4.2 对数的运算-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学对数的运算，系统梳理对数的三条运算性质（积、商、幂的对数）及换底公式，从对数定义出发，通过性质推导与公式应用，构建“定义-性质-应用”的完整学习支架。 资料突出逻辑推理与数学运算素养培养，设置思考辨析（如判断对数式正误）、母题探究（变式条件求值）及分层作业，例1化简求值提升运算能力，例3条件转换培养推理意识，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

§2　对数的运算 学习任务 核心素养 1．掌握对数的运算性质．(重点) 2．能灵活使用对数的运算性质和换底公式进行化简、求值．(难点) 1．通过对数的运算性质的应用，培养数学运算素养． 2．借助对数的运算性质及换底公式的推导，培养逻辑推理素养． 1．对数具有哪三条运算性质？适用条件是什么？ 2．换底公式的内容是什么？ 1．对数的运算性质 若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN， (2)loga＝logaM－logaN， (3)logaMb＝blogaM(b∈R)． 2．换底公式 若c>0，且c≠1，则logab＝． 结合对数的换底公式探究logba与 与logab之间有什么关系？ [提示]　logba＝，lologab． 思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)积、商的对数可以化为对数的和、差． (　　) (2)loga(xy)＝logax·logay． (　　) (3)log2(－5)2＝2log2(－5)． (　　) (4)由换底公式可得logab＝． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 类型1　对数运算性质的应用 【例1】　【链接教材P102例1】 求下列各式的值： (1)log2(47×25)； (2)lg； (3)lg 14－2 lg＋lg 7－lg 18； (4)lg 5·lg 20＋(lg 2)2． [解]　(1)log2(47×25)＝log247＋log225＝7log24＋5log22＝7×2＋5×1＝19． (2)lg ． (3)lg 14－2lg＋lg 7－lg 18＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0． (4)法一：原式＝lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝(lg 10)2＝1． 法二：原式＝(1－lg 2)(1＋lg 2)＋(lg 2)2 ＝1－(lg 2)2＋(lg 2)2＝1． 【教材原题·P102例1】 例1　计算： (1)log2(64×512)；(2)lg 0.0001；(3)log3． [解]　(1)log2(64×512)＝log264＋log2512＝6＋9＝15； (2)lg 0.0001＝lg 10-4＝－4lg 10＝－4； (3)log3． 　对数式的化简与求值的思路 (1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简． (2) 先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算． [跟进训练] 1．求下列各式的值． (1)log312－log32；(2)lg25＋2lg2－lg22． [解]　(1) ． (2)法一：lg25＋2lg 2－lg22 ＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2 ＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2 ＝(lg 5－lg 2)＋2lg 2 ＝lg 2＋lg 5 ＝lg 10 ＝1． 法二：lg25＋2lg 2－lg22＝(1－lg 2)2＋2lg 2－lg22＝1－2lg 2＋lg22＋2lg 2－lg22＝1． 类型2　对数换底公式的应用 【例2】　【链接教材P105例3，例4】 计算：(1)log29·log34；(2)． [解]　(1)由换底公式可得， log29·log34＝＝4． (2)原式＝··lo·． 【教材原题·P101例3，例4】 例3　计算： (1)log2781； (2)log1625·log58； (3)logab·logba(a>0，b>0，且a≠1，b≠1)． [解]　根据对数的换底公式，得 (1)log2781＝； (2)log1625·log58＝； (3)logab·logba＝·＝1． 例4　计算： (1)log4＋log23－log0.5； (2)(log32＋log23)2－． [解]　根据对数的换底公式，得 (1)log4＋log23－log0.5＋log23－ ＝log2＋log23－log25 ＝log2＝log21＝0； (2)(log32＋log23)2－ ＝ ＝2． 　换底公式的应用技巧 (1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． (2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式． [跟进训练] 2．计算(log43＋log83)·． [解]　原式＝． 类型3　对数中的条件求值 【例3】　【链接教材P102例2】 已知log189＝a，18b＝5，求log3645．(用a，b表示) [解]　因为18b＝5， 所以b＝log185． 所以log3645＝ ＝ ＝ ＝． [母题探究] 1．若18b＝5，18a＝9，如何求log1845(用a，b表示)? [解]　因为18b＝5，18a＝9，所以log185＝b，log189＝a，所以log1845＝log189＋log185＝a＋b． 2．若将本例条件“log189＝a，18b＝5”改为“log94＝a，9b＝5”，则又如何求解呢? [解]　因为9b＝5，所以log95＝b． 所以log3645＝． 【教材原题·P102例2】 例2　已知log23＝a，log25＝b，用a，b表示下列各数的值： (1)log230；(2)log2；(3)log2． [解]　(1)log230＝log2(2×3×5)＝log22＋log23＋log25＝1＋a＋b； (2)log2＝log25－log29＝log25－log232＝log25－2log23＝b－2a； (3)log2 ＝log220 ＝(log23＋log25)－(log24＋log25) ＝(a＋b)－(2＋b) ＝－1． 　解对数综合应用问题的三种方法 (1)化统一：所求为对数式，条件转为对数式． (2)选底数：针对具体问题，选择恰当的底数． (3)会结合：学会换底公式与对数运算法则结合使用． [跟进训练] 3．已知x，y，z都是大于1的正数，m>0，且logxm＝24，logym＝40，logxyzm＝12，求logzm的值． [解]　由logxm＝24得logmx＝，由logym＝40得logmy＝，由logxyzm＝12得logm(xyz)＝，则logmx＋logmy＋logmz＝． 所以logmz＝， 所以logzm＝60． 1．(教材P107习题4—2A组T5改编)已知lg a＝2.31，lg b＝1.31，则等于(　　) A． 　 B． C．10 　 D．100 B　[由已知得lg ＝lg b－lg a＝1.31－2.31＝－1，∴．] 2．＝(　　) A． 　 B．2 C． 　 D． B　[原式＝＝2．] 3．2log510＋log50.25＝(　　) A．0 　 B．1 C．2 　 D．4 C　[原式＝log5102＋log50.25＝log5(102×0.25)＝log525＝2．] 4．lg ＋lg 的值是________． 1　[lg＝lg 10＝1．] 5．若b·log3a＝4，则b的值为________． 81　[logab·log3a＝·＝4， 所以lg b＝4lg 3＝lg 34， 所以b＝34＝81．] 课时分层作业(二十五)　对数的运算 一、选择题 1．若ab＞0，给出下列四个等式： ①lg (ab)＝lg a＋lg b；②lg ＝lg a－lg b； ③lg ＝lg ；④lg (ab)＝． 其中一定成立的等式的序号是(　　) A．①②③④ 　 B．①② C．③④ 　 D．③ D　[∵ab＞0，∴a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，∴①②中的等式不一定成立；∵ab＞0，∴＞0，lg ＝lg ，∴③中等式成立；当ab＝1时，lg (ab)＝0，但logab10无意义，∴④中等式不成立．故选D．] 2．已知b>0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是(　　) A．d＝ac 　 B．a＝cd C．c＝ad 　 D．d＝a＋c B　[由已知，得a＝，所以a＝cd．] 3．若lg x－lg y＝t，则lg －lg ＝(　　) A．3t 　 B．t C．t 　 D． A　[lg＝3(lg x－lg y)＝3t．] 4．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．则下列各数中与最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)(　　) A．1033 　 B．1053 C．1073 　 D．1093 D　[由题意，lg ＝lg ＝＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28． 又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93， 故与最接近的是1093．故选D．] 5．3lg 2－2lg 3＝(　　) A．0　 　 B．lg 2 C．lg 3　 　 D．lg 6 A　[令M＝3lg 2，N＝2lg 3， 则lg M＝lg 2lg 3， lg N＝lg 3lg 2， ∴lg M＝lg N，∴M＝N， ∴3lg 2－2lg 3＝M－N＝0．] 二、填空题 6．已知loga2＝m，loga3＝n，则loga18＝________．(用m，n表示) m＋2n　[loga18＝loga(2×32)＝loga2＋loga32＝loga2＋2loga3＝m＋2n．] 7．(2024·全国甲卷)已知a>1，，则a＝________． 64　[log2a＝－，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0， 则log2a＝－1或log2a＝6，又a>1， 所以log2a＝6，故a＝26＝64．] 8．若lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，则＝________． 4　[因为lg x＋lg y＝2lg (x－2y)， 所以 由xy＝(x－2y)2，知x2－5xy＋4y2＝0， 所以x＝y或x＝4y． 又x＞0，y＞0且x－2y＞0， 所以舍去x＝y，故x＝4y，则＝4． ] 三、解答题 9．用logax，logay，logaz表示下列各式： (1)loga(x2yz)；(2)loga；(3)loga． [解]　(1)loga(x2yz)＝logax2＋logay＋logaz＝2logax＋logay＋logaz． (2)loga＝logax2－loga(yz)＝2logax－(logay＋logaz)＝2logax－logay－logaz． (3)loga＝loga－loga(y2z)＝logax－2logay－logaz． 10．(教材P107习题4—2B组T2改编)计算： (1)2log32－log3＋log38； (2)log3(9×272)＋log26－log23＋log43×log316． [解]　(1)原式＝log34－log3＋log38＝log39＝2． (2)原式＝log3(32×36)＋log2＋log43·2log34＝log338＋log22＋2＝11． 11．(多选)实数a，b满足2a＝5b＝10，则下列关系不正确的有(　　) A．＝1 　 B．＝2 C．＝2 　 D． BCD　[＝lg 2＋lg 5＝1，故A正确． ＝lg 4＋lg 5＝lg 20≠2，故B不正确． ＝lg 2＋lg 25＝lg 50，故CD不正确．故选BCD．] 12．已知2x＝9，2y＝，则x＋2y的值为(　　) A．6 　 B．8 C．1 　 D．log48 A　[由2x＝9，得x＝log29，由2y＝，得y＝log2， ∴x＋2y＝log29＋2log2＝2log23＋2log2＝＝2log2＝2log28＝2×3＝6．] 13．设a，b，c为正数，且满足a2＋b2＝c2． (1)log2＋log2＝________； (2)若log4＝1，log8(a＋b－c)＝，则＝________． (1)1　(2)3　[(1)原式＝log2 ＝log2 ＝log2 ＝log22＝1． (2)由log4＝1，得－3a＋b＋c＝0， ① 由log8(a＋b－c)＝，得a＋b－c＝4， ② 由题设知a2＋b2＝c2， ③ 由①②③及a，b，c为正数，可得a＝6，b＝8，c＝10． 所以＝3．] 14．下列表中的对数值有且仅有一个是错误的： x 3 5 8 9 15 lg x 2a－b a＋c 3－3a－3c 4a－2b 3a－b＋c＋1 请将错误的一个改正为lg ________＝________． 15　3a－b＋c　[由lg 9＝2lg 3，对照表格可知3，9的对数值没错，lg 8＝3lg 2，所以lg 8＝3－3a－3c等价于lg 2＝1－a－c，比较lg 5＝a＋c，由lg 2＋lg 5＝1可知lg 5，lg 8的值没错，而lg 15＝lg 3＋lg 5＝3a－b＋c，所以表格中lg 15错误，应改为：lg 15＝3a－b＋c．] 15．若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg (ab)·(logab＋logba)的值． [解]　原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0(x＞0)． 设t＝lg x，则方程化为2t2－4t＋1＝0， ∴t1＋t2＝2，t1·t2＝． 又∵a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根， ∴t1＝lg a，t2＝lg b，即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝． ∴lg (ab)·(logab＋logba) ＝(lg a＋lg b)· ＝(lg a＋lg b)· ＝(lg a＋lg b)· ＝2×＝12， 即lg (ab)·(logab＋logba )＝12． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $