专题 4.3 整式（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年浙教版七年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题 4.3 整式 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识引入 1 知识点（一）单项式 2 【题型1】单项式的认识 2 【题型2】单项式的系数、次数 2 【题型3】单项式的系数、次数规律 2 知识引入 3 知识点（二）多项式 3 【题型3】多项式 3 【变式2】 3 知识点（三）多项式的项、次数 3 【题型4】判断多项式的项、次数 3 知识点（四）整式 4 【题型5】整式的判断 4 【题型6】列式求值 4 【题型7】用多项式表示日历上的时间 5 二．同步练习​ 6 【基础巩固（16题）】 6 【能力提升（16题）】 8 一．知识梳理与题型分类精析 知识引入 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）用字母表示数： （1）若表示正方体的棱长，则正方体的体积是 ； （2）小明每年从零花钱中拿出元捐给希望工程，五年下来小明共捐款 元． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）某企业今年3月份的产值为a万元，4月份比3月份减少了，5月份比4月份增加了，则5月份的产值是多少万元？ 知识点（一）单项式 像 、、这样，由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫作单项式 单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数（coefficient）。例如，的系数是5，的系数是1.035。 一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数（degree）。例如，的次数是3，的次数是2+1=3。 【题型1】单项式的认识 【例题1】（25-26七年级上·全国·期中）下列代数式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧x，其中是单项式的是 ．（填序号） 【变式1】（25-26七年级上·重庆·阶段练习）给出下列各式中，为单项式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）下列各式中是单项式的有： ．（填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧c． 【题型2】单项式的系数、次数 【例题2】（24-25七年级上·江苏南京·期中）单项式的系数是 ，次数是 ． 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）关于单项式，下列说法中正确的是（   ） A．它的次数是2 B．它的系数是2 C．它的系数是 D．它的次数是4 【变式2】（24-25七年级上·湖南湘西·期末）单项式的系数是 ．次数是 ． 【题型3】单项式的系数、次数规律 【例题3】（25-26七年级上·甘肃武威·阶段练习）观察下列单项式： （1）写出第8个单项式； （2）请你猜想第n个单项式是什么，它的系数、次数分别是多少？ 【变式1】（25-26七年级上·广东汕头·阶段练习）观察下列关于的单项式，探究其规律：，按照上述规律，第100个单项式是 ． 【变式2】（2024·云南·三模）按一定规律排列的单项式：， ， ，   ， ， ，…则第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 知识引入 （2025六年级下·全国·专题练习）如图是两个正方形组成的图形（不重叠无缝隙），用含字母的整式表示出阴影部分的面积为 （25-26七年级上·重庆·开学考试）工程队修一条路，前8天一共修了米，余下的每天修米，还需要10天才能修完，那么工程队修完这条路时，平均每天修路 米． 知识点（二）多项式 像 、这样，由几个单项式相加组成的代数式叫作多项式。 【题型3】多项式 【例题3】（根据教材105页做一做改编） 【变式1】 【变式2】 知识点（三）多项式的项、次数 在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项，次数最高的项的次数就是这个多项式的次数。如多项式的项为、、，其中不含字母的项叫做常数项，如18就是多项式的常数项，次数最高的项是，所以二次三项式。 【题型4】判断多项式的项、次数 【例题4】（25-26七年级上·黑龙江大兴安岭地·期中）下列说法中正确的个数是（   ） （1）a和0都是单项式． （2）多项式的次数是4． （3）单项式的次数为4． （4）的常数项是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（25-26七年级上·北京昌平·期中）已知多项式是五次三项式，是该多项式二次项的系数，则的值为 ． 【变式2】（2025七年级上·全国·专题练习）有一个关于x，y的多项式，每项的次数都是3． （1）这个多项式最多有 项． （2）在（1）的条件下，若此时这个多项式各项系数和为0，则这个多项式可能为 （写出一个即可）． 知识点（四）整式 单项式和多项式统称整体。 即： 【题型5】整式的判断 【例题5】（2024七年级上·全国·专题练习）下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？将它们进行分类． ，，，，，，，m． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知有下列各式：，．其中单项式有个，多项式有个，整式有个，则 ． 【变式2】（25-26七年级上·江苏常州·期中）下列说法正确的是（   ） A．整式就是多项式 B．是单项式 C．是七次二项式 D．是单项式 【题型6】列式求值 【例题6】（教材112页作业题B组4题改编）（24-25七年级上·浙江宁波·期末）有长为的篱笆，利用它和房屋的一面墙围成如图形状的长方形园子，园子的宽为． （1）用关于、的代数式表示园子的面积． （2）当米，米时，求园子的面积． 【变式1】（22-23七年级上·北京西城·期中）如图是一所住宅的建筑平面图（长度单位：m），这所住宅的建筑面积（阴影部分）为 （用含a的式子表示），面积的表达式是二次 项式． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）生活情境·折叠桌因折叠桌方便折叠，便于运输这个特点，在宴会、会议、展会等临时招待的场所经常看到它的身影，折叠桌成为酒店、展会等场所不可缺少的家具．图①是一种可折叠圆桌，图②是其简化示意图及折叠示意图（图中阴影表示可折叠部分），已知折叠前圆桌的直径为，折叠成正方形后其边长为． （1）请你用关于的代数式表示圆桌由圆形折叠成正方形时，面积减少了多少（即表示阴影部分面积）？ （2）（1）中所列代数式是整式吗？如果是，请写出它所有的项，并指出其次数； （3）当，时，阴影部分的面积是多少？（取3） 【题型7】用多项式表示日历上的时间 【例题7】（教材112页作业题B组6题改编）（24-25七年级上·内蒙古通辽·期末）如图是某月份的日历，用方框圈出了9个数．设最中间一个是x，则方框左上角的数可表示为 ． 【变式1】（24-25七年级上·全国·单元测试）在某月的日历上用长方形圈到a，b，c，d四个数（如图），如果，那么的值为（   ） A．22 B．25 C．29 D．30 【变式2】（24-25八年级上·河南开封·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．如图是2025年1月份的日历．任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，，发现结果都是7．若将方框部分的左上角数字设为，用等式表示这一规律为 ． 二．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·四川成都·阶段练习）下列各式：，，，，，，，是单项式的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（25-26七年级上·湖南·期中）下列说法正确的是（    ） A．和不是单项式 B．的系数是 C．的系数是 D．的次数是 3．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）对于多项式，下列说法中，正确的是（ ） A．一次项系数是3 B．最高次项是 C．常数项是 D．是四次三项式 4．（2025·云南丽江·一模）观察按一定规律排列的单项式，，，，，，…，则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）多项式是关于的四次二项式，则的值是（　　） A．4 B． C． D．4或 6．（22-23七年级上·湖北恩施·阶段练习）下列叙述中不正确的个数是（　　） 不是单项式；的系数是，次数是4；代数式三次四项式，其中二次项是；不是整式，而是整式；是单项式． A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 7．（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知为有理数，若是一次式，则 ． 8．（25-26七年级上·甘肃武威·阶段练习）单项式的系数是 ，的次数是 ，多项式的次数为 ． 9．（23-24七年级上·甘肃·期中）有一单项式的系数是2，次数为3，且只含有，，则这个单项式可能是 10．（2024七年级上·全国·专题练习）下列式子中：，，，，，整式有 个． 11．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）如果是一个三次四项式，那么 ． 12．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）下列单项式：，，，，…，，， …，根据你发现的规律，第2024个单项式是 ． 三、解答题 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）把下列代数式：，0，填入相应的大括号内． 单项式：{                               …}； 多项式：{                               …}； 整式：{                               …}． 14．（24-25七年级上·云南楚雄·期末）已知关于x的整式． （1）若该整式是二次二项式，求m的值． （2）在（1）的条件下，求的值． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）青藏铁路线上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段．列车在冻土地段、非冻土地段的行驶速度分别是100千米/时和120千米/时． （1）列车在冻土地段行驶时，t小时行驶_________千米．（用含t的代数式表示） （2）在格尔木到拉萨路段，列车通过冻土地比通过非冻土地段多用0.5小时，若通过冻土地段需要m小时，则非冻土地段的长度是_______千米．（用含m的代数式表示） （3）请指出上面的代数式是单项式还是多项式？ 16．（23-24七年级上·上海·期中）下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的． （1）观察图形，填写下表： 图形 ① ② ③ 正方形的个数 8 图形的周长 18 （2）推测第n个图形中，正方形的个数为______，图形的周长为______（都用含n的代数式表示）． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级上·北京丰台·期末）下列说法正确的是（   ） A．0是单项式 B．的次数是6 C．的系数是2 D．的系数是1 2．（24-25七年级上·全国·期末）关于单项式，下列说法中正确的是（   ） A．它的次数是2 B．它的系数是2 C．它的系数是 D．它的次数是4 3．（24-25七年级上·全国·期末）当时，多项式的值为2024；则当时，多项式的值是（   ） A．2024 B． C．2032 D． 4．（21-22六年级下·黑龙江·阶段练习）下列说法中正确的是（　  ） A．是二次三项式 B．是五次三项式 C．的系数是，次数是4 D．的系数为0，次数为3 5．（23-24七年级上·湖南娄底·阶段练习）下列结论中正确的是（    ） A．单项式的系数是，次数是是 B．单项式的次数是，系数为 C．多项式是二次二项式 D．在中，整式有个 6．（24-25八年级下·云南曲靖·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25七年级上·广东深圳·期末）的次数是 ． 8．（23-24七年级上·云南德宏·期末）写出系数为，含有字母，的三次单项式 ． 9．（23-24七年级上·上海长宁·期中）下列式子中，整式有 （填写序号） ①  ②0  ③  ④  ⑤  ⑥ 10．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）观察下列单项式：，，，，，… 按此规律，第个单项式是 ，第个单项式是 ． 11．（25-26七年级上·广东深圳·阶段练习）已知多项式的次数是5，单项式的次数与这个多项式的二次项系数相同，则的值为 ． 12．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）一些大小相同的★按如图所示的规律摆放：第1个图形有4颗★，第2个图形有7颗★，第3个图形有10颗★，第4个图形有13颗★，，依此规律，第70个图形有 颗★． 三、解答题 13．（23-24七年级上·吉林·期中）（1）把下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④；⑤2；⑥；⑦． 单项式有_________，多项式有____________； （2）利用上面的部分代数式写出一个三次四项式． 14．（25-26八年级上·全国·随堂练习）观察下面的一行单项式：， （1）从第二个单项式开始，计算每个单项式与它前一个单项式的商，你有什么发现？ （2）试写出第八个单项式，第个单项式． 15．（22-23七年级上·全国·期中）在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，并且a是多项式的一次项系数，b是最小的正整数，单项式的次数为c． （1） ， ， ； （2）若将数轴在点B处折叠，则点A与点C 重合（填“能”或“不能”）； （3）若数轴上M、N两点之间的距离为2020（M在N的左侧），且M、N两点经过（2）中折叠后互相重合，则M、N表示的数分别是：M： ；N： ； （4）若在数轴上画出一条长是2020个单位的线段，则此线段盖住的整点个数是 ． 16．（24-25七年级下·陕西榆林·开学考试）如图是一组有规律的图案，第个图案中有朵小花，第个图案中有朵小花，第个图案中有朵小花，按照这样的规律画下去． （1）第个图案中有___________朵小花； （2）用含的代数式表示出第个图案中小花的数量，并求出第个图案中小花的数量． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.3 整式 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识引入 1 知识点（一）单项式 2 【题型1】单项式的认识 2 【题型2】单项式的系数、次数 4 【题型3】单项式的系数、次数规律 5 知识引入 6 知识点（二）多项式 7 【题型3】多项式 7 【变式2】 7 知识点（三）多项式的项、次数 7 【题型4】判断多项式的项、次数 7 知识点（四）整式 9 【题型5】整式的判断 9 【题型6】列式求值 10 【题型7】用多项式表示日历上的时间 13 二．同步练习​ 14 【基础巩固（16题）】 14 【能力提升（16题）】 21 一．知识梳理与题型分类精析 知识引入 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）用字母表示数： （1）若表示正方体的棱长，则正方体的体积是 ； （2）小明每年从零花钱中拿出元捐给希望工程，五年下来小明共捐款 元． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，根据题意列出代数式是解题的关键． （1）根据正方体的体积公式即可得出答案； （2）用每年拿出的钱数乘以年即可得出答案． 解：（1）若表示正方体的棱长，则正方体的体积是， 故答案为：； （2）小明每年从零花钱中拿出元捐给希望工程，五年下来小明共捐款， 故答案为：． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）某企业今年3月份的产值为a万元，4月份比3月份减少了，5月份比4月份增加了，则5月份的产值是多少万元？ 【答案】万元 【分析】本题考查了列代数式，根据4月份、5月份与3月份的产值的百分比的关系列式即可得解． 解：5月份的产值为：万元． 故答案为：万元． 知识点（一）单项式 像 、、这样，由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫作单项式 单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数（coefficient）。例如，的系数是5，的系数是1.035。 一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数（degree）。例如，的次数是3，的次数是2+1=3。 【题型1】单项式的认识 【例题1】（25-26七年级上·全国·期中）下列代数式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧x，其中是单项式的是 ．（填序号） 【答案】①②③⑦⑧ 【分析】本题考查单项式的定义，即单项式是由数或字母的积组成的代数式或单独的一个数或字母，熟练掌握其定义是解题的关键．根据单项式的定义，逐一判断各代数式是否符合． 解：①是常数，属于单项式；②是数与字母的积，属于单项式；③是数与字母的积，属于单项式；④含有加法运算，不是单项式；⑤分母中含有字母，不是单项式；⑥是多项式，不是单项式；⑦分母π是常数，属于单项式；⑧是单独字母，属于单项式； 故答案为：①②③⑦⑧． 【变式1】（25-26七年级上·重庆·阶段练习）给出下列各式中，为单项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的定义，理解定义是解题关键．根据单项式的定义，单项式是数字与字母的乘积或单独的数字或字母，不能有加减运算，且分母中不能含有字母，据此逐项判断即可． 解：A、，含有加法运算，是多项式； B、分母含有字母，是分式； C、是数字与字母的乘积，符合单项式定义； D、含有加法运算，是多项式． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）下列各式中是单项式的有： ．（填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧c． 【答案】②③④⑥⑦⑧ 【分析】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的定义是解题关键．直接根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式解答即可． 解：①不是单项式； ②是单项式； ③是单项式； ④是单项式； ⑤不是单项式， ⑥是单项式； ⑦是单项式； ⑧是单项式； 故答案为：②③④⑥⑦⑧． 【题型2】单项式的系数、次数 【例题2】（24-25七年级上·江苏南京·期中）单项式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的系数、次数，熟练掌握单项式的系数、次数的定义是解题的关键：单项式的系数、次数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，注：单项式表示数字与字母相乘时，通常把数字写在前面，当一个单项式的系数是或时通常省略数字不写而只写符号，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，强调：单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，字母的指数不写的，表示这个字母的指数是，不是“没有”． 根据单项式的系数、次数的定义即可直接得出答案． 解：单项式的系数是，次数是， 故答案为：，． 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）关于单项式，下列说法中正确的是（   ） A．它的次数是2 B．它的系数是2 C．它的系数是 D．它的次数是4 【答案】C 【分析】此题考查单项式，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 解：∵单项式的次数是，系数是， ∴A、B、D选项错误，C选项正确． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·湖南湘西·期末）单项式的系数是 ．次数是 ． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了单项式的知识，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 根据单项式系数、次数的定义即可解答． 解：单项式的系数是．次数是． 故答案为：，6． 【题型3】单项式的系数、次数规律 【例题3】（25-26七年级上·甘肃武威·阶段练习）观察下列单项式： （1）写出第8个单项式； （2）请你猜想第n个单项式是什么，它的系数、次数分别是多少？ 【答案】（1）；（2）第n个单项式是，系数是，次数是 【分析】本题考查了单项式，观察发现规律系数是，字母部分是是解题关键． （1）根据观察，可发现规律：系数是，字母部分是，可得答案； （2）根据观察，可发现规律：系数是，字母部分是，可得答案． 解：（1）解：由观察下列单项式：，得 系数是，字母部分是， 第8个单项式； （2）解：由观察下列单项式：，得 第n个单项式是，系数是，次数是． 【变式1】（25-26七年级上·广东汕头·阶段练习）观察下列关于的单项式，探究其规律：，按照上述规律，第100个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式，找到正确的规律是解决本题的关键． 根据关于x的单项式发现规律即可求解． 解：∵第一个单项式是：， 第二个单项式是：， 第三个单项式是：， 第四个单项式是：， ∴第n个单项式是：， ∴第100个单项式是． 故答案为：． 【变式2】（2024·云南·三模）按一定规律排列的单项式：， ， ，   ， ， ，…则第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式中的规律探究，奇数位为负，偶数位为正，系数的分母为，分子为，字母为，指数为从1开始连续的整数，据此进行判断即可． 解：， ， ，   ， ， ，… 故第n个单项式是； 故选A． 知识引入 （2025六年级下·全国·专题练习）如图是两个正方形组成的图形（不重叠无缝隙），用含字母的整式表示出阴影部分的面积为 【答案】 【分析】本题考查了正方形的面积，三角形的面积，整式加减的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由图得，即可得到答案． 解：由图得， 故答案为：． （25-26七年级上·重庆·开学考试）工程队修一条路，前8天一共修了米，余下的每天修米，还需要10天才能修完，那么工程队修完这条路时，平均每天修路 米． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，以及工程问题中的基本数量关系，解决本题的关键是求解出这条路的总长度． 先求出这条路的总长度，再求出修路的总天数，最后根据“平均每天修路的长度 = 路的总长度÷修路的总天数”来计算平均每天修路的长度． 解：已知前天一共修了米，余下的每天修米，还需要天才能修完， ∴余下的路的长度为米． ∴这条路的总长度为米， ∵修路的总天数为（天）． 可得平均每天修路米． 故答案为：． 知识点（二）多项式 像 、这样，由几个单项式相加组成的代数式叫作多项式。 【题型3】多项式 【例题3】（根据教材105页做一做改编） 【变式1】 【变式2】 知识点（三）多项式的项、次数 在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项，次数最高的项的次数就是这个多项式的次数。如多项式的项为、、，其中不含字母的项叫做常数项，如18就是多项式的常数项，次数最高的项是，所以二次三项式。 【题型4】判断多项式的项、次数 【例题4】（25-26七年级上·黑龙江大兴安岭地·期中）下列说法中正确的个数是（   ） （1）a和0都是单项式． （2）多项式的次数是4． （3）单项式的次数为4． （4）的常数项是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是单项式与多项式的定义，单项式和多项式的次数，多项式的常数项，熟练掌握知识点是解题的关键．判断每个说法的正误：（1）a和0符合单项式定义，正确；（2）多项式次数为最高项次数，的次数为4，正确；（3）单项式次数为字母指数和，的次数为3，错误；（4）常数项为，正确． 解：（1）单项式是数字或字母的积，a是字母，0是数字，所以都是单项式，正确； （2）多项式次数是各项次数最高值，次数为3，次数为4，次数为0，所以最高次数为4，正确； （3）单项式次数是字母指数和，a指数2，b指数1，π是常数不计，所以次数为3，不是4，错误； （4）常数项是不含字母的项，不含字母，所以常数项为，正确． 综上所述，正确说法有3个， 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·北京昌平·期中）已知多项式是五次三项式，是该多项式二次项的系数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式，根据多项式为五次三项式，确定第二项的次数为，求出，再识别二次项及其系数，求出，最后代入计算． 解：多项式 是五次三项式， 因此最高次项的次数为， 第一项 的次数为， 第三项 的次数为， 故第二项 的次数必须为， 即 ， 解得， 二次项是次数为的项，即第三项，其系数为 ， 故， 因此，． 故答案为：． 【变式2】（2025七年级上·全国·专题练习）有一个关于x，y的多项式，每项的次数都是3． （1）这个多项式最多有 项． （2）在（1）的条件下，若此时这个多项式各项系数和为0，则这个多项式可能为 （写出一个即可）． 【答案】（1）四；（2）（答案不唯一） 【分析】本题考查了多项式，解题的关键是理解多项式的定义． （1）根据多项式的定义分析即可得； （2）根据多项式的系数、次数的定义即可得． 解：（1）解：因为这个多项式含有，每项的次数都是，且 所以当它同时含有，，，时，它的项数最多， 即这个多项式最多有四项； （2）满足要求的多项式为：（答案不唯一）． 知识点（四）整式 单项式和多项式统称整体。 即： 【题型5】整式的判断 【例题5】（2024七年级上·全国·专题练习）下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？将它们进行分类． ，，，，，，，m． 【答案】见分析 【分析】本题考查了整式、单项式以及单项式的相关概念．单项式和多项式统称为整式，由数和字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；几个单项式的和（或者差），叫做多项式．据此即可求解； 解：单项式：，，，m； 多项式：，，； 整式：，，，，，，m． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知有下列各式：，．其中单项式有个，多项式有个，整式有个，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查的是多项式和单项式的概念，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 根据多项式，单项式和整式的概念解答即可． 解：单项式为：，，则， 多项式为：，，，则， 整式为：，，，，，则， 则， 故答案为：. 【变式2】（25-26七年级上·江苏常州·期中）下列说法正确的是（   ） A．整式就是多项式 B．是单项式 C．是七次二项式 D．是单项式 【答案】B 【分析】此题考查的是单项式与多项式，掌握其定义是解决此题的关键． 根据单项式与多项式的概念解答即可． 解：A、整式就是多项式和单项式的总称，不合题意； B、是单项式，符合题意； C、是四次二项式，不合题意； D、是多项式，不合题意； 故选：B． 【题型6】列式求值 【例题6】（教材112页作业题B组4题改编）（24-25七年级上·浙江宁波·期末）有长为的篱笆，利用它和房屋的一面墙围成如图形状的长方形园子，园子的宽为． （1）用关于、的代数式表示园子的面积． （2）当米，米时，求园子的面积． 【答案】（1）；（2）园子的面积是 1250 平方米 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，解题的关键是读懂题意，根据题意列出正确的代数式． （1）根据题意得出长方形的长与宽，计算面积； （2）代入数据求值． 解：（1）解：因为园子的长可表示为 ， 所以园子的面积是 ． （2）解：当 时， （平方米）． 答： 园子的面积是 1250 平方米． 【变式1】（22-23七年级上·北京西城·期中）如图是一所住宅的建筑平面图（长度单位：m），这所住宅的建筑面积（阴影部分）为 （用含a的式子表示），面积的表达式是二次 项式． 【答案】 三 【分析】根据阴影部分面积为三个长方形面积的和进行求解即可 解：由题意得，，这是一个二次三项式， 故答案为：，三． 【点拨】本题主要考查了列代数式，多项式的次数与项，正确表示出阴影部分的面积是解题的关键． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）生活情境·折叠桌因折叠桌方便折叠，便于运输这个特点，在宴会、会议、展会等临时招待的场所经常看到它的身影，折叠桌成为酒店、展会等场所不可缺少的家具．图①是一种可折叠圆桌，图②是其简化示意图及折叠示意图（图中阴影表示可折叠部分），已知折叠前圆桌的直径为，折叠成正方形后其边长为． （1）请你用关于的代数式表示圆桌由圆形折叠成正方形时，面积减少了多少（即表示阴影部分面积）？ （2）（1）中所列代数式是整式吗？如果是，请写出它所有的项，并指出其次数； （3）当，时，阴影部分的面积是多少？（取3） 【答案】（1）；（2）为整式，它有两项为和，次数是二次；（3） 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值、整式加减的应用，理解题意，正确列出代数式是解题关键． （1）利用圆形桌面的面积减去正方形桌面的面积即可得； （2）根据多项式的系数和次数的概念找出对应的多项式的项和次数 （3）将，，代入（1）中的结果，进行计算即可得． 解：（1）已知折叠前圆桌的直径为，折叠成正方形后其边长为， 阴影部分面积， 所以面积减少了； （2）为整式， 它有两项为和， 次数是二次； （3）当，时， ， ∴阴影部分的面积是． 【题型7】用多项式表示日历上的时间 【例题7】（教材112页作业题B组6题改编）（24-25七年级上·内蒙古通辽·期末）如图是某月份的日历，用方框圈出了9个数．设最中间一个是x，则方框左上角的数可表示为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了列代数式，根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出方框圈出的其他数是解题的关键．根据方框圈出9个数之间的关系，即可用含的代数式表示出方程左上角的数，即可求解． 解：最中间一个是， 方框左上角的数可表示为． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·全国·单元测试）在某月的日历上用长方形圈到a，b，c，d四个数（如图），如果，那么的值为（   ） A．22 B．25 C．29 D．30 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减，列代数式．根据日历上的数据排列可以得到，而，利用这些关系即可求解． 解：依题意得：， ， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·河南开封·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．如图是2025年1月份的日历．任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，，发现结果都是7．若将方框部分的左上角数字设为，用等式表示这一规律为 ． 【答案】 【分析】本题考查列代数式．根据题意用含n的式子表示其余三个数，表达规律即可． 解：设日历中所示的方框左上角数字为n， 则其余三个数从小到大依次是：， ∴用含x的式子可表示为． 故答案为：． 二．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·四川成都·阶段练习）下列各式：，，，，，，，是单项式的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了单项式，根据单项式的定义逐个判断即可求解，掌握单项式的定义是解题的关键． 解：是数字与字母的积，是单项式； （约分后为常数），是单项式； ，不是单项式； 是常数，是单项式； ，不是单项式； 分母含字母，不是单项式； 分母含字母，不是单项式； 是常数，是单项式； ∴ 是单项式的有 、、、，共个， 故选：． 2．（25-26七年级上·湖南·期中）下列说法正确的是（    ） A．和不是单项式 B．的系数是 C．的系数是 D．的次数是 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式的定义、系数和次数，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 解：A选项：单独的数字与字母也是单项式，和也是单项式，故A选项错误； B选项：单项式的数字因式是，单项式的系数是，故B选项错误； C选项：单项式的数字因式是，单项式的系数是，故C选项错误； D选项：单项式中所有字母的指数和是，单项式的次数是，故D选项正确． 故选：D． 3．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）对于多项式，下列说法中，正确的是（ ） A．一次项系数是3 B．最高次项是 C．常数项是 D．是四次三项式 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的定义；根据多项式的项、系数、次数和常数项的定义逐一判断选项． 解：∵ 多项式 的项为：（一次项，系数为 ）、（三次项）、（常数项）； ∴ A、一次项系数是 ，不是 ，原说法错误，故此选项不符合题意； B、最高次项是 ，次数为 ，不是 ，原说法错误，故此选项不符合题意； C、常数项是 ，原说法正确，故此选项符合题意； D、是三次三项式，不是四次，原说法错误，故此选项不符合题意． 故选：C． 4．（2025·云南丽江·一模）观察按一定规律排列的单项式，，，，，，…，则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了与单项式有关的规律探索，观察指数规律与符号规律，进行解答便可． 解：∵x ，， ， ，，，…， ∴系数的规律为，指数的规律为， ∴第n个单项式为：． 故选C． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）多项式是关于的四次二项式，则的值是（　　） A．4 B． C． D．4或 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的次数和系数，多项式的次数是指多项式中的次数最大的项的次数，根据多项式是关于的四次二项式，列式，则． 解：∵多项式是关于的四次二项式， ∴， 解得， 故选：C． 6．（22-23七年级上·湖北恩施·阶段练习）下列叙述中不正确的个数是（　　） 不是单项式；的系数是，次数是4；代数式三次四项式，其中二次项是；不是整式，而是整式；是单项式． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式及多项式．利用单项式及多项式的定义判断即可． 解：是单项式，原来的说法不正确，符合题意； 的系数是π，次数是3，原来的说法不正确，符合题意； 代数式是三次三项式，原来的说法不正确，符合题意； 不是整式，而是整式，说法正确，不符合题意； 是单项式，说法正确，不符合题意； 故选：B． 二、填空题 7．（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知为有理数，若是一次式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的次数，代数式求值；根据题意得出，进而求得的值，代入代数式，即可求解． 解：∵是一次式， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·甘肃武威·阶段练习）单项式的系数是 ，的次数是 ，多项式的次数为 ． 【答案】 3 4 【分析】本题主要考查了单项式和多项式，直接利用单项式以及多项式的次数确定方法得出答案． 解：单项式的系数是：， 的次数是：3， 多项式的次数为：4． 故答案为：，3，4． 9．（23-24七年级上·甘肃·期中）有一单项式的系数是2，次数为3，且只含有，，则这个单项式可能是 【答案】或 【分析】本题考查单项式． 根据单项式的定义写出符合条件的单项式即可． 解：系数是2，次数为3，且只含有，的单项式可能是或． 故答案为：或． 10．（2024七年级上·全国·专题练习）下列式子中：，，，，，整式有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了整式的概念，根据单项式和多项式统称为整式，进行逐项分析，即可作答． 解：依题意：，，， 都是整式， ∴整式有4个． 故答案为：4． 11．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）如果是一个三次四项式，那么 ． 【答案】2 【分析】本题考查多项式的项数和次数．根据多项式的项数：单项式的个数，次数：最高次项的次数，列式计算即可． 解：的次数为，的次数为，的次数为2，是常数项， 由是一个三次四项式， 得：， 解得：． 故答案为：2． 12．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）下列单项式：，，，，…，，， …，根据你发现的规律，第2024个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式中的规律探究，解题的关键是找出题目中单项式之间的规律，并用代数式表示出来． 根据单项式系数、字母指数之间的规律，第n个单项式是，即可求出结果． 解：根据题意，第n个单项式的系数是，次数是， ∴第n个单项式是， ∴第2024个单项式是． 故答案是：． 三、解答题 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）把下列代数式：，0，填入相应的大括号内． 单项式：{                               …}； 多项式：{                               …}； 整式：{                               …}． 【答案】见分析 【分析】本题考查了整式的定义，单项式和多项式统称整式． 根据单项式与多项式的定义进行分类即可． 解：单项式：； 多项式：； 整式：． 14．（24-25七年级上·云南楚雄·期末）已知关于x的整式． （1）若该整式是二次二项式，求m的值． （2）在（1）的条件下，求的值． 【答案】（1）；（2）4 【分析】本题考查了整式的项和次数的意义，以及已知字母的值求代数式的值． （1）利用多项式的项进行列式求解，即可作答．； （2）把代入进行求解． 解：（1）解：∵是二次二项式， ∴，且， 解得且； ∴； （2）解：当时，． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）青藏铁路线上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段．列车在冻土地段、非冻土地段的行驶速度分别是100千米/时和120千米/时． （1）列车在冻土地段行驶时，t小时行驶_________千米．（用含t的代数式表示） （2）在格尔木到拉萨路段，列车通过冻土地比通过非冻土地段多用0.5小时，若通过冻土地段需要m小时，则非冻土地段的长度是_______千米．（用含m的代数式表示） （3）请指出上面的代数式是单项式还是多项式？ 【答案】（1）；（2）；（3）是单项式，是多项式 【分析】此题主要考查了列代数式，明确路程、速度和时间的关系是解题的关键． （1）根据路程时间速度，代入相应的数据即可； （2）根据路程时间速度，代入相应的数据计算即可． （3）根据单项式和多项式的概念即可解答． 解：（1）解：列车在冻土地段的行驶速度是100千米小时， 列车在冻土地段行驶时，小时行驶千米， 故答案为：； （2）解：由题意可得， 非冻土地段的长度是千米， 故答案为：． （3）解：是单项式，是多项式． 16．（23-24七年级上·上海·期中）下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的． （1）观察图形，填写下表： 图形 ① ② ③ 正方形的个数 8 图形的周长 18 （2）推测第n个图形中，正方形的个数为______，图形的周长为______（都用含n的代数式表示）． 【答案】（1）见分析；（2）， 【分析】本题考查图形规律探索，由起始的几个实例归纳出图形个数与图序号之间的联系是解题的关键． （1）按顺序，每次增加5个正方形，周长每次增加10； （2）由（1）探知，正方形的个数为，周长为． 解：（1）解：按顺序，每次增加5个正方形，小正方形个数图①，图②，图③； 按顺序，周长每次增加10；周长图①，图②，图③； 填表得： 图形 ① ② ③ 正方形的个数 8 13 18 图形的周长 18 28 38 （2）解：由（1）第n（n为正整数）个图形中正方形的个数为，周长为． 故答案为：，． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级上·北京丰台·期末）下列说法正确的是（   ） A．0是单项式 B．的次数是6 C．的系数是2 D．的系数是1 【答案】A 【分析】本题考查了单项式的定义、单项式的系数与次数的定义，掌握以上的知识是解答本题的关键；本题根据单项式的定义、系数与次数的定义逐项判断即可求解． 解：A、0是单项式，此项说法正确； B、的次数是，此项说法错误； C、的系数是，此项说法错误； D、的系数是，此项说法错误； 故选A． 2．（24-25七年级上·全国·期末）关于单项式，下列说法中正确的是（   ） A．它的次数是2 B．它的系数是2 C．它的系数是 D．它的次数是4 【答案】C 【分析】此题考查单项式，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 解：∵单项式的次数是，系数是， ∴A、B、D选项错误，C选项正确． 故选：C． 3．（24-25七年级上·全国·期末）当时，多项式的值为2024；则当时，多项式的值是（   ） A．2024 B． C．2032 D． 【答案】D 【分析】此题考查了代数式求值，熟练掌握整体代入是解本题的关键．将代入已知式子求出的值，把代入所求代数式，将代入计算即可． 解：当时，多项式的值为2024； ∴， ， 当时， ． 故选：D 4．（21-22六年级下·黑龙江·阶段练习）下列说法中正确的是（　  ） A．是二次三项式 B．是五次三项式 C．的系数是，次数是4 D．的系数为0，次数为3 【答案】C 【分析】本题考查了单项式和多项式的有关概念，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和；多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数． 根据单项式和多项式的有关概念逐一判断即可． 解：A． ，分母有未知数，不是整式，原说法错误； B．是二次三项式，原说法错误； C．的系数是，次数是4，原说法正确； D．的系数为1，次数为3，原说法错误； 故选：C 5．（23-24七年级上·湖南娄底·阶段练习）下列结论中正确的是（    ） A．单项式的系数是，次数是是 B．单项式的次数是，系数为 C．多项式是二次二项式 D．在中，整式有个 【答案】D 【分析】此题考查了整式的有关概念，根据单项式和多项式有关概念即可求解，解题的关键是灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，多项式中次数最高项的次数是多项式的次数． 解：、单项式的系数是，次数是，此选项判断错误，不符合题意； 、单项式的次数是，系数为，此选项判断错误，不符合题意； 、多项式是三次二项式，此选项判断错误，不符合题意； 、在中，整式有共个，此选项判断正确，符合题意； 故选：． 6．（24-25八年级下·云南曲靖·期末）按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式的规律探究，认真观察得出规律是解题的关键．观察单项式的符号、系数和指数的变化规律，分别找出对应的表达式即可得出答案． 解：观察可知，单项式的符号依次为、、、、、，呈现交替变化，第项的符号为， 观察系数依次为，，，（即），，分子为，分母为2，故第项系数为， 观察的指数依次为1，3，5，7，9，那么第项的指数为， 综合以上规律，第个单项式为：， 故选：A． 二、填空题 7．（24-25七年级上·广东深圳·期末）的次数是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查单项式的次数，熟练掌握单项式的次数是解题的关键．根据单项式的次数即可得到答案． 解：的次数是， 故答案为：． 8．（23-24七年级上·云南德宏·期末）写出系数为，含有字母，的三次单项式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查单项式的定义，由数或字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，单项式中数字因数叫做单项式的系数（当系数为1或时，1可以省略不写）．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 解：系数为，含有字母，的三次单项式： 故答案为：（答案不唯一） 9．（23-24七年级上·上海长宁·期中）下列式子中，整式有 （填写序号） ①  ②0  ③  ④  ⑤  ⑥ 【答案】①②③④⑤ 【分析】此题主要考查了整式的定义，直接利用单项式和多项式统称为整式，进而判断得出答案． 解：①是单项式，也是整式； ②0是单项式，也是整式； ③是多项式，也是整式； ④是单项式，也是整式； ⑤是多项式，也是整式； ⑥分母中有字母，不是整式； 故答案为：①②③④⑤． 10．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）观察下列单项式：，，，，，… 按此规律，第个单项式是 ，第个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字因数和字母的指数的变化特点，写出相应的单项式． 根据题目中的单项式可以发现数字因数和字母的指数的变化特点，即可写出第n个单项式，从而可以写出第2025个单项式． 解：∵一列单项式：，，，，，… ∴第n个单项式为：， 当时，这个单项式是， 故答案为：，． 11．（25-26七年级上·广东深圳·阶段练习）已知多项式的次数是5，单项式的次数与这个多项式的二次项系数相同，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的次数、项，单项式的次数、系数等概念，幂的运算等知识﹒根据多项式的次数是5，求出，根据单项式的次数与多项式的二次项系数相同，求出，进而即可求出的值． 解：∵多项式的次数是5， ∴， ∴， ∵单项式的次数与多项式的二次项系数相同， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）一些大小相同的★按如图所示的规律摆放：第1个图形有4颗★，第2个图形有7颗★，第3个图形有10颗★，第4个图形有13颗★，，依此规律，第70个图形有 颗★． 【答案】211 【分析】本题考查了整式的图形规律探索，求代数式的值，熟练掌握整式的图形规律探索是解题的关键．通过列举前4个图的★的个数，找出一般规律，并表示为整式，然后令，代入计算即可． 解：第1个图形有4颗★， 第2个图形有颗★， 第3个图形有颗★， 第4个图形有颗★， ， 第n个图形有颗★， 当时，， 所以第70个图形有211颗★． 故答案为：211． 三、解答题 13．（23-24七年级上·吉林·期中）（1）把下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④；⑤2；⑥；⑦． 单项式有_________，多项式有____________； （2）利用上面的部分代数式写出一个三次四项式． 【答案】（1）③⑤⑦；①②；（2）是三次四项式．（答案不唯一） 【分析】本题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，三次五项式的定义． （1）根据单项式，多项式的定义即可求解． （2）根据三次四项式的定义即可求解 解：（1）单项式有：③；⑤2；⑦； 多项式有：①；②； 故答案为：③⑤⑦；①②； （2）选①⑤， 则是三次四项式．（答案不唯一）． 14．（25-26八年级上·全国·随堂练习）观察下面的一行单项式：， （1）从第二个单项式开始，计算每个单项式与它前一个单项式的商，你有什么发现？ （2）试写出第八个单项式，第个单项式． 【答案】（1）从第二个单项式开始，每个单项式与前一个单项式的商都是；（2）第八个单项式是，第个单项式为． 【分析】本题考查了单项式的运算和单项式的规律知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据单项式的运算和单项式的规律知识，进行作答，即可求解； 解：（1）解：，，， ∴从第二个单项式开始，每个单项式与前一个单项式的商都是． （2）解：第一个单项式是： 第二个单项式是： 第三个单项式是： 第四个单项式是： 第五个单项式是： 第六个单项式是： 第七个单项式是： 第八个单项式是： 第个单项式是：， ∴第八个单项式是，第个单项式为． 15．（22-23七年级上·全国·期中）在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，并且a是多项式的一次项系数，b是最小的正整数，单项式的次数为c． （1） ， ， ； （2）若将数轴在点B处折叠，则点A与点C 重合（填“能”或“不能”）； （3）若数轴上M、N两点之间的距离为2020（M在N的左侧），且M、N两点经过（2）中折叠后互相重合，则M、N表示的数分别是：M： ；N： ； （4）若在数轴上画出一条长是2020个单位的线段，则此线段盖住的整点个数是 ． 【答案】（1）；（2）能；（3）；（4）2020或2021 【分析】本题主要考查了数轴、整式的概念、折叠等知识点，灵活运用相关概念是解答本题的关键． （1）根据多项式、正整数与单项式的概念即可求解； （2）只需要判断、是否关于对称即可； （3）由题意可知：到1与到1的距离相等，且等于1010，依此即可求解； （4）由题意可知端点有两种情况，一种是在表示整数的点上，一种是不在表示整数的点上． 解：（1）解：∵多项式的一次项系数是， 最小的正整数是的次数为6， ， 故答案为：． （2）解：能，理由如下： 由于与6的中点为，故将数轴在点处折叠，则点与点能重合； （3）解：由题意可知：的中点是表示1的点， ∴M到1与到1的距离相等，且等于， ∴M、表示； 故答案是：； （4）解：当端点不在表示整数的点上时，此时整点共有2020个， 当端点在表示整数的点上时，此时整点共有个． 故答案为：2020或2021． 16．（24-25七年级下·陕西榆林·开学考试）如图是一组有规律的图案，第个图案中有朵小花，第个图案中有朵小花，第个图案中有朵小花，按照这样的规律画下去． （1）第个图案中有___________朵小花； （2）用含的代数式表示出第个图案中小花的数量，并求出第个图案中小花的数量． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（）由题意得后一个图形比前一个多朵小花，据此解答即可； （）由题意得第个图案中小花的数量为，据此解答即可； 本题考查了图形类规律变化问题，根据题意找到变化规律是解题的关键． 解：（1）解：由题意得，后一个图形比前一个多朵小花， ∴第个图案中有朵小花，第个图案中有朵小花， 故答案为：； （2）解：由题意得，第个图案中小花的数量为， 第个图案中小花的数量为， 第个图案中小花的数量为， ， ∴第个图案中小花的数量为． 当时，， ∴第个图案中有朵小花． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $