4.3 第2课时 对数函数图象及性质的应用-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦对数函数图象及性质的应用核心知识点，链接教材例题巩固单调性等基础性质，通过比较对数值大小、求解对数不等式、分析对数型函数单调性三个类型，构建从性质理解到综合应用的学习支架，涵盖不同底数真数下的解题方法。 特色在于分层设计例题与训练，如比较大小题分底数同异、结合中间量0/1，培养分类讨论的数学思维。解不等式强调定义域与单调性结合，提升逻辑推理能力。课中方法总结辅助教师授课，课后分层作业助学生查漏补缺，结合函数图象增强几何直观，发展用数学语言表达问题的能力。

第2课时　对数函数图象及性质的应用 类型1　比较对数值的大小 【例1】　【链接教材P112例4，P114例7】 (1)已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则(　　) A．b＜a＜c 　 B．c＜b＜a C．c＜a＜b 　 D．b＜c＜a (2)若a＝log67，b＝log76，c＝loπ，则(　　) A．a<b<c　　 B．a<c<b C．c<b<a　　 D．b<c<a (3)已知a＝0.3-0.2，b＝log0.20.3，c＝log0.32，则(　　) A．a>b>c　　 B．a>c>b C．b>c>a　　 D．c>b>a (1)D　(2)C　(3)A　[(1)log43.2<log43.6，即b<c． 又c＝log43.6＝log23.6<log23.6． 所以b<c<a，故选D． (2)log67>log66＝1，log76<log77＝1， lo1＝0， 即a>1，0<b<1，c<0， 所以c<b<a，故选C． (3)因为a>1，0<b<1，c<0， 所以a>b>c，故选A．] 【教材原题·P112例4】 例4　比较下列各题中两个数的大小： (1)log20.25，log20.3；(2)． [解]　(1)因为函数y＝log2x在定义域(0，＋∞)上是增函数，且0.25<0.3，所以log20.25<log20.3； (2)因为函数y＝log2x在定义域(0，＋∞)上是增函数，且1<3.5<4.5，所以0<log23.5<log24.5，因此>． 【教材原题·P114例7】 例7　比较下列各题中两个数的大小： (1)log25.3，log24.7；(2)log0.27，log0.29； (3)log3π，logπ3；(4)loga3.1，loga5.2(a>0，且a≠1)． [解]　(1)因为2>1，所以函数y＝log2x在定义域(0，＋∞)上是增函数． 由5.3>4.7，得log25.3>log24.7． (2)因为0<0.2<1，所以函数y＝log0.2x在定义域(0，＋∞)上是减函数． 由7<9，得log0.27>log0.29． (3)因为3>1，所以函数y＝log3x在定义域(0，＋∞)上是增函数． 由π>3，得log3π>log33＝1． 同理可得1＝logππ>logπ3． 因此log3π>logπ3． (4)对数函数的单调性取决于其底数是大于1还是大于0且小于1，而已知条件中并未明确指出底数a与1哪个大，因此需要对底数进行分类讨论． 当a>1时，函数y＝logax在定义域(0，＋∞)上是增函数，此时由3.1<5.2，得loga3.1<loga5.2； 当0<a<1时，函数y＝logax在定义域(0，＋∞)上是减函数，此时由3.1<5.2，得loga3.1>loga5.2． 　比较对数值大小时常用的4种方法 (1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较． (2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． (3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较． (4)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较． [跟进训练] 1．下列式子中成立的是(　　) A．log0.44<log0.46 　 B．1.013.4>1.013.5 C．3.50.3<3.40.3 　 D．log87<log78 D　[因为y＝log0.4x为减函数，故log0.44>log0.46，故A错误；因为y＝1.01x为增函数，所以1.013.4<1.013.5，故B错误；由指数函数图象特点知，3.50.3>3.40.3，故C错误．] 2．已知a＝，b＝log2，则(　　) A．a>b>c 　 B．a>c>b C．c>b>a 　 D．c>a>b D　[∵0<a＝<20＝1，b＝log2<log21＝0，c＝＝1，∴c>a>b．故选D．] 类型2　求解对数不等式 【例2】　解不等式： (1)log2(2x＋3)≥log2(5x－6)； (2)loga(x－4)－loga(2x－1)>0(a>0，且a≠1)． [解]　(1)原不等式等价于 解得<x≤3． 所以不等式的解集为． (2)原不等式化为loga(x－4)>loga(2x－1)． 当a>1时，不等式等价于无解． 当0<a<1时，不等式等价于 解得x>4． 综上可知，当a>1时，解集为∅；当0<a<1时，解集为{x|x>4}． 　常见对数不等式的2种解法 (1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论． (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解． [跟进训练] 3．不等式的解集为________． (－2，1)　[因为函数y＝在定义域(0，＋∞)上是减函数，所以解得－2<x<1．] 4．若loga(3a－1)恒为正，则a的取值范围为____________________________． ∪(1，＋∞)　[由题意知loga(3a－1)>0＝loga1． 当a>1时，y＝logax是增函数， ∴解得a>，∴a>1； 当0<a<1时，y＝logax是减函数， ∴解得<a<，∴<a<． 综上所述，a的取值范围是∪(1，＋∞)．] 类型3　对数型函数的单调性 【例3】　求函数f (x)＝的单调区间． [解]　设t＝x2－2x－3>0，得x>3或x<－1，由于t＝(x－1)2－4在(3，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减，又y＝在定义域内单调递减，因而函数f (x)＝的单调递增区间为(－∞，－1)，单调递减区间为(3，＋∞)． 　1．解决对数型复合函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数是否大于1进行讨论；二是运用复合函数的单调性法则来判断其单调性；三是要注意其定义域． 2．对数型复合函数一般可分为两类：一类是对数函数为外函数，即y＝logaf (x)(a>0，且a≠1)型；另一类是对数函数为内函数，即y＝f (logax)(a>0，且a≠1)型． [跟进训练] 5．若y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为________． (2，＋∞)　[由y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，所以2a－3>1，解得a>2．] 6．已知f (x)＝log4(4x－1)． (1)求f (x)的定义域； (2)讨论f (x)的单调性； (3)求f (x)在区间上的值域． [解]　(1)由4x－1>0，解得x>0， 因此f (x)的定义域为(0，＋∞)． (2)设0<x1<x2，则－1， 因此， 即f (x1)<f (x2)， 故f (x)在(0，＋∞)上单调递增． (3)因为f (x)在区间上单调递增， 又f ＝0，f (2)＝log415， 因此f (x)在上的值域为[0，log415]． 1．(教材P116习题4—3A组T4改编)已知a＝log23.4，b＝log43.6，c＝log30.3，则(　　) A．a>b>c 　 B．b>a>c C．a>c>b 　 D．c>a>b A　[因为a＝log23.4>1，0<b＝log43.6<1，c＝log30.3<0，所以a>b>c，故选A．] 2．若lg (2x－4)≤1，则x的取值范围是(　　) A．(－∞，7] 　 B．(2，7] C．[7，＋∞) 　 D．(2，＋∞) B　[∵lg (2x－4)≤1，∴0<2x－4≤10，解得2<x≤7，∴x的取值范围是(2，7]，故选B．] 3．设a>1，函数f (x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝(　　) A． 　 B．2 C．2 　 D．4 D　[因为a>1，所以y＝logax在[a，2a]上单调递增． 所以loga(2a)－logaa＝， 即loga2＝，所以＝2，解得a＝4．] 4．函数f (x)＝log5(2x＋1)的单调递增区间是_________________________． 　[因为y＝log5x与y＝2x＋1均为增函数，故函数f (x)＝log5(2x＋1)是其定义域上的增函数，所以函数f (x)的单调递增区间是．] 5．函数y＝在区间[0，1]上的最大值为________，最小值为________． 3　1　[因为y＝2x在[0，1]上单调递增，y＝lo(x＋1)在[0，1]上单调递减，所以y＝f (x)＝2x－lo(x＋1)在[0，1]上单调递增，所以y的最大值为f (1)＝21－lo2＝2－(－1)＝3，最小值为f (0)＝20－lo1＝1－0＝1．] 课时分层作业(二十七)　对数函数图象及性质的应用 一、选择题 1．已知函数f (x)＝log2(1＋2－x)，则函数f (x)的值域是(　　) A．[0，2) 　 B．(0，＋∞) C．(0，2) 　 D．[0，＋∞) B　[∵1＋2－x>1， ∴log2(1＋2－x)>0，∴函数f (x)的值域是(0，＋∞)，故选B．] 2．已知实数a＝log45，b＝，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b<c<a 　 B．b<a<c C．c<a<b 　 D．c<b<a D　[由题知，a＝log45>1，b＝＝1，c＝log30.4<0，故c<b<a．] 3．函数f (x)＝的单调递增区间是(　　) A． 　 B．(0，1] C．(0，＋∞) 　 D．[1，＋∞) D　[ f (x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)． ] 4．已知lon<0，则(　　) A．n<m<1　　 B．m<n<1 C．1<m<n　　 D．1<n<m D　[因为<0，所以m>n>1，故选D．] 5．若函数f (x)＝loga|x＋1|在(－1，0)上恒有f (x)>0，则f (x)(　　) A．在(－∞，0)上单调递增 B．在(－∞，0)上单调递减 C．在(－∞，－1)上单调递增 D．在(－∞，－1)上单调递减 C　[当－1<x<0时，0<x＋1<1． ∵loga|x＋1|>0，∴0<a<1， ∴函数f (x)＝loga|x＋1|在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．] 二、填空题 6．设f (x)＝lg x，若f (1－a)－f (a)>0，则实数a的取值范围为________． 　[由题意，f (x)＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，因为f (1－a)－f (a)>0，所以1－a>a>0，所以a∈．] 7．若f (x)＝ax＋loga(x＋1)在[0，1]上的最大值与最小值之和为a，则函数f (x)在[0，1]上的最大值为________，最小值为________． 1　－　[当a>1时，f (x)max＝f (1)＝a＋loga2，f (x)min＝f (0)＝a0＋loga1＝1，所以a＋loga2＋1＝a，所以a＝，不合题意，舍去；当0<a<1时，f (x)max＝f (0)＝a0＋loga1＝1，f (x)min＝f (1)＝a＋loga2，所以a＋loga2＋1＝a，所以a＝． 此时f (x)max＝1，f (x)min＝．] 8．已知a>0，且a≠1，若函数f (x)＝的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围是________． (1，2]　[若函数f (x)＝的值域为[1，＋∞)，且a>0，a≠1，当x≤2时，y＝3－x≥1，所以可得1<a≤2．] 三、解答题 9．已知函数f (x)＝ln (3＋x)＋ln (3－x)． (1)求函数y＝f (x)的定义域； (2)判断函数y＝f (x)的奇偶性． [解]　(1)要使函数有意义，则解得－3＜x＜3，故函数y＝f (x)的定义域为(－3，3)． (2)由(1)可知，函数y＝f (x)的定义域为(－3，3)，关于原点对称． 对任意x∈(－3，3)，则－x∈(－3，3)． ∵f (－x)＝ln (3－x)＋ln (3＋x)＝f (x)， ∴由函数奇偶性可知，函数y＝f (x)为偶函数． 10．已知指数函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)． (1)求函数f (x)的反函数g(x)的解析式； (2)解不等式g(x)≤loga(2－3x)． [解]　(1)令y＝ax(a>0，且a≠1)，则x＝logay(a>0，且a≠1)，所以函数f (x)的反函数为g(x)＝logax(a>0，且a≠1)． (2)当a>1时，logax≤loga(2－3x)， 所以解得0<x≤． 当0<a<1时，原不等式等价于解得≤x<． 综上，当a>1时，原不等式的解集为； 当0<a<1时，原不等式的解集为． 11．(多选)函数f (x)＝loga|x－1|在(0，1)上是减函数，那么(　　) A．f (x)在(1，＋∞)上单调递增且无最大值 B．f (x)在(1，＋∞)上单调递减且无最小值 C．f (x)在定义域内是偶函数 D．f (x)的图象关于直线x＝1对称 AD　[由|x－1|>0得，函数y＝loga|x－1|的定义域为{x|x≠1}．设g(x)＝|x－1|＝ 则g(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且g(x)的图象关于x＝1对称，所以f (x)的图象关于x＝1对称，D正确； 因为函数f (x)＝loga|x－1|在(0，1)上单调递减，所以f (x)＝loga(1－x)在(0，1)上单调递减，所以a＞1，所以f (x)＝loga|x－1|在(1，＋∞)上单调递增且无最大值，A正确，B错误； 又f (－x)＝loga|－x－1|＝loga|x＋1|≠f (x)，所以C错误．故选AD．] 12．已知曲线C：y＝(0≤x≤2)与函数f (x)＝logax及函数g(x)＝ax(其中a>1)的图象分别交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值为(　　) A．16 　 B．8 C．4 　 D．2 C　[如图所示，A(x1，y1)，B(x2，y2)两点关于y＝x对称， 又A(x1，y1)关于y＝x的对称点为(y1，x1)，则x2＝y1，故＝4．故选C．] 13．定义：区间[x1，x2](x1＜x2)的长度为x2－x1．已知函数y＝|log0.5x|的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]的长度的最大值为________． 　[由0≤|log0.5x|≤2，解得≤x≤4，所以[a，b]长度的最大值为4－．] 14．函数f (x)＝ln (a≠2)为奇函数，则实数a等于________． －2　[依题意有f (－x)＋f (x)＝ln ＋＝0，即＝1，故1－a2x2＝1－4x2，解得a2＝4，但a≠2，故a＝－2．] 15．某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以函数f (x)＝为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下： ①同学甲发现：函数f (x)的定义域为(－1，1)； ②同学乙发现：函数f (x)是偶函数； ③同学丙发现：对于任意的x∈(－1，1)都有＝2f (x)； ④同学丁发现：对于任意的a，b∈(－1，1)，都有f (a)＋f (b)＝f ； ⑤同学戊发现：对于函数f (x)定义域中任意的两个不同实数x1，x2，总满足>0． 试分别判断哪些同学的研究成果正确． [解]　在①中，因为f (x)＝lg ，所以>0，解得函数的定义域为(－1，1)，所以①是正确的；在②中，f (x)＝lg ＝－lg ＝－f (－x)，所以函数f (x)为奇函数，所以②是错误的；在③中，对于任意x∈(－1，1)，有f ＝＝lg ＝lg ，又 2f (x)＝2lg ＝lg ，所以③是正确的；在④中，对于任意的a，b∈(－1，1)，有f (a)＋f (b)＝lg ＋lg ＝lg ＝，又f ＝lg ＝lg ，所以④是正确的；在⑤中，对于函数f (x)的定义域中任意的两个不同实数x1，x2，总满足>0，即说明f (x)是增函数，但f (x)＝lg ＝lg 是减函数，所以⑤是错误的．综上可知，学生甲、丙、丁的研究成果正确． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $