根据时间、速度和路程之间的关系结合函数图象逐一判断即可． 解：甲车从地到地时间为（分钟）， 故A选项不符合题意； 甲车从地到地时间为分钟，乙车从地到地时间为分钟， 行驶相等的路程甲、乙两车所用时间之比为， 甲、乙两车的速度之比为， 甲车速度是乙车速度的3倍， 故B选项符合题意； 甲车行驶路程是乙车的2倍， 故C选项不符合题意； 设乙车的速度为千米分钟，则甲车的速度为千米分钟，、两地之间的路程为 千米， 设甲、乙两车第一次相遇的时间为分钟，则 解得， 设甲、乙两车第二次相遇的时间为分钟，则， 解得， （分钟）， 甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为分钟， 故D选项不符合题意． 故选：B． 二、填空题 7．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）在弹性限度内，一个弹簧秤的弹簧长度与所挂物体质量满足一次函数．若在该弹簧秤上挂物体A后弹簧的长度比挂上物体B后弹簧的长度大，则物体A比B重 ． 【答案】7 【分析】本题考查一次函数的应用，设物体A质量为，则在弹簧秤上挂物体A后弹簧的长度，根据在该弹簧秤上挂物体A后弹簧的长度比挂上物体B后弹簧的长度大，知在弹簧秤上挂物体B后弹簧的长度，故物体B质量为，即可得物体A比B重． 解：设物体A质量为，则在弹簧秤上挂物体A后弹簧的长度， ∵在该弹簧秤上挂物体A后弹簧的长度比挂上物体B后弹簧的长度大， ∴在弹簧秤上挂物体B后弹簧的长度， 在中，令得：， ∴， ∴物体B质量为， ∴物体A比B重； 故答案为：7． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，．若是轴上一点，且的面积为5，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与几何综合，先求出点的坐标为，点的坐标为．设点的坐标为，再根据三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：因为一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， 所以当时，；当时，，解得， 所以点的坐标为，点的坐标为． 设点的坐标为， 因为， 所以， 解得或， 所以点的坐标为或， 故答案为：或． 9．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）瓦房店市许屯镇拥有百余年的苹果生产历史，镇上的万亩苹果进入了成熟季．小李想在许屯镇某果园购买一些苹果，经了解该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购买15斤以上，超过15斤部分的苹果的价格打8折．设小李在该果园购买苹果x斤，付款金额为y元，则y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列函数的关系式，正确理解题意并分类讨论是解题的关键． 分和两种情况，分别根据付款金额等于单价乘数量列出函数关系式即可． 解：当时由题意得：， 当时由题意得：， 综上，y与x之间的函数关系式为． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，正方形（边分别与坐标轴平行）顶点A，C坐标分别为，．若直线与正方形有公共点，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，根据题意可求出点B的坐标，根据函数解析式可证明一次函数经过定点；则求出一次函数恰好经过点A和恰好经过点B时k的值，即可得到答案． 解：∵轴，轴， ∴， ∵点A，C坐标分别为，， ∴， ∴点B的坐标为，即； ∵， ∴一次函数经过定点； 当一次函数恰好经过点A时，则，解得， 当一次函数恰好经过点B时，则，解得， ∴当或时，直线与正方形有公共点， 故答案为：或． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）周末，小光一家人准备去体育中心，爸爸为了锻炼身体骑自行车以15的速度先从家出发，15后妈妈开车带着小光从家出发沿同一路线追赶，爸爸到达3后，妈妈带着小光赶到，如图是小光一家所走路程与爸爸的出发时间的函数关系图象，则在第25时，小光和爸爸相距 ． 【答案】 【分析】本题考查了追及问题，用到路程、速度、时间的关系以及一次函数的相关知识．先根据爸爸的速度和路线长度求出爸爸到达体育中心的时间，进而得到点A、B的坐标，再根据妈妈到达的时间求出妈妈的速度，设出段函数表达式，代入点坐标求出表达式，最后将代入表达式求出此时小光的位置，从而得出小光和爸爸的距离． 解：根据图象可知该路线长为6， ∵爸爸的速度为， ∴爸爸到达体育中心的时间为（）， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴妈妈开车的速度为， 设段的函数表达式为， 将代入，得，解得， ∴段的函数表达式为， 当时，， 此时爸爸已经到达体育中心，（）， ∴小光和爸爸相距1． 故答案为：1． 12．（2025·山东淄博·模拟预测）如图，折线描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离与行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是 ． 汽车在行驶途中停留了小时； 汽车在整个行驶过程的平均速度是； 汽车共行驶了； 汽车出发离出发地． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据图像依次判断即可． 解：，汽车在行驶途中停留了小时，结论正确； 总路程，汽车在整个行驶过程的平均速度是，结论正确； 汽车共行驶了，结论错误； 汽车行驶3小时后的速度，出发离出发地，结论正确． 故答案为：． 三、解答题 13．（2023八年级上·全国·竞赛）如图，在一条平直公路的前方有一陡峭的山壁，一辆汽车正以恒定的速度沿着公路向山壁驶去． （1）若汽车的行驶速度是，在距离山壁处时汽车鸣笛一声，则经过多长时间后司机听到回声？ （2）某一时刻，汽车第一次鸣笛，经过再次鸣笛．若司机听到两次鸣笛的回声的时间间隔是，求汽车的行驶速度．（已知声音在空气中的传播速度是．） 【答案】（1）5秒后司机听到回声；（2）汽车的行驶速度为 【分析】此题考查了一元一次方程和分式方程的应用，解题的关键是掌握等量关系． （1）设经过后司机听到回声，根据题意列出方程求解即可； （2）设汽车的行驶速度为，根据题意列出分式方程求解即可． 解：（1）解：设经过后司机听到回声， 根据题意得， 解得 ∴经过后司机听到回声； （2）解：设汽车的行驶速度为， 根据题意得， 解得 经检验，是原方程的解． ∴汽车的行驶速度为． 14．（19-20八年级下·云南红河·期末）“一方有难，八方支援”，我州为支援武汉抗击新冠肺炎，准备将A县的蔬菜200吨和B县的蔬菜300吨运往武汉的C区和D区．现确定运往C区和D区的蔬菜分别是240吨和260吨．已知从A、B两县运蔬菜到C、D两区的运费（元/吨）如下表所示，设A县运往C区的蔬菜为x吨， A B C 20 15 D 25 24 （1）用含x的代数式填空：A县运往D区的蔬菜吨数为________，B县运往C区的蔬菜吨数为________，B县运往D区的蔬菜吨数为________． （2）用含x（吨）的代数式表示总运费W（元），并设计怎样调运可使总运费最少？ 【答案】（1）；（2），A县运往C区0吨，运往D区200吨；B县运往C区240吨，运往D区60吨．可使总运费最少 【分析】本题考查列代数式，一次函数的实际应用，正确的列出代数式，一次函数的解析式，是解题的关键： （1）根据运往C区和D区的蔬菜量，列出代数式即可； （2）根据总运费等于各部分的运费之和，列出函数解析式，利用一次函数的性质进行求解即可． 解：（1）解：∵确定运往C区和D区的蔬菜分别是240吨和260吨，从A县运往C区的蔬菜为x吨， ∴从县运往区的蔬菜为吨，B县运往C区的蔬菜为吨，从B县运往D区的蔬菜为吨； （2）由题意，得： 随的增大而增大 当时，总运费W最小 A县运往C区0吨，运往D区200吨；B县运往C区240吨，运往D区60吨．可使总运费最少． 15．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）某市自来水采用分段收费标准．设居民每月应交水费y（元），用水量x（立方米）． 用水量x（立方米） 应交水费y（元） 不超过12立方米 每立方米3.5元 超过12立方米 超过的部分每立方米4.5元 （1）求每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式； （2）若某户居民某月交水费78元，则该户居民用水多少立方米？ 【答案】（1）；（2）该户居民用水20立方米 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）根据表格中的数据，可以写出每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式； （2）先判断该户居民用水量的范围，然后根据（1）中的关系式，即可计算出该户居民用水多少立方米． 解：（1）解：由题意可得， 当时，， 当时，， 由上可得，每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式是； （2）解：∵， ∴该户居民用水超过12立方米， 设该户居民用水a立方米， 则， 解得， 答：该户居民用水20立方米． 16．（24-25九年级上·江苏南通·期中）我们知道，当一条直线与一个圆有两个公共点时，称这条直线与这个圆相交．类似的，我们定义：当一条直线与一个正方形有两个公共点时，称这条直线与这个正方形相交． 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点为、、、． （1）判断直线与正方形是否相交，并说明理由； （2）设d是点O到直线的距离，若直线与正方形相交，求d的取值范围． 【答案】（1）相交，理由见分析；（2） 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，正确确定直线与正方形相交的位置是解决本题的关键． （1）直线的解析式是，直线的解析式是，求出这两条直线与直线的交点，判断交点是否在正方形的边上，就可以判断； （2）当直线经过点和时，直线与正方形只有一个公共点，可以求出的值，当直线在的下方，在经过点的直线的上方时，直线与正方形相交，据此求解即可． 解：（1）解：相交，理由如下： 直线与线段交于点，同时直线与线段交于点， 直线与正方形相交； （2）解：当直线经过点时，，此时； 当直线经过点时， ∴， ． 即， 设直线与、轴的交点分别为、， 令，，则， 令，，解得，则， ， 如图，过作，垂足为，则， ∵， ， ∵当直线在的下方，在经过点的直线的上方时，直线与正方形相交， 若直线与正方形相交，求d的取值范围为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $