3.3 第1课时 指数函数的概念、图象和性质-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦指数函数的概念、图象和性质这一核心知识点，从具体实例引入概念并明确解析式特征，通过描点法或计算工具绘制图象，进而探索单调性、定点等性质，构建“概念-图象-性质”的学习支架，衔接指数运算与后续函数综合应用。 该资料以核心素养为设计亮点，通过思考辨析题（如判断y=x²是否为指数函数）培养逻辑推理，借助图象对比（a>1与0<a<1的单调性差异）发展直观想象，用表格精准呈现性质提升数学语言表达能力。课中例题与跟进训练结合助力教师高效授课，课后分层作业帮助学生巩固知识、查漏补缺。

§3　指数函数 3.1　指数函数的概念 3.2　指数函数的图象和性质 学习任务 核心素养 1．通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．(重点) 2．能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．(重点、难点) 1． 通过对指数函数的图象的学习，培养直观想象素养． 2．借助指数函数性质的应用，培养逻辑推理素养． 1．指数函数的概念是什么？ 2．结合指数函数的图象，分别指出指数函数y＝ax(a>1)和y＝ax(0<a<1)的定义域、值域和单调性各是什么？ 3．y＝ax和y＝(a>0且a≠1)的图象和性质有什么关系？ 知识点1　指数函数的概念 1．定义：当给定正数a，且a≠1时，对于任意的实数x，都有唯一确定的正数y＝ax与之对应，因此，y＝ax是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数． 2．基本性质：(1)定义域是R，函数值大于0； (2)图象过定点(0，1)． 1．指数函数的解析式有什么特征？ [提示]　指数函数解析式的3个特征：①底数a为大于0且不等于1的常数；②自变量x的位置在指数上，且x的系数是1；③ax的系数是1． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)y＝x2是指数函数． (　　) (2)指数函数y＝ax中，a可以为负数． (　　) (3)y＝2x+1是指数函数． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 2．函数y＝(a－2)ax是指数函数，则a＝________． 3　[由指数函数定义知a－2＝1，得a＝3．] 3．若函数f (x)是指数函数，且f (2)＝2，则f (x)＝________． x　[设f (x)＝ax(a>0，a≠1)，∵f (2)＝2， ∴a2＝2，∴a＝，即f (x)＝x．] 知识点2　指数函数的图象和性质 1．对于函数y＝ax和y＝bx(a>b>1)： (1)当x<0时，0<ax<bx<1； (2)当x＝0时，ax＝bx＝1； (3)当x>0时，ax>bx>1． 2．对于函数y＝ax和y＝bx(0<a<b<1)： (1)当x<0时，ax>bx>1； (2)当x＝0时，ax＝bx＝1； (3)当x>0时，0<ax<bx<1． 3．指数函数的图象和性质 项目 a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域：R 值域：(0，＋∞) 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x<0时，0<y<1；当x>0时，y>1 当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1 在R上是增函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大； 当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0 在R上是减函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0； 当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大 4．一般地，指数函数y＝ax和y＝(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称，且它们在R上的单调性相反． 2．(1)在直角坐标系中指数函数图象不可能出现在第几象限？ (2)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象与底数a有什么关系？ [提示]　(1)指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能出现在第三、四象限． (2)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a>1时，指数函数的图象是“上升”的；当0<a<1时，指数函数的图象是“下降”的． 4．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数y＝是减函数． (　　) (2)已知函数f (x)＝3x，若m>n，则f (m)>f (n)． (　　) (3)指数函数的图象一定在x轴的上方． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√ 5．下列函数中，是增函数的是________(填上正确的序号)． ①y＝；②y＝x；③y＝2－x；④y＝(a2＋2)x． [答案]　②④ 6．函数f (x)＝2x＋3的值域为________． [答案]　(3，＋∞) 7．函数y＝ax-1－1(a>0，且a≠1)的图象恒过点________． (1，0)　[由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，1)，因而在函数y＝ax-1－1中，当x＝1时，恒有y＝0，即函数y＝ax-1－1的图象恒过点(1，0)．] 第1课时　指数函数的概念、图象和性质 类型1　指数函数的概念 【例1】　(1)给出下列函数： ①y＝2·3x；②y＝3x+1；③y＝32x；④y＝x3． 其中，指数函数的个数是(　　) A．0 　 B．1 C．2 　 D．3 (2)若函数f (x)＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则f (1)＝(　　) A．8 　 B．9 C．3 　 D．1 (1)B　(2)C　[(1)①中，3x的系数是2，故①不是指数函数； ②中，y＝3x+1不是指数函数； ③中，y＝32x＝9x，故③是指数函数； ④中，y＝x3中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数． (2)根据指数函数的定义知， 解得a＝3．所以f (x)＝3x． 所以f (1)＝3．故选C．] 　判断一个函数是指数函数，需判断其解析式是否可化为y＝ax(a>0，且a≠1)的形式． [跟进训练] 1．函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则(　　) A．a＝1或a＝3 　 B．a＝1 C．a＝3 　 D．a>0且a≠1 C　[由指数函数定义知 解得a＝3．] 类型2　指数型函数的定义域和值域 【例2】　求下列函数的定义域和值域： (1)y＝；(2)y＝；(3)y＝． [解]　(1)∵x应满足x－4≠0，∴x≠4， ∴定义域为{x|x≠4，x∈R}． ∵≠0，∴≠1， ∴y＝的值域为{y|y>0，且y≠1}． (2)定义域为R． ∵|x|≥0，∴y＝＝＝1， ∴此函数的值域为[1，＋∞)． (3)由题意知1－≥0，∴≤1＝， ∴x≥0，∴定义域为{x|x≥0，x∈R}． ∵x≥0，∴≤1． 又∵>0，∴0<≤1．∴0≤1－<1， ∴0≤y<1，∴此函数的值域为[0，1)． 　函数y＝af (x)定义域、值域的求法 (1)定义域：形如y＝af (x)形式的函数的定义域是使得f (x)有意义的x的取值集合． (2)值域：①换元，令t＝f (x)； ②求t＝f (x)的定义域x∈D； ③求t＝f (x)的值域t∈M； ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论． [跟进训练] 2．函数f (x)＝的定义域是________． [2，4)∪(4，＋∞)　[依题意有解得x∈[2，4)∪(4，＋∞)．] 3．若函数f (x)＝的定义域是[1，＋∞)，则a的取值范围是________． (1，＋∞)　[∵ax－a≥0， ∴ax≥a， ∴当a>1时，x≥1． 故函数定义域为[1，＋∞)时，a>1．] 4．函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大，求a的值． [解]　①当0<a<1时，函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)在[1，2]上的最大值f (x)max＝f (1)＝a1＝a，最小值f (x)min＝f (2)＝a2， 所以a－a2＝，解得a＝或a＝0(舍去)； ②当a>1时，函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)在[1，2]上的最大值f (x)max＝f (2)＝a2，最小值f (x)min＝f (1)＝a1＝a，所以a2－a＝，解得a＝或a＝0(舍去)．综上所述，a＝或a＝． 类型3　指数型函数图象 【例3】　(1)函数f (x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a>1，b<0 　 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 　 D．0<a<1，b<0 (2)在平面直角坐标系中，若直线y＝m与函数f (x)＝|2x－1|的图象只有一个交点，则实数m的取值范围是________． (1)D　(2){m|m≥1，或m＝0}　[(1)从曲线的变化趋势，可以得到函数f (x)为减函数，从而有0<a<1；从曲线位置看，是由函数y＝ax(0<a<1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b>0，即b<0． (2)画出函数f (x)＝|2x－1|的图象，如图所示． 若直线y＝m与函数f (x)＝|2x－1|的图象只有1个交点，则m≥1或m＝0， 即实数m的取值范围是{m|m≥1，或m＝0}．] 　处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势． [跟进训练] 5．函数f (x)＝ax+1－1的图象恒过定点(　　) A．(1，1) 　 B．(1，－1) C．(－1，0) 　 D．(－1，－1) C　[由x＋1＝0得x＝－1，且f (－1)＝0．因此函数f (x)＝ax+1－1的图象恒过定点(－1，0)，故选C．] 6．(多选)函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图象可能是(　　) A　　　　B　　　　C　　　　　D CD　[当a>1时，∈(0，1)，因此x＝0时，0<y＝1－<1，且y＝ax－在R上是增函数，故C符合； 当0<a<1时，>1，因此x＝0时，y<0，且y＝ax－在R上是减函数，故D符合．故选CD．] 指数函数图象变换问题探究 为研究函数图象的变换规律，某数学兴趣小组以指数函数f (x)＝2x为例，借助几何画板画出了下面4组函数的图象： (1)y＝f (x－1)；(2)y＝f (|x|)＋1；(3)y＝－f (x)；(4)y＝| f (x)－1|． 1．请分别写出这4组函数的解析式． [提示]　(1)y＝f (x－1)＝2x-1； (2)y＝f (|x|)＋1＝2|x|＋1； (3)y＝－f (x)＝－2x； (4)y＝| f (x)－1|＝|2x－1|． 2．若给出函数f (x)＝4x的图象，能否由图象变换的方法得到上面这4组函数的图象？若能，试分别写出图象的变换过程． [提示]　能．(1)将函数y＝f (x)＝4x的图象向右平移1个单位长度得到函数y＝f (x－1)＝4x-1的图象． (2)保留函数y＝f (x)＝4x在y轴右侧的图象，并对称至y轴左侧，再向上平移1个单位长度得到y＝f (|x|)＋1＝4|x|＋1的图象． (3)函数y＝－f (x)＝－4x与y＝f (x)＝4x的图象关于x轴对称． (4)将函数y＝f (x)＝4x的图象向下平移1个单位长度得到函数y＝f (x)－1＝4x－1的图象，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方，便得到函数| f (x)－1|＝|4x－1|的图象． 1．下列函数中，指数函数的个数为(　　) ①y＝；②y＝ax(a>0，且a≠1)； ③y＝1x；④y＝－1． A．0 　 B．1 C．3 　 D．4 B　[由指数函数的定义可判定，只有②正确．] 2．若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是(　　) A．a>0，且a≠1 　 B．a≥0，且a≠1 C．a>，且a≠1 　 D．a≥ C　[依题意得：2a－1>0，且2a－1≠1，解得a>，且a≠1，故选C．] 3．函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D C　[函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，故可排除选项ABD．] 4．函数f (x)＝2x-3(1<x≤5)的值域是________． 　[因为1<x≤5，所以－2<x－3≤2．而函数f (x)＝2x-3在其定义域上是增函数，所以<f (x)≤4，即所求函数的值域为．] 5．已知函数f (x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)，其图象经过点(－1，5)，(0，4)，则f (－2)的值为________． 7　[由已知得解得 所以f (x)＝＋3，所以f (－2)＝＋3＝4＋3＝7．] 课时分层作业(二十二)　指数函数的概念、图象和性质 一、选择题 1．函数y＝的定义域是(　　) A．(－∞，0) 　 B．(－∞，0] C．[0，＋∞) 　 D．(0，＋∞) C　[由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0．] 2．函数y＝a|x|(a>1)的图象是(　　) A　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D B　[该函数是偶函数．可先画出x≥0时，y＝ax的图象，然后沿y轴翻折过去，便得到x<0时的函数图象．] 3．已知y1＝，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象为(　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D A　[法一：y2＝3x与y4＝10x在R上单调递增；y1＝与y3＝10－x＝在R上单调递减，在第一象限内作直线x＝1，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选A． 法二：y2＝3x与y4＝10x在R上单调递增，且y4＝10x的图象上升得快，y1＝与y2＝3x的图象关于y轴对称，y3＝10－x与y4＝10x的图象关于y轴对称，所以选A．] 4．函数y＝－1的值域是(　　) A．[1，＋∞) 　 B．[0，＋∞) C．(－∞，0] 　 D．(－1，0] D　[将函数转化为分段函数，则y＝ 图象如图所示， 所以函数的值域为(－1，0]．] 5．函数f (x)＝·2x的图象大致形状是(　　) A　　　　　B　　　　　C　　　　　D B　[由函数f (x)＝·2x＝可得函数在(0，＋∞)上单调递增，且此时函数值大于1；在(－∞，0)上单调递减，且此时函数值大于－1且小于零．结合所给的选项，只有B项满足条件．故选B．] 二、填空题 6．函数y＝ax-3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点_________________________． (3，4)　[因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，所以在函数y＝ax-3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝ax-3＋3的图象过定点(3，4)．] 7．若函数f (x)＝则函数f (x)的值域是________． (－1，0)∪(0，1)　[由x<0，得0<2x<1；∵x>0，∴－x<0，0<2－x<1，∴－1<－2－x<0．∴函数f (x)的值域为(－1，0)∪(0，1)．] 8．若函数y＝ax＋b－1(a>0，a≠1)的图象不经过第二象限，那么a，b的取值范围分别为________． (1，＋∞)，(－∞，0]　[当0<a<1时，函数y＝ax为R上的减函数，则无论y＝ax如何平移，图象均过第二象限，因而不符合题意； 当a>1时，根据题意得，函数y＝ax的图象需要向下平移，且平移量不小于1个单位长度，即b－1≤－1，解得b≤0． 综上所述，a>1，b≤0．] 三、解答题 9．求下列函数的定义域和值域： (1)y＝－1；(2)y＝． [解]　(1)要使y＝－1有意义，需x≠0，则>0且≠1，故－1>－1且－1≠0，故函数y＝x≠0}，函数的值域为(－1，0)∪(0，＋∞)． (2)函数y＝的定义域为实数集R，由于2x2≥0，则2x2－2≥－2，故0<≤9，所以函数y＝的值域为(0，9]． 10．已知函数f (x)＝ax-1(x≥0)的图象经过点，其中a>0，且a≠1． (1)求a的值； (2)求函数y＝f (x)(x≥0)的值域． [解]　(1)函数图象经过点，所以a2-1＝，则a＝． (2)由(1)知函数为f (x)＝(x≥0)，由x≥0，得x－1≥－1．于是0<＝2，所以函数的值域为(0，2]． 11．若3m＋2－n≥3n＋2－m，则(　　) A．m＋n≥0 　 B．m＋n≤0 C．m－n≥0 　 D．m－n≤0 C　[3m＋2－n≥3n＋2－m⇔3m－2－m≥3n－2－n． 又f ＝3x－2－x是增函数，f ， 则m≥n，即m－n≥0．] 12．设指数函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)，则下列等式不正确的是(　　) A．f (x＋y)＝f (x)·f (y) B．f [(xy)n]＝f n(x)·f n(y) C．f (x－y)＝ D．f (nx)＝f n(x) B　[由am＋n＝am·an及am－n＝知A、C、D正确，故选B．] 13．函数y＝23-x与________的图象关于y轴对称，与________的图象关于x轴对称，与________的图象关于原点对称． y＝23+x　y＝－23-x　y＝－23+x　[因为图象与y＝2－x关于y轴对称的函数为y＝2x，所以函数y＝23-x与y＝23+x的图象关于y轴对称．关于x轴对称的图象为y＝－23-x，关于原点对称的图象为y＝－23+x．] 14．若函数f (x)＝则不等式f (x)≥的解集为________． {x|0≤x≤1}　[当x≥0时，由f (x)≥得， ∴0≤x≤1． 当x<0时，不等式明显不成立． 综上可知不等式f (x)≥0≤x≤1}．] 15．设函数f (x)＝kax－a－x(a>0，且a≠1)是定义在R上的奇函数． (1)求k的值； (2)若f (1)>0，试判断函数的单调性(不需证明)，并求不等式f (x2＋2x)＋f (4－x2)>0的解集． [解]　(1)法一：∵f (x)是定义在R上的奇函数， ∴f (0)＝0，即k－1＝0． ∴k＝1． 当k＝1时，f (x)＝ax－a－x，f (－x)＝a－x－ax＝－(ax－a－x)＝－f (x)， 故k＝1符合题意． 法二：∵f (－x)＝ka－x－ax，－f (x)＝－kax＋a－x， 又f (x)是奇函数， ∴f (－x)＝－f (x)在定义域R上恒成立， ∴解得k＝1． (2)∵f (1)＝a－>0， 又a>0，且a≠1， ∴a>1． ∴y＝ax，y＝－a－x都是R上的增函数， ∴f (x)是R上的增函数． 故f (x2＋2x)＋f (4－x2)>0⇔f (x2＋2x)>－f (4－x2)＝f (x2－4)⇔x2＋2x>x2－4⇔x>－2． ∴f (x)在R上单调递增，且不等式的解集为{x|x>－2}． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $