2.4.1 函数的奇偶性-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦函数奇偶性核心知识点，系统梳理奇函数、偶函数的定义及定义域关于原点对称的特性，图象关于原点或y轴对称的几何意义，构建从概念辨析到判断证明，再到参数求解、解析式及单调性综合应用的完整学习支架。 该资料以核心素养为导向，通过定义域对称性辨析培养逻辑推理，结合图象特征发展直观想象，例题解答规范强化数学语言表达。课中例题与方法总结助力教师高效授课，课后分层作业与跟进训练帮助学生查漏补缺，巩固知识。

§4　函数的奇偶性与简单的幂函数 4.1　函数的奇偶性 学习任务 核心素养 1．结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义．(重点) 2．掌握函数奇偶性的判断和证明方法．(重点) 3．会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．(难点) 1．借助对函数奇偶性特征的学习，培养直观想象素养． 2．通过函数奇偶性的判断和证明，培养逻辑推理素养． 1．奇函数与偶函数的定义是什么？ 2．奇、偶函数的定义域有什么特点？ 3．奇、偶函数的图象有什么特征？ 4．函数的奇偶性与单调性有什么关系？ 1．奇函数 (1)定义：一般地，设函数f (x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有－x∈D，且f (－x)＝－f (x)，那么称函数f (x)为奇函数． (2)图象特征：图象关于原点对称，反之亦然． 2．偶函数 (1)定义：设函数f (x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有－x∈D，且f (－x)＝f (x)，那么称函数f (x)为偶函数． (2)图象特征：图象关于y轴对称，反之亦然． 3．奇偶性 当函数f (x)是奇函数或偶函数时，称f (x)具有奇偶性． (1)如果定义域内存在x0，满足f (－x0)＝f (x0)，函数f (x)是偶函数吗？ (2)函数的奇偶性定义中，对于定义域内任意的x，满足f (－x)＝f (x)或f (－x)＝－f (x)，那么奇、偶函数的定义域有什么特征？ [提示]　(1)不一定，必须对于定义域内的任意一个x都成立． (2)奇、偶函数的定义域关于原点对称． 1．下列函数是偶函数的是________________________(填序号)． ①y＝x；②y＝2x2－3；③y＝；④y＝x2，x∈[0，1]． [答案]　② 2．下列图象表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________(填序号)． ①　　　　②　　　　③　　　　　④ ②④　①③　[①③关于y轴对称是偶函数，②④关于原点对称是奇函数．] 3．下列说法正确的是________(填序号)． ①偶函数的图象一定与y轴相交； ②奇函数的图象一定过原点； ③函数f (x)＝x2，x∈[－1，2]是偶函数； ④若函数f (x)是定义在R上的奇函数，则f (－x)＋f (x)＝0． [答案]　④ 类型1　判断函数的奇偶性 【例1】　【链接教材P67例2】 判断下列函数的奇偶性： (1) f (x)＝2－|x|； (2) f (x)＝； (3) f (x)＝； (4) f (x)＝ [解]　(1)∵函数f (x)的定义域为R，关于原点对称，又f (－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f (x)， ∴f (x)为偶函数． (2)∵函数f (x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f (x)＝0，又∵f (－x)＝－f (x)，f (－x)＝f (x)， ∴f (x)既是奇函数又是偶函数． (3)∵函数f (x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称， ∴f (x)既不是奇函数，也不是偶函数． (4) f (x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0， f (－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f (x)； 当x<0时，－x>0， f (－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f (x)． 综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 都有f (－x)＝f (x)， ∴f (x)为偶函数． 【教材原题·P67例2】 例2　根据定义，判断下列函数的奇偶性： (1) f (x)＝－2x5；(2)g(x)＝x4＋2； (3)h(x)＝；(4)m(x)＝． [解]　(1)依题意知函数f (x)＝－2x5的定义域为R，且对任意的x∈R，有 f (－x)＝－2(－x)5＝2x5，－f (x)＝－(－2x5)＝2x5， 即f (－x)＝－f (x)． 所以函数f (x)＝－2x5是奇函数． (2)依题意知函数g(x)＝x4＋2的定义域为R，且对任意的x∈R，有 g(－x)＝(－x)4＋2＝x4＋2， 即g(－x)＝g(x)． 所以函数g(x)＝x4＋2是偶函数． (3)依题意知函数h(x)＝的定义域为{x|x≠0}，且对任意的x∈{x|x≠0}，有 h(－x)＝＝， 即h(－x)＝h(x)． 所以函数h(x)＝是偶函数． (4)根据定义知，如果一个函数是奇函数或偶函数，它的定义域是关于原点对称的．而函数m(x)＝的定义域为{x|x≠－2}，它不关于原点对称，所以函数m(x)＝既不是奇函数，也不是偶函数． 　判断函数奇偶性的方法 (1)定义法： 根据函数奇偶性的定义进行判断．步骤如下： ①判断函数f (x)的定义域是否关于原点对称．若不对称，则函数f (x)既不是奇函数，也不是偶函数，若对称，则进行下一步． ②验证．f (－x)＝－f (x)或f (－x)＝f (x)． ③下结论．若f (－x)＝－f (x)，则f (x)为奇函数； 若f (－x)＝f (x)，则f (x)为偶函数； 若f (－x)≠－f (x)，且f (－x)≠f (x)，则f (x)既不是奇函数，也不是偶函数． (2)图象法： ①若f (x)图象关于原点对称，则f (x)是奇函数． ②若f (x)图象关于y轴对称，则f (x)是偶函数． ③若f (x)图象既关于原点对称，又关于y轴对称，则f (x)既是奇函数，又是偶函数． ④若f (x)的图象既不关于原点对称，又不关于y轴对称，则f (x)既不是奇函数，也不是偶函数． (3)性质法： ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； ②奇函数的和、差仍为奇函数； ③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数； ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数． [跟进训练] 1．已知f (x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，且它们都恒不为0，则f (x)·g(x)(　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．奇偶性不能确定 A　[令F(x)＝f (x)·g(x)，则F(－x)＝f (－x)·g(－x)＝－f (x)·g(x)＝－F(x)，∴F(x)是奇函数，即f (x)·g(x)是奇函数．故选A．] 2．判断下列函数的奇偶性： (1) f (x)＝x2(x2＋2)； (2) f (x)＝|x＋1|－|x－1|； (3) f (x)＝． [解]　(1)∵f (x)的定义域为R，关于原点对称， 又∵f (－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f (x)， ∴f (x)为偶函数． (2)∵f (x)的定义域为R，关于原点对称， 又∵f (－x)＝|－x＋1|－|－x－1| ＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f (x)， ∴f (x)为奇函数． (3)∵f (x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称， 又∵f (－x)＝＝－＝－f (x)， ∴f (x)为奇函数． 类型2　利用函数的奇偶性求参数 【例2】　(1)若函数f (x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________； (2)已知函数f (x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________． (1)　0　(2)0　[(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝． 又函数f (x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0． (2)由奇函数定义有f (－x)＋f (x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0．] 　利用奇偶性求参数的常见类型 (1)定义域含参数：奇、偶函数f (x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数． (2)解析式含参数：根据f (－x)＝－f (x)或f (－x)＝f (x)列式，比较系数，利用待定系数法求解． [跟进训练] 3．设函数f (x)＝为奇函数，则a＝______________________． －1　[∵f (x)为奇函数，∴f (－x)＝－f (x)， 即＝－． 显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，得a＝－1．] 4．已知函数f (x)＝是奇函数，则a＝________． 1　[因为f (x)为奇函数，所以f (－1)＋f (1)＝0，即(a－1)＋(－1＋1)＝0，故a＝1．] 类型3　利用函数的奇偶性求解析式 【例3】　若f (x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f (x)＝x2－2x＋3，求f (x)的解析式． [解]　当x＝0时，f (0)＝0．当x<0时，－x>0， f (－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3， 由于f (x)是奇函数，故f (x)＝－f (－x)， 所以f (x)＝－x2－2x－3． 即当x<0时，f (x)＝－x2－2x－3． 故f (x)＝ [母题探究] 1．(变设问)本例条件不变，求f (－2)的值． [解]　因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (－2)＝－f (2)＝－(22－2×2＋3)＝－3． 2．(变条件)若把本例中的奇函数改为偶函数，其他条件不变，求当x<0时，f (x)的解析式． [解]　当x<0时，－x>0， f (－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3， 由于f (x)是偶函数， 故f (x)＝f (－x)， 所以f (x)＝x2＋2x＋3， 即当x<0时，f (x)＝x2＋2x＋3． 　利用函数奇偶性求函数解析式的3个步骤 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设； (2)转化到已知区间上，代入已知的解析式； (3)利用f (x)的奇偶性写出－f (x)或f (－x)，从而解出f (x)． [跟进训练] 5．设f (x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f (x)＋g(x)＝2x＋x2，求函数f (x)，g(x)的解析式． [解]　因为f (x)是偶函数，g(x)是奇函数， 所以f (－x)＝f (x)，g(－x)＝－g(x)， 由f (x)＋g(x)＝2x＋x2．① 用－x代替x得f (－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2， 所以f (x)－g(x)＝－2x＋x2，② (①＋②)÷2，得f (x)＝x2． (①－②)÷2，得g(x)＝2x． 类型4　函数单调性与奇偶性的综合问题 【例4】　(1)已知函数y＝f (x)在定义域[－1，1]上既是奇函数，又是减函数，若f (1－a2)＋f (1－a)<0，求实数a的取值范围； (2)定义在[－2，2]上的偶函数f (x)在区间[0，2]上单调递减，若f (1－m)<f (m)，求实数m的取值范围． [解]　(1)由f (1－a2)＋f (1－a)<0， 得f (1－a2)<－f (1－a)． ∵y＝f (x)在[－1，1]上是奇函数， ∴－f (1－a)＝f (a－1)，∴f (1－a2)<f (a－1)． 又∵f (x)在[－1，1]上单调递减， ∴解得 ∴0≤a<1，∴a的取值范围是[0，1)． (2)∵函数f (x)是偶函数，∴f (x)＝f (|x|)． ∴f (1－m)＝f (|1－m|)，f (m)＝f (|m|)． ∴原不等式等价于 解得－1≤m<． ∴实数m的取值范围是． 　函数的奇偶性与单调性的综合问题解题思路 (1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性． (2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f (x1)>f (x2)或f (x1)<f (x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响． [跟进训练] 6．已知偶函数f 在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0．若f (x－1)>0，则x的取值范围是________． (－1，3)　[∵f 为偶函数， ∴f (x－1)＝f (|x－1|)， 又f (2)＝0，∴f (x－1)>0，即f (|x－1|)>f (2)， ∵|x－1|，2∈[0，＋∞)，且f 在[0，＋∞)上单调递减． ∴|x－1|<2，即－2<x－1<2， ∴x的取值范围为(－1，3)．] 1．设f 是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f ＝2x2－x，则f ＝(　　) A．－3 　 B．－1 C．1 　 D．3 A　[∵f 是奇函数，当x≤0时，f ＝2x2－x， ∴f (1)＝－f (－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3．] 2．下列各图中，表示以x为自变量的奇函数的图象是(　　) A　　　　　B　　　　C　　　 　D B　[根据函数的定义，图象中y的取值是唯一的，故排除A、D；由于奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，故排除C．] 3．定义在R上的偶函数f 在[0，＋∞)上单调递增，若f (a)<f (b)，则一定可得(　　) A．a<b 　 B．a>b C．|a|<|b| 　 D．0≤a<b或a>b≥0 [答案]　C 4．已知一个奇函数的定义域为，则a＋b等于________． －1　[根据奇函数的定义域关于原点对称，知a与b有一个等于1，一个等于－2， 所以a＋b＝1＋(－2)＝－1．] 5．已知函数y＝f (x)是定义在R上的偶函数，且在[2，6]上单调递减，则f (－5)________ f (3)．(填“＞”或“＜”) ＜　[∵f (x)为偶函数， ∴f (－5)＝f (5)，而函数f (x)在[2，6]上单调递减， ∴f (5)＜f (3)．∴f (－5)＜f (3)．] 课时分层作业(十八)　函数的奇偶性 一、选择题 1．函数f ＝x的奇偶性是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既不是奇函数，也不是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 [答案]　C 2．已知f 是奇函数，且当x>0时，f ＝x－1，则当x<0时，f ＝(　　) A．x＋1 　 B．x－1 C．－x－1 　 D．－x＋1 [答案]　A 3．(教材P73复习题二B组T7改编)若函数f (x)＝为奇函数，则a＝(　　) A． 　 B． C． 　 D．1 A　[因为f (x)为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，所以＝－，所以1＋a＝3(1－a)，解得a＝，经验证a＝时，f (x)＝为奇函数，故a＝．] 4．(多选)已知定义在区间[－7，7]上的一个偶函数，它在[0，7]上的图象如图，则下列说法正确的有(　　) A．这个函数有两个单调递增区间 B．这个函数有三个单调递减区间 C．这个函数在其定义域内有最大值7 D．这个函数在其定义域内有最小值－7 BC　[ 根据偶函数在[0，7]上的图象及其对称性，作出其在[－7，7]上的图象，如图所示．由图象可知这个函数有三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不是－7，故选BC．] 5．已知y＝f (x)是偶函数，则函数y＝f (x＋1)的图象的对称轴方程是(　　) A．x＝1 　 B．x＝－1 C．x＝ 　 D．x＝－ B　[y＝f (x＋1)的图象是由y＝f (x)的图象向左平移一个单位长度得到的，而y＝f (x)的图象的对称轴为直线x＝0，所以y＝f (x＋1)的图象的对称轴为直线x＝－1．故选B．] 二、填空题 6．已知函数y＝f (x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f (x)＝0的所有实根之和是________． 0　[由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另外两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0．] 7．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x∈(0，＋∞)时，f (x)＝x3＋x2＋1，则f (－2)＝________． －13　[ f (－2)＝－f (2)＝－(23＋22＋1)＝－13．] 8．已知y＝f (x)＋x2是奇函数，且f (1)＝1，若g(x)＝f (x)＋2，则g(－1)＝______． －1　[因为y＝f (x)＋x2为奇函数，所以f (－x)＋x2＝－f (x)－x2，所以f (－x)＝－f (x)－2x2， 所以g(－1)＝f (－1)＋2＝－f (1)－2＋2＝－f (1)＝－1．] 三、解答题 9．判断下列函数的奇偶性． (1)y＝； (2) f ＝ [解]　(1)∵函数的定义域为，不关于原点对称， ∴该函数不具有奇偶性． (2) f 的定义域为R，关于原点对称，当x>0时，－x＜0， f (－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f (x)； 当x<0时，－x＞0，f (－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f (x)； 当x＝0时，f (0)＝0，也满足f (－x)＝－f (x)． 故该函数为奇函数． 10．(源自人教B版教材)已知函数f (x)满足f (5)<f (3)，分别在下列各条件下比较f (－5)与f (－3)的大小： (1) f (x)是偶函数； (2) f (x)是奇函数． [解]　(1)因为f (x)是偶函数， 所以f (－x)＝f (x)， 因此f (－5)＝f (5)，f (－3)＝f (3)， 从而由条件可知f (－5)<f (－3)． (2)因为f (x)是奇函数，所以f (－x)＝－f (x)， 因此f (－5)＝－f (5)，f (－3)＝－f (3)， 又由条件可知－f (5)>－f (3)， 从而f (－5)>f (－3)． 11．已知g(x)是定义在R上的奇函数，f (x)＝g(x)＋x2，若f (a)＝2，f (－a)＝2a＋2，则a＝(　　) A．2 　 B．－1 C．2或－1 　 D．2或1 C　[由题意知g(a)＋g(－a)＝0， 由 得2a2＝2a＋4，解得a＝2或a＝－1，故选C．] 12．设f (x)为偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，f (－2)＝0，则xf (x)<0的解集为(　　) A．(－1，0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0，2) C．(－2，0)∪(2，＋∞) D．(－2，0)∪(0，2) C　[根据题意，偶函数f (x)在(－∞，0)上单调递增，且f (－2)＝0， 则函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减，且f (－2)＝f (2)＝0，作出函数f (x)的大致图象如图所示， 又由xf (x)<0， 可得或 由图可得－2<x<0或x>2， 即不等式的解集为(－2，0)∪(2，＋∞)．故选C．] 13．函数f (x)在R上为减函数，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x－2)≤1的x的取值范围是________． {x|1≤x≤3}　[∵f (x)为奇函数， ∴f (－x)＝－f (x)． ∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1． 故由－1≤f (x－2)≤1， 得f (1)≤f (x－2)≤f (－1)． 又f (x)在R上为减函数， ∴－1≤x－2≤1， ∴1≤x≤3．] 14．已知函数f ＝ 为奇函数，则a＋b＝________． 0　[由函数f (x)为奇函数，得f ＋f ＝0， 又f ＝0，f ＝a＋b， 所以a＋b＝0．] 15．已知f (x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意a，b∈R都满足f (a·b)＝af (b)＋bf (a)． (1)求f (0)，f (1)的值； (2)判断f (x)的奇偶性，并证明你的结论． [解]　(1)令a＝b＝0， 则f (0)＝0×f (0)＋0×f (0)＝0． 令a＝b＝1，则f (1)＝1×f (1)＋1×f (1)， 即f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0． (2) f (x)是奇函数． 证明：令a＝b＝－1， 则由f (a·b)＝af (b)＋bf (a)， 得f (1)＝－f (－1)－f (－1)． ∵f (1)＝0，∴－2f (－1)＝0，∴f (－1)＝0． 令a＝－1，b＝x，则f (－x)＝－f (x)＋xf (－1)． ∴f (－x)＝－f (x)． 又∵f (x)的定义域关于原点对称，∴f (x)为奇函数． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $