精品解析：浙江省绍兴市嵊州市嵊州市三界片2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

三界片2025学年第一学期期中检测 九年级数学 一、选择题（本大题共有10个小题，每题3分，共30分） 1. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，为必然事件的是（ ） A. 小明买彩票中奖 B. 任意抛一只纸杯，杯口朝下 C. 在一个没有红球的袋子里摸到红球 D. 任选一个三角形的两边，其和大于第三边 3. 把抛物线的图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的表达式为（ ） A B. C. D. 4. 的半径为5，点到圆心的距离为5，点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在外 C. 点在上 D. 无法确定 5. 小明的口袋里有3把钥匙，分别能打开甲、乙、丙三把锁，他从口袋中任意取出一把钥匙，能打开甲锁的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是圆的直径，于，，，则为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 3.5 7. 已知二次函数图象（）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（　　） A 函数有最小值1，有最大值3 B. 函数有最小值，有最大值0 C. 函数有最小值，有最大值3 D. 函数有最小值，无最大值 8. 在中，，，那么这个三角形的外接圆直径是（ ） A. 5 B. 10 C. 5或4 D. 10或8 9. 如图，二次函数(a≠0)的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线x=1，点B坐标为(－1,0)．则下面的四个结论：①2a+b=0；②4a－2b+c＜0；③ac＞0；④当y＜0时，x＜－1或x＞3．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知二次函数的图象经过点，，．若，，，则之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有6个小题，每题3分，共18分） 11. 请写出一个二次函数的表达式，使其图像关于轴对称：______． 12. 已知一个正多边形的每个外角都等于，那么它是正_____边形． 13. 如图,从A地到B地有两条路线可走,从B地到F地可经C大桥、D大桥或E大桥到达,现让你随机选择一条从A地出发经过B地到达F地的行走路线,那么恰好选到经过D大桥的路线的概率是__.  14. 已知抛物线与轴的交点坐标分别是，则关于的一元二次方程的根是_______． 15. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为______度． 16. 我们约定：当，，，满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．若关于的二次函数是“对偶函数”，则实数的取值范围为_____． 三、解答题（本大题共有8个小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，24题12分，共72分） 17. 已知二次函数图象经过点，． （1）求此时二次函数的关系式． （2）求此时二次函数图象的顶点坐标． 18. 有3张大小、形状完全相同的卡片，分别画有圆、矩形、一个锐角为的直角三角形．从中任意抽取一张，记下图形的名称后放回、搅匀，再任意抽取一张． （1）用树状图或列表法表示两次抽取卡片所有可能出现的结果． （2）求两次抽取的卡片上的图形都是轴对称图形的概率． 19. 已知，如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，求证：AC＝BD 20. 某超市以20元/千克的进货价购进了一批绿色食品，如果以30元/千克销售这些绿色食品，那么每天可售出400千克．由销售经验可知，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）（x≥30）存在如图所示的一次函数关系． （1）试求出y与x函数关系式； （2）设该超市销售该绿色食品每天获得利润w元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ 21. 在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 （1）上表中的a=________，b=________； （2）“摸到白球的”的概率的估计值是________（精确到0.1）； （3）如果袋中有18个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ 22. 如图，在中，，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E． （1）求证：． （2）若弧，求的度数． （3）过点D作于点F，若，，求DF的长． 23. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 24. 如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D． （1）求抛物线的解析式． （2）如果一个圆经过点O、点B、点C三点，并交于抛物线AC段于点E，求∠OEB的度数． （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三界片2025学年第一学期期中检测 九年级数学 一、选择题（本大题共有10个小题，每题3分，共30分） 1. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了顶点式顶点坐标为，根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标即可，熟练掌握顶点式的性质是解题的关键． 【详解】解：的顶点坐标为， 故选：． 2. 下列事件中，为必然事件的是（ ） A. 小明买彩票中奖 B. 任意抛一只纸杯，杯口朝下 C. 在一个没有红球的袋子里摸到红球 D. 任选一个三角形的两边，其和大于第三边 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了必然事件，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】、小明买彩票中奖是随机事件，此选项不符合题意； 、任意抛一只纸杯，杯口朝下是随机事件，此选项不符合题意； 、在一个没有红球的袋子里摸到红球是不可能事件，此选项不符合题意； 、任选一个三角形的两边，其和大于第三边是必然事件，此选项符合题意； 故选：． 3. 把抛物线的图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象平移规则，左加右减，上加下减即可解得．本题考查二次函数图象的平移，掌握“左加右减，上加下减”的规律是解题关键． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位，得； 再向上平移3个单位，得． 故选：B． 4. 的半径为5，点到圆心的距离为5，点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在外 C. 点在上 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外⇔；点P在圆上⇔；点P在圆内⇔． 直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【详解】解：∵的半径为5，点P到圆心O的距离为5， ∴点P到圆心O的距离等于圆的半径， ∴点P在上． 故选：C． 5. 小明的口袋里有3把钥匙，分别能打开甲、乙、丙三把锁，他从口袋中任意取出一把钥匙，能打开甲锁的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用概率公式求出答案． 【详解】解：因为三把钥匙中只有1把能打开甲锁， 所以随机取出一把钥匙开甲锁，恰好能打开的概率是， 故选：A． 【点睛】本题考查的是概率公式，解题的关键是掌握概率所求情况数与总情况数之比． 6. 如图，是圆的直径，于，，，则为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 3.5 【答案】B 【解析】 【分析】连接OC，求出OC，CE，根据勾股定理求出OE即可． 【详解】解：连接OC， ∵直径AB=10， ∴OC=5， ∵CD⊥AB，AB为直径， ∴CD=2CE=8，∠OEC=90°， ∴CE=4， 由勾股定理得：OE==3． 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，关键是构造直角三角形． 7. 已知二次函数的图象（）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（　　） A. 函数有最小值1，有最大值3 B. 函数有最小值，有最大值0 C. 函数有最小值，有最大值3 D. 函数有最小值，无最大值 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象和最值，能根据x的取值范围利用数形结合求解是解答此题的关键．由图象可直接得出当时，函数有最小值；当时，函数有最大值3，即可解答． 【详解】解：由图象可知该函数在所给自变量取值范围内，当时，函数有最小值；当时，函数有最大值3． 故选C． 8. 在中，，，那么这个三角形的外接圆直径是（ ） A. 5 B. 10 C. 5或4 D. 10或8 【答案】D 【解析】 【分析】这个三角形的外接圆直径时斜边长，有两种情况：（1）斜边是BC，即外接圆直径是8；（2）斜边是AC，即外接圆直径是． 【详解】根据题意得： （1）斜边是BC，即外接圆直径是； （2）斜边是AC，即外接圆直径是 故选：D 【点睛】本题考查直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆． 9. 如图，二次函数(a≠0)的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线x=1，点B坐标为(－1,0)．则下面的四个结论：①2a+b=0；②4a－2b+c＜0；③ac＞0；④当y＜0时，x＜－1或x＞3．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴即可判断①；结合图形，抛物线开口向下，可得a＜0，根据B（-1,0）在抛物线上，可知当x=-2时，y<0，即可判断②；根据抛物线与y轴的交点在x轴上方，有c＞0，即可判断③；根据抛物线的对称性，由点B坐标为(－1,0)，可得点A（3,0），即可判断④． 【详解】∵抛物线的对称轴是直线x=1， ∴， ∴2a+b=0，故①正确，符合题意； ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵B（-1,0）在抛物线上， ∴当x=-2时，y<0， 即4a-2b+c<0，故②正确，符合题意； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴ac＜0，故③错误，不符合题意； ∵对称轴为直线x=1，点B坐标为(－1,0)， ∴点A（3，0）， ∴当y＜0时，x＜－1或x＞3，故④正确，符合题意， 所以正确的有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，注重数形结合是解答本题的关键．此类题型是常考题目． 10. 已知二次函数的图象经过点，，．若，，，则之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据所给函数解析式，得出抛物线的对称轴为直线及开口向下，再结合M，N，P三个点离对称轴的远近即可解决问题． 【详解】解：由题知，因为二次函数解析式为， 所以抛物线的对称轴为直线且开口向下， 所以抛物线上的点，离对称轴越远，其纵坐标越小． 因为，，， 所以，，， 因为， 所以． 故选：D． 二、填空题（本大题共有6个小题，每题3分，共18分） 11. 请写出一个二次函数的表达式，使其图像关于轴对称：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题意可以写出一个符合要求的函数表达式，注意本题答案不唯一，只要符合要求即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 已知一个正多边形的每个外角都等于，那么它是正_____边形． 【答案】十 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，利用多边形的外角和为，每个外角相等，用外角和除以每个外角即可得到边数． 【详解】解：． 故答案为：十． 13. 如图,从A地到B地有两条路线可走,从B地到F地可经C大桥、D大桥或E大桥到达,现让你随机选择一条从A地出发经过B地到达F地的行走路线,那么恰好选到经过D大桥的路线的概率是__.  【答案】 【解析】 【分析】列举出所有情况，看恰好选到经过路线D的情况数占总情况数的多少即可． 【详解】根据题意列出树状图，从A地到B地有两条路线可走为B1,B2 所以恰好选到经过D大桥的路线的概率是 【点睛】本题考查的是概率，熟练掌握列表法和树状图法是解题的关键. 14. 已知抛物线与轴的交点坐标分别是，则关于的一元二次方程的根是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与x轴的交点的横坐标即为二次函数对应的一元二次方程的解，据此可得答案． 【详解】解；∵抛物线与轴的交点坐标分别是， ∴关于一元二次方程的根是， 故答案为：． 15. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为______度． 【答案】50 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°， ∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°， ∵，∠BAC＝25°， ∴∠DCE＝∠BAC＝25°， ∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°， 故答案为：50． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的问题，掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理、三角形外角的性质是解题的关键． 16. 我们约定：当，，，满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．若关于的二次函数是“对偶函数”，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式等知识点，正确理解新定义是解题的关键． 由题意可得，且时，有，整理得到，利用关于的一元二次方程必有实数根，分别根据判别式等于零和大于零求解即可． 【详解】解：设函数图象上两点和 为一对“对偶点”，则由定义有 和，即和， 同时，两点在函数图象上，故： ∴， 以上两式相减可得， 从而将， 代入①整理可得， 此关于的一元二次方程必有实数根， 由于时，（不符合题意）． 从而必有，解得． 故答案为：． 三、解答题（本大题共有8个小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，24题12分，共72分） 17. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求此时二次函数的关系式． （2）求此时二次函数图象的顶点坐标． 【答案】（1） （2）该二次函数的顶点坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质，正确求出函数解析式是解题关键． （1）将点，代入函数解析式，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式． （2）将二次函数解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标． 【小问1详解】 解：将点，代入二次函数， 得：， 解得：， 二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：， 该二次函数的顶点坐标为． 18. 有3张大小、形状完全相同的卡片，分别画有圆、矩形、一个锐角为的直角三角形．从中任意抽取一张，记下图形的名称后放回、搅匀，再任意抽取一张． （1）用树状图或列表法表示两次抽取卡片所有可能出现的结果． （2）求两次抽取的卡片上的图形都是轴对称图形的概率． 【答案】（1）（圆，圆），（圆，矩形），（圆，直角三角形），（矩形，圆），（矩形，矩形），（矩形，直角三角形），（直角三角形，圆），（直角三角形，矩形），（直角三角形，直角三角形） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法及概率公式，熟知树状图法及列表法是解题的关键． （1）根据题意，借助树状图或列表，写出所有可能得抽签结果； （2）结合（1）中的结果进行计算即可． 【小问1详解】 解：画树状图如下： 所以所有可能的抽签结果为：（圆，圆），（圆，矩形），（圆，直角三角形），（矩形，圆），（矩形，矩形），（矩形，直角三角形），（直角三角形，圆），（直角三角形，矩形），（直角三角形，直角三角形） 【小问2详解】 解：由（1）知，一共有9种等可能得结果，且两次抽取的卡片上的图形都是轴对称图形的有（圆，圆），（圆，矩形），（矩形，圆），（矩形，矩形）， 所以两次抽取的卡片上的图形都是轴对称图形的概率． 19. 已知，如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，求证：AC＝BD 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据角之间的关系，得到，再根据弦与圆心角的关系，即可求解． 【详解】证：∵ ∴ ∴ 【点睛】此题考查了弦、弧以及圆心角的关系，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧、弦相等，解题的关键是掌握它们之间的关系． 20. 某超市以20元/千克的进货价购进了一批绿色食品，如果以30元/千克销售这些绿色食品，那么每天可售出400千克．由销售经验可知，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）（x≥30）存在如图所示的一次函数关系． （1）试求出y与x的函数关系式； （2）设该超市销售该绿色食品每天获得利润w元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）y＝﹣20x+1000（30≤x≤50）；（2）当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元． 【解析】 【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得y与x的函数关系式； （2）根据题意和（1）中的函数关系式可以求得w的最大值，从而可以解答本题． 【详解】（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b， ，得， 即y与x的函数关系式是y＝﹣20x+1000（30≤x≤50）； （2）w＝（x﹣20）y ＝（x﹣20）（﹣20x+1000） ＝﹣20x2+1400x﹣20000 ＝﹣20（x﹣35）2+4500， 故当x＝35时，w取得最大值，此时w＝4500， 答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 21. 在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球次数m 59 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 （1）上表中的a=________，b=________； （2）“摸到白球的”的概率的估计值是________（精确到0.1）； （3）如果袋中有18个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ 【答案】（1）0.59，116 （2）0.6 （3）除白球外，还有大约12个其它颜色的小球． 【解析】 【分析】（1）利用频率=频数÷样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数． 【小问1详解】 解：a=59÷100=0.59，b=200×0.58=116． 故答案为：0.59，116； 【小问2详解】 解：“摸到白球的”的概率的估计值是0.6； 故答案为：0.6； 【小问3详解】 解：18÷0.6-18=12（个）． 答：除白球外，还有大约12个其它颜色的小球． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 22. 如图，在中，，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E． （1）求证：． （2）若弧，求的度数． （3）过点D作于点F，若，，求DF的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，由题意知，进而可说明； （2）由题意知，，有，根据可知的值； （3）由题意知，在中，由勾股定理得，求出的值，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接 ∵AB是圆O的直径 ∴ 又∵ ∴． 【小问2详解】 解：由题意知 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴ 中，由勾股定理得 ∵ ∴ 解得． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角，三角形内角和定理等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用． 23. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； 【小问3详解】 解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 24. 如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D． （1）求抛物线的解析式． （2）如果一个圆经过点O、点B、点C三点，并交于抛物线AC段于点E，求∠OEB的度数． （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线解析式y＝﹣x2+2x+3；（2）∠OEB＝45°；（3）存在，点P（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，4+）、（1，4﹣）时，△PCD为等腰三角形 【解析】 【分析】（1）利用一次函数求出B、C两点的坐标，然后将其代入抛物线解析式求解即可； （2）先作出相应图形，得出 ，可得等腰直角三角形，利用同弧所对圆周角相等即可得出； （3）设P点坐标为（1，m），根据两点间的距离公式可求出的三边长，根据等腰三角形的定义分三种情况进行讨论求解即可得出点的坐标． 详解】解：（1）令，代入直线解析式可得C点坐标（0，3），令y＝0，代入直线解析式可得B点坐标（3，0）， 将点B，C代入抛物线得： ， 解得：， ∴抛物线解析式； （2）如图， ∵，， ∴等腰直角三角形， ∴， 根据圆周角定理可得：； （3）存在点P使为等腰三角形； 理由如下：如图， 由（1）可知抛物线， ∴抛物线对称轴，顶点D坐标（1，4）， 设P点坐标为（1，m）， ∴， ， ， ①当时，，解得； ②当时，，解得，； ③当时，，解得，； 综上所述，当点P（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，）、（1，）时，为等腰三角形． 【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质，圆中同弧所对的圆周角相等性质，等腰三角形的判定和性质等，熟练掌握这些性质融会贯通是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $