4.1 对数的概念-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦对数的概念这一核心知识点，从指数式与对数式的互化切入，系统梳理对数的定义、底数与真数的限制条件、基本性质及常用对数与自然对数，构建从概念理解到性质应用的学习支架。 资料通过“问题链+例题+跟进训练”设计，强化指数式与对数式互化及性质应用，如视力测量中五分记录法与小数记录法的转化题，培养学生数学眼光和数学运算素养。课中助力教师突破重难点，课后分层作业帮助学生巩固提升，弥补知识盲点。

§1　对数的概念 学习任务 核心素养 1．理解对数的概念．(重点) 2．掌握指数式与对数式的互化．(重点) 3．理解并掌握对数的基本性质．(难点、易混点) 通过指数式与对数式的互化及对数的基本性质的学习，培养逻辑推理与数学运算素养． 1．对数的概念是什么？ 2．对数式中底数和真数分别有什么限制？ 3．什么是常用对数和自然对数？ 4．对数与指数有什么关系？ 1．对数的概念 (1)一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b称为以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数． (2)指数式与对数式的互化及有关概念： (3)底数a的范围是a＞0，且a≠1． 2．对数恒等式：alogaN＝N． 3．常用对数与自然对数 4．对数的基本性质 (1)负数和零没有对数． (2)loga1＝0(a＞0，且a≠1)． (3)logaa＝1(a＞0，且a≠1)． (4)＝N． (1)式子log－3(－3)＝1正确吗？ (2)为什么零和负数没有对数？ [提示]　(1)不正确．不符合对数的定义． (2)由对数的定义：ax＝N(a＞0，且a≠1)，则总有N＞0，所以转化为对数式x＝logaN时，不存在N≤0的情况． 1．若a2＝M(a>0，且a≠1)，则其对数式为__________． [答案]　logaM＝2 2．把对数式loga49＝2写成指数式为____________． [答案]　a2＝49 类型1　对数的概念 【例1】　已知对数log(1－a)(a＋2)有意义，求实数a的取值范围． [解]　由于对数log(1－a)(a＋2)有意义，则有解得－2<a<0或0<a<1． 所以实数a的取值范围是(－2，0)∪(0，1)． 　正确理解对数的概念 (1)底数大于0且不等于1，真数大于0． (2)明确指数式和对数式的区别和联系，以及二者之间的相互转化． [跟进训练] 1．若对数log3a(－2a＋1)有意义，则a的取值范围是________． 　[根据题意可得 解得0<a<，a≠．所以a的取值范围是．] 类型2　指数式与对数式的互化 【例2】　【链接教材P99例1，例2】 求下列各式中x的值： (1)log16x＝－2；(2)logx27＝． [思路点拨]　利用对数的定义，把对数式化为指数式，即可解得x的值． [解]　(1)由log16x＝－2，得x＝16-2＝，故x＝． (2)由logx27＝，得＝27， 即＝33，∴x＝34＝81． 【教材原题·P99例1，例2】 例1　将下列指数式改写为对数式： (1)53＝125；＝4； (3)＝8；(4)6-2＝． [解]　由对数的定义，得 (1)log5125＝3；(2)log84＝； 8－3；(4)log6＝－2． 例2　将下列对数式改写为指数式： (1)log264＝6；(2)log3＝－4； (3)lg 0.001＝－3；＝－2． [解]　由对数的定义，得 (1)26＝64；(2)3-4＝； (3)10-3＝0.001；(4)＝4． 　1．首先掌握指数式与对数式的关系，即ab＝N⇔b＝logaN(a＞0，且a≠1)． 2．对数的定义是对数式和指数式互化的依据，在互化过程中应注意各自的位置及表示方式． [跟进训练] 2．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　) A．1.5　　　 B．1.2 C．0.8　　　 D．0.6 C　[由题意知，4.9＝5＋lg V⇒lg V＝－0.1⇒V＝≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8．] 3．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)2-7＝；(2)33＝27；(3)10-1＝0.1；32－5；(5)lg 0.001＝－3． [解]　(1)log2＝－7；(2)log327＝3；(3)lg 0.1＝－1；(4)＝32；(5)10-3＝0.001． 类型3　对数的性质 【例3】　求下列各式中x的值． (1)log2(log5x)＝0； (2)log3(lg x)＝1； (3)log3[log4(log5x)]＝0． [解]　(1)∵log2(log5x)＝0， ∴log5x＝20＝1， ∴x＝51＝5． (2)∵log3(lg x)＝1， ∴lg x＝31＝3， ∴x＝103＝1 000． (3)由log3[log4(log5x)]＝0可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625． [母题探究] 1．本例(3)中若将“log3[log4(log5x)]＝0”改为“log3[log4(log5x)]＝1”，又如何求解x呢？ [解]　由log3[log4(log5x)]＝1，可得log4(log5x)＝3，则log5x＝43＝64，所以x＝564． 2．在本例(3)条件下，计算625logx3的值． [解]　因为x＝625，则625logx3＝3． 3．本例(3)中若将“log3[log4(log5x)]＝0”改为“＝1”，又如何求解x呢？ [解]　由＝1可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625． 　利用对数性质求解的两类问题的解法 (1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值． (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解． [跟进训练] 4．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么＝(　　) A． 　 B． C． 　 D． C　[由条件，知log3(log2x)＝1，所以log2x＝3，即x＝23＝8，所以．] 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)logaN是loga与N的乘积． (　　) (2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3． (　　) (3)对数运算的实质是求幂指数． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 2．log2的值为(　　) A．－ 　 B． C．－ 　 D． D　[设log2＝x，则2x＝，∴x＝．] 3．(多选)以下结论正确的是(　　) A．lg (lg 10)＝0 B．若lg x＝10，则x＝10 C．若e＝ln x，则x＝e2 D．(eln e)-1＝ AD　[lg (lg 10)＝lg 1＝0，A正确；若lg x＝10，则x＝1010，B错误；若e＝ln x，则x＝ee，C错误；，D正确．] 4．若blog23＝1，则3b＝________，b＝________． 2　log32　[∵blog23＝1，∴log23＝， ∴＝3，∴3b＝2，∴b＝log32．] 5．(教材P100习题4—1B组T1改编)已知log3＝0，则x＝________． 3　[] 课时分层作业(二十四)　对数的概念 一、选择题 1．将＝9写成对数式，正确的是(　　) A．log9　　 B．9＝－2 C．lo(－2)＝9　　 D．log9(－2)＝ B　[根据对数的定义，得lo9＝－2．] 2．已知loga3＝，则a的值为(　　) A．2 　 B．3 C．8 　 D．9 B　[∵＝1，∴loga3＝1，∴a＝3．] 3．已知logx8＝3，则x的值为(　　) A． 　 B．2 C．3 　 D．4 B　[由定义知x3＝8，所以x＝2．] 4．方程＝的解是(　　) A．x＝ 　 B．x＝ C．x＝ 　 D．x＝9 A　[∵＝＝2-2，∴log3x＝－2， ∴x＝3-2＝．] 5．设f (x)＝则f ( f (2))的值为(　　) A．0 　 B．1 C．2 　 D．3 C　[∵f (2)＝log3(22－1)＝log33＝1， ∴f ( f (2))＝f (1)＝2e1-1＝2×e0＝2．] 二、填空题 6．方程log3(2x－1)＝1的解为x＝________． 2　[原方程同解于log3(2x－1)＝log33，所以2x－1＝3，x＝2．] 7．log6[log4(log381)]＝________． 0　[原式＝log6[log4(log334)]＝log6(log44)＝log61＝0．] 8．(教材P107习题4—2A组T5改编)若loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝________． 12　[∵loga2＝m，loga3＝n， ∴am＝2，an＝3． ∴a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12．] 三、解答题 9．求下列各式中的x． (1)log2(log5x)＝1；(2)logx 8＝． [解]　(1)由log2(log5x)＝1得log5x＝2， ∴x＝25． (2)由logx8＝得＝8， ∴x＝，即x＝， ∴x＝24＝16． 10．已知log189＝a，log1854＝b，求182a－b的值． [解]　∵log189＝a，log1854＝b， ∴18a＝9，18b＝54， ∴182a－b＝． 11．(多选)下列指数式与对数式互化正确的有(　　) A．e0＝1与ln 1＝0 B．log39＝2与＝3 C． D．log77＝1与71＝7 ACD　[log39＝2化为指数式为32＝9，故B错误，ACD正确．] 12．已知f (2x＋1)＝，则f (4)＝(　　) A．log25 　 B．log23 C． 　 D． B　[令2x＋1＝4，得x＝log23，所以f (4)＝log23．] 13．利用对数恒等式alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)计算： (1)＝________； (2)＝________． (1)8　(2)25　[(1)＝2×4＝8． (2)＝25．] 14．已知log2[log3(log4x)]＝0，且log4(log2y)＝1，则的值为________． 64　[∵log2[log3(log4x)]＝0， ∴log3(log4x)＝1，∴log4x＝3， ∴x＝43＝64．由log4(log2y)＝1，知log2y＝4， ∴y＝24＝16． 因此＝8×8＝64．] 15．已知loga b＝logb a(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)，求证：a＝b或a＝． [证明]　设loga b＝logb a＝k，则b＝ak，a＝bk， ∴b＝(bk)k＝．∵b>0，且b≠1， ∴k2＝1，即k＝±1．当k＝－1时，a＝； 当k＝1时，a＝b．∴a＝b或a＝． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $